精品解析：四川省内江市资中县2024—2025学年下学期期中考试九年级数学试题

资中县2024—2025学年九年级下学期期中素质教育监测题 数学 本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷1至4页，满分100分；B卷4至6页，满分60分．全卷满分160分，120分钟完卷． A卷（共100分） 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答第Ⅱ卷及B卷时，将答案写在答题卡上对应题目的答题框内． 3．考试结束时，将本试卷、答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 的倒数是（ ） A 6 B. C. D. 2. 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表： 每周课外阅读时间（小时） 学生数（人） 下列说法错误是（　　） A. 众数是 B. 平均数是 C. 样本容量是 D. 中位数是 9. 已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为7 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 11. 在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 13. 分解因式：__________． 14. 函数中，自变量x的取值范围是______． 15. 如图，在扇形中，，半径是上一点，连接是上一点，且，连接．若，则的长为_______． 16. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长__________米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 三、解答题（本大题共5小题，共44分）． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 19. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为____________，请将图形补充完整（2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_________． （2）若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有多少人？ （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学到市上参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围； （2）试说明，； （3）若抛物线与轴交于、两点，点、点到原点的距离分别为、，且，求的值． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 22. 若，则______． 23. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值是_______． 24. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小数，如，．若关于x的函数的图象记为C，当时，直线与C有两个公共点，则k的取值范围是_______． 25. 菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F、P分别是上的动点，点G是中点，在运动过程中始终保持，那么的最小值是_______． 二、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26. 某商店决定购甲，乙两种商品进行销售．已知每件甲商品比每件乙商品的进价高元．用元购进甲商品的数量和用元购进乙商品的数量相同． （1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） ①当为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进甲，乙两种商品共件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于件．若乙商品的售价为每件元时，商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为元，直接写出的值． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，是的切线，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N．． （1）求证：； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 资中县2024—2025学年九年级下学期期中素质教育监测题 数学 本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷1至4页，满分100分；B卷4至6页，满分60分．全卷满分160分，120分钟完卷． A卷（共100分） 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答第Ⅱ卷及B卷时，将答案写在答题卡上对应题目的答题框内． 3．考试结束时，将本试卷、答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 的倒数是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了倒数的意义，关键是掌握求一个数的倒数的方法． 根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．1的倒数是1，0没有倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可，由此解答． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：数12910000用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 3. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 4. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体， 根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选：D． 【点睛】本题考查了由物体的三种视图确定几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6. 如图，直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 7. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 8. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表： 每周课外阅读时间（小时） 学生数（人） 下列说法错误的是（　　） A. 众数是 B. 平均数是 C. 样本容量是 D. 中位数是 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意； B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意； C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意； D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键． 9. 已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 10. 如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为7 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意； C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息． 11. 在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再由，可得的长，然后根据BD平分的周长，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点E， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分的周长， ∴，即， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标可得，，，可判断①②③；设直线，则直线过点，且y随x的增大而减小，然后根据图象可判断④；设直线，则直线过原点以及点，且y随x的增大而增大，然后根据图象可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴，，， ∴，故①正确； ∴，， 即，，故②③正确； 设直线，则直线过点，且y随x的增大而减小，如图， 观察图象得：当时，， 即，故④正确； 设直线，则直线过原点以及点，且y随x的增大而增大， ∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 画出图象，如图， 观察图象得：抛物线与直线有两个不同的交点， ∴有两个不相等的实数根， 即一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识．解题的关键在于数形结合，并灵活运用知识． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 13. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为： 14. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的范围，分式有意义的条件，解题关键是列出不等式求解． 根据分母不能为零，转化为不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， 故答案：． 15. 如图，在扇形中，，半径是上一点，连接是上一点，且，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，弧长的计算，掌握特殊角的三角函数，弧长公式的计算是解题的关键． 根据锐角三角函数值可得，，则有，再根据弧长公式（是弧长所对的圆心角的度数），即可求解． 【详解】解：在扇形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长__________米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴在中，（米）． ∴斜坡的长约为10米， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共5小题，共44分）． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2），3 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值，再计算加减； （2）先利用完全平方公式，平方差公式展开，再作除法，化为最简，然后代入字母的值求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，分母有理化，负整数指数幂，绝对值，完全平方公式，平方差公式，整式的四则混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）添加（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 19. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为____________，请将图形补充完整（2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_________． （2）若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有多少人？ （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学到市上参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 【答案】（1）；统计图见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数；根据总人数减去其他项目的人数得出参加排球的人数，进而不全统计图；用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数； （2）根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人． 参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：，． 【小问2详解】 (人）． 参加“游泳”的人数大约为420人． 【小问3详解】 解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围； （2）试说明，； （3）若抛物线与轴交于、两点，点、点到原点的距离分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2）说明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到的不等式，可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系可用表示出、，再进行判断即可； （3）用、可表示出和，结合已知条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根 ， ； （2）由可知，， ， 和同号， ， ， ， ，； （3）设，，，， ，， ， 解得或， 又， ． 【点睛】本题为二次函数综合应用，涉及一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．在（2）中用表示出两根积和两根和是解题的关键，在（3）中用表示出和是解题的关键． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 22. 若，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 23. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法，同底数幂的除法，二元一次方程的解，解题关键是准确求解方程组． 先求出方程组的解，代入，得出与的关系式，再求的值． 【详解】解：方程组解得， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴，解得：， ， 故答案为：8． 24. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，．若关于x的函数的图象记为C，当时，直线与C有两个公共点，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，令，求出直线与相交于，，可求直线经过定点，当直线经过时，可求，令，当时，，然后数形结合求解即可． 【详解】解：令， ∴， 解得，， ∴直线与相交于，， 在同一直角坐标系中，利用与的图象作出图象C，如图， 对于直线，当时，， ∴直线经过定点， 当直线经过时， 则， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∵直线与C有两个公共点， ∴结合图象可得，， 故答案为：. 25. 菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F、P分别是上的动点，点G是中点，在运动过程中始终保持，那么的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查菱形性质、等边三角形的判定和性质，点的运动轨迹，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，找出点的运动轨迹，结合图形求解是解题关键． 根据菱形的性质及等边三角形的判定得出为等边三角形，确定，，，再由斜边中线的性质得出，确定点G的运动轨迹为以O为圆形，1为半径，在内的圆弧上运动，作点O关于的对称点M，以点M为圆形，1为半径画圆，延长交BC于点I，连接，交于点，交圆M于点，得出当点B、、三点共线时，取得最小值，结合图形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 同理：， ∵点G是中点，在运动过程中始终保持， ∴， 点G的运动轨迹为以O为圆形，1为半径，在内的圆弧上运动， 作点O关于的对称点M，以点M为圆形，1为半径画圆，延长交BC于点I，连接，交于点，交圆M于点，如图所示： 当点B、、三点共线时，取得最小值， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26. 某商店决定购甲，乙两种商品进行销售．已知每件甲商品比每件乙商品的进价高元．用元购进甲商品的数量和用元购进乙商品的数量相同． （1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） ①当为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进甲，乙两种商品共件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于件．若乙商品的售价为每件元时，商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为元，直接写出的值． 【答案】（1）甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，二次函数，一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意，找出等量关系，列方程求解即可； （2）①分别计算不同不同售价对应的最大利润，作比较，确定对应的每件甲商品的售价即可；②用甲商品的件数每件乙商品的售价表示总利润，即可得利润最大时，对应的甲商品的件数，另利润取最大值，即可求得的值． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件的进价是元，则甲种商品每件的进价是元， 根据题意可得， 解得，， 经检验，是原方程的解， 当时，， 答：甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元． 【小问2详解】 解：①设利润为元，由表格得， 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，最大利润为元， 当时，， ∵，， 当时，， ∴当时，最大利润为元， ∵， ∴甲商品每件的售价为元时，所获利润最大，最大利润为元， 答：当时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为元． ②设该商场购进甲种商品件，购进乙种商品件， ∵甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于50件， ∴， ∴， 由甲商品的售价与数量的关系表可得，， ∴， 即甲商品的售价为每件元， 设商场将甲、乙商品均全部售出后获得的利润为元， 根据题意可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，随着增大而减小， ∵乙商品的售价为每件元时，商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为元， ∴当时，， ∴， ∴， 答：的值为． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，是的切线，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N．． （1）求证：； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据可证，根据切线的性质可得，进而得出，根据垂径定理得出，根据弧、弦的关系可得； （2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论； （3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接交于点，连接，如图， 由（1）（2）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 即， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【小问1详解】 解：将，代入解析式， 得：， 解得： 抛物线的解析式表达式为； 【小问2详解】 证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$