2.3 二次根式 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.3二次根式 第一篇 专题精析 专题名称 二次根式 专题内容 二次根式的性质 讲解建议 根治知识点和题型进行讲解 考点题型 二十一个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：二次根式的识别 2 题型二：求二次根式的值 5 题型三：求二次根式中的参数 11 题型四：二次根式有意义的条件 15 题型五：利用二次根式的性质化简 22 题型六：复合二次根式的化简 29 题型七：二次根式的乘法 43 题型八：二次根式的除法 51 题型九：二次根式的乘除混合运算 61 题型十：最简二次根式的判断 77 题型十一：化为最简二次根式 83 题型十二：已知最简二次根式求参数 87 题型十三：同类二次根式 89 题型十四：二次根式的加减运算 98 题型十五：二次根式的混合运算 102 题型十六：分母有理化 126 题型十七：已知字母的值，化简求值 133 题型十八：已知条件式，化简求值 146 题型十九：比较二次根式的大小 153 题型二十：二次根式的应用 165 题型二十一：与实数运算相关的规律题 177 第三篇 典型例题汇总 题型一：二次根式的识别 【例题1-1】．（2025·河南郑州·一模）二次根式：一般地，形如（ ）的式子叫做二次根式，其中，叫作 数． 【答案】 被开方 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的定义及对二次根号的认识，根据二次根式的定义即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键. 【详解】解：一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中，叫作被开方数， 故答案为：，被开方． 【例题1-2】．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 【例题1-3】．（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 【例题1-4】．．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 【例题1-5】．（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【例题1-6】．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 【例题1-7】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的被开方数是负数，故不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，故不是二次根式；     D．当a，b异号时，不是二次根式； 故选：B． 【例题1-8】．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；     C．当即时，不是二次根式；     D．∵，∴，∴是二次根式． 故选D． 【例题1-10】．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选： 题型二：求二次根式的值 【例题2-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 【例题2-2】．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、因为，故是二次根式，符合题意； D、当时，则，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 【例题2-3】．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 【例题2-4】．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值、立方根概念理解、相反数的定义 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例题2-5】．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、求二次根式的值 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【例题2-6】．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【例题2-7】．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】单项式规律题、求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 【例题2-8】．（20-21八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【例题2-9】．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 【例题2-10】．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【例题2-11】．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【例题2-12】．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简、求二次根式的值 【分析】首先化简为，化简为，然后代入x的值求解即可． 【详解】∵， = = = =． 【点睛】此题考查了根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握根式的化简方法． 题型三：求二次根式中的参数 【例题3-1】．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 【例题3-2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 【例题3-3】．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【例题3-4】．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【例题3-5】．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 【例题3-6】．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的定义和同类二次根式的定义，根据二次根式的定义得到，根据同类二次根式的定义得到，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 联立①②解得， ∴， 故答案为：1． 【例题3-7】．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【例题3-8】．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴n的最小值是2． 故答案为：2． 【例题3-9】．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 题型四：二次根式有意义的条件 【例题4-1】．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y满足  则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式中被开方数为非负数求得的值是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数数为非负数求得的的值，进而求得的值，代入代数式求解即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 【例题4-2】．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有条件的意义得到且，然后把它们代入运算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 所以， 所以原式． 故选：C． 【例题4-3】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得， 故选：A． 【例题4-4】．（2025八年级下·全国·专题练习）如果成立，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得， 解得： ， 故B正确． 故选：B． 【例题4-5】．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了实数的运算、实数的性质、二次根式有意义的条件，根二次根式有意义的条件求得a的值成为解题的关键． 根据实数的性质可得，解得：，进而求得，然后代入据此可得求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得：， ∴， ∴． 故选；B． 【例题4-6】．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求出的范围，对原式进行化简是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得的值． 【详解】解：， ， 则原式可化简为：， 即：， ， ； 故选：C 【例题4-7】．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、算术平方根的实际应用、已知式子的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值运算、利用算术平方根解方程等知识，先由二次根式有意义的条件的得到，进而化简绝对值，得到，利用算术平方根解方程即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、去绝对值运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：中， ，则， ， ，即， ，则， 故选：D． 【例题4-8】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 【例题4-9】．（2025·山东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，，求出，继而得到，再将代入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 【例题4-10】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 【例题4-11】．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，结合已知条件确定x的取值范围是解题的关键． 由式子可得，则，那么，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：已知算式为， 则， 解得：， 那么， 原式， 故答案为：． 【例题4-12】．（24-25八年级下·河南焦作·期中）化简： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、整式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的性质和有意义的条件；先根据二次根式有意义的条件得到，即可得到，然后根据二次根式的性质化简，然后合并解题即可． 【详解】解：由题可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题4-13】．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及幂运算，熟练掌握二次根式的开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求出y的值，最后计算代数式即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件得， 且， 解得， ∴ ∴， 故答案为：1． 【例题4-14】．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 【答案】 4 1 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式被开方数具备的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的被开方数成立的条件求得x，y的值，再将x，y的值代入运算即可； （2）将x，y的值代入运算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）原式 ， 故答案为：1． 【例题4-15】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）若，求的值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再把要求的式子化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， ∴； ∴ ． 【例题4-16】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零进行分析即可． 【详解】A．当时，无意义，故此选项错误； B．当时，无意义，故此选项错误； C．是任意实数，都有意义，故此选项正确； D．当时，无意义，故此选项错误． 故选：C． 题型五：利用二次根式的性质化简 【例题5-1】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质．利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【例题5-2】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）直接写出结果： ； ； ． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式运算法则进行计算即可得出的结果，根据二次根式性质化简和即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 【例题5-3】．（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1 【例题5-4】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【例题5-5】．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 【例题5-6】．（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的性质和解不等式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质得到，求解即可； 【详解】解：由题意可得：， 解得：； 故答案为： 【例题5-7】．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【例题5-8】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法，根据二次根式的性质，二次根式乘法法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【例题5-9】．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】分别根据算术平方根的定义、二次根式的性质，对每个选项进行判断．本题主要考查算术平方根的定义及二次根式的性质，熟练掌握算术平方根是非负的、（ ）是解题的关键． 【详解】解：A选项：根据算术平方根的定义，（）表示的算术平方根，算术平方根是非负的，所以，A选项错误． B选项：先计算，再根据算术平方根定义，，B选项错误． C选项：，C选项错误． D选项：根据二次根式的性质（），这里，所以，D选项正确． 故选：D． 【例题5-10】．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．根据数轴可得，进而可得，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 【例题5-11】．（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【难度】0.4 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 题型六：复合二次根式的化简 【例题6-1】．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【例题6-2】．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 【例题6-3】．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例题6-4】．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【例题6-5】．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的化简和二次根式的加减运算，如果被开方数中的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替移到根号外面；如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再将因式开方后移到根号外面，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面．（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先利用平方差公式进行分解，再根据二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的性质进行化简即可； （4）先根据完全平方公式对分母进行变形，再根据二次根式的性质进行化简即可； （5）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可； （6）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【例题6-6】．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 【例题6-7】．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【例题6-8】．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 【例题6-9】．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知 ，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 【例题6-10】．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 【例题6-11】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【例题6-12】．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 【例题6-13】．（24-25八年级下·福建南平·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2)①3；② 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的运算，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）①根据题意即可解答； ②将化成即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ② ∵ ∴ ， ， 【例题6-14】．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【例题6-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 【例题6-16】．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 题型七：二次根式的乘法 【例题7-1】．（2025·湖北·二模）计算并化简的结果为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选C． 【例题7-2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 【例题7-3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 【例题7-4】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算．先根据二次根式的乘法化简原式，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：B． 【例题7-5】．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）估算的结果应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 【例题7-6】．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用平方差公式进行展开计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【例题7-7】．（2025·河南许昌·二模）计算的结果为 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例题7-8】．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简： （1） ； （2） ； （3） ；   （4） ． 【答案】 5 36 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据平方差公式计算，然后进行二次根式的化简的方法可以解答本题； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：（1） ； （2）； （3） ； （4）； 故答案为：；5；36；． 【例题7-9】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算以及平方运算，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式的乘除运算以及平方运算，算术平方根等知识计算，即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【例题7-10】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关运算法则．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据二次根式的除法法则求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 胡答案为：，，． 【例题7-11】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （3）根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式乘法法则计算即可； （4）根据运用乘法分配律和二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题7-12】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式的乘法法则运算． （2）利用二次根式的乘法法则运算． （3）利用二次根式的乘法法则运算． （4）利用二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题7-13】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)35 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次式的性质，二次根式的乘法，熟练掌握二次式的性质和二次根式的乘法法则是解题的关键． （1）根据二次式的性质代简即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型八：二次根式的除法 【例题8-1】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【例题8-2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查的是商的算术平方根的化简，利用二次根式的性质化简，熟记公式是解本题的关键； （1）根据进行化简即可； （2）根据进行化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【例题8-3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式根号内的分母： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键： （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用除法法则和二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【例题8-4】．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的除法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先化简得，再根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 【例题8-5】．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根式的除法运算，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【例题8-6】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算以及平方运算，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式的乘除运算以及平方运算，算术平方根等知识计算，即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【例题8-7】．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）化简 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键； 根据分母有理化计算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 【例题8-8】．（24-25八年级下·重庆石柱·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的运算，平方差和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； （）先通过二次根式性质把括号内进行化简，然后合并，最后进行二次根式除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题8-9】．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简以及利用完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解； （2）先计算二次根式的除法以及利用平方差公式进行计算，再计算加减即可得解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【例题8-10】．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 【例题8-11】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题8-12】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题8-13】．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再用乘法分配律可得：原式，然后再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【例题8-14】．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）二次根式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的除法法则计算即可； （3）根据二次根式的加减法则计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型九：二次根式的乘除混合运算 【例题9-1】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，准确计算是解题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法，再计算二次根式的乘法运算即可； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）先计算二次根式的乘法与乘方运算，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【例题9-2】．（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可； （3）利用二次根式除法法则计算，再计算加减即可求解； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【例题9-3】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解； （2）先化简二次根式以及计算零指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题9-4】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加减乘除运算等知识，先由二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式性质及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 【例题9-5】．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法法则运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【例题9-6】．（24-25八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式混合运算的方法是解决本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，再化简二次根式，然后进行加减计算； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，并计算二次根式的除法运算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式                 ； （2）解：原式     ． 【例题9-7】．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题9-8】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）先根据乘法公式和多项式与多形式的乘法法则计算，再算加减． 【详解】（1） （2） 【例题9-9】．（22-23九年级下·安徽宣城·开学考试）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，二次根式的加减法计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （2）先化简二次根式和计算零指数幂，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题9-10】．（24-25八年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）合并同类二次根式即可求解； （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算，化成最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 = （2）解：原式= = 【例题9-11】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 【例题9-12】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 【例题9-13】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题9-14】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）进行二次根式的除法运算即可； （2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可； （3）进行二次根式的除法运算即可； （4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可； （5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出答案； （6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【例题9-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 【例题9-16】．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【例题9-17】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）利用二次根式的乘除法法则计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行展开计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【例题9-18】．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【例题9-19】．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型十：最简二次根式的判断 【例题10-1】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有因数9，不是最简二次根式，不合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【例题10-2】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故本选项符合题意； B. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；         C. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；         D. 的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例题10-3】．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念一一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 【例题10-4】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【例题10-5】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A 【例题10-6】．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例题10-7】．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足以上条件为最简二次根式进行判断． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，该项不符合题意； B、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，该项不符合题意； C、是最简二次根式，故该项符合题意； D、中被开方数含有因数4，故不是最简二次根式，该项不符合题意； 故选：C． 【例题10-8】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据最近二次根式的定义，二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、没有意义，故不符合题意； C、不是最简二次根式，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 【例题10-9】．（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义求解即可； 【详解】解：A、，所以该选项不是最简二次根式； B、，所以该选项不是最简二次根式； C、被开方数含有分母，所以该选项不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 【例题10-10】．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】立方根概念理解、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：，则不是最简二次根式； ，则不是最简二次根式； 是立方根，则不是最简二次根式； 都是最简二次根式，共有3个； 故选：C． 【例题10-11】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 【例题10-12】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据定义进行化简判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； 是最简二次根式，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 【例题10-13】．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， B．被开方数含有小数，不是最简二次根式，不符合题意， C．被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意， D．被开方数中不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【例题10-14】．（24-25九年级上·河南周口·期中）下列各式中，为最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【例题10-15】．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，同时满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：（）被开方数不含分母；（）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：被开方数含有分母，不是最简二次根式； 被开方数可以化为分数，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 综上，不是最简二次根式的有个， 故选：． 题型十一：化为最简二次根式 【例题11-1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴能与合并的是， 故选：． 【例题11-2】．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 【例题11-3】．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 【例题11-4】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【例题11-5】．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【例题11-6】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）化简： （1） ； （2） ； （3）当时， ； （4）当时， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得到，再根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得到，再根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简和最简二次根式的定义计算即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； （4）， ， ； 故答案为：，，，． 题型十二：已知最简二次根式求参数 【例题12-1】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 【例题12-2】．（24-25八年级下·河北保定·期中）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式，先把化为，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得． 故选：D． 【例题12-3】．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：二次根式与可以合并， 且， 故选：． 【例题12-4】．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 【例题12-5】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 【例题12-6】．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例题12-7】．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 题型十三：同类二次根式 【例题13-1】．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 【例题13-2】．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、利用二次根式的性质化简 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 【例题13-3】．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、与不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、与不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 【例题13-4】．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列二次根式中，能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式．将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例题13-5】．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，正确理解题意得到最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式是解题的关键． 根据题意可知最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【例题13-6】．（24-25八年级下·河南信阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质对可以化简的二次根式进行化简，再逐项判断即可． 【详解】解：A，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； C，，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； D，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 【例题13-7】．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解方程即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 【例题13-8】．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算、同类二次根式 【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ∴ 故选：D． 【例题13-9】．（23-24八年级下·山东德州·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 【例题13-10】．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以合并， ∴二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【例题13-11】．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知最简二次根式求参数、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【例题13-12】．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 【例题13-13】．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 【例题13-14】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）下列二次根式能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，能与进行合并； B、，不能与进行合并； C、，不能与进行合并； D、，不能与进行合并； 故选：A 【例题13-15】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，化简各组二次根式后，根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 【例题13-16】．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先把各根式化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：， 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数不相同，符合题意； 故选：． 【例题13-17】．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 【例题13-18】．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【例题13-19】．（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键． 先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可． 【详解】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下： ∵最简二次根式与可以合并， ∴，即， ∴的算术平方根为， ∵， ∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式． 题型十四：二次根式的加减运算 【例题14-1】．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算及平方、开平方的性质．涉及平方运算、平方根运算及二次根式的化简．解题时需分步骤计算每个项，注意平方与开方的逆运算关系，以及二次根式化简时的分母有理化和同类项合并． （1）由题意正确应用平方与开平方的逆运算，注意负数平方后的根号处理； （2）先将二次根式化简为最简形式后合并同类项，并进行分母有理化，合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题14-2】．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)6 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． （2）先根据平方差公式展开以及运用二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题14-3】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的加减，先根据二次根式的性质化简各式，然后根据二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解∶原式 ． 【例题14-4】．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式后运算即可； （2）化简二次根式后运算即可； （3）利用分配律运算后，再化简二次根式运算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式运算即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 【例题14-5】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 题型十五：二次根式的混合运算 【例题15-1】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）先化简每一个二次根式，再合并括号内的同类二次根式，再计算乘法即可； （2）先化简括号内的每一个二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【例题15-2】．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【例题15-3】．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题15-4】．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （3）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （4）根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解； （5）根据二次根式的乘法法则计算即可得解； （6）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【例题15-5】．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算，再进行化简； （2）先转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算； （3）利用除法的性质进行计算； （4）利用乘法公式进行计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【例题15-6】．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：   【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ； 另一种解法： 原式 ． 【例题15-7】．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可； （3）先计算二次根式除法，再计算加减法即可； （4）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题15-8】．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和除法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【例题15-9】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）先化简各项，再合并即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 【例题15-10】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，， ，． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)直接写出结果：__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，分母有理化，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接分母有理化求解即可； （2）先分母有理化，再化简，进行二次根式的加减混合运算即可； （3）先将分母有理化，得到，再由完全平方公式计算得到，然后计算出，再代入求解． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ， ； （3）解：， ， ，即， ， ， 原式． 【例题15-11】．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和合并． （1）先化成最简二次根式，然后合并约分即可； （2）先利用完全平方公式和二次根式的乘除法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2） 【例题15-12】．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． （1）直接合并二次根式即可． （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【例题15-13】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例题15-14】．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例题15-15】．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，化简绝对值，求算术平方根，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． （2）先计算完全平方公式计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的除法，最后再计算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【例题15-16】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）先根据二次根式的乘除法法则运算，然后合并即可； （2）先化简二次根式及绝对值，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题15-17】．（24-25八年级下·天津静海·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题15-18】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【例题15-19】．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 【答案】，介于整数6和7之间． 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，无理数的估算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求出对应式子的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其结果在整数6和7之间 【例题15-20】．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的加减运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第个式子即可； （2）根据（1）中的规律计算出式子的结果即可． 【详解】（1）解：第1式， 第2式， 第3式， 第4式． 第个式子为； （2） ， 【例题15-21】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【例题15-22】．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题15-23】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 【例题15-24】．（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ，即， ． ，其中m是整数，且， ，， ， ∴的相反数为． 【例题15-25】．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题15-26】．（24-25八年级下·山西太原·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根，再计算加法即可； （2）先计算二次根式的乘法、利用平方差公式计算，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【例题15-27】．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）根据完全平方公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：解： ； （2）解： = = =． 【例题15-28】．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行解答即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式混合运算法则进行解答即可． 本题考查二次根式的混合运算及平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【例题15-29】．（2025·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，零指数幂，二次根式的性质化简，根据分母有理化，零指数幂的运算法则，二次根式的性质计算各项进行计算即可． 【详解】解： ． 【例题15-30】．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）计算下列各小题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质和乘除法则计算，然后再合并同类根式即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题15-21】．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．依次根据零指数幂，二次根式的性质，分母有理化，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解： 【例题15-22】．（24-25八年级下·重庆开州·期中）计算或化简 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式加减混合运算，整式混合运算； （1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行单项式乘以多项式运算，同时利用完全平方公式运算，再进行加减运算，即可求解； 掌握整式混合运算的步骤，能熟练化简二次根式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题15-23】．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘除法运算化简，再合并，即可求解； （2）根据完全平方公式及二次根式的性质，先化简，再合并，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【例题15-24】．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了乘方运算、化简绝对值、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质进行运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 题型十六：分母有理化 【例题16-1】．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 认识二次根式的两个概念（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：，．我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如：；． 请完成以下任务： (1)①写出的一个有理化因式：______； ②将分母有理化的结果是______． (2)化简：． (3)计算． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了平方差公式，分母有理化． （1）根据有理化因式的定义计算解题； （2）进行分母有理化，然后化简解答即可； （3）分别进行分母有理化，然后相加计算解答即可． 【详解】（1）解：①∵， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 【例题16-2】．（24-25八年级下·河南安阳·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式． (1)； (2)若是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）观察材料可知是利用平方差公式对分母进行有理化，将原式分子分母同乘，把分母中的根式去掉来化简． （2）先根据的取值范围确定其小数部分，再将代入，通过分母有理化和合并同类二次根式来计算． 本题主要考查了二次根式的分母有理化以及无理数的小数部分求解，熟练掌握平方差公式进行分母有理化和无理数取值范围的分析是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：是的小数部分， ， 【例题16-3】．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ．．．．．． (1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2)18 (3) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的运算、数字类规律探究，找到变化规律是解题的关键． （1）根据前几个等式的变化规律，即可写出第个等式； （2）根据规律将各项分母有理化即可求解； （3）先求倒数，再分母有理化，然后比较大小即可求解． 【详解】（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：由于，， ， ， ． 【例题16-4】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】（1）①；②；（2），步骤见解析；（3）2023 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：． 故答案为：． ②解：． 故答案为：． （2）解：， ∴的化简结果为． （3）解： ． 【例题16-5】．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 【例题16-6】．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1)，． (2)2024 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点．掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）根据有理化因式和平方差公式求解即可； （2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴的有理化因式是； . 故答案为：，． （2）解： ． 【例题16-7】．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十七：已知字母的值，化简求值 【例题17-1】．（2025八年级下·贵州·专题练习）若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，由题意得出，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【例题17-2】．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 【例题17-3】．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 【例题17-4】．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【例题17-5】．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【例题17-6】．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知条件式，化简求值 【解析】略 【例题17-7】．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知条件式，化简求值、二次根式有意义的条件、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 【例题17-8】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【例题17-9】．（2025八年级下·贵州·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：13． 【例题17-10】．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了代数式的值、二次根式的性质等知识，整体代入是解题的关键． 先求出，把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【例题17-11】．（2025·河南洛阳·一模）若，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了二次根式的求值．先利用完全平方公式把所求的代数式变形得到，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【例题17-12】．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【例题17-13】．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 【例题17-14】．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【例题17-15】．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知：，，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是正确对所求的式子分解因式． 先对所求的式子分解因式然后代入数值计算求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【例题17-16】．（24-25八年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【例题17-17】．（24-25八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值，先根据整式的运算法则进行计算化简，再把字母的值代入，根据二次根式的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【例题17-18】．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 【例题17-19】．（24-25八年级下·天津河北·期中）求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮的解法是错误的 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． （2）解：由条件可知， 原式 ， 当时，原式． 【例题17-20】．（24-25八年级下·福建南平·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值．化简，将x和y值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【例题17-21】．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出，，然后把原式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【例题17-22】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简二次根式，再去括号后计算加减法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【例题17-23】．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再代数计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【例题17-24】．（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【例题17-25】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【例题17-26】．（22-23八年级下·天津东丽·期中）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、已知字母的值，化简求值 【分析】（）把的值代入计算即可求解； （）由的值可得，再根据完全平方公式计算即可求解； 本题考查了二次根式的加减，二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十八：已知条件式，化简求值 【例题18-1】．（2023·吉林·二模）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故答案为： 【例题18-2】．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【例题18-3】．（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 【例题18-4】．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例题18-5】．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【例题18-6】．（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 【例题18-7】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，且， ∴ ， 故答案为：． 【例题18-8】．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题18-9】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 【例题18-10】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知，，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【例题18-11】．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【难度】0.85 【知识点】无理数整数部分的有关计算、通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 【例题18-12】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 【例题18-13】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 【例题18-14】．（2024·湖南怀化·一模）已知，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把所给条件式变形为，进而利用非负数的性质求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例题18-15】．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为负数， ∴ ． 【例题18-16】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 题型十九：比较二次根式的大小 【例题19-1】．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 【例题19-2】．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例题19-3】．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、比较二次根式的大小 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 【例题19-4】．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例题19-5】．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【例题19-6】．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【例题19-7】．（22-23八年级上·四川成都·期中）比较大小： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键． 直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 【例题19-8】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 将转换为，转换为，比较大小即可． 【详解】解：，， ， 故， 故答案为： 【例题19-9】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题19-10】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【例题19-11】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、倒数、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式分母有理化和二次根式比较大小，也考查了绝对值的性质和倒数的定义，正确掌握二次根式分母有理化是解题关键． 直接利用绝对值的性质和倒数的定义得出答案． 【详解】解：∵ ∴的绝对值是：． 的倒数是； 故答案为：，． 【例题19-12】．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】根据得到，继而得到，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数大小比较，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【例题19-13】．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【例题19-14】．（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 【例题19-15】．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 【例题19-16】．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较与1的大小即可求解； （3），，比较被开方数的大小即可； 【详解】解：①， ； 故答案为： ； ②； ； 故答案为： ； ③，，且； ； 故答案为： ； 【例题19-17】．（22-23七年级下·山东临沂·期中）比较大小： 填“>”，“<”或“=”）． 【答案】< 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数作差，判断差的正负即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握用作差法比较实数大小是解题的关键． 【例题19-18】．（22-23八年级上·吉林长春·期中）比较大小： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】算术平方根的大小比较可以通过比较它们的平方的大小来判断． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了平方根的意义和数的大小比较，关键是通过平方根的意义转化为有理数的大小比较． 【例题19-19】．（22-23八年级下·广东肇庆·期末）比较大小： （在横线上填上<、>或=）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】把每个二次根式根号外的部分移到根号内，然后比较二次根式的被开方数的大小即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键． 【例题19-20】．（21-22八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 【例题19-21】．（22-23八年级上·江苏·单元测试）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【例题19-22】．（22-23八年级上·广东佛山·期中）比较大小： ； ； . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ， ， ，即； 故答案为：；；． 【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． 【例题19-23】．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例题19-24】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 题型二十：二次根式的应用 【例题20-1】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）观果计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圆恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为： 【例题20-2】．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查二次根式的实际应用，勾股定理，熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键： （1）直接利用公式求出三角形的面积即可； （2）利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【例题20-3】．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）学校手工社团计划用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），用来展示社团成员的手工作品．制作方法是将该纸板的四个角各剪掉一个面积相等的小正方形，已知小正方形的边长为， (1)若要在这个长方体包装盒的外表面贴上一层装饰纸（不包括剪掉的小正方形部分），求装饰纸的面积； (2)求长方形盒子的体积． 【答案】(1)装饰纸的面积为 (2)长方形盒子的体积为 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式运算的应用，求长方体的表面积和体积，熟练掌握长方体的表面积和体积公式，是解题的关键： （1）用大正方形的面积减去4个小正方形的面积进行计算即可； （2）利用长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：装饰纸的面积为； （2）解：由图可知长方体底面的长和宽均为，高为， ∴长方形盒子的体积为； 答：长方形盒子的体积为． 【例题20-4】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据题意求出正方形的边长是关键． （1）求出正方形的边长为，小正方形的边长为，即可求出答案； （2）用大长方形面积减去两个正方形面积即可． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为，， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的周长为； （2）长方形的面积为． 【例题20-5】．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，将面积为48平方厘米的正方形纸板的四个角各剪掉一个边长为厘米的小正方形，得到如图2所示的图形，再沿虚线折起，可得到一个有底无盖的长方体纸箱． (1)求该长方体纸箱的体积； (2)若在该长方体纸箱的侧面（外部）贴上印花纸，求至少需要的印花纸面积． 【答案】(1)立方厘米 (2)24平方厘米 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了长方体的展开图、二次根式的运算，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． （1）先求出正方形纸板的边长，再结合图2的展开图，利用长方体纸箱的体积公式即可求解； （2）先计算长方体纸箱的侧面积，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形纸板的边长为（厘米）， 该长方体纸箱的体积为（立方厘米） 答：该长方体纸箱的体积为立方厘米． （2）解：长方体纸箱的侧面积为（平方厘米） 至少需要的印花纸面积为24平方厘米． 【例题20-6】．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 【例题20-7】．（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 【例题20-8】．（24-25八年级下·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)会，见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，弄清题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：把代入公式得：， 解得：； 所抛物体下落的高度是． （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，． 解得． 把代入公式得，． 质量为的玩具经过落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【例题20-9】．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）由条件可知； 故答案为：； （2） ， 由条件可知，即． （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：4． （4）由条件可转化为， ，，， ． 【例题20-10】．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）南宁国际会展中心是中国东盟博览会永久会址，为了宣传南宁国际会展中心的特色与魅力．促进会展经济发展．南宁市某中学课外活动小组制作了精美的会展中心特色卡片，并为卡片制作了包装封皮．其中正方形卡片的边长为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形封皮的长和宽； (2)活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)能，计算说明见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）设长方形封皮的长为，宽为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）比较出长方形封皮的长和宽与正方形卡片的边长的大小关系即可得到结论． 【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为； （2）解：能，计算如下： ∵， ∴， ∴活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中． 【例题20-11】．（24-25八年级下·云南昆明·期中）现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出，见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，算出正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 则截出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴， 故答案为： （2）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 题型二十一：与实数运算相关的规律题 【例题21-1】．．（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【例题21-2】．．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.3二次根式 第一篇 专题精析 专题名称 二次根式 专题内容 二次根式的性质 讲解建议 根治知识点和题型进行讲解 考点题型 二十一个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：二次根式的识别 2 题型二：求二次根式的值 5 题型三：求二次根式中的参数 11 题型四：二次根式有意义的条件 15 题型五：利用二次根式的性质化简 22 题型六：复合二次根式的化简 29 题型七：二次根式的乘法 43 题型八：二次根式的除法 51 题型九：二次根式的乘除混合运算 61 题型十：最简二次根式的判断 77 题型十一：化为最简二次根式 83 题型十二：已知最简二次根式求参数 87 题型十三：同类二次根式 89 题型十四：二次根式的加减运算 98 题型十五：二次根式的混合运算 102 题型十六：分母有理化 126 题型十七：已知字母的值，化简求值 133 题型十八：已知条件式，化简求值 146 题型十九：比较二次根式的大小 153 题型二十：二次根式的应用 165 题型二十一：与实数运算相关的规律题 177 第三篇 典型例题汇总 题型一：二次根式的识别 【例题1-1】．（2025·河南郑州·一模）二次根式：一般地，形如（ ）的式子叫做二次根式，其中，叫作 数． 【例题1-2】．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【例题1-3】．（21-22八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-4】．．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例题1-5】．（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题1-6】．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-7】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例题1-8】．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【例题1-10】．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 题型二：求二次根式的值 【例题2-1】．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【例题2-2】．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题2-3】．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【例题2-4】．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例题2-5】．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【例题2-6】．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【例题2-7】．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【例题2-8】．（20-21八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【例题2-9】．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【例题2-10】．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【例题2-11】．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【例题2-12】．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 题型三：求二次根式中的参数 【例题3-1】．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题3-2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例题3-3】．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题3-4】．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【例题3-5】．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【例题3-6】．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【例题3-7】．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【例题3-8】．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【例题3-9】．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 题型四：二次根式有意义的条件 【例题4-1】．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y满足  则 的值为（     ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题4-3】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题4-4】．（2025八年级下·全国·专题练习）如果成立，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．为一切实数 【例题4-5】．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例题4-6】．（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【例题4-7】．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例题4-8】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例题4-9】．（2025·山东·模拟预测）若，则 ． 【例题4-10】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 【例题4-11】．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算的结果是 ． 【例题4-12】．（24-25八年级下·河南焦作·期中）化简： ． 【例题4-13】．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 【例题4-14】．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 【例题4-15】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）若，求的值. 【例题4-16】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用二次根式的性质化简 【例题5-1】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简： ． 【例题5-2】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）直接写出结果： ； ； ． 【例题5-3】．（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： ． 【例题5-4】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【例题5-5】．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 【例题5-6】．（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则的取值范围是 ． 【例题5-7】．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【例题5-8】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-9】．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-10】．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【例题5-11】．（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 题型六：复合二次根式的化简 【例题6-1】．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【例题6-2】．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【例题6-3】．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【例题6-4】．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例题6-5】．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4) ． (5)． (6)． 【例题6-6】．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【例题6-7】．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【例题6-8】．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 【例题6-9】．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知 ，则 ． 【例题6-10】．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2) 已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【例题6-11】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【例题6-12】．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【例题6-13】．（24-25八年级下·福建南平·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值． 【例题6-14】．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【例题6-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【例题6-16】．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 题型七：二次根式的乘法 【例题7-1】．（2025·湖北·二模）计算并化简的结果为（   ） A． B． C．4 D． 【例题7-2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【例题7-3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【例题7-4】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【例题7-5】．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）估算的结果应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【例题7-6】．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）计算： ． 【例题7-7】．（2025·河南许昌·二模）计算的结果为 【例题7-8】．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简： （1） ； （2） ； （3） ；   （4） ． 【例题7-9】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【例题7-10】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【例题7-11】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【例题7-12】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【例题7-13】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 题型八：二次根式的除法 【例题8-1】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【例题8-2】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1) ； (2)． 【例题8-3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式根号内的分母： (1) (2) (3) (4) 【例题8-4】．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【例题8-5】．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： ， ． 【例题8-6】．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【例题8-7】．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）化简 ． 【例题8-8】．（24-25八年级下·重庆石柱·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题8-9】．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习） （1）计算：；（2）计算：． 【例题8-10】．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【例题8-11】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题8-12】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【例题8-13】．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【例题8-14】．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）二次根式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九：二次根式的乘除混合运算 【例题9-1】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题9-2】．（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【例题9-3】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 【例题9-4】．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【例题9-5】．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【例题9-6】．（24-25八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【例题9-7】．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)； (2)． 【例题9-8】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【例题9-9】．（22-23九年级下·安徽宣城·开学考试）计算： (1) ； (2)． 【例题9-10】．（24-25八年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 【例题9-11】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)；(4)． 【例题9-12】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【例题9-13】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题9-14】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【例题9-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【例题9-16】．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【例题9-17】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【例题9-18】．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【例题9-19】．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型十：最简二次根式的判断 【例题10-1】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【例题10-2】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-3】．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例题10-4】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例题10-5】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【例题10-6】．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-7】．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-8】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【例题10-9】．（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-10】．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题10-11】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【例题10-12】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-13】．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【例题10-14】．（24-25九年级上·河南周口·期中）下列各式中，为最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【例题10-15】．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十一：化为最简二次根式 【例题11-1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例题11-2】．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题11-3】．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例题11-4】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例题11-5】．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题11-6】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）化简： （1） ； （2） ； （3）当时， ； （4）当时， ． 题型十二：已知最简二次根式求参数 【例题12-1】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【例题12-2】．（24-25八年级下·河北保定·期中）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题12-3】．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【例题12-4】．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【例题12-5】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【例题12-6】．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【例题12-7】．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 题型十三：同类二次根式 【例题13-1】．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题13-2】．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【例题13-3】．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题13-4】．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列二次根式中，能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 【例题13-5】．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【例题13-6】．（24-25八年级下·河南信阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例题13-7】．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例题13-8】．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 【例题13-9】．（23-24八年级下·山东德州·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【例题13-10】．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 【例题13-11】．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，则 ． 【例题13-12】．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【例题13-13】．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【例题13-14】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）下列二次根式能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【例题13-15】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题13-16】．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【例题13-17】．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【例题13-18】．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【例题13-19】．（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 题型十四：二次根式的加减运算 【例题14-1】．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【例题14-2】．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2) 【例题14-3】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算：． 【例题14-4】．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【例题14-5】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 题型十五：二次根式的混合运算 【例题15-1】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题15-2】．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 【例题15-3】．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 【例题15-4】．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例题15-5】．（24-25八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题15-6】．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算：   【例题15-7】．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【例题15-8】．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）计算： (1) (2) 【例题15-9】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【例题15-10】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，， ，． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)直接写出结果：__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【例题15-11】．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算下列各式： (1) (2) 【例题15-12】．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）计算： (1) (2) 【例题15-13】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算： (1) (2) 【例题15-14】．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【例题15-15】．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题15-16】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)． (2) 【例题15-17】．（24-25八年级下·天津静海·期中）计算： (1)； (2) 【例题15-18】．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题15-19】．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 【例题15-20】．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 【例题15-21】．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【例题15-22】．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【例题15-23】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【例题15-24】．（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【例题15-25】．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【例题15-26】．（24-25八年级下·山西太原·开学考试）计算： (1) (2) 【例题15-27】．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【例题15-28】．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）计算： (1) (2) 【例题15-29】．（2025·上海·模拟预测）计算： 【例题15-30】．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）计算下列各小题： (1) ； (2)． 【例题15-21】．（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：. 【例题15-22】．（24-25八年级下·重庆开州·期中）计算或化简 (1) ； (2) 【例题15-23】．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（1）计算：； （2）计算： 【例题15-24】．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：． 题型十六：分母有理化 【例题16-1】．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 认识二次根式的两个概念（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：，．我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如：；． 请完成以下任务： (1)①写出的一个有理化因式：______； ②将分母有理化的结果是______． (2)化简：． (3)计算． 【例题16-2】．（24-25八年级下·河南安阳·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式． (1)； (2)若是的小数部分，求的值． 【例题16-3】．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ．．．．．． (1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【例题16-4】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【例题16-5】．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【例题16-6】．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【例题16-7】．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 题型十七：已知字母的值，化简求值 【例题17-1】．（2025八年级下·贵州·专题练习）若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 【例题17-2】．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【例题17-3】．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【例题17-4】．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例题17-5】．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题17-6】．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【例题17-7】．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【例题17-8】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 【例题17-9】．（2025八年级下·贵州·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【例题17-10】．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【例题17-11】．（2025·河南洛阳·一模）若，则的值为 ． 【例题17-12】．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【例题17-13】．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【例题17-14】．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【例题17-15】．（24-25八年级下·四川自贡·期末）已知：，，求的值． 【例题17-16】．（24-25八年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中 【例题17-17】．（24-25八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【例题17-18】．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【例题17-19】．（24-25八年级下·天津河北·期中）求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【例题17-20】．（24-25八年级下·福建南平·期中）已知，，求代数式的值． 【例题17-21】．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 【例题17-22】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【例题17-23】．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【例题17-24】．（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【例题17-25】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【例题17-26】．（22-23八年级下·天津东丽·期中）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 题型十八：已知条件式，化简求值 【例题18-1】．（2023·吉林·二模）若，则 ． 【例题18-2】．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 【例题18-3】．（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【例题18-4】．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 【例题18-5】．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【例题18-6】．（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【例题18-7】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 【例题18-8】．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【例题18-9】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【例题18-10】．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知，，求代数式的值． 【例题18-11】．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【例题18-12】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 【例题18-13】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 【例题18-14】．（2024·湖南怀化·一模）已知，求的值． 【例题18-15】．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 【例题18-16】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 题型十九：比较二次根式的大小 【例题19-1】．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题19-2】．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例题19-3】．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例题19-4】．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【例题19-5】．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）比较大小： （选填“”“”或“”）． 【例题19-6】．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【例题19-7】．（22-23八年级上·四川成都·期中）比较大小： ． 【例题19-8】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 【例题19-9】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【例题19-10】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【例题19-11】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）的绝对值是 ，的倒数是 ． 【例题19-12】．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）比较大小： ． 【例题19-13】．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 【例题19-14】．（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【例题19-15】．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【例题19-16】．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【例题19-17】．（22-23七年级下·山东临沂·期中）比较大小： 填“>”，“<”或“=”）． 【例题19-18】．（22-23八年级上·吉林长春·期中）比较大小： ． 【例题19-19】．（22-23八年级下·广东肇庆·期末）比较大小： （在横线上填上<、>或=）． 【例题19-20】．（21-22八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【例题19-21】．（22-23八年级上·江苏·单元测试）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【例题19-22】．（22-23八年级上·广东佛山·期中）比较大小： ； ； . 【例题19-23】．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【例题19-24】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 题型二十：二次根式的应用 【例题20-1】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）观果计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圆恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【例题20-2】．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【例题20-3】．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）学校手工社团计划用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体包装盒（纸板厚度忽略不计），用来展示社团成员的手工作品．制作方法是将该纸板的四个角各剪掉一个面积相等的小正方形，已知小正方形的边长为， (1)若要在这个长方体包装盒的外表面贴上一层装饰纸（不包括剪掉的小正方形部分），求装饰纸的面积； (2)求长方形盒子的体积． 【例题20-4】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 【例题20-5】．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，将面积为48平方厘米的正方形纸板的四个角各剪掉一个边长为厘米的小正方形，得到如图2所示的图形，再沿虚线折起，可得到一个有底无盖的长方体纸箱． (1)求该长方体纸箱的体积； (2)若在该长方体纸箱的侧面（外部）贴上印花纸，求至少需要的印花纸面积． 【例题20-6】．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【例题20-7】．（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【例题20-8】．（24-25八年级下·吉林松原·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【例题20-9】．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【例题20-10】．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）南宁国际会展中心是中国东盟博览会永久会址，为了宣传南宁国际会展中心的特色与魅力．促进会展经济发展．南宁市某中学课外活动小组制作了精美的会展中心特色卡片，并为卡片制作了包装封皮．其中正方形卡片的边长为，长方形封皮的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形封皮的长和宽； (2)活动小组能将卡片不折叠就放入封皮中吗？请通过计算说明理由． 【例题20-11】．（24-25八年级下·云南昆明·期中）现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 题型二十一：与实数运算相关的规律题 【例题21-1】．．（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【例题21-2】．．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$