21.2.3 因式分解法 （课件）2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 第贰章节 新课导入 新课导入 回顾1：因式分解的方法有哪些？ （1）提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) （2）公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) （3）十字相乘法： x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q) （1）直接开平方法： （2）配方法： （3）公式法： x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) (x+h)2=k(k≥0) 回顾2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经 过x s离地面的高度（单位：m）为： 10x-4.9x2. 问题：设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 第叁章节 新知探究 新知探究 请分别用配方法和公式法解方程：10x - 4.9x2 = 0. 解： 解： a = 4.9，b = -10，c = 0. ∴ Δ = b2－4ac = 100. 4.9x2 - 10x = 0. 知识点 1：因式分解法解一元二次方程 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 4.9x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x - 4.9x2 = 0 ① x(10 - 4.9x) = 0 ② x = 0， 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 总结 因式分解的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例1 解下列方程： 解：因式分解，得 ∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x＋1) = 0. 转化为两个一元一次方程 解：移项、合并同类项， 得 因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 请尝试归纳解题步骤! 一移：使方程的右边为 0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 总结 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. (1) x2 −5x + 6 = 0； (2) x2 + 4x − 5 = 0； (1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：(1) 分解因式， 得 (x − 2)(x − 3) = 0， 解：(2) 分解因式， 得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1． 解得 x1 = 2，x2 = 3. 1. (增城中考改编)解方程： 2. 若 x1,x2 是方程 x2 - 2x - 3 = 0 的两个实数根， 则 x1 · x22 的值是 ( ) A. 3 或 -9 B. -3 或 9 C. 3 或 9 D. -3 或 -9 x2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 ① x1 = 3 ， x2 = -1 x = 3 或 x = -1 ② x1 = -1 ， x2 = 3 x1 · x22 = 3 x1 · x22 = -9 A A 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； (1) 有公因式时，可用因式分解法； (2) 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 知识点 2：选用适当的方法解方程 (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解： (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0， 或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. (3) 二次项系数为 1，可用配方法解较快； (4) 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 解：(3) x2 - 12x + 62 = 4 + 62， (x - 6)2 = 40. ∴ x1 = ， x2 = 解：(4) 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 第肆章节 随堂练习 随堂练习 1. 解下列方程： （1）x2+x = 0； （2）x2 - 2 x = 0； （3）3x2- 6x = - 3； （4）4x2 - 121 = 0； 【选自教材P14 练习 第1题】 解：x(x+1)=0 x1= 0， x2= －1. 解：x(x-2 )=0 x1= 0， x2= 2 . 解：3x2-6x+3=0 x2-2x+1=0 (x-1)2=0 x1= x2= 1. 解：(2x+11)(2x-11)=0 x1= － ，x2= . （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x- 4) 2 = (5-2x) 2 . 解：6x2-x-2=0 (2x+1)(3x-2)=0 x1= － ， x2= . 解：(x-4)2-(5-2x)2=0 (x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0 (1-x)(3x-9)=0 x1= 1， x2= 3 . 2. 用因式分解法解下列方程： （1）3x2-12x = -12； （2）4x2 - 144= 0； （3）3x(x-1) =2(x-1)； （4）(2x-1)2= (3-x)2. 【选自教材P17 习题21.2 第6题】 x1= x2= 2. x1= 6， x2= -6. x1= 1， x2= . x1= -2， x2= . ②因式分解法： 原方程可化为： [(x-3)+(5-2x)]·[(x-3)-(5-2x)]=0 即(2-x)(3x-8)=0 2-x=0或3x-8=0 x1=2，x2= 3.分别用公式法和因式分解法解方程x2-6x+9=(5-2x)2. 【选自教材P17 习题21.2 第10题】 ①公式法： 原方程可化为：3x2-14x+16=0， a=3，b=-14，c=16 Δ=b2-4ac =(-14)2-4×3×16 =4＞0 4.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2.求斜边的长. 【选自教材P17 习题21.2 第8题】 解：设较短的一条直角边为xcm，则较长直角边为(x+5)cm. 根据题意，得 x(x+5)=7， 整理，得 x2+5x-14=0, 解得x1=2，x2=-7（不合题意，舍去） ∴当x=2时，x+5=7. 由勾股定理，得直角三角形斜边的长为 (cm). 答：这个直角三角形斜边的长为 cm. 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 【选自教材P17 习题21.2 第9题】 解：设共有x家公司参加商品交易会. 由题意，可知 x(x-1)=45， 整理，得 x2-x-90=0, 解得x1=10，x2=-9（不合题意，舍去） 答：共有10家公司参加商品交易会. 6. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为x m,则大 圆形场地的半径为(x+5) m. 由题意,得π(x+5)2 =2πx2. 可变形为(x+5) 2 = 2x2 , (x+5) 2 –( x) 2 = 0， [(x+5)+ x ][(x+5) – x]=0， 即[( +1)x+5 ][(1– ) x+5]=0， 【选自教材P14 练习 第2题】 所以x1= -5( -1)= 5-5 ， x2= 5( +1)= 5 +5. 因为x1= 5-5 ＜0不合题意，舍去， 所以x = 5 +5 答：小圆形场地的半径为(5 +5)m. 所以( +1)x+5=0或(1– ) x+5=0， 29 第伍章节 课堂小结 课堂小结 公式法求解一元二次方程的步骤： 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2－4ac Δ≥0？ 无实数根 套公式求解 否 是 人教版数学九年级上册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$