13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 三角形的中线 7. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 三角形的角平分线 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 三角形的高 1. 理解三角形的中线、角平分线、高线等概念. 2. 掌握三角形的中线、角平分线、高线的画法. 3. 能够利用三角形三边关系、三种重要线段的概念，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力. 学习目标 知识回顾 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 A B 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 O B A 新课导入 在这些三角形中，除了边之外，还有一些特殊的线段，它们有着独特的性质和作用，大家想不想知道是什么呢？ 新课讲解 知识点1 三角形的中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 三角形的中线的定义 符号语言： ①AD是△ABC的边BC上的中线， ②点D是边BC的中点， ③BD = CD = BC. D C B A 中点 中线 新课讲解 中线的画法： 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. D C B A E F 用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 新课讲解 你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. 探究 新课讲解 D C B A 【思考】被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 新课讲解 例 1. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，下列结论一定正确的是（ ） B 新课讲解 例 2. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD 的中线. (1)若△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8，求AC 的长； (2)若S △ ABC=8，求S △ ABE. 方法点拨：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 解：(1) ∵ AD 为BC 边上的中线， ∴ BD=CD. ∴ △ ABD 与△ ADC 的周长之差为 (AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD) =AB－AC. ∵△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8， ∴ 8 －AC=3，解得AC=5 . (2) ∵AD 是△ ABC 的中线，S△ ABC=8， ∴ S△ ABD= S△ ABC=4 . ∵ BE 是△ ABD 的中线， ∴ S△ ABE= S△ ABD=2 . 新课讲解 练一练 1. 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 7cm 解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ， 所以△ABD的周长- △ADC的周长 ＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ） ＝ AB- AC=2cm. 又因为AC＝5cm， 所以AB＝7cm. 新课讲解 练一练 2. 如图，有一块三角形菜地，现要将其分成面积比为1∶1∶2的三块，已知点A处是三块菜地的共同水源处，则三块菜地应该怎么分？ 解：根据面积比为1∶1∶2的要求， 可以将三角形菜地的总面积看作4份. 如图，作△ABC的中线AD，△ABD的中线AE， 所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积比就是1∶1∶2. A B C E D 三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形 新课讲解 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2. 中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 总结 新课讲解 知识点2 三角形的角平分线 符号语言： 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D ①AD是△ABC的角平分线， ②AD平分∠BAC，交BC于点D， ③∠1=∠2∠BAC. 三角形的角平分线的定义 新课讲解 角平分画法：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线. 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？ D B C A E F 1. 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. 2. 三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. 注意 新课讲解 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心. 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？ 探究 新课讲解 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B C A 方法一： 探究 折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕即为三角形的∠A的平分线. B C A 方法二： 新课讲解 例 3. 如图，D 是△ ABC 的边AC 上一点，DE ∥ BC 交AB 于点E，若∠ EDB= ∠ EBD，求证：BD 是△ ABC 的角平分线. 思路导引： 证明：∵ DE ∥ BC， ∴∠ EDB= ∠ DBC. 又∵∠ EDB= ∠ EBD， ∴∠ DBC= ∠ EBD. ∴ BD 是△ ABC 的角平分线. 新课讲解 例 4. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠3=∠ACB D. CE是△ABC的角平分线 D 新课讲解 练一练 1. 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请根据图中各角之间的关系填空： D A B C E F 1 2 3 4 （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 2 ∠ABC 2 新课讲解 练一练 2. 在△ABC中，已知∠A = 50°，BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相交于点P.∠ABP = 21°，求∠BCP的度数. 解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE ＝ 21°， 所以∠ABC ＝ 2×21°＝ 42° . 因为∠A+∠ABC+∠BCA ＝ 180°，∠A＝50°， 所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° . 因为CF 平分∠BCA， 所以∠BCP＝∠BCA ＝ 44° . 新课讲解 知识点3 三角形的高 符号语言： 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. ①AD是△ABC的边BC上的高， ②AD⊥BC于点D， ③∠ADB=∠ADC90. 三角形的高的定义 高 底 A B C D 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.记作AD⊥BC于点D. 新课讲解 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F B A C F A B C D E F 三角形的三条高交于一点，这一点我们称为三角形的垂心. 新课讲解 三角形三条高的位置 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 新课讲解 1. 三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足. 2. 画三角形高的关键：找准顶点和对边； 3. 画三角形高的步骤：过直线外一点作该直线的垂线段. 注意 三角形高的画法： 用三角板过三角形的某一顶点向其对边或对边所在直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高. 新课讲解 例 5. 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( 　 　) D 三角形任意一边上的高必须满足： (1) 过该边所对的顶点；(2) 垂足必须在该边或在该边的延长线上． 方法总结 新课讲解 例 6. 下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ） B A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 判断一条线段是否为三角形的高的方法： 一看顶点：三角形的高一定过顶点. 二看垂足：三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上. 方法总结 新课讲解 练一练 2. 如图，在中，是高， 是角平分线， 是中线.下列结论 错误的是( ) D A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 B 三角形的内部 三角形的直角顶点 三角形的外部 新课讲解 三角形三种重要线段的区别与联系 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 用途 举例 (1)证线段相等； (2)证面积相等 证角相等 (1)证线段垂直； (2)证角相等 在图中 的位置 三条中线全在三角形内 三条角平分线全在三角形内 锐角三角形 三条高全在三角形内 直角三角形 一条高位于三角形内，另两条高与两直角边 重合 钝角三角形 一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外 条数 三条 三条 三条 交点 位置 在三角形内 在三角形内 锐角三角形 在三角形内 直角三角形 在直角顶点处 钝角三角形 没有交点 课堂小结 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 当堂小练 1. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. （1）AD是△ABE的角平分线 ( ) （2）BE是△ABD边AD上的中线 ( ) （3）BE是△ABC边AC上的中线 ( ) ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H × × 分析：（1）AD线段不在△ABE内部，所以不是其角平分线 （2）BE 线段不在△ABD内部，所以不是其角平分线 （3）AE不等于CE,所以BE不是△ABC边AC上的中线 × 当堂小练 2. 如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中，正确的是（ 　　） A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线 C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线 B A B C D E F 1 2 3 4 ∠1+∠2=∠3+∠4 当堂小练 3. 下列说法正确的是( ) C ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在三角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③④ 当堂小练 4. 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空： （1）BE=（ ）= （ ）； （2）∠BAD=（ ）= （ ）； （3）∠AFB=（ ）=90°； （4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积. CE BC ∠CAD ∠BAC ∠CFA B C D E A F 解：∵AE为中线， ∴ BC=2BE=16. ∵AF为高， ∴∠AFB=∠CFA=90°. ∴△ABC的面积为 ×16×7=56. 当堂小练 思路引导： 5. 如图所示，已知△ABC的周长为27 cm，AC=9 cm，BC边上的中线AD为6 cm，△ABD的周长为19 cm，AB= . 8 cm C A D B AB+BC+AC=27 cm，AC=9 cm AB+BD+AD=19 cm，AD=6 cm AB+BC=18 cm AB+BD=13 cm AB=8 cm BC=2BD 当堂小练 6. 如图，在△ABC中，CD是中线,已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长. A D B C 解：∵ CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm. ∵△DBC的周长为25cm， ∴△ADC的周长为25-5=20（cm）. 对接中考 1. 如图，是的中线，是的中点，连接，若 的面积为 40，则图中阴影部分的面积是( ) A A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 方法点拨：由是的中线可得 ， 再由是的中点可得 . 对接中考 2. 如图，在直角三角形 中， ，点沿自点向点 运动 （点与点，不重合），作 于点，的延长线于点， 在点 的运动过程中， 的值( ) B A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 保持不变 D. 无法确定 方法点拨：根据题意得 的面积不变，点沿自点向点 运动时逐渐变小， 的值逐渐变大. 拓展与延伸 如图，点为直线外一动点，，连接， ，，分别是，的中点， 连接，交于点 ，当四边形的面积为5时，线段 的最小长度为_____. 6 解：如图，连接，过点 作于点 ， ， ∵ 𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶 的中点， ∴， ， ， ， ， ，. 又 垂线段最短，， 线段 的最小长度为6. $$