13.2.1 三角形的边 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 三角形三边的关系 6. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 三角形的稳定性 7. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 1. 经历证明三角形任意两边之和大于第三边的推理过程，学会用符号语言表达三边关系. 2. 学会运用三角形三边关系解决等腰三角形边长相关的问题，提升推理能力和分类讨论的能力. 3. 了解三角形的重心和三角形的稳定性，了解三角形的稳定性在日常生活和工程建筑中的广泛应用. 学习目标 知识回顾 有关概念 顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC” 三角形 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 分类 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按角分 按边分 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 新课导入 为什么设计师们这么青睐三角形呢？三角形的边之间是不是有着什么特殊奥秘，让它能在建筑中发挥大作用呢？今天，咱们就一起深入探究三角形的边，揭开它的神秘面纱 ！ 新课讲解 知识点1 三角形三边的关系 探究 A B C 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 路线2：由点B到点C. 路线1：由点B到点A，再由点A到点C. BA+AC BC. 哪个线路比较长呢？ 利用在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论，就可以知道路线1的长度大于路线2，即 BA+AC>BC . 新课讲解 那么你能证明这个结论吗？ A B C 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短 ”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB， ② AB+BC>AC. ③ 三角形两边的和大于第三边. 进一步，由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC， BC>AC-AB. 三角形两边的差小于第三边. 新课讲解 三角形的三边有这样的关系： 1. 三角形两边的和大于第三边. 2. 三角形两边的差小于第三边. 结论 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a＋b＞c，b＋c＞a， a＋c＞b 两点之间， 线段最短 三角形两边的差小于第三边 a－b＜c，b－c＜a， a－c＜b(a＞b＞c) 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形的两边长a，b(a＞b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c 的取值范围是a－b＜c＜a＋b. 注意 新课讲解 上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 1 cm 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 1 cm 1+3<5，不能组成三角形. 思考 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3+3>5，能组成三角形. 新课讲解 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形； 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 结论 判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可. 三角形三边关系中的“两边”是指任意两边，判断三条线段能否组成三角形是否一定要检验三条线段中任意两条线段的和都大于第三条，有没有更简便的方法？ 新课讲解 例 1. 以下列长度的三条线段(或满足三条线段的比)为边，能构成三角形的有哪些？ (1) 6 cm，8 cm，10 cm； (2) 5 cm，8 cm，2 cm； (3) 三条线段之比为4∶5∶6； (4) a＋1，a＋2，a＋3(a>0). 方法点拨：快速判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能. 解：(1) ∵ 6 cm＋8 cm>10 cm，∴长度为6 cm，8 cm，10 cm 的三条线段能构成三角形. (2) ∵ 5 cm＋2 cm<8 cm，∴长度为5 cm，8 cm，2 cm的三条线段不能构成三角形. (3) 设这三条线段的长分别为4x，5x，6x(x>0). ∵ 4x＋5x>6x，∴长度之比为4∶5∶6的三条线段能构成三角形. (4) ∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ，当a>0 时，2a＋3 >a＋3， ∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能构成三角形. 综上可知，能构成三角形的有(1)(3)(4)． 新课讲解 例 2. 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则x+2x+2x=18. 解得 x=3.6 . 所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. (2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4+2x=18，解得x=7. 4cm 4cm ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm， 则 2×4+y=18， 解得 y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”， 所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 新课讲解 练一练 1. 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ (1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm (2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形. (3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形. 解： (1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形. (4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形. 新课讲解 练一练 2. 用一根长16 cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4 cm，x cm，y cm 且有两边相等. 求x，y的值. 解：当x＝4时，y＝16－4－4＝8，4＋4＝8，不能构成三角形，不符合题意； 当y＝4时，x＝16－4－4＝8，4＋4＝8，不能构成三角形，不符合题意； 当x＝y时，x＝y＝＝6，4＋6＞6，能构成三角形，符合题意. 综上可知，x＝y＝6. 新课讲解 知识点2 三角形的稳定性 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 可以发现，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了，因此三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 探究 新课讲解 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子. 起重机 钢架桥 帐篷的支撑结构 自行车车架 新课讲解 如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探究 会改变，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变. 如图，四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相等的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状会改变吗？为什么？ 探究 斜钉了一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以四边形木架的形状不会改变. 新课讲解 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，大家想一想为什么要这样做呢? 四条边及四条边以上的图形都不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形. “只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了” 总结 新课讲解 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？你能举出一些现实生活中的应用了四边形不稳定性的例子吗？ 新课讲解 例 3. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了.你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？_________________________. 三角形具有稳定性 新课讲解 例 4. 下列关于三角形的稳定性和四边形的不稳定性，说法正确的是（ ） A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有价值 D.以上说法都不对 C 新课讲解 练一练 1. 下列设备中没有利用三角形的稳定性的是（ ） A.索道支架 B.起重机 C.屋顶三角形支架 D.活动的四边形衣架 D 新课讲解 练一练 A B C D B 2. 下图中不具有稳定性的是（ ） 新课讲解 练一练 3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是 ( ) D A.两点之间线段最短 B.三角形两边之和大于第三边 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 课堂小结 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 三角形 的边 三角形三边的关系 三角形的性质 稳定性 当堂小练 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(　 ) A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a＞0) 1. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　 　) A．5 B．6 C．12 D．16 C A 方法点拨：已知三角形两边长分别为：a、b（a>b），则 a-b <第三边< a+b 当堂小练 2. 某同学从长度分别为10cm，6cm，5cm，4cm的四根木棒中，任选其中三根组成三角形，则能组成的三角形的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 转化为去掉四根中的一根 B 当堂小练 3. 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边长为x， 根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2， 即5＜x＜9， 又因为x为奇数， 所以x=7，即第三边的长为7. 当堂小练 4. 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 B 当堂小练 5. 已知三角形两边的长分别为7和4，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是______. 15 当堂小练 6. 一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长. 解：分两种情况进行讨论： （1）当腰长为6cm的时候，底边长为20-6-6=8(cm)， 则该等腰三角形的另外两边长分别为6cm，8cm. （2）当底边长为6cm的时候，腰长为(20-6)÷2=7(cm)， 则该等腰三角形的另外两边分别为7 cm，7 cm. 注意：当在等腰三角形中，未明确说明腰和底时要分类讨论。 当堂小练 7. 下列图形中，不是应用三角形的稳定性的是( ) C A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架 C.伸缩门 D.木门上钉一条木条 对接中考 1. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是_________________. 三角形具有稳定性 对接中考 2. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 解： 分类 围法 能否构成三角形 理由 情况1 2+3，3，4 能 3+4＞5 情况2 2，3+3，4 否 2+4=6 情况3 2，3，3+4 否 2+3＜7 情况4 2+4，3，3 否 3+3=6 由表格分析可知得到的三角形的最长边长为5. B 拓展与延伸 A 1. 若a，b，c为△ABC的三边长，且满足 ，则c的值可以为（ ） 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ∴ 时符合条件. 拓展与延伸 2. (1)已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，求它的周长. (2)已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，求它的周长. 解：(1)当腰长为5时，底边为6，三条边的长分别为5，5，6， ∵5+5>6，∴能组成三角形，三角形的周长为5+5+6=16； 当腰长为6时，底边为5，三条边的长分别为6，6，5， ∵6+5>6，∴能组成三角形，三角形的周长为6+6+5=17. 综上，此三角形的周长为16或17. (2)当腰长为4时，底边为9，三条边的长分别为4，4，9， ∵4+4<9，∴不能组成三角形； 当腰长为9时，底边为4，三条边的长分别为9，9，4， ∵4+9>9，∴能组成三角形，三角形的周长为9+9+4=22. 拓展与延伸 3. (1) 要使四边形木架（用四根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？ (2) 要使五边形木架（用五根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？ (3) 要使六边形木架（用六根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？ (4) 要使n边形木架（用n根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？ 至少再需要1根木条，使得变成2个三角形. 至少再需要2根木条，使得变成3个三角形. 至少再需要3根木条，使得变成4个三角形. 至少再需要（）根木条，使得变成（）个三角形. $$