21.1 一元二次方程 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 21.1 一元二次方程 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1．理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程． 2．会将一元二次方程化为一般形式，知道各项的名称． 3．了解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根． 第贰章节 新课导入 新课导入 判断下列式子是否是一元一次方程： √ √ × 一元一次方程 ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 列方程解决应用题的一般过程是什么？ 审、设、列、解、验、答 请你根据题意列出等量关系式. 解：设雕像的下部应设计为 x m x2+2x-4=0 只含一个未知数x且最高次数是2 把列出的式子化简，仔细观察它是一元一次方程吗？有什么特点？ 第叁章节 新知探究 新知探究 问题2 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 知识点 1：一元二次方程的概念 问题2 中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为 . 100 cm 50 cm 3600 cm2 x (50 - 2x) x (100 - 2x) (100-2x)(50-2x) = 3600 化简，得 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 问题3 中，本次排球比赛的总比赛场数为 场.设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 .整理为 . 28 x (x - 1) x2 - x = 56 x (x -1) = 28 ③ 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x2 + 2x - 4 = 0 ① x2 - x = 56 ③ 类比一元一次方程的特征填空. 整式 1 2 总结 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 二次项系数 二次项 ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 一次项系数 常数项 一次项 重点讲解 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. 总结 1.判断下列方程是否为一元二次方程：  × × × ×  × × 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0. (a - 2) x2 - x = 0 a ≠ 2 (1) a - 2 ≠ 0 (2) | a | + 1 = 2 a = 1 或 -1 a - 1 ≠ 0 a ≠ 1 a = -1 2. 已知方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0. (1) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？ (2) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？ 解：(1) 当 2a − 4≠0，即 a≠2 时，是关于 x 的一元 二次方程. (2) 当 a = 2 且 b≠0 时，是关于 x 的一元一次方程. 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 系数和项均包含前面的符号. 总结 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10 整理，得 3x2 - 8x - 10 = 0 其中二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 总结 知识点 2：一元二次方程的根 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 总结 1.(遂宁)已知 m 为方程 x2 + 3x - 2022 = 0 的根，那么 m3 + 2m2 - 2025m + 2022 的值为 ( ) A. -2022 B. 0 C. 2022 D. 4044 B m2 + 3m - 2022 = 0 m2 + 3m = 2022 原式整理变形 (m3 + 2m2 + m2) -m2- 2025m + 2022 m(m2 + 3m) -m2- 2025m + 2022 2022m - m2 - 2025m + 2022= - m2-3m+ 2022 -2022+2022=0 第肆章节 随堂练习 随堂练习 2. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 C 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 3x+1=0 B. x2-3=0 C. y+x2=4 D. B 3.关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a＞1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 【变式题】已知关于x的方程xk-1-2x+3=0是一元二 次方程，则k= . C 3 解：一般形式：5x2-4x-1=0 二次项系数：5 一次项系数：-4 常数项：-1 解：一般形式：4x2-81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：-81 4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中 的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2-1 = 4x； （2）4x2=81； 【教材P4 练习 第1题】 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x -2)(x+1)=8x -3. 解：一般形式：4x2+8x-25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：-25 解：一般形式：3x2-7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：-7 常数项：1 5. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化 成一元二次方程的一般形式： (1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形 的边长x; (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x; (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的 积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 4x2=25，化为一般形式为4x2-25=0. x(x-2)=100，化为一般形式为x2-2x-100=0. x·1=(1- x) 2，化为一般形式为x2-3x+1=0. 【教材P4 练习 第2题】 6. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （1）一个圆的面积是2π m2，求半径； 解：设这个圆的半径为r m. 由圆的面积公式，得πr2=2π, 所以r2=2，即r2-2=0. 【选自教材P4 习题21.1 第2题】 （2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积 是9cm2，求较长的直角边的长. 解：设这个直角三角形较长的直角边为xcm， 则另一条直角边为(x-3)cm. 根据题意，得 x(x-3)=9, 整理，得x2-3x-18=0. 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩 形的长和宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xcm，则长为(x+1)cm. 根据题意，得x(x+1)=132, 整理，得x2+x-132=0. 【选自教材P4 习题21.1 第4题】 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06m2的矩形? 解：设矩形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得x2-0.5x+0.06=0. 【选自教材P4 习题21.1 第5题】 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共 握手10次，有多少人参加聚会？ 解：设有x人参加聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0. 【选自教材P4 习题21.1 第6题】 第伍章节 课堂小结 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 是整式方程 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根） 一元二次方程的概念 人教版数学九年级上册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$