第08讲 二次根式的混合运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第08讲 二次根式的混合运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式的加减运算 典型例题二 二次根式的乘除法运算 典型例题三 二次根式的混合运算 典型例题四 比较二次根式的大小 典型例题五 分母有理化 典型例题六 已知字母的值，化简求值 典型例题七 已知条件式，化简求值 典型例题八 二次根式的应用 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 知识02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·吉林长春·模拟预测） ． 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简：（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期中）估计的运算结果应在（    ） A．至之间 B．至之间 C．至之间 D．至之间 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西崇左·期中）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了（即分母有理化），例如：，， 若，则将分母有理化后的值为 ． 【典型例题一 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·青海西宁·期中） ． 【例4】（2025·河北邯郸·模拟预测）计算：，则表示的数为 ． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 3．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【典型例题二 二次根式的乘除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【例3】（2025·江苏南京·模拟预测）计算的结果是 . 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： ； ． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则 ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在表格中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是1． 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·吉林·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们规定：对于任意的正数的“※”运算为，※，计算2※8的结果为 ． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）与式子的值最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 3．（24-25八年级上·四川广元·期中）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题四 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【例4】（23-24七年级下·上海虹口·期中）在数轴上，如果点A、B所对应的数分别为 那么在A、B两点中，到原点距离较近的点是 点． 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 3．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【典型例题五 分母有理化】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小： ． 【例4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，则分式的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 【典型例题六 已知字母的值，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【例2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，则的值为 ． 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求 ． 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题： 若，则代数式的值是 ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【典型例题七 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A．0 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若，且，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【典型例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 【例4】（23-24八年级上·福建三明·期中）已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ． 1．（24-25八年级上·陕西延安·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为时间导线产生的热量为，则电流的值是多少？ 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 3．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，某校有一块长方形活动区域，为积极响应国家号召，保障学生每天的综合体育活动时间不低于，现准备将活动区域扩大，在原来的长方形基础上，扩大得到一个面积为的正方形活动区域．已知边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积．    4．（24-25八年级上·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列等式成立的是（     ） A．428 B． C．     D． 3．（24-25八年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）计算：的结果为 ． 7．（24-25八年级上·天津·期中）化简： ； ； ； 8．（23-24八年级上·河南开封·期中）已知点与关于原点对称，则 ． 9．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若两个二次根式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． (1)若与是关于6的“共轭二次根式”，求的值． (2)若与是关于4的“共轭二次根式”，求的值． 13．（24-25八年级上·新疆喀什·阶段练习）定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 14．（24-25八年级上·湖北·期中）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)________； (2)计算：； (3)若，求的值． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次根式的混合运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式的加减运算 典型例题二 二次根式的乘除法运算 典型例题三 二次根式的混合运算 典型例题四 比较二次根式的大小 典型例题五 分母有理化 典型例题六 已知字母的值，化简求值 典型例题七 已知条件式，化简求值 典型例题八 二次根式的应用 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、都没有意义，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 【即时训练】 2．（2025·吉林长春·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，直接根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的除法运算．根据二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期中）估计的运算结果应在（    ） A．至之间 B．至之间 C．至之间 D．至之间 【答案】D 【分析】先计算已知式子，再估算出的取值范围，最后估算出的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， 的运算结果应在至之间． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算和估算无理数的大小，能够正确估算出的取值范围是解答此题的关键． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西崇左·期中）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了（即分母有理化），例如：，， 若，则将分母有理化后的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化和平方差公式．把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【典型例题一 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）若，则P的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查二次根式加法与乘方运算，先合并同类二次根式，再两边同时平方即可得到答案，熟记二次根式加法与乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 两边平方得，即， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 【例3】（24-25八年级上·青海西宁·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，先利用二次根式的性质化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（2025·河北邯郸·模拟预测）计算：，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键，先化简二次根式，再运用即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方，单项式乘以单项式，二次根式的减法运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据平方差公式，积的乘方，单项式乘以单项式，二次根式的减法运算法则，逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A. ，运算正确，符合题意； B. ，原选项运算错误，不符合题意； C. ，原选项运算错误，不符合题意； D. ，原选项运算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 【答案】 3 （答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算： （1）根据同类二次根式的定义，列出方程进行求解即可； （2）根据无理数的和为有理数，得到无理数部分互为相反数，进行构造即可． 【详解】解：（1）∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）由题意，可设，则：，满足题意； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）根据二次根式加减法计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则和顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质和平方差公式计算，然后进行有理数的加减运算； （2）先根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算，然后进行有理数的加减运算； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【典型例题二 二次根式的乘除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 【例3】（2025·江苏南京·模拟预测）计算的结果是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案. 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： ； ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，乘除混合运算；根据二次根式的加减运算法则，乘除运算法则逐一计算即可得到答案． 【详解】解：； ； 故答案为：， 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出规律是解题的关键． 利用分式的加减法则分别可求，，，利用规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：2024． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （）分别计算二次根式除法和乘法，再合并即可求解； （）分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在表格中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是1． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据题意，先求得和中间所要填写的数字，然后计算其余的空，即可求解． 【详解】解：， 如表格， 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A：，计算正确； B：，计算正确； C：，计算正确； D：，选项计算错误； 故选：D 【例2】（24-25八年级上·吉林·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 与被开方数不相同，不能进行相加，故原选项计算错误，不合题意； B. ，不能与进行加减运算，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，可把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们规定：对于任意的正数的“※”运算为，※，计算2※8的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简及运算.根据新定义运算法则，将2※8进行变形，然后进行运算即可． 【详解】解：2※8 . 故答案为：. 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）与式子的值最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则化简后原式，然后根据即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 式子的值最接近的整数是5． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 3．（24-25八年级上·四川广元·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘除运算，化简二次根式，再合并即可； （2）利用二次根式、绝对值、零指数幂和负整数指数幂化简各数，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）先进行二次根式的除法和乘方运算，再合并即可； （）先进行二次根式的乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： = =； （2）解： = ； （3）解： = = ； （4）解： = = =． 【典型例题四 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【例3】（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 【例4】（23-24七年级下·上海虹口·期中）在数轴上，如果点A、B所对应的数分别为 那么在A、B两点中，到原点距离较近的点是 点． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．根据题意可得点A到原点距离为，点B到原点距离为，再比较与的大小，即可． 【详解】解：∵点A、B所对应的数分别为 ∴点A到原点距离为，点B到原点距离为， ∵，且， ∴， 即在A、B两点中，到原点距离较近的点是A 故答案为：A 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可. 【详解】解：=，=， ∵45<75， ∴<． 即<， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算术平方根就越大是解决此题的关键. 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 3．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 【典型例题五 分母有理化】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算、实数的大小比较，利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，能够归纳总结规律及掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和分式的化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算，根据分式的运算法则进行计算，再将数值代入即可求出答案． 【详解】解： 当时，原式 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式化简运算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得，， ∴原式． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【典型例题六 已知字母的值，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握二次根式的化简求值．先将利用完全平方公式进行变形，再将代入即可求解． 【详解】解：， 将代入上式可得， 原式． 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二次根式化简求值．结合完全平方公式整体代入求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求 ． 【答案】8 【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又，为正整数， 则或 从而， 故答案为：8． 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】先求出、的值，再根据，整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查运用完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题： 若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式的求值，解题的关键是首先对这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可． 【详解】解：， ， ， ， 原式． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分母有理化，已知字母的值，求代数式的值，关键是要掌握分母有理化的方法，配方法以及整体代入的思想方法． （1）根据题中给的示例，对分母有理化化简式子即可； （2）先将化简得到，再化简得到，将代入，即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2） · ． 【典型例题七 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 【例2】（23-24八年级上·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】略 【例3】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了因式分解的应用，二次根式的化简运算，解题的关键是正确将因式分解． 根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】由可得，即，根据知，即，代入到待求代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，根据已知等式及得出是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 【典型例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的应用，先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：由条件可知这两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， 故选：D． 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 【例4】（23-24八年级上·福建三明·期中）已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简． 根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴若一个三角形的三边长分别为， 则面积是：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·陕西延安·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为时间导线产生的热量为，则电流的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解：， ， 将，，代入，得， ∵， ∴． ∴电流I的值为． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，正确化简计算是解题的关键． 根据圆的面积公式分别表示两个圆的半径，再由大圆半径减去小圆半径即为圆环宽度． 【详解】解：由题意得， 答：圆环的宽度为． 3．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，某校有一块长方形活动区域，为积极响应国家号召，保障学生每天的综合体育活动时间不低于，现准备将活动区域扩大，在原来的长方形基础上，扩大得到一个面积为的正方形活动区域．已知边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积．    【答案】学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，先根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到，据此可求出的长，则可求出长方形的面积，再用正方形面积减去长方形的面积即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得正方形的边长为，即． ，． 原活动区域的面积为． ． 答：学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)会，见解析 【分析】本题考查二次根式的应用，弄清题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：把代入公式得：， 解得：； 所抛物体下落的高度是． （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，． 解得． 把代入公式得，． 质量为的玩具经过落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关键二次根式运算法则，逐项计算即可． 【详解】解：A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，不正确，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确计算． 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列等式成立的是（     ） A．428 B． C．     D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的减法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法对D选项进行判断． 【详解】解：A.，故原计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.，故原计算错误，不符合题意； 故选：B ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，注意计算的准确性即可． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：∵，， ∴， ∴，不符合题意； D：∵，， ∴， ∴，不符合题意； 故选：A 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是，，的面积为：， 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算二次根式的乘法和除法，再化为最简二次根式，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25八年级上·天津·期中）化简： ； ； ； 【答案】 / 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及分母有理化，解题的关键是熟练掌握二次根式计算的法则即可解决问题． 根据二次根式的性质以及分母有理化的方法化简即可． 【详解】解：；；， 故答案为：；；． 8．（23-24八年级上·河南开封·期中）已知点与关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的特点，求出，，再进行计算即可．解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 【答案】 【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）设“○”表示的数为， 则，解得：， ∴“○”表示的数为， 故答案为：； （）由（）得：“○”表示的数为， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， ∴， ∴“□”表示的运算符号是“”， 故答案为：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到，再将等式写成进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵，，，， ∴ =， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可得到答案； （2）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若两个二次根式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． (1)若与是关于6的“共轭二次根式”，求的值． (2)若与是关于4的“共轭二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，得到，进行计算即可； （2）根据新定义，得到，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·新疆喀什·阶段练习）定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 【答案】m不是n的“伴生数”，理由见解析 【分析】利用二次根式的性质分别计算 和 ，再比较大小，即可求解． 【详解】解：m不是n的“伴生数”，理由如下： ∵m＝， ∴ ， 又n＝ ∵ ， ∴ ， ∴m不是n的“伴生数”． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·湖北·期中）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出，然后将变形求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能截出；理由见解析 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板B为正方形，且面积为， ∴木板B的边长为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，， 能截出． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$