13.3.1 三角形的内角 课时2 直角三角形的性质与判定 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 课时2 直角三角形的性质与判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 直角三角形的性质 6. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 直角三角形的判定 7. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 1. 探索并掌握直角三角形的性质定理“直角三角形的两个锐角互余”和判定“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 2. 能熟练运用直角三角形的性质定理和判定定理解决相关角度计算问题. 学习目标 知识回顾 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 知识回顾 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 图形 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 新课导入 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 45° 45° 90° 90° 30° 60° 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 是不是所有的直角三角形都是这样呢？ 思考 新课讲解 知识点1 直角三角形的性质 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理， 得∠A+∠B+∠C=180° 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. A B C 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 探究 新课讲解 A B C 符号语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C =90°， ∴∠A +∠B =90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质定理 “Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边” 注意 新课讲解 1. 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在中，. 在中，. ∵ ， ∴ . A B C D E 例 等角的余角相等 新课讲解 例 2. 如图，AB，CD 相交于点O，AC⊥CD 于点C，若∠ BOD＝35°，则∠ A＝______ . 55° 方法点拨：根据直角三角形中两锐角互余求角的度数. 解：∵∠ BOD＝35°， ∴∠ AOC＝35°. ∵ AC ⊥ CD， ∴∠ ACD＝90°. ∴ ∠ A＝90°－∠ AOC＝90°－35°＝55°. 新课讲解 练一练 1. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（ ） A.44° B.40° C.39° D.38° E A C B D 解：∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°-54°-48°=78°. ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=39°. ∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°. C 分析：利用三角形内角和定理，可以求出△ABC的第三个内角的度数. 利用角平分线的性质和平行线的性质，可以转化出相等的角. 新课讲解 知识点2 直角三角形的判定 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ A B C 思考 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形. 新课讲解 有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号语言： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形． A B C 直角三角形的判定定理 在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解. 注意 新课讲解 例 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形.理由如下： 在△ABC中， ∵∠A+∠C+∠2=180°，且∠C=90°， ∴∠A+∠2=180°-90°=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠A+∠1=90°， ∴△ADE是直角三角形. A C B D E 1 2 新课讲解 例 4. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形. 方法点拨：如果三角形中有两个角的和等于90 (互余)，那么可证明该三角形为直角三角形. 证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180 °. ∵ EP平分∠BEF，FP平分∠DFE， ∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE. ∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝ ×180°＝90°. ∴△ EFP是直角三角形. 新课讲解 练一练 1. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB边上的一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE. 求证：△ACE是直角三角形. 证明：∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°. ∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE， ∴∠AME+∠MAE=90°. ∴△ACE是直角三角形. A B C D E M 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥ AB. 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠ACD＝∠ B， ∴∠A＋∠ACD＝90°. ∴∠CDA＝90°，即CD⊥AB. 方法点拨：利用直角三角形的性质求出CD与AB的夹角为直角. 新课讲解 练一练 3. 已知的三个角分别是， ， ，下列式子中： ； ；； ； ，不能判断 是直角三角形的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：， ， ， ， 是直角三角形； ，， ，是直角三角形； ， ， ，不是直角三角形； ， ， ， ， 不是直角三角形； ， 设，则 , ， ， 解得 ， , , ， 不是直角三角形. 综上所述，不能判断 是直角三角形的是③④⑤，共3个. 新课讲解 直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°，即△ABC是直角三角形 总结 课堂小结 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形的性质与判定 性质 判定 当堂小练 1. 在中， ，，则 等于( ) A A. B. C. D. 当堂小练 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ C A D B 解：∠ACD=∠B.理由如下： 在△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°. ∴∠ACD=∠B. 当堂小练 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交 AD的延长线于点E. 若∠DBE=25°，则∠CAB的度数为_________. 50° 25° 25° 25° 当堂小练 4. 在△ABC中，下列条件： ①∠ A＋∠ B=∠ C；②∠ A∶∠ B∶∠C=1∶1∶2； ③∠ A=∠ B=∠ C；④∠ A=90°－∠ B. 能确定△ ABC 是直角三角形的有( ) A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ B 当堂小练 5. 如图，已知直线，直线与直线， 分别交于点 ，，交直线于点 .若 ，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 当堂小练 6. 在中， ，则 的值是______. 2或6 解：设，，的度数分别为，，. 当 为直角时，，解得； 当 为直角时，，解得. 故 的值为2或6. 在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，做到不漏解不错解. 注意 当堂小练 4. 如图，点，分别在线段， 上，于点，于点 ， 若，则图中与 互余的角有 ( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 对接中考 1. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° B 对接中考 2. 如图，在和 中， ， ，点 在线段 上，交于点，若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 解：在 中， ， ， . ， . ， ， . 拓展与延伸 1. 如图，在△ABC中，∠A= 30°，∠B=60°，CE平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数. (2)若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°. 求证：△CFD是直角三角形 解：(1)在△ABC中，∠A=30，∠B=60， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=90°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE= ∠ACB=45°. (2)证明：∵CD⊥AB，∠B=60°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE= ∠ACB=45°. ∴∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°. ∵∠CDF=75°， ∴∠CFD=180°-∠DCF-∠CDF=90°， ∴△CFD是直角三角形. 拓展与延伸 2. 如图，已知在中， ， ，将线段沿直线平移 得到线段 ，连接，在整个运动中，当垂直 的某一边时， 的 度数为_________________. 或 或 解：由题意得 .根据题意分三种情况： ①当 时，则 . ， . ， ； ②当 时，则 . ， ； ③当 时，如图所示， 则 . ， . ， . 综上所述，当垂直的某一边时，的度数为 或 或 . $$