第一章：特殊平行四边形 单元测试卷 2025—2026学年 北师大版数学九年级上册

第一章：特殊平行四边形 单元测试卷 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 解：如图所示： 设，则， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，则， 在菱形中，，，， ∴； 故选：C． 2．如图，菱形不一定具有的结论是（   ） A． B． C． D． 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴菱形不一定具有的结论是 故选：C． 3．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 解；如图所示，连接， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．邻角互补 B．内角和为 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 解：A.邻角互补是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； B.内角和为是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； C.对角线互相平分是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； D.菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线相等，该选符合题意； 故选：D． 6．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（    ） A．8 B． C． D． 解：由题意知，， 故选：C． 7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当且时，四边形是正方形 C．当平分时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 解：A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确，不符合题意； B.根据对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，即该选项正确，不符合题意； C.根据对角线平分一组对角的的平行四边形是菱形，即该选项正确，不符合题意； D.根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误，符合题意． 故选：D． 8．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 解：为正方形的对角线上一点， ． 四边形为矩形， ， ． ． ∴， ． 故选A． 9．如图，在菱形中，，，点E.F同时从A.C两点出发，分别沿方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为，点F的速度为．若经过t秒时，为等边三角形，则t的值为（    ） A． B． C．3 D．2 解：∵在菱形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意，，， ∴，解得， 故t的值为3． 故选：C． 10．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．则下列结论正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 解：∵在正方形中，点为对角线的中点， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故共有四对全等三角形，故①错误； ∵， ∴，又， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即正方形的面积等于四边形面积的倍，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 二.填空题:(每小题3分共15分) 11．如果矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，那么该矩形的周长是________. 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ①当时， ， ， ∴矩形的周长； ②当时 ， ∴矩形的周长， 即矩形的周长是22或26． 故答案为：22或26． 12．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ； （2）点的坐标是 ． 解：（1）∵，点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴； 故答案为：； （2）过点B作轴于点E，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 13． 如图， 在中，， D是的中点， 则 ． 解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F.P为边上的动点，则的最小值为 . 解：∵四边形是菱形，对角线， ∴ ， 作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值， ∵ ∴ 即 故答案为：． 15．如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接.． （1）若，则的度数为 ； （2）过点作交于点，若，则的度数为 ． 解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 三.解答题:（共55分） 16．（5分）如图，矩形内一点，连接，且． 求证：． 证明：∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即 在 和中， ∴． 17．（8分）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． （1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 18．（8分）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． （1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 19．（8分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的长． （1）证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接交于点O，    ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ， ∴， ∴ ∴． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． （1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（9分）综合实践 如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图1，若，，请求出的长． （1）解：四边形是正方形，理由： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形； （2）解：如图2，过D作于H，则，    ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，即； （3）解：如图1，过D作于H，    在中，，， ∴， 由（2）知，， ∴，， 在中，， ∴． 22．（9分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于点A.B，点在线段AB上，将一块三角板绕点P旋转，两直角边分别与x轴.y轴相交于D.E两点． (1)________，在图1中，当轴时，的值是________； (2)当三角板旋转至图2或图3的位置时，请猜想线段和之间的数量关系，并任选一个图形加以证明； (3)在三角板绕点P旋转过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点D坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由． （1）解∶把代入， 得，∴ ∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，∴， 故答案为∶1，1； （2）解： 理由：如图2，过P作轴于G，轴于H， 则四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴； 如图3，过P作轴于G，轴于H， 则四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴； （3）解：当时，，解得， ∴， 又， ∴， 当时，D的坐标为或； 当，如图，过P作轴于H， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴D与O重合， ∴D的坐标为； 当时， 如图， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D的坐标为， 综上，D的坐标为或或或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：特殊平行四边形 单元测试卷 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形不一定具有的结论是（   ） A． B． C． D． 3．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．邻角互补 B．内角和为 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 6．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（    ） A．8 B． C． D． 7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当且时，四边形是正方形 C．当平分时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 8．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，在菱形中，，，点E.F同时从A.C两点出发，分别沿方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为，点F的速度为．若经过t秒时，为等边三角形，则t的值为（    ） A． B． C．3 D．2 10．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．则下列结论正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二.填空题:(每小题3分共15分) 11．如果矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，那么该矩形的周长是________. 12．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ； （2）点的坐标是 ． 13． 如图， 在中，， D是的中点， 则 ． 14．如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F.P为边上的动点，则的最小值为 . 15．如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接.． （1）若，则的度数为 ； （2）过点作交于点，若，则的度数为 ． 三.解答题:（共55分） 16．（5分）如图，矩形内一点，连接，且． 求证：． 17．（8分）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 18．（8分）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 19．（8分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的长． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 21．（9分）综合实践 如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图1，若，，请求出的长． 22．（9分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于点A.B，点在线段AB上，将一块三角板绕点P旋转，两直角边分别与x轴.y轴相交于D.E两点． (1)________，在图1中，当轴时，的值是________； (2)当三角板旋转至图2或图3的位置时，请猜想线段和之间的数量关系，并任选一个图形加以证明； (3)在三角板绕点P旋转过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点D坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$