精品解析：河北冀州中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2024～2025学年度高二下学期期末质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）的虚部是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，进而可求虚部. 【详解】,其虚部为. 故选：B 2. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94学生所占的百分比为． 故选：A． 3. 已知直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，则实数a＝ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线和圆相切即圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到方程，求解即可. 【详解】直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，即圆心（0，-4）到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到化简得到a=. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 4. 某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 17 15 10 -2 24 34 64 由表中数据的线性回归方程为，则的值为( ) A. 42 B. 40 C. 38 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值. 【详解】回归直线过样本中心，样本中心坐标为,, 代入方程得到+60，解得a=38. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了回归直线方程的应用，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点． 5. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的焦点坐标，求出a，设出P的坐标，表示出距离，利用二次函数的性质求解最小值即可． 【详解】因为抛物线的焦点为，由题意得，则，所以，设， 则， 所以当时，. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，属于基础题． 6. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类计数原理，先分组再分配即可. 【详解】分类计数： 第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：种； 第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：种， 根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有种， 故选：B 7. 在展开式中项的系数为（ ） A. 120 B. 100 C. 84 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】求得各项的系数，再求和即可. 【详解】因为展开式中项系数分别为：， 而， 所以在展开式中项的系数为120. 故选：A 8. 已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解得，根据三角函数的定义知，利用同角的三角函数关系求得，，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为， 则，解得，所以, 由三角函数的定义知， 又，且显然为锐角，， 又，解得，， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 化简得，所以的离心率为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成．某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下： 甲（单位：kg） 250 240 240 200 270 乙（单位：kg） 250 210 280 240 220 则下列说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的极差为70 B. 乙种水稻产量的中位数为240 C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数表求出极差、中位数，判断A，B；求出平均数判断C；求出方差判断D作答. 【详解】根据给定数表知，甲种水稻产量的极差为，乙种水稻产量的中位数为240，A，B都正确； 甲种水稻产量平均数为，乙种水稻产量平均数为，C错误； 甲种水稻产量方差为，乙种水稻产量方差为，D正确. 故选：ABD 10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ） A. B. A，B相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将事件与之间关系表示出来，利用概率公式逐一判断即可. 【详解】因为， ， 因为，所以，A正确； 因为， 所以，，， B错误，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 11. 已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为2 B. 当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C. 若曲线C与有两个不同的交点，则 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析得到曲线C的轨迹，并画出图形，数形结合依次分析四个选项，得到答案. 【详解】A选项，若，则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 若，则，此时曲线为单位圆的一部分， 若，则，无解，此时不合要求， 当则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 画出曲线C：如下： 由于，与平行， 故取的中点，直线与垂直，且与（）交于点， 此时点与点重合时，到的距离最大，所以面积的最大， 其中直线为， 联立与（）得，故， 点到直线的距离为， 又，故的面积最大值为，A正确； B选项，当时，， 由A知，到的距离为， 由于为到的距离最大，所以C上有且仅有1个点到的距离为1，B错误； C选项，当过点时，， 且此时与相切，只有1个交点， 又为曲线C的渐近线，此时， 结合图形，可知若曲线C与有两个不同的交点，则，C正确； D选项，当时，此时位于（）上， 故到焦点的距离减去到焦点的距离差为， 故，D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则任取一个零件是次品的概率为_______. 【答案】0.058## 【解析】 【分析】记为事件“零件为第台车床加工”，求出、和即可求解. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右两焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，则的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：由题可得，，根据余弦定理化简可得，再利用三角形面积公式计算即可；解法二：直接利用椭圆焦点三角形面积公式计算即可. 【详解】解法一：已知椭圆，则，，， 则，， 在中，， 则， 解得， 所以的面积为. 解法二：的面积为. 故答案为：. 14. 在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果. 【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为 则球的半径: 正四棱柱的侧面积： 球的表面积： 当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可判断数列是等比数列，结合求出首项，公比得解； （2）由（1）可得，根据错位相减法求和得解. 【小问1详解】 因， 所以，所以数列是公比为的等比数列， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 相减得，， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)取的中点M，连结，根据平行四边形的判断定理和性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明； (2)建立如图所示的空间直角坐标系，设，，根据空间垂直向量的坐标表示求出b，利用向量法求出平面、平面的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c，再利用向量法即可求出直线与平面所成角. 【小问1详解】 取的中点M，连结， 则，且，且. 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以. 因为，所以，所以. 又， 设平面的一个法向量， 则，所以， 令，则，所以； 又平面的一个法向量，所以， 即，解得，所以. 又， 所以， 所以直线与平面所成角为. 17. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查的形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄是否有关； （2）采用按比例分配的分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人， 青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人， 得到如下2×2列联表： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. 【小问2详解】 愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2:1， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年，3人是中老年， 记这4人中，青年的人数为X，则X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列如下： 1 2 3 4 ， 所以这4人中青年人数的期望为. 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【小问1详解】 设点，由题意得， 式子左右同时平方，并化简得，. 所以曲线方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线与曲线的交点坐标为. 所以与不垂直，即，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得 由和，得. ， 因为，所以. 所以， 解得 所以直线的方程为， 即或. 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆，的方程求椭圆，的长轴长和短轴长，结合椭圆相似的定义列方程求，由此可得结论； （2）（i）设直线的方程为，联立与椭圆求线段的中点坐标，联立与椭圆求线段的中点坐标，由此证明结论； （ii）连接，取的中点，证明，联立方程组结合弦长公式求，，由此可得的面积解析式，再结合基本不等式求其最值. 【小问1详解】 由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式 设， 所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标， 即中点的坐标为. 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，， 所以的面积. 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由 得，设，所 以， 所以 同理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度高二下学期期末质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）的虚部是（   ） A. B. C. D. 2. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 3. 已知直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，则实数a＝ A. B. C. D. 4. 某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 17 15 10 -2 24 34 64 由表中数据的线性回归方程为，则的值为( ) A. 42 B. 40 C. 38 D. 36 5. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 6. 为了提高人们环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（ ） A. 20种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 7. 在展开式中项的系数为（ ） A. 120 B. 100 C. 84 D. 72 8. 已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成．某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下： 甲（单位：kg） 250 240 240 200 270 乙（单位：kg） 250 210 280 240 220 则下列说法正确是（ ） A. 甲种水稻产量的极差为70 B. 乙种水稻产量的中位数为240 C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差 10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ） A. B. A，B相互独立 C. D. 11. 已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为2 B. 当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C. 若曲线C与有两个不同的交点，则 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则任取一个零件是次品的概率为_______. 13. 已知椭圆的左、右两焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，则的面积为_______. 14. 在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 17. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查的形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄是否有关； （2）采用按比例分配的分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 附：， 005 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线. （1）求曲线方程； （2）过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程. 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$