第04讲 实数性质与实数运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第04讲 实数性质与实数运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 无理数 典型例题二 实数的性质 典型例题三 实数与数轴 典型例题四 实数的大小比较 典型例题五 无理数的大小估算 典型例题六 勾股定理与无理数 典型例题七 实数的混合运算 典型例题八 新定义下的实数运算 典型例题九 与实数运算相关的规律题 典型例题十 实数运算的实际应用 知识点01 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）＝ ． 知识点02 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【即时训练】 2．（2025·广东·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 知识点03实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 【典型例题一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）在实数3.1415，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，0，中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C．1.010010001 D．π 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）请写出一个整数部分为的无理数： ． 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，-2，-3.14，0，，，-0.1212212221…，（每两个1之间依次增加1个2），0.232323…… (1)有理数集合：{      …}． (2)无理数集合：{      …}． (3)请你再举出3个无理数的例子． 【典型例题二 实数的性质】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·西藏拉萨·期中） ． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 2．（23-24八年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【典型例题三 实数与数轴】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若规定数轴上向右为正，则下列各数在原点左侧的是（   ） A． B．0 C． D．2 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若，则C表示的实数为 ． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    【典型例题四 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）下列实数中，比小的是（　　） A． B．0 C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）比较大小： ． 【例3】（24-25八年级上·山东济南·期末）比大且比小的整数是 （写出一个即可）． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数表示在数轴上，比较它们的大小，并用“”连接． ． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 4．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【典型例题五 无理数的大小估算】 【例1】（重庆市渝北区2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题）如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知，则整数的值为 ． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对72进行如下操作： 这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地， （1）对81只需进行 次操作后变为1． （2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）阅读材料： ∵＜＜，即2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2． 解决问题： （1）填空：的小数部分是 　 　； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b﹣的立方根． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【典型例题六 勾股定理与无理数】 【例1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，正方形OADC边长为1，A、C分别在x轴和y轴上，以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B，则B点横坐标为(   ) A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是 ． 【例4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点所表示的实数是 ． 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在数轴上找出对应的点．    2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【典型例题七 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·重庆忠县·期中） ． 【例4】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： ， ， ． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）（1）计算：；             （2）求的值：． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（2025·河北·模拟预测）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【典型例题八 新定义下的实数运算】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（    ） A．i B． C．1 D． 【例2】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（    ） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）对于实数a，b定义新运算：，则 ． 【例4】（24-25七年级下·广东广州·期中）用“”表示一种新运算：对于任意实数、（其中），都有．例如，则 ；若，则 ． 1．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值．   2．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m的值为（      ） A．0 B．1 C．4 D．8 【例2】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 【例3】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推，a2021的值是 ． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各等式： ①x1＝； ②x2＝； ③x3＝，……． （1）根据以上规律，请写出第4个等式：　　； （2）请利用你所发现的规律，计算x1＋x2＋x3＋…＋x90﹣91． 2．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【例3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是，则点B对应的数是（    ）． A． B． C． D． 4．（重庆市两江新区2024-2025学年八年级上学期期末抽测数学试题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（    ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆大足·阶段练习）比较大小： ． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，M点所表示的数是 ． 8．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知，且m为整数，则m的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）观察下列关于正整数的等式： 7*5*2＝351410…① 8*6*3＝482418…② 5*4*2＝201008…③ 根据你发现的规律，请计算3*4*5＝ ． 10．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分.记作.又把称为的小数部分，记作，则有.如：，.则有.下列说法中正确的有 . ①；②；③；④若，且，则或. 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 12．（24-25七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2) 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)的整数部分为 ，小数部分为 ； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 14．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）阅读理解：明明和聪聪在学习分数加、减、乘、除法时经常做口算题：，，，……，，，，……．他们发现求差和求积的结果相等，前面两个分数的分母是由小到大的相邻的正整数，分子都是1．将它们的结果依次可排列为……聪聪很快就说出了排在第100位上的数是．明明表示出了排在第n位上的数，还求出排在前100位数的和．学乘方时，他们通过类比学习：，，……聪聪将这种结果也依次排列为……也快速说出了排在第100位的数，并求出了前100项的乘积．聪聪和明明学习后反思：简单计算也蕴含着规律，多观察和思考，探究规律进行思考，看似复杂的问题也会变得简单．这次类比学习，还得益于相反数、倒数的意义和加法、乘法结合律的应用．请小伙伴们解答下面的问题： （1）明明排在第n位上的数用含n的式子表示为： ． （2）计算：． （3）计算：． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． 阅读理解： （1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ； 迁移应用： （2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）． ②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数与2﹣的点，并比较它们的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数性质与实数运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 无理数 典型例题二 实数的性质 典型例题三 实数与数轴 典型例题四 实数的大小比较 典型例题五 无理数的大小估算 典型例题六 勾股定理与无理数 典型例题七 实数的混合运算 典型例题八 新定义下的实数运算 典型例题九 与实数运算相关的规律题 典型例题十 实数运算的实际应用 知识点01 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即时训练】 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类．熟练掌握大于0的数为正数，是解题的关键．根据大于0的数为正数，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴是正数，，，不是正数， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）＝ ． 【答案】3﹣ 【分析】本题需先判断出﹣3的符号，再求出||的结果即可． 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴2＜＜3， ∴﹣3＜0， ∴|﹣3|＝3﹣ 故答案为：3﹣. 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 知识点02 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）以下四个数中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先根据无理数的估算方法得到，再由正数大于0，0大于负数比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中，最大的数为， 故选：B． 【即时训练】 2．（2025·广东·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小，可以比较绝对值的大小，绝对值大的反而小计较即可． 【详解】解：  ，，， ， 故答案为：． 知识点03实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即时训练】 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，由数轴得，，据此逐项判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， A、，，故A选项错误； B、，，，， ，故B选项错误； C、，，，故C选项错误； D、，，，故D选项正确． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】解： 故答案为：． 【典型例题一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）在实数3.1415，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，0，中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：3.1415，，0，时有理数； ，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），是无理数． 故选A． 【例2】（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C．1.010010001 D．π 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：A.，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）请写出一个整数部分为的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握相关知识．设这个无理数为，根据题意可得：，即，即可求解． 【详解】解：设这个无理数为， 这个无理数的整数部分为， ，即， ， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算.设这个无理数为，则，则且，然后选择一个开方开不尽的数即可． 【详解】解，设这个无理数为， 则根据题意得， ∴， ∴且满足题意， 可取， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 【答案】(1)正确； (2)错误 ； (3)正确 【分析】本题主要考查了实数的性质，对于每个说法，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或推理来判断． （1）设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，即可判断． （2）举例说明即可． （3）举例说明即可． 【详解】（1）解：无理数是无限不循环小数，不为0，设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，，所以无理数的平方一定是正数，该说法正确． （2）解：例如，是无理数，但它们的积2是有理数，所以 “两个无理数的积仍为无理数” 说法错误． （3）解：分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如）或无限循环小数（如），所以该说法正确． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【详解】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，-2，-3.14，0，，，-0.1212212221…，（每两个1之间依次增加1个2），0.232323…… (1)有理数集合：{      …}． (2)无理数集合：{      …}． (3)请你再举出3个无理数的例子． 【答案】(1) (2) (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）利用有理数的概念解答即可； （2）利用无理数的概念解答即可； （3）利用无理数的概念解答即可． 【详解】（1）解：有理数集合 （2）无理数集合 （3）．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了实数的知识，熟练掌握有理数和无理数的概念和常见形式是解题关键． 【典型例题二 实数的性质】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知：的相反数是， 故选：A． 【点睛】本题考查相反数的概念，属于基础题，熟练掌握概念即可求解． 【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·西藏拉萨·期中） ． 【答案】 【分析】根据绝对值化简的规则：负数的绝对值是其相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值化简的规则：正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，的绝对值等于，熟练掌握规则是解决本题的关键． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）绝对值等于的实数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值意义、相反数定义，根据绝对值意义及相反数定义：只有符号不同的两个数直接求解即可得到答案，熟记绝对值意义、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值等于的实数是；的相反数是； 故答案为：；． 2．（23-24八年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：． （2）． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算． （1）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 【典型例题三 实数与数轴】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若规定数轴上向右为正，则下列各数在原点左侧的是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据若规定数轴上向右为正，则数轴上向左为负求解即可. 【详解】解：若规定数轴上向右为正，则数轴上向左为负， 则符合题意， 故选：A 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置比较大小，即可求解． 【详解】解：根据数轴得，， ，， ，， 故选：D 【例3】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若，则C表示的实数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴．根据对称的意义得到，可得答案． 【详解】解：∵数轴上A，B两点对应的实数分别是2和， ∴， ∵， ∴， ∴点C对应的数是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，因为，所以，再根据点对应的数，求出点对应的实数．本题考查了二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两个点，对应的实数分别为，则线段．特别的，当点在点的右侧时，． 【详解】解：∵点，对应的实数分别为，． ． 由题图可知，． ． 设点对应的数为． ． 解得． ∴点对应的数为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，先把各数在数轴上表示，再根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大比较大小即可． 【详解】解：，， 各数表示在数轴上如下： ． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 【答案】(1)0，，，4 (2)见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解答本题的关键. （1）根据在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案； 【详解】（1）根据在数轴上的位置,可知，点表示数，点表示数，点表示数, 点表示数 故答案为:0，，，4； （2）在数轴上准确地表示数 如图所示： 由数轴可知， 故答案为：. 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    【答案】（1）；（2）；（3）见解析，见解析． 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先根据大正方形的面积为，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可； 此题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，解题的关键是借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 【详解】解：（）∵面积为的大正方形就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，即 故答案为：； （）如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （）∵大正方形的面积是， ∴小正方形的对角线长为， 则作图如下图：   如图点就是的位置．    【典型例题四 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）下列实数中，比小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，其中掌握负数比较大小的方法是解题的关键． 正数和0大于负数，再根据负数比较大小的方法：绝对值大的反而小，分别判断负数的绝对值大小即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴比小的是． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键．根据实数的大小比较可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·山东济南·期末）比大且比小的整数是 （写出一个即可）． 【答案】3、4（任写一个即可） 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大且比小的整数是3和4， 故答案为：3、4（任写一个即可）． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数表示在数轴上，比较它们的大小，并用“”连接． ． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示实数的方法，以及实数大小比较．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据数轴的特征：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数用“”号连接起来即可． 【详解】解：， 各数表示在数轴上，如图所示： 故． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数比较大小，实数的减法，掌握实数比较大小的方法是解题的关键． （1）当时，最大数是3，最小数是，根据有理数的减法法则即可求解； （2）当时，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 4．（23-24七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 【典型例题五 无理数的大小估算】 【例1】（重庆市渝北区2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题）如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点表示的无理数为，则，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则， A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意； B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出． 先由勾股定理求出，再由画弧可得，即可求解点表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算的大小，然后根据估算结果，求出n即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数n的值是8， 故答案为：8． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对72进行如下操作： 这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地， （1）对81只需进行 次操作后变为1． （2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 3 255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）根据运算过程得出，即可得出答案． （2）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴对81只需进行3次操作后变为1， 故答案为：3． （2）∵， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∵， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）阅读材料： ∵＜＜，即2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2． 解决问题： （1）填空：的小数部分是 　 　； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b﹣的立方根． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据求＜＜的取值范围，进而得实数小数部分； （2）由9＜＜10得a的值，1＜＜2得b的值，再进行相应的计算． 【详解】解：（1）∵16＜19＜25， ∴ ∴的整数部分是4， ∴小数部分是． 故答案为：． （2）∵81＜90＜100， ∴ ∴a=9 ∵ ∴ ∴ ∴a+b-=8， ∴a+b-的立方根为2． 【点睛】本题考查了实数的整数部分及小数部分，掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小即可； （3）估算无理数的大小即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1， 又，而， ， ； （2），即， 的整数部分为3， 又，， ，即的十分位上数字是6， ； ； （3） 的整数部分是2， 又，， （精确到十分位）； 的整数部分为，小数部分为， ，其中m为正整数，， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，0.014，1.414 (2)见解析 【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）画出分割线，拼出新正方形即可． 【详解】（1）解：由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即． 故答案为：，0.014，1.414； （2）解： 【典型例题六 勾股定理与无理数】 【例1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是2， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 D 表示的数是； 故选A． 【例2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，正方形OADC边长为1，A、C分别在x轴和y轴上，以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B，则B点横坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出正方形对角线的长度，再根据点B在数轴上的位置，确定点B表示的数． 【详解】解：∵正方形OADC边长为1， ∴， ∵以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B， ∴B点横坐标为：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 【例4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点所表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，实数与数轴，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据正方形的性质以及勾股定理求出，由以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，得到，那么，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∵正方形的对角线为半径画弧， ∴, ∴， ∴点所表示的实数是， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在数轴上找出对应的点．    【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；如图截取，轴，根据勾股定理可得，再以点A为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为对应的点．    2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点所表示的数即可； （2）根据题意，求出，再将，的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为不超过的最大整数， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2）解：如图，在中，， 则，即点F表示． 【典型例题七 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，再计算算术平方根和绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂运算，有理数大小比较，先根据乘方运算法则和零指数幂运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·重庆忠县·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： ， ， ． 【答案】 3 【分析】该题考查了算术平方根的定义和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据算术平方根的定义和实数的运算法则计算即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：3，，． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）（1）计算：；             （2）求的值：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，用平方根的定义解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键； （2）依次计算绝对值，平方根与立方根，再相加减即可； （2）方程变形为，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：原式 ．； （2）解：原方程化为：， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （3）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案； （4）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（2025·河北·模拟预测）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【典型例题八 新定义下的实数运算】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键． 根据所给的新定义找到规律即可得到答案． 【详解】解：，，，，，， ∴可以发现每 4 个运算为一个循环，结果为循环出现， ， ， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（    ） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】C 【分析】本题考查了实数的估值和对取整的定义的理解，其中理解题意是解题关键，本题应根据规定，每次取当前数的平方根并向下取整，直到结果为1．需逐步计算401经过各次操作后的结果，统计次数即可求解． 【详解】解：第1次操作：计算， 因，，故，向下取整得； 第2次操作：计算， 因，，故，向下取整得； 第3次操作：计算 ，直接取整得； 第4次操作：计算， 因，向下取整得； 综上，401经过4次操作后变为1， 故选C． 【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）对于实数a，b定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·广东广州·期中）用“”表示一种新运算：对于任意实数、（其中），都有．例如，则 ；若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查实数的运算．根据题意正确列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2， 1．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本考查主要考查了新定义运算、平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据平方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴   ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴   ∴   ∴   ∴或 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)x存在“有序表示”，见解析 【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义列出式子即可求解； （2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可； （3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则只要满足的都是有序数对， ∴（答案不唯一）； （2）解：， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （3）解：，， ∴，， ∴， ∴（满足条件）， 此时，，即， ∵均为有理数，为有理数， 设是x的“有序表示”， ∴，其中为有理数， ∵为有理数， 当或等均可满足， ∴x存在“有序表示”． 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【答案】(1)45，3，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出m，代入求值即可． 【详解】（1），，； （2）∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ∴， ∴． 【典型例题九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m的值为（      ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据前四个图的规律，得出第二个图右上角的数是前面一个图左下角的数，第一列的数相差2，右下角的数是第一列两数相乘再加上右上角的数． 【详解】 a c b d 图中数字规律是ab+c=d， -2 2 0 2 -4 b a m 后表中b是前表中左下角的位置，则b=0， a 比-4大2，则a=-2， ， 故答案选：D． 【点睛】本题考查学生的观察与分析数据的能力，找出数据规律之后，根据实数的运算求出m即可． 【例2】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过观察发现规律，每三个数为一个循环组依次循环，第排有个数，根据此规律求解即可． 【详解】， 表示的数是1， 表示的数是， 同理， 表示的数是1， ． 故选B． 【点睛】本题考查了实数的计算，数字类型的找规律，找到规律是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若，则 ． 【答案】/0.99 【分析】根据题目给出的结论，把算式变形，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题关键是根据题目给出的结论对算式进行变形． 【例4】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推，a2021的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出这列数的前几项，从而得出这个数列以-2，，依次循环，从而得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ， …… ∴这个数列以-2，，依次循环， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键. 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各等式： ①x1＝； ②x2＝； ③x3＝，……． （1）根据以上规律，请写出第4个等式：　　； （2）请利用你所发现的规律，计算x1＋x2＋x3＋…＋x90﹣91． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据①②③式的特点可得第④个； （2）先归纳出：再利用以上规律改写原来的运算式，再裂项相消即可得到答案. 【详解】解：（1） ①x1＝； ②x2＝； ③x3＝， 所以可得：④ 故答案为： （2）由（1）归纳总结可得： x1＋x2＋x3＋…＋x90﹣91 【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究，二次根式的化简，掌握探究的方法，以及运用规律进行计算是解题的关键. 2．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 【典型例题十 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【答案】23% 【分析】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【详解】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【点睛】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 【例3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】6π平方米 【分析】由题意知，求环形小路的面积，实际是求一个圆环的面积． 【详解】解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米， ∴R=3.5m，r=2.5m； 则圆环的面积为：π×（3.5）2-π×（2.5）2=6π（平方米）， 所以小路的面积为6π平方米． 【点睛】本题培养了学生解决实际问题的能力，解决题目的关键是将实际问题抽象为几何问题，然后再利用所学知识解决问题． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析 【分析】（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数； （2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断． 【详解】解：（1）①∵2-3=（﹣1）， ∴3与﹣1是关于1的平衡数； ②∵ ∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数． 故答案为：﹣1；x﹣2； （2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4， b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2， a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2． 因此，a与b不是关于1的平衡数． 【点睛】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：B． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是，则点B对应的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数．计算出圆的周长即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴点B对应的数是：， 故选：C． 4．（重庆市两江新区2024-2025学年八年级上学期期末抽测数学试题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（    ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义及运算性质，需逐一验证三个说法的正确性． 【详解】解：①：由定义，，故，正确． ②：展开原式： 由，代入得：，正确． ③：化简，得： 当时，，但题目中称最小值为，错误． 综上，正确的有①和②，共2个， 故选C． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 6．（24-25七年级下·重庆大足·阶段练习）比较大小： ． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用两个负数比较大小的方法即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即 又∵，， ∴ 故答案为：． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，M点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数与勾股定理，由勾股定理求出图中直角三角形斜边长，即可求得点M所表示的数． 【详解】解：由题意知，图中直角三角形斜边长为，则M点所表示的数为； 故答案为：． 8．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知，且m为整数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且m为整数， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）观察下列关于正整数的等式： 7*5*2＝351410…① 8*6*3＝482418…② 5*4*2＝201008…③ 根据你发现的规律，请计算3*4*5＝ ． 【答案】121520 【分析】观察规律可知，算出3*4*5即可． 【详解】①， ②， ③， ． 故答案为：121520． 【点睛】本题考查数字类找规律问题，根据题目给出的信息找出规律是解题的关键． 10．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分.记作.又把称为的小数部分，记作，则有.如：，.则有.下列说法中正确的有 . ①；②；③；④若，且，则或. 【答案】①④ 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④正确． 所以正确的只有①④，即2个． 故答案为：①④． 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较， （1）利用乘方的方法，使它们指数相同再比较 （2）对于一正一负的根式比较，直接利用正数大于负数的性质比较即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴ （2）解：根据正数大于负数的原则，是负数，是正数，所以 12．（24-25七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、乘方，再计算加减即可得解； （2）先计算绝对值和算术平方根，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)的整数部分为 ，小数部分为 ； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． （1）估算的大小，然后进行解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （3）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分，从而求出，然后求出，最后求出的相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的整数部分是3，小数部分是 （2）∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分是； （3）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是：． 14．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）阅读理解：明明和聪聪在学习分数加、减、乘、除法时经常做口算题：，，，……，，，，……．他们发现求差和求积的结果相等，前面两个分数的分母是由小到大的相邻的正整数，分子都是1．将它们的结果依次可排列为……聪聪很快就说出了排在第100位上的数是．明明表示出了排在第n位上的数，还求出排在前100位数的和．学乘方时，他们通过类比学习：，，……聪聪将这种结果也依次排列为……也快速说出了排在第100位的数，并求出了前100项的乘积．聪聪和明明学习后反思：简单计算也蕴含着规律，多观察和思考，探究规律进行思考，看似复杂的问题也会变得简单．这次类比学习，还得益于相反数、倒数的意义和加法、乘法结合律的应用．请小伙伴们解答下面的问题： （1）明明排在第n位上的数用含n的式子表示为： ． （2）计算：． （3）计算：． 【答案】（1）或或；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题中给出的条件，分析求解即可； （2）根据，这个规律化简，然后求解即可； （3）将原式转化为，然后化简求值即可． 【详解】解：（1）∵，，，……， ，，，…… ∴明明排在第n位上的数用含n的式子表示为： 或或 （2） （3） ＝． 【点睛】本题考查了利用规律解题，读懂题意，得出规律是解决此题的关键． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． 阅读理解： （1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 ； 迁移应用： （2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）． ②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数与2﹣的点，并比较它们的大小． 【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析，． 【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题； （2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可； ②在两条数轴上分别找到表示数与2−的点即可得知它们的大小． 【详解】解：（1）图中大正方形的面积为1+1=2 ∴边长为， 由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点右侧， ∴点A表示的实数为， 故答案为：，； （2）①如图所示： ②表示数与2﹣的点如图所示： ∴＜2﹣． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 学科网（北京）股份有限公司 $$