第07讲 二次根式的概念与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第07讲 二次根式的概念与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式有意义的条件 典型例题二 求二次根式的值 典型例题三 同类二次根式 典型例题四 二次根式中的参数 典型例题五 复合二次根式的化简 典型例题六 最简二次根式的判断 典型例题七 化为最简二次根式 典型例题八 利用二次根式的性质化简 典型例题九 已知最简二次根式求参数 知识点01二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）下列数中，能使有意义的是（   ） A． B．0 C． D．7 【即时训练】 2．（2025·广东广州·模拟预测）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）化简的结果为 ． 知识点04 二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【即时训练】 2．（24-25八年级·全国·假期作业）化简＝ ． 【典型例题一 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级上·山东德州·期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式有意义时，字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·广东珠海·期中）当二次根式有意义时，x的取值范围 ． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知实数x，y满足y=+﹣65，求． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x，y为实数，是否存在实数m满足关系式：？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【典型例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·广西百色·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【典型例题三 同类二次根式】 【例1】15．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是 【例3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的所有项之和为 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． (1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； (2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【典型例题四 二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级上·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【例3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 4．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【典型例题六 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级上·四川广元·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【例3】（24-25八年级上·湖北荆门·期末）在根式，， 中，是最简二次根式的有 个． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【典型例题七 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列各式化成最简二次根式后被开方数是3的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 1．（2025·湖南常德·模拟预测）计算：； 2．（24-25八年级上·全国·期中）计算 (1)； (2)； 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【典型例题八 利用二次根式的性质化简】 【例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知是正整数，是整数，则下列数中不能是（    ） A．8 B．5 C．3 D．1 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【例3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                    第二行               2          第三行                   第四行        4                …… 则第八行左起第1个数是 ． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·广西防城港·期中）素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则 ； ； (2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数） (3)请你证明上述等式的正确性． 4．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【典型例题九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【例2】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【例4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则x的值为 ． 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津·期中）下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 6．（24-25八年级上·浙江·期中）当时，二次根式的值为 ． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是 ． 9．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： 10．（2025·广东潮州·模拟预测）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 14．（24-25八年级上·安徽·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次根式的概念与性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式有意义的条件 典型例题二 求二次根式的值 典型例题三 同类二次根式 典型例题四 二次根式中的参数 典型例题五 复合二次根式的化简 典型例题六 最简二次根式的判断 典型例题七 化为最简二次根式 典型例题八 利用二次根式的性质化简 典型例题九 已知最简二次根式求参数 知识点01二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：3． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）下列数中，能使有意义的是（   ） A． B．0 C． D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴四个数中，只有数字7符合题意， 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·广东广州·模拟预测）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式恒成立问题．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即A选项恒成立， ∵，即B选项恒成立， ∵，即C选项不恒成立， ∵，即D选项恒成立， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题的关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点04 二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 【即时训练】 2．（24-25八年级·全国·假期作业）化简＝ ． 【答案】 【分析】根据平方的性质，二次根式的性质化简即可； 【详解】解： ＝ ＝5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了平方的非负性，二次根式因数的外移；掌握是解题关键． 【典型例题一 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级上·山东德州·期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除，故本选项不符合题意． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数为正数，满足①②，是二次根式，故本选项符合题意． 选项C：，根指数为3，不符合条件①，排除，故本选项不符合题意． 选项D：，若则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确定，排除，故本选项不符合题意． 故选：B 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式有意义时，字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，由此列不等式，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ． 故选D． 【例3】（24-25八年级上·广东珠海·期中）当二次根式有意义时，x的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得 故答案为：． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 【答案】是二次根式；不是二次根式 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐个判断即可得． 【详解】解：都是二次根式， 因为， 所以是二次根式， 是三次根式，不是二次根式， 的被开方数为，不是二次根式， 综上，是二次根式；不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式，熟记定义是解题关键． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知实数x，y满足y=+﹣65，求． 【答案】-4． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−1≥0且1−x≥0，解出x的值，进而可得y的值，然后可得答案． 【详解】解：∵实数x，y满足y=+﹣65， ∴x-1≥0，且1-x≥0， ∴x=1，y=﹣65， ∴==—4． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及立方根，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x，y为实数，是否存在实数m满足关系式：？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由． 【答案】存在，7 【分析】利用二次根式有意义的条件得到，则x＋y−5＝0，所以＝0，利用非负数的性质得到3x＋5y−2−m＝0，2x＋3y−m＝0，然后解关于x、y、m的方程组即可． 【详解】解：存在． ∵， ∴x＋y−5＝0， ∴＝0， ∴3x＋5y−2−m＝0，2x＋3y−m＝0， 解方程组得， 即m的值为7． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【典型例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·广西百色·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、因为-2<0，所以不是二次根式，故本选项不符合题意； C、是二次根式，故本选项符合题意； D、当x＜0时不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如(a≥0)的形式，叫二次根式． 【例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【典型例题三 同类二次根式】 【例1】15．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可． 【详解】∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的所有项之和为 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式等知识．先将化为最简二次根式，再找到规律即可解题． 【详解】解：∵，， ∴在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的有，，，…，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 【答案】(1)； (2)；3 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；利用二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， 解得； （2）解：， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数． (1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果； (2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由． 【答案】(1) (2)最后的计算结果能和合并，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，同类二次根式，利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）先计算，再化简，判断是否为同类二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：最后的计算结果能和合并，理由如下： 由题意得，， 而， ∵与是同类二次根式，故能合并， ∴最后的计算结果能和合并． 4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【典型例题四 二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程． 【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数， ∴，解得， ∴实数n最大值取， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 【例2】（2024八年级上·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质解出a值，然后代入b的代数式，求出b，即可得出答案 【详解】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2−1≥0且1−a2≥0， 解得a2＝1，即a＝±1， 又0做除数无意义，所以a-1≠0， 故a＝-1， 将a值代入b的代数式得b＝4， ∴a＋b＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质．求出a，b的值是解题关键． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入上式得， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. 故A错误； B. 故B正确； C. ，故C错误 ； D与不是同类二次根式，不能合并，故D错误. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 【例2】（23-24八年级上·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【答案】（1），详见解析；（2） 【分析】本题考查了二次根式的计算，复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）分子有理化后比较即可； （2）先化简复合二次根式，再算加减即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ． （2） ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 4．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 【典型例题六 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级上·四川广元·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方的因数且不含分母，逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：，被开方数5是质数，无平方数因子，且不含分母，满足最简二次根式条件． 选项B：，16是4的平方，可化简为4，不是最简二次根式． 选项C：，1.3化为分数，分母10含非平方数因子2和5，且被开方数含分母，需有理化，不满足条件． 选项D：，分母4是平方数，可化简为，不满足条件． 综上，只有选项A是最简二次根式， 故选：A 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式，进行判断即可． 【详解】：被开方数为，其中3是质数，为未知数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式． ：，被开方数含分母5，故不是最简二次根式． ：被开方数含分母7，故不是最简二次根式． ：被开方数为多项式，无法分解为平方形式，且不含分母，故为最简二次根式． 综上：最简二次根式的个数有2个； 故选C． 【例3】（24-25八年级上·湖北荆门·期末）在根式，， 中，是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【分析】最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：是最简二次根式； ，故不是最简二次根式； ，故不是最简二次根式． 综上所述，最简二次根式的有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的知识点，关键是根据最简二次根式定义解答． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， ． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典型例题七 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列各式化成最简二次根式后被开方数是3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义及二次根式的化简，根据最简二次根式的定义：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A中，，被开方数为2，不符合题意； B中， ，被开方数为3，符合题意； C中，，被开方数为2，不符合题意； D中，，被开方数为6，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式，首先化简，再根据同类二次根式定义可得，再解即可． 【详解】解：， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【详解】∵， ∴与可以进行合并的最简二次根式，即为与可以进行合并的最简二次根式， ∴这个二次根式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 1．（2025·湖南常德·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式和绝对值的化简、0指数和负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 原式先化简二次根式和绝对值、计算0指数和负整数指数，再计算加减即可. 【详解】解：原式 . 2．（24-25八年级上·全国·期中）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式四则混合运算，二次根式化简． （1）先计算除法和乘法，再计算减法即可； （2）先将括号内二次根式化简，再计算减法，后计算乘法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘除加减混合运算法则，平方差公式，积的乘方，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用平方差公式、二次根式的除法运算法则、积的乘方化简，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【典型例题八 利用二次根式的性质化简】 【例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知是正整数，是整数，则下列数中不能是（    ） A．8 B．5 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，把各个选项中的值作为n的值代入中，求出的值，再根据二次根式的性质求出的值即可得到答案． 【详解】解：A、当时，，则，是整数，不符合题意； B、当时，，则，是整数，不符合题意； C、当时，，则，不是整数，符合题意； D、当时，，则，是整数，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、化简绝对值、实数与数轴，根据实数a在数轴上的位置得到，再根据及绝对值的性质可得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                    第二行               2          第三行                   第四行        4                …… 则第八行左起第1个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的规律的探索，找到规律是解题的关键；由题意知，这组数是偶数的算术平方根的排列，由此得第七行有7个数，前面7行共排了28个数，最后一个数是，则第八行左起第1个数是，问题得解． 【详解】解：由题意知，这组数是偶数的算术平方根按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……的规律排列，前7行共排有：（个）数，第七行最后一个数是，则第八行左起第1个数是； 故答案为：． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算． （1）先计算括号内的二次根式加减法，计算平方即可求解； （2）利用二次根式乘法计算，然后按照二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·广西防城港·期中）素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答的关键． （1）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】（1）解：根据材料中的方法看，可得 （2）解： 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则 ； ； (2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数） (3)请你证明上述等式的正确性． 【答案】(1) (2)（的整数） (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：∵； ； ∴， ． 故答案为：24；63 （2）解：∵； ； ， …… ∴（的整数）． （3）解：． 4．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 【典型例题九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【例2】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；同类二次根式的被开方数相同，本题属于基础题型． 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 【答案】x＝8，y＝6. 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】解：由题意，得 3a﹣11＝19﹣2a， 解得　　　a＝6. 　　 所以　　　＋＝0. 因为　　≥0，≥0， 所以　　24－3x＝0，y－6＝0. 解得　    x＝8，y＝6. 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键. 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义：正数的算术平方根；根据二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负，据此判断即可． 【详解】解：选项A：，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件； 选项B：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式； 选项C：，根指数为2（省略未写），被开方数2为正数，符合二次根式的定义； 选项D：，当时被开方数为负数，无意义；仅当时有意义，但需满足所有条件值有意义，因此整体不符合二次根式的要求； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A． ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式，不符合题意． B． 不是二次根式，不符合题意； C． ：当时被开方数非负，但时无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D． ：无论取何值，，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·天津·期中）下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，准确化简二次根式是解题的关键．根据二次根式性质对各组根式化简，然后判断是否为同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：A、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； B、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； C、，，被开方数相同，是同类二次根式，可以合并，符合题意，选项正确； D、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误． 故选：C． 4．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 【详解】解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值． 【详解】解：根据题意得： ， ，， 由可得，由可得， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】由数轴知，进而可判断及的符号，从而可对绝对值及二次根式进行化简，最后可求得化简后的结果． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，解题的关键在于正确掌握二次根式的性质． 根据数轴得到，进而得到，再结合二次根式的性质化简，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， ； 故答案为：． 10．（2025·广东潮州·模拟预测）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详解】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 14．（24-25八年级上·安徽·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：∵与都是最简二次根式 方程组整理为： ： ∴ 把代入（1），得： ∴ 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义、加减消元法是解题的关键． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $$