13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角和 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角和 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 三角形的内角和 6. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 三角形内角和定理的应用 7. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 1. 学习和掌握三角形的内角和定理. 2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，会将文字语言、符号语言相互转化，发展几何直观. 3. 会运用三角形内角和定理进行角度的相关计算和证明，提高运算能力和推理能力. 学习目标 知识回顾 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 新课导入 小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°，现在怎么通过推理去验证这个结论呢？ 请大家在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，得到一个平角. 在这个操作中，你能发现证明的思路吗？ 新课讲解 知识点1 三角形的内角和 （1）度量法. 在小学，我们是怎样得到三角形内角和是180°？ 480 720 600 60°＋48°＋72°＝180° （2）剪拼法. A B C 新课讲解 通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 新课讲解 探究 如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系. 新课讲解 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作直线l，使得l // BC. ∵l // BC ∴∠2=∠4.(两直线平行，内错角相等) 同理∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）， ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 4 5 2 3 1 新课讲解 证明：延长BC到点D，过点C作CE // BA， ∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）. C B A E D 1 2 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180. 新课讲解 1. 三角形的内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系. 2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或一个直角，或者说至少有两个锐角. 3. 三角形中最大的内角不小于60° . 4. 三角形内角和定理的证明主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再证明这个角或这两个角的和是180°. 5. 为了帮助解答几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有较大价值的直线或线段被称为辅助线. 总结 新课讲解 例 1. 如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC交AC于点D，求∠BDC的度数. 方法点拨：先求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后求出∠BDC 的度数. 解：∵∠A＝46°，∠C＝74°， ∴∠ABC＝180°－46°－74°＝60°. ∵ BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°. ∴∠BDC＝180°－30°－74°＝76°. 新课讲解 例 2. 如图， ，，分别平分 和，求 的度数. 解：，分别平分 和 ， ， . 在 中， ， ， . 两内角平分线的夹角公式：如图，在 中，，分别平分和，则 . 总结 新课讲解 练一练 1. 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°， ∴∠ACD=60°. ∵∠CBD=45°，∠ADC=90°， ∴∠BCD=45°. ∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°. ┐ A B D C 新课讲解 练一练 2. 如图，在中，点在 上，点，在上，点在 的延长 线上，且， ，若 ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 新课讲解 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 图形 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 新课讲解 知识点2 三角形内角和定理的应用 例 3. 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 50° 40° 30° 解：∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 新课讲解 例 3. 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 50° 40° 30° F 方法二：如图所示，过点C作CF∥BE，则CF∥AD. 所以∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°， 所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°. 因为∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°， 所以在△ABC中， ∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 新课讲解 例 4. 如图，两面镜子，的夹角为 ，当光线经过镜子反射后， ，.若 ，则 的度数是 ( ) A A. B. C. D. 解：如图， ， . ， ， ， ， . 新课讲解 练一练 1. 太行山脉上，风力发电机随处可见，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户. 如图，三片风叶OA，OB，OC两两所成的角均为120，E为水平地面上一点，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，测得∠OED＝45，∠OEA＝30. 求∠A 的度数（塔干OD垂直于地面DE）. 解：∵ OD⊥DE，∠OED＝45， ∴∠DOE＝90－∠OED＝45. ∴∠AOE＝120－∠DOE＝120－45＝75. ∵∠OEA＝30， ∴∠A＝180－∠AOE－∠AEO＝180－75－30＝75. 新课讲解 2. 如图，从地面AB上点B处射向平面镜AC上点D的光线经过反射后的光线是DE，根据光的反射原理可知，∠ADB＝∠CDE， 若∠A＝70， ∠ABD＝40，则∠BDE的度数是_______． 40° 练一练 课堂小结 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 ° 当堂小练 1. 如图，点，分别在，上，若 ， ， 则 的度数为( ) A. B. C. D. A 当堂小练 2. 如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC， ∠DBE＝30，∠EBC＝25，求∠BDE的度数. 解：∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC＝25. ∴∠BDE＝180－∠DBE－∠DEB＝180－30－25＝125. 当堂小练 3. 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( ) A.30° B.40° C.50° D.60° B 80° 40° 40° 当堂小练 4. 如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数. 解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°. ∵∠A = 40°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°= 140°， 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED = 180°. ∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°= 140°， ∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED =140°+140°= 280°. C B A E D 当堂小练 5. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． ∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-∠CED-∠C=180°-78°-60°=42°． A B D E C 当堂小练 6. 如图，轮船从B处以每小时 50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠BAC的度数. 解：根据题意， 得∠ABD=75，∠BCE=∠DBC=30，∠ACE=60， ∴∠ACB=∠BCE+∠ACE=30+60= 90， ∠CBA=∠ABD-∠DBC=75- 30=45， ∴∠BAC=180-∠CBA-∠ACB=180- 45-90=45. 对接中考 如图，在 中， ， ，是 的角平分线 延长线上一动点（不与点重合），过点 作于点，当点运 动时， 的度数 ( ) D A. 随点的运动而变化，离点 越近，度数越大 B. 不变，为 C. 随点的运动而变化，离点 越远，度数越大 D. 不变，为 解：∵ ， ， ∴ . ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ 当点 运动时，的度数不变，为 . 拓展与延伸 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数. 分析：利用三角形内角和定理，将已知的角度与未知角之间联系起来.利用等量代换将相等的角进行替换. A C B D 1 2 3 4 解：∵∠3+∠ADB=180°， ∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠3=∠1+∠2. ∵∠3=∠4，∠1=∠2， ∴∠4=∠1+∠2=2∠1. ∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°， ∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1. ∵∠BAC=∠1+∠DAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°， ∴∠1=39°， ∴∠DAC=24°. $$