22.1.3二次函数y=a(x－h)²＋k的图象和性质 同步提升 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y=a(x－h)²＋k的图象和性质+同步提升 一、选择题 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法错误的是  (    ) A. B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 点的坐标为 4.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 5.设函数是实数，，当时，；当时，，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为  (    ) A. B. C. D. 7.若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在▱中，对角线，相交于点，，，若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.若抛物线的开口向下，则的取值范围是          ． 10.已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为          用“”连接 11.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是          ． 12.二次函数的部分图象如图所示，则          ． 13.已知二次函数有最大值，则          ． 14.如图，抛物线和都经过轴上的，两点，两条抛物线的顶点分别为，当四边形的面积为时，的值为          ． 15.若二次函数的图象在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为          ． 16.如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，分别为顶点．则下列结论：；；是等腰直角三角形；当时，． 其中正确的结论有          填序号 三、解答题 17.已知二次函数的图象过点． 求二次函数的解析式，并画出函数图象；当时，求的取值范围． 18.如图，抛物线与轴交于点，且点与点关于抛物线的对称轴对称． 求抛物线的解析式及点的坐标； 若点在抛物线上，且的面积是，求点的坐标． 19.如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的右侧，直线分别与轴、轴交于，两点，其中． 求，两点的横坐标 当自变量在什么范围内时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值 20.已知二次函数． 当时，求二次函数的最大值与最小值． 若点，在该二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧．当时，求的取值范围． 21.某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． 米 米 请解决以下问题： 在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； 结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度； 求关于的函数表达式； 公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为米，游船的平顶棚到湖面的高度约为米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度不考虑其他因素就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整． 22.已知抛物线与轴交于，两点． 求抛物线的对称轴和点的坐标． 若是抛物线上的动点，当时，的最大值为，求的值． 若点，在抛物线上，且，请直接比较和的大小． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.  2.  3.  4. 5. 6. 7. 8.  9.  10.  11.  12. 13.  14.  【解析】抛物线和都经过轴上的，两点，，两点的坐标分别是，又抛物线和的顶点分别为，，，两点的坐标分别是，，，，，解得． 15.   【解答】 解：， 抛物线的对称轴为． 又当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的上方． 又当时，函数图象位于轴的下方， 当时，． ． ． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】将代入，解得，故正确；如图，过点作于点，连接，，，，，，，，，，，，故错误；由，解得，，故B，，则，，是等腰直角三角形，故正确；令，解得，，当时，，故错误． 17.(1)，图略  (2)．   18.(1)解：把代入， 得解得． 抛物线的解析式为． 抛物线的对称轴为． 由对称的性质，得． （2），． 设点的坐标为． ． 或． 当时，． 解得，． 此时有或． 当时，解得． 此时有． 综上，点的坐标为或或．   19.解：将方程组消去， 得，． ，或，或． 点在点的右侧，点的横坐标为，点的横坐标为． 或．   20.（1）解：当时，函数有最小值，为；当时，函数有最大值，为当时，二次函数的最大值是，最小值是． （2）二次函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴是直线若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，则解得；若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，则此不等式组无解．综上所述，的取值范围是．   21.解：如图， 水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， 所以； 设水枪高度向上调整米， 设平移后二次函数关系式为， 当时，， ， 答：水枪高度至少向上调整米．  22.（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线点与点关于直线对称，点的坐标为． （2）由可大致画出抛物线的图象如图所示，由图象可知，点离抛物线的对称轴越远，其对应的函数值越大．若，则当时，，解得． (3)抛物线的对称轴为直线，当点，关于直线对称时，，此时，，当时，；当时，综上所述，当时，；当时，；当时，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 22.1.3 二次函数 y=a(x－h)²＋k 的图象和性质+同步提升 一、选择题 1.抛物线� = (� − 3)2 + 4 的顶点坐标是( ) A. ( − 3,4) B. ( − 3, − 4) C. (3,4) D. (3, − 4) 2.把抛物线� =− 4�2向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为( ) A. � =− 4(� + 2)2 − 3 B. � =− 4(� − 2)2 − 3 C. � =− 4(� − 3)2 + 2 D. � =− 4(� − 3)2 − 2 3.如图，二次函数� = �(� + 2)2 + �的图象与�轴交于�( − 6,0)，�两点，下列说法 错误的是 ( ) A. � < 0 B.图象的对称轴为直线� =− 2 C.当� < 0 时，�随�的增大而增大 D.点�的坐标为(2,0) 4.二次函数� = �(� − 2)2 + �与一次函数� = �� + �在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 5.设函数� = �(� − ℎ)2 + �(�, ℎ, �是实数，� ≠ 0)，当� = 1 时，� = 1；当� = 8 时，� = 8，( ) A.若ℎ = 4，则� < 0 B.若ℎ = 5，则� > 0 C.若ℎ = 6，则� < 0 D.若ℎ = 7，则� > 0 6.已知二次函数� = �(� − �)2(� > 0)的图象经过点�( − 1, �)，�(3, �)，且� < �，则�的值不可能为 ( ) A. 0 B. −2 C. −1 D. 2 7.若抛物线� = (� − �)2 + (� + 1)的顶点在第一象限，则�的取值范围为 ( ) A. � > 2 B. � > 0 C. � >− 1 D. −1 < � < 0 8.如图，在▱����中，对角线��，��相交于点�，�� ⊥ ��，�� = 4，∠��� = 60°. 若��过点�且与边��，��分别相交于点�，�，设�� = �，��2 = �，则�关于�的函 数图象大致为( ) 第 2页，共 4页 A. B. C. D. 二、填空题 9.若抛物线� = (� − 7)�2 − 5 的开口向下，则�的取值范围是 ． 10.已知抛物线� =− (� + 3)2 + 1 上有三点�( − 4, �1)，�( − 1, �2)，�(0, �3)，则�1，�2，�3的大小关系 为 . (用“<”连接) 11.已知二次函数� =− 2(� − �)2 − 3，当� > 1 时，�随�的增大而减小，则�的取值范围是 ． 12.二次函数� = �(� − 1)2 + �的部分图象如图所示，则� + � = ． 13.已知二次函数� = (� − 1)�2 +�2 + 1 有最大值 5，则� = ． 14.如图，抛物线� = ��2 − 4 和� =− ��2 + 4 都经过�轴上的�，�两点，两条抛物线的顶点分别为�，�.当 四边形����的面积为 40 时，�的值为 ． 15.若二次函数� = �(� − 4)2 + 4 的图象在 2 < � < 3 这一段位于�轴的上方，在 6 < � < 7 这一段位于�轴 的下方，则�值为 ． 16.如图，抛物线�1 = 1 2 � + 1 2 + 1 与�2 = �(� − 4)2 − 3 交于点�(1,3)，过点�作�轴的平行线，分别交两 条抛物线于�，�两点，且�，�分别为顶点．则下列结论：①� = 23；②�� = ��；③△ ���是等腰直角三 角形；④当� > 1 时，�1 > �2． 其中正确的结论有 . (填序号) 三、解答题 17.已知二次函数� = �(� + 2)2的图象过点(1, − 3)． (1)求二次函数的解析式，并画出函数图象；(2)当 1 ≤ � ≤ 3 时，求�的取值范围． 第 3页，共 4页 18.如图，抛物线� = (� − 1)2 + �与�轴交于点�(0, − 3)，且点�与点�关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式及点�的坐标； (2)若点�在抛物线上，且△ ���的面积是 1，求点�的坐标． 19.如图，二次函数� = �(� − 1)2 + 2 的图象与一次函数� = �� − � + 2 的图象交于�，�两点，点�在点� 的右侧，直线��分别与�轴、�轴交于�，�两点，其中� < 0． (1)求�，�两点的横坐标; (2)当自变量�在什么范围内时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值? 20.已知二次函数� = (� − 1)2 − 4． (1)当−1 ≤ � ≤ 4 时，求二次函数的最大值与最小值． (2)若点�(� − 2, �1)，�(2� + 3, �2)在该二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧．当�1 > �2时，求�的取 值范围． 第 4页，共 4页 21.某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状 可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面 3 米，在距立柱水平距离为� 米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米． �(米) 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 ℎ(米) 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度； (3)求ℎ关于�的函数表达式； (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为 2 米，游船的平顶棚到湖面的高度约为 1 米， 从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于 1 米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于 1 米．工人 想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整． 22.已知抛物线� = �(� − 2)2 − �(� > 0)与�轴交于�(1,0)，�两点． (1)求抛物线的对称轴和点�的坐标． (2)若�(�, �)是抛物线上的动点，当−1 ≤ � ≤ 4 时，�的最大值为 6，求�的值． (3)若点�(�1, �1)，�(�2, �2)在抛物线上，且�2 − �1 = 4，请直接比较�1和�2的大小．