21.2.2 公式法 （课件）2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1.会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 2.能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围． 第贰章节 新课导入 新课导入 说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； 2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数； 3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.降次，利用平方根的意义降次； 5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 第叁章节 新知探究 新知探究 自己动手用配方法解方程：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，小组讨论下列步骤是否有误. 解： 知识点 1：求根公式的推导 步骤 ② 能直接开方吗？ 第 ① 步后应对 b2－4ac 的取值分情况讨论： (1) 当 b2－4ac > 0 时，方程有两个不等的实数根： (2) 当 b2－4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根： (3) 当 b2－4ac < 0 时，方程无实数根： b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. 总结 判别式 根 两个不相等的实数根 Δ > 0 Δ = 0 两个相等的实数根 两个实数根 没有实数根 Δ < 0 Δ≥0 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 3x2 + 4x − 3 = 0； (2) 4x2 = 12x − 9； (1) 有两个不相等的实数根 3x2 + 4x − 3 = 0 Δ = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0 (2) 4x2 − 12x + 9 = 0 Δ = (−12)2 − 4×4×9 = 0 有两个相等的实数根 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B 方程有两个不等的实数根 二次项系数不为 0 (-2)2 + 4k > 0 k≠0 k > −1 且 k≠0 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 总结 总结 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ = b2 − 4ac > 0 Δ = b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 总结 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例3 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； ∴ 方程有两个不等的实数根. 解：(1) a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 知识点 2：用公式法解方程 ∴方程有两个相等的实数根. (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：(1) a = 2，b = − ，c = 1. Δ = b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. (3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2 + 17 = 8x. 方程没有实数根. 请自己尝试求解哦！ 总结 化为一般形式 解一元二次方程的步骤： 变形 确定系数 计算 根据根的情况求解 用 a，b，c 写出各项系数 b2 − 4ac 20 1. 用公式法和配方法解下列一元二次方程： (1) x2 + 2x − 7 = 0； 解：(1) 公式法： 配方法： x2 + 2x =7， a = 1，b = 2，c = − 7. Δ = 22－4×1×(－7)=32， ∴方程有两个不相等的实数根， 解：(2) 公式法： 配方法： ∴方程有两个不相等的实数根， (2) 2x2 − 4x − 5 = 0. a = 2，b = − 4，c = − 5. Δ = (－4)2－4×2×(－5)=56， 2(x2 − 2x+1) = 5+2 2(x − 1)2 = 7 第肆章节 随堂练习 随堂练习 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ） A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0 C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0 B 3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分 别是（ ） 2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0. 下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 B C   4.用公式法解下列方程： (1) x2+x-12=0; 解：a=1，b=1，c=-12 Δ= b2－4ac =12-4×1×(-12) =49>0 【选自教材P17 习题21.2 第5题】 (2) x2- x- =0; (3) x2+4x+8=2x+11; 解：方程化为 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3 Δ= b2－4ac =22-4×1×(-3)=16>0 (4) x(x-4)=2-8x; 解：方程化为 x2+4x-2=0 a=1，b=4，c=-2 Δ= b2－4ac =42-4×1×(-2)=24>0 (5) x2+2x=0; 解：a=1，b=2，c=0 Δ= b2－4ac =22-0=4>0 (6) x2+2 x+10=0. 解：a=1，b=2 ，c=10 Δ= b2－4ac = -4×1×10 =-20＜0 原方程无实数根 5. 解下列方程： （1）x2+x－6 = 0； （2） x2－ x － = 0； （3）3x2 －6x－2 = 0； （4）4x2－6x = 0； （5）x2 +4x+8 = 4x+11； （6）x(2x－4) = 5－8x. x1= 2， x2= －3 x1= 1+ ， x2= 1－ x1= ， x2=－ x1= +1， x2= －1 x1= ， x2= 0 x1=－1+ ， x2=－1－ 【选自教材P12 练习 第1题】 6.如图， 有一块矩形铁皮， 长100cm， 宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起 ， 就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形？ x2－75x+350 = 0 Δ=b2－4ac=4225＞0 所以x1=70（不合题意，舍去）x2=5， 所以x =5. 所以铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形. 【选自教材P12 练习 第2题】 解：设各角应切去xcm的正方形. x= 7.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理. 【选自教材P17 习题21.2 第12题】 解：设这个凸多边形的边数为n. 由题意，得 ， 解得n1=8，n2=-5(不合题意，舍去). 所以n=8， 所以这个凸多边形是八边形. 令 ， 解得 . 而凸多边形的边数应为正整数，故不存在有18条对角线的多边形. 8.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由. 解：方程可化为x2-5x+6-p2=0， ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1. ∵p2≥0，∴4p2+1＞0，即Δ>0， ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根. 【选自教材P17 习题21.2 第13题】 第伍章节 课堂小结 课堂小结 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac． 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 人教版数学九年级上册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$