重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

高一 数学 第 1 页（共 4 页） 西南大学附中 2024—2025 学年度下期期末考试 高一数学试题 （满分：150 分，考试时间：120 分钟） 注意事项： 1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用 0.5 毫 米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）． 一、 单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1． 已知复数 2z i  （ i 为虚数单位），则 z （ ） A．1 B．2 C． 3 D． 5 2． 在□ABCD 中，E 为 CD 中点，则 BE （ ） A． 1 2 AB AD B． 1 2 AB AD  C． 1 2 AB AD D． 1 1 4 2 AB AD 3． 已知 tan 3 4         ，则 cos 3sin 5cos sin        （ ） A． 5 9 B． 7 9 C． 5 4 D． 4 5 4． 设m n、 是两条不重合直线， 、  是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A．若m  ，m  ，则  B．若m，   ，则m  C．若   ，m， n   ，则m n D．若  ，m， n   ，则m n 5． 如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 棱长为 2，P、Q 分别是棱 CC1， BC 的中点，点 M 是其侧面 ADD1A1 上的动点（含边界），则 三棱锥 1M B PQ 的体积为（ ） A．2 B． 1 2 C．1 D．随着动点 M 变化而变化 高一 数学 第 2 页（共 4 页） 6． 用 3，4，5 这 3 个数字组成无重复数字的自然数 m，记事件 A =“m 能被 5 整除”，事件 B =“m 为奇数”，则事件 A 与事件 B 至少有一个发生的概率为（ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 1 2 D．1 7． 已知向量 a 、 b 满足  1,0a  ， 2b a b  ，则下列结论一定成立的是（ ） A．  2 1a b a    B．  2 1a b a   C．  2 1a b b   D．  2 1a b b    8． 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 C ”．现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位： C ）： 甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； 乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； 丙地：5 个数据中有 1 个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8． 其中一定进入夏季的地区有（ ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．甲乙丙 二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分． 9． 下列说法正确的是（ ） A．样本数据 2，6，8，9，14，16 的中位数为 8 B．频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为 1 C．若一组样本数据 x1，x2，…，xn的方差为 1，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为 10 D．掷一枚骰子一次，设事件 A ：“出现偶数点”，事件 B ：“出现 3 点或 6 点”，则事 件 A 与 B 相互独立但不互斥 10． 已知向量 ,a b 满足 3a  ， 2b  ，则下列结论正确的有（ ） A．    2 3 2 3a b a b   B．若 6a b  ，则 a ∥ b C． a 在 b 方向上的投影向量为   1 2 a b b D．若 32 1a b  ，则 a 与 b 的夹角为 2π 3 高一 数学 第 3 页（共 4 页） 11． 已知圆柱 1 2O O 的高为 2，EF 为下底面圆 1O 的一条直径，D 为上底面圆周上任意一点，球 O内切于圆柱 1 2O O ，则（ ） A．球O的体积为 4π 3 B．圆柱的表面积为 4 C．直线OE 与圆柱上底面所成的角为 45 D．若直线OD， EF 为异面直线，则平面 DEF 与下底面所成角的正切值最小值为 2 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． 已知向量  1,2a  ，  2,b x ，若  a a b ，则实数 x =__________． 13． 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 3SA ， 1AB  ， 2AC  ， o60BAC  ， SA ABC平面 ，则球 O 的表面积为__________． 14． 在△ABC A B C中，内角 、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，若 sinb c A ，则 tan B 的最大值为 __________． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (13 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA ABCD平面 ，底面 ABCD 为梯形， AB CD， AB AD ， 2 2 2CD AB PA   ， 3AD  ，E 为 PD 中点． (1) 求证： AE PBC平面 ； (2) 求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值． 16． (15 分) 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安 全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛．在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队 （每队 3 人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得 1 分，答错得 0 分．假设甲 队每人回答正确的概率分别为 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，乙队每人回答正确的概率均为 2 3 ，且各人回答 正确与否相互之间没有影响． (1) 设甲队总得分为 1 分的概率为 1P ，乙队总得分为 3 分的概率为 2P ，求 1 2P P与 的值； (2) 求甲队得分与乙队得分为1:2的概率． C B D E A P 高一 数学 第 4 页（共 4 页） 17． (15 分) 在四面体 ABCD中， 2DB DC  ， DB DC ． (1) 若△ABC 为正三角形，平面 ABC 平面DBC ，求四面体 ABCD 体积； (2) 若 4AB AC  ， 3AD  ，求二面角 A BC D  的余弦值． 18． (17 分) △ABC A B C中，内角 、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，若 24 cos 2 2 2 A b a b c   . (1) 求角 B 的大小； (2) 若 b = 4，点 M 是 AC 上的动点， ① 若点 M 满足 3M AMC  ， 1BM  ，求△BMC 的面积； ② 若 BM = CM，求 BM 的取值范围． 19． (17 分) 在平面四边形 ABCD中， AD AC ，且 AD AC . (1) △ABC 中，设角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 tan 3tanB A . ① 当 4a  时，求 cos c B 的值； ② 当 4b  时，求 ac 的最大值． (2) 若 2 4AB BC  ，且 3 ABC    ，将△ABC 沿 AC 翻折成△PAC，使得平面 PAC 平 面 ACD，在四面体 PACD 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 1P ；任取两个面， 记它们互相垂直的概率为 2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的 概率为 3P ，试比较 1 2 3P P P、 、 的大小． （命题人、审题人：校命题小组） A B D C P C A D 高一下期末数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A D C A A B BD ABD ACD 12．4 13．7π 14． ∵，∴，即， 即，即， 即， 两边同时除以，得，即， 令，，则， 则，，∴最大值为 15．(1) 取PC中点F，连接EF，BF，F ∵E为PD中点，∴EF∥CD且 又∵AB∥CD且，∴EFAB， ∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF， ∵，， ∴AE∥面PBC …………….. 6分 (2) 由 (1) 可知：AE∥BF则∠FBC（或其补角）是异面直线AE与BC所成角 由题意，∴BF = 1 在梯形ABCD中，易得：BC = 2，， ∴，∴ 在△FBC中，由余弦定理：， ∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为. …………….. 7分 16． (1) 记甲队三人回答正确分别为事件A1、A2、A3，则A1、A2、A3相互独立，且， ，，乙队三人回答正确分别为事件B1、B2、B3， 则B1、B2、B3相互独立，且 .…………….. 7分 (2) 记乙队得2分的概率为P3，甲、乙得分比为1∶2的概率为P， 则 ，即甲队得分与乙队得分为1∶2的概率为 .…………….. 8分 17．(1) 由题设为等腰直角三角形， 且，，∴ 又为正三角形，故， 若为的中点，连接，则， 又平面平面， 平面平面，平面， 故平面， ∴是的高， 则其体积； …………….. 7分 (2) 由 (1) 且，，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. …………….. 8分 18．(1) 由得，， 则，由正弦定理得 ∵，∴ ∴，∴ ∵，，∴，∵，∴ …………….. 5分 (2) ①在△ABC中，由余弦定理：得： ，化简的：① ∵，∴， 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ∴，∴ …………….. 6分 ②记则， 在△ABC中，由正弦定理得：，∴ 在等腰△BMC中， 由题意,则， ∴，即BM的取值范围为. …………….. 6分 19．(1) ∵tan B = 3tan A，∴，∴， ∴，化简得： ①当a = 4时， . …………….. 4分 ②当b = 4时，， ∴当且仅当即时取等号， ∴ac的最大值为. …………….. 5分 (2) 由余弦定理得,,平面平面 在四面体PACD中，任取两条棱，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对： ，，，，，故， 4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面，故. 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况，其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，故， 所以． …………….. 8分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$