2.2 平方根与立方根 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.2 平方根与立方根 第一篇 专题精析 专题名称 平方根与立方根 专题内容 平方根和立方根的定义和性质以及相关题型 讲解建议 根据知识点和题型进行详细讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：求一个数的算术平方根 2 题型二：利用算术平方根的非负性解题 10 题型三：估计算术平方根的取值范围 22 题型四：无理数整数部分的有关计算 27 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 40 算术平方根的实际应用 51 题型六：平方根概念理解 58 题型七：求一个数的平方根 67 题型八：求代数式的平方根 77 题型九：已知一个数的平方根求这个数 82 题型十：利用平方根解方程 85 题型十一：立方根概念理解 90 题型十二：求一个数的立方根 94 题型十三：已知一个数的立方根，求这个数 106 利用立方根解方程 110 题型十四：与立方根有关的规律探索 112 题型十五：立方根的实际应用 117 题型十六：算术平方根和立方根的综合应用 119 第三篇 典型例题汇总 题型一：求一个数的算术平方根 【例题1-1】．（24-25七年级下·河南周口·期中）“16的算术平方根是4”，可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．根据算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：“16的算术平方根是4”，可用式子表示为， 故选：B． 【例题1-2】．（2025·贵州·二模）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：． 【例题1-3】．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【例题1-4】．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在给出的一组数中无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②有规律的无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，找出无理数即可． 【详解】解：在中无理数有共2个， 故选：B． 【例题1-5】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，是整数，不是无理数； ，，，是小数或分数，不是无理数； ，（每两个1之间依次增加一个0），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 【例题1-6】．（2025·陕西西安·模拟预测）的值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的定义，会求一个非负数的算术平方根是解题关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例题1-7】．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 【例题1-8】．（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是熟练算术平方根定义． 根据算术平方根的定义直接解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【例题1-9】．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）下列结论正确的是（   ） A．2是无理数 B．的算术平方根是 C．是有理数 D．的平方根是 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、平方根的定义，熟知无理数、算术平方根、平方根的定义是解题的关键．根据无理数、算术平方根、平方根的定义，逐个选项进行判断即可求解． 【详解】解：A、是有理数，本选项说法错误，故本选项不符合题意； B、的算术平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意； C、，是有理数，本选项说法正确，故本选项符合题意； D、的平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例题1-10】．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 【例题1-11】．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．16的平方根是 B．100的算术平方根是10 C．64的算术平方根的相反数是 D．的算术平方根是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根与算术平方根、相反数，熟练掌握平方根与算术平方根的性质是解题关键．根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以16的平方根是，则此项正确，不符合题意； B、因为，所以100的算术平方根是10，则此项正确，不符合题意； C、因为，所以64的算术平方根是8，所以64的算术平方根的相反数是，则此项正确，不符合题意； D、没有算术平方根，则此项错误，符合题意； 故选：D． 【例题1-12】．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【例题1-13】．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 【例题1-14】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是 故答案为：． 【例题1-15】．（2025·云南昆明·模拟预测） ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例题1-16】．（24-25七年级下·福建福州·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 【例题1-17】．（2011·四川泸州·中考真题）计算： ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，乘方，先运算乘方，再求出的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2 【例题1-18】．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若是的一个平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，由是的一个平方根，可得，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵是的一个平方根， ∴， ∴， ∴的算术平方根是； 故答案为： 【例题1-19】．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的算术平方根为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是理解算术平方根的意义． 直接根据算术平方根的意义求解． 【详解】解：的算术平方根为， 故答案为： ． 【例题1-20】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，那么 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查非负数的性质和算术平方根，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，且， 且， ． 【例题1-21】．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 【例题1-22】．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 设，，则，，所以，即，然后由算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 【例题1-23】．（24-25八年级上·山东淄博·期末）若，则的值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．3或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确求出是解题的关键． 先根据完全平方公式得到，进而求出，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，的值为或3． 故选D． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 【例题2-1】．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，，且，则的值等于（   ） A．7 B． C．3 D．7或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，代数式求值，解题的关键是确定m和n的值．由，，得到，根据可得，由此确定m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ，． ∴； 故选：B． 【例题2-2】．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 【例题2-3】．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 【例题2-4】（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到，再由非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例题2-5】．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【例题2-6】．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查算术平方根、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，根据非负性求得a、b的值成为解题的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选C． 【例题2-7】．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知直角三角形的两边长分别为、，且、满足，则此直角三角形的斜边为（   ） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性、非负数的性质、勾股定理等知识点，根据非负数的性质求得求出a与b的值是解题的关键， 由非负数的性质求出a和b的值，然后再分两种情况解答即可． 【详解】解：∵、满足， ∴，即， ①当4是直角边时，其斜边长为； ②当4是斜边时，其斜边长为4． 综上，斜边长为4或5． 故选D． 【例题2-8】．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查二次根式，平方以及绝对值的非负性，熟练掌握非负性是解题的关键．根据二次根式，平方以及绝对值的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 要使， 故， 解得， ． 故选：A． 【例题2-9】．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 【例题2-10】．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，将式子变形为，由算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出，再化简式子可得出，再根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可得出，，进而代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 【例题2-11】．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【例题2-12】．（2025·西藏日喀则·一模）若为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质算术平方根、偶次方，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再根据有理数加法和乘方法则计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 【例题2-13】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三条边长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的非负性，根据非负性求出是解题的关键． 先根据平方和算术平方根的非负性求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴斜边为， 故答案为：． 【例题2-14】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 【例题2-15】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 【例题2-16】．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 【例题2-17】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知b与c满足，某正数的平方根分别是和． (1)求a、b、c的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根的意义等知识，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出，再由平方根的意义得到即可； （2）把（1）中求出的字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵某正数的平方根是和 解得： （2）当时， 【例题2-18】．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，，，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且，，， ∴，，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴9的平方根为， 即的平方根为． 【例题2-19】．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）已知实数a，b满足． (1)求及的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件，开平方，掌握算术平方根的双重非负性是解题的关键． （1）根据算术平方根的被开方数为非负数求出的值，然后代入求出的值即可； （2）利用完全平方公式的变形计算，然后开平方解题即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得， ； （2）解：∵， ∴， ． 【例题2-20】．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，解二元一次方程组，绝对值的性质，二次根式的非负性，根据绝对值的性质，二次根式的非负性可得，，，进而可得，利用非负数的性质列出关于x，y的方程组，解之求出x和y得值，代入求出其平方根即可． 【详解】解：由题意得， ∵且且， ∴， 即 ∴， ， ∴且， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例题2-21】．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知满足，求的算术平方根． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为，先根据算术平方根的非负性，得出，再由非负数之和为，求出，求得的值，进而求得的算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 【例题2-22】（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得，，可得的值，再代入等式求出的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数的算术平方根是非负数，即． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【例题2-23】．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）（1）若，求：； （2）已知与互为相反数，k是64的平方根，求的平方根． 【答案】（1）14；（2）． 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求解，非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）由互为相反数的两个数的和等于0可得：，解得；由k是64的方根，得出，再代入m、n、k的值求得的值，求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵k是64的平方根， ∴； 当时，，由的平方根为； 当时，，没有平方根； 综合上述可得：的平方根为． 题型三：估计算术平方根的取值范围 【例题3-1】．（24-25七年级下·广东东莞·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，求得正方形的边长范围是解题的关键 根据算术平方根的定义，求出大小正方形的长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理和大小方法求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得，， 故，， ∴， ∵， ∴即， 中正方形的可能值为， 故选：C． 【例题3-2】．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【例题3-3】．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【例题3-4】．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根及立方根的计算，化简绝对值，熟练掌握算术平方根、立方根的计算及化简绝对值是解题的关键．根据算术平方根及立方根的定义及绝对值的性质，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【例题3-5】．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【例题3-6】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 【例题3-7】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 【例题3-8】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较，算术平方根的意义是解决问题的关键．根据取到最小值，x为整数，则整数x的取值要更接近，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵取到最小值，x为整数， ∴整数x的取值要更接近， ∵3更接近， ∴当取到最小值，． 故选：C． 【例题3-9】．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 【例题3-10】．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 【例题3-11】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【例题3-12】．（2024·贵州黔南·模拟预测）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵， ∴． 故选：D． 题型四：无理数整数部分的有关计算 【例题4-1】．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【例题4-2】．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【例题4-3】．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 【例题4-4】．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 【例题4-5】．（22-23八年级上·北京·期中）已知，，求和的值． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求代数式的平方根 【分析】先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得，在求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【例题4-6】．（2025·河南平顶山·三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，先计算周长为，再结合，进一步估算即可． 【详解】解：第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …… 第九个三角形的斜边长， 则这个图形周长， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3， ∴与最接近的整数是13， 故选：B． 【例题4-7】．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、立方根的实际应用 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 【例题4-8】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 【例题4-9】．（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的一个平方根是5， ， 解得：． 的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【例题4-10】．（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及求代数式的值，先估算出m，n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例题4-11】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 【答案】11或35 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查了平方根定义，立方根定义及无理数的估算，正确掌握各定义并利用进行计算是解题的关键． 根据平方根定义，立方根定义及无理数的估算，分别求出m、n、p，由此计算． 【详解】解：∵正数m的平方根为和， ∴， 解得或； ∴或 ∵是n的立方根， ∴，解得， ∴， ∴，即2是n的立方根， ∴； ∵p是的整数部分，， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或35． 故答案为：11或35． 【例题4-12】．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【例题4-13】．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵，，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是； （3）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 【例题4-14】．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的大小估算，根据平方根、算术平方根、立方根的定义，估算无理数的大小分别求出的，，的值，然后代入计算即可求解，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的算术平方根为． 【例题4-15】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出，把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的平方根， ， ， ， ； （2）解：的立方根是2， ， ； 是的整数部分，， ， ， 的算术平方根是5． 【例题4-16】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根的含义． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 【例题4-17】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，无理数的估算，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据平方根和立方根的定义即可求出x、y,再估算出，即可求出z； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴； ∵的立方根是， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 【例题4-18】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估值等知识点．由题意分别确定的值即可求解． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分， ∴，，， 解得：， 即，则16的平方根是， ∴的平方根是． 【例题4-19】（24-25八年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)若c是的小数部分，求的立方根． 【答案】(1)6 (2)2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了立方根和平方根、算术平方根的概念，无理数的估算问题，正确求出是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算即的小数部分，再代入求出，即可求解立方根． 【详解】（1）解：的平方根为，的立方根为， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是； （2）解：∵， ∴的整数部分为2， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 【例题5-1】．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 【例题5-2】．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第一行                   第二行                       第三行                     第四行                                       由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第八行共有个数，末尾数为， ∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D． 【例题5-3】．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行第十三个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，数字类规律探究，正确理解题意，找出规律是解题的关键．观察数阵可得，数阵是由组成，第行有个数，第行最后一个数为，那么第八行最后一个数，即第十六个数为，即可求解第八行第十三个数． 【详解】解：依题意，数阵是由组成，第行有个数，第行最后一个数为， ∴第八行最后一个数，即第十六个数为， 那么第八行第十三个数是， 故选：D． 【例题5-4】．（24-25八年级下·重庆·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 【例题5-5】．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 【例题5-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据规律，解答即可． 本题考查了算术平方根的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【例题5-7】．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理分别计算出、、的长，依此即可找出规律．利用勾股定理正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， …… ∴（为大于的自然数）． 故选：C． 【例题5-8】．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左或者向右移动2位，算术平方根的小数点向左或向右移动1位，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知： ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴有无数个正数满足；故③错误； ∵， ∴；故④错误； 故正确的个数有2个； 故答案为：2． 【例题5-9】．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了积的算术平方根的性质，灵活运用此性质是本题的关键． 根据积的算术平方根的性质即可解决． 【详解】解：． 故答案为：． 【例题5-10】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【例题5-11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 【例题5-12】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 【详解】解：， ； 故答案为：． 【例题5-12】．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 【例题5-13】．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 【例题5-14】．（23-24七年级下·广西百色·期末）计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【答案】36 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：36． 【例题5-15】．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 【例题5-16】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)化简：______； (2)写出第个等式（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查找规律，根据题中所给的等式的结构特征，找准规律，按照题中问题，运用规律求解即可得到答案． （1）根据所给的等式即可得到答案； （2）由题中所给的等式，观察特征，即可归纳出规律； （3）根据规律，将等式中的各部分恒等变形即可得到，由算术平方根定义解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… ， 故答案为：； （2）解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第个等式：； （3）解：由规律：可知， ， ， ， …… ， ， ， 即， ，则，解得． 算术平方根的实际应用 【例题5-17】．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【例题5-18】．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)说法错误，见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键； （1）将已知数据代入公式，即可求解； （2）根据题意，求得，进而比较和，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 【例题5-19】．（24-25七年级下·福建福州·期中）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．在各式各样的窗格图案中，有一类是仅由笔直的短木条或铁条沿横、竖、斜方向交错构成的．这样的窗格子给人以明朗、匀称、简洁的感觉．请你用两条相等长度的线段在正方形窗格中设计六种不同的窗格图案，使得这两条线段将正方形窗格分成面积相等的几个部分．当正方形面积为2时，计算出每个部分的面积以及被分割的边的长度并标注在图中． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，正方形的特点，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义．先求出正方形的边长，然后分六种情况，画出图形即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 连接正方形的两条对角线，将正方形分成面积相等的四部分，每部分的面积为，如图所示： 连接两条边的中点，将正方形分成面积相等的4部分，每部分的面积为，边长被分割成，如图所示： 连接一组对边的三等份点，将正方形分成面积相等的3部分，每部分的面积为，被分割的边的长度为，如图所示： 以正方形的两条邻边为边取边长为1的正方形，这样就可以将正方形分为面积相等的两部分，每部分的面积为1，被分割的边为1和，如图所示： 过正方形对角线的交点，将正方形的面积分成相等的四部分，每部分的面积为，被分割成的边长都分成a和两部分，如图所示： 将正方形分成面积相等的3部分，每部分的面积为，以相对的两个角为直角，两条直角边分别为1和，如图所示： 【例题5-20】．（24-25七年级下·北京·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为______（结果保留），正方形团扇的边长为______； (2)通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短（计算过程中取整数3，结果保留小数点后一位，以下数据供参考：，，）． 【答案】(1)， (2)圆形扇面包边长度更短 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了扇形的面积． （1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可； （2）根据圆和正方形的周长公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为：， 正方形团扇的边长为：， 故答案为：，； （2）解：∵圆形团扇的半径为， ∴圆形团扇的周长为：， ∵正方形团扇的边长为， ∴正方形团扇的周长为：， ∵， ∴圆形团扇所用的包边长度更短． 【例题5-21】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形边长； (2)小丽想沿此大正方形纸片边的方向剪出一个长方形（如图2），使剪出的长方形纸片的长与宽的比为，且面积为．你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)拼成的大正方形边长为 (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：； 答：拼成的大正方形边长为； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 长方形的长为，宽为， ∵， ， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【例题5-22】（24-25七年级下·福建厦门·期中）教材中，如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数．由此启发，我们可以尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小．      如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形． (1)所得到的小正方形的边长为______；大正方形的边长为______． (2)把图2中的正方形放在数轴上，如图3，点C表示的数为1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点A翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．是否存在正整数n．使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2025重合？ 【答案】(1)1； (2)不存在 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握等面积法是掌握算术平方根和无理数的意义． （1）根据图形可求出小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长； （2）判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：，边长为； 故答案为：1；； （2）解：不存在． 理由：假设存在正整数，则， ， ， n为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等号不成立．即不存在正整数． 题型六：平方根概念理解 【例题6-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如果，那么叫做的平方根，记作，其中叫做的 ，式子叫做二次根式，叫做 ． 【答案】 算术平方根 被开方数 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根及算术平方根的定义，根据平方根及算术平方根的定义即可得出答案，掌握平方根及算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：如果，那么叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根，式子叫做二次根式，叫做被开方数， 故答案为：算术平方根，被开方数． 【例题6-2】．（21-22八年级下·广西河池·期末）若，则x的值是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根概念理解 【分析】本题考查算术平方根的定义，理解算术平方根的意义是解题的关键．等式两边平方，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：2． 【例题6-3】．（24-25七年级下·北京·期中）正实数的平方根有 个． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的概念，正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：正实数的平方根有2个． 故答案为：2． 【例题6-4】．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： ； ． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根的定义与会求一个数的算术平方根是解题的关键． 根据平方根的定义和算术平方根定义，求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：5；． 【例题6-5】．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若、是2025的两个平方根，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根的性质、代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵、是2025的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题6-6】．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，即平方根是的是． 故答案为： 【例题6-7】．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可建立关于m的方程，解方程求出m的值，再根据平方根的定义求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 【例题6-8】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 【例题6-9】．（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可． 【详解】解：∵，，负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选C． 【例题6-10】．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 【例题6-11】．（2025·陕西渭南·一模）下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．1.01 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解、无理数 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是整数，是有理数，不符合题意； B、1.01是有限小数，是有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 【例题6-12】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得．本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0；负数没有平方根和算术平方根． 【详解】解：A. 2的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项正确，符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 1的平方根是，算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【例题6-13】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法中，不正确的是（　　） A．是121的一个平方根 B．11是121的一个平方根 C．121的平方根是11 D．121的算术平方根是11 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】根据平方根及算术平方根的定义进行逐项判断即可． 本题考查平方根及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是121的一个平方根，11是121的一个平方根，而121的平方根是，其算术平方根为11， 则A，B，D均不符合题意，C符合题意， 故选：C． 【例题6-14】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（   ） A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，然后确定这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴，解得：， ∴这个正数是． 故选C． 【例题6-15】．（24-25七年级下·全国·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”．根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数． 【详解】解：∵2025的两个平方根是m和n， ∴ ， 故选：C 【例题6-16】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】倒数、求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例题6-17】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【例题6-18】．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B 【例题6-19】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键.根据平方根和算术平方根的意义，逐一判断即可. 【详解】①49的算术平方根是7，选项正确； ②负数没有平方根，选项错误； ③的平方根是，，选项错误； ④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确. 故选：B. 【例题6-20】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）下列说法错误的有（    ）个 ①9的平方根是3；②是9的平方根；③是分数；④无理数都是无限小数；⑤的平方根是；⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根，无理数，根据平方根和无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：9的平方根是，故①错误； 是9的平方根，故②正确； 是无理数，不是分数，故③错误； 无理数都是无限小数，故④正确； 的平方根是，故⑤正确； 平方根等于本身的数是0，故⑥错误； 故错误的有3个； 故选：C． 【例题6-21】．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查的是平方根的含义，求解一个数的算术平方根，由非负数的一个平方根的平方可得原数可判断D，由求解一个非负数的算术平方根的方法可判断A，B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【例题6-22】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， 即这个正数的平方根为； 而，即这个正数为25； 故答案为：25． 【例题6-23】．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然后再求出m的值即可． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是和， ∴，解得：． ∴， ∴这个正数m的值为． 故答案为：． 【例题6-24】（24-25八年级下·山东德州·期中）写出一个对字母进行加法、除法和开平方运算的代数式 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、列代数式 【分析】本题主要考查的是列代数式．依据代数式中包含的运算写出代数式即可． 【详解】解：字母进行加法、除法和开平方运算的代数式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 题型七：求一个数的平方根 【例题7-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 【例题7-2】．（24-25七年级下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0的平方根与算术平方根都是0 C．的算术平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据平方根，算术平方根的计算求解即可． 【详解】解：A、没有平方根，故原选项错误，不符合题意； B、0的平方根与算术平方根都是0，正确，符合题意； C、，的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意； D、，的平方根是，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 【例题7-3】．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根以及算术平方根的知识，直接利用平方根和算术平方根的定义化简各项，即可做出判断． 【详解】解：A．，本选项不符合题意； B．，本选项符合题意； C．，本选项不符合题意； D．没有意义，本选项不符合题意． 故选：B 【例题7-4】．（2025·浙江·二模）有理数 是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、求一个数的平方根 【分析】本题考查相反数，绝对值，倒数，平方根，熟练掌握相关概念是银题的关键． 根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是2025的倒数，故此选项不符合题意； B、∵与2025互为相反数，∴是2025的相反数，故此选项符合题意； C、∵2025的绝对值是2025，∴不是2025的绝对值故此选项不符合题意； D、∵2025的平方根是，∴不是2025的平方根，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例题7-5】．（24-25七年级下·广东江门·期中）若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根，注意：一个正数的平方根有两个．先利用平方根求出，再代入求平方根即可． 【详解】解：是4的平方根， ， 的值为或， 的正的平方根是或， 故选：D． 【例题7-6】．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根． 根据平方根的定义求出m的值，再根据算术平方根的定义求出n的值，然后解答即可． 【详解】解：∵m是25的平方根， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【例题7-7】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根为， 故选：D． 【例题7-8】．（24-25七年级下·云南昆明·期中）9的平方根是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键． 根据平方根的定义，可得9的平方根． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：C． 【例题7-9】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式及平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式展开，再将值代入计算，然后求平方根即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故选C． 【例题7-10】．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 将原式利用完全平方公式进行变形，，然后利用平方根求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例题7-11】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整体思想的正确运用是解题的关键． 根据已知，求出，再求出，根据得出，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例题7-12】（24-25七年级下·山东临沂·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 的平方根是， 故选D． 【例题7-13】．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、均为实数，且满足，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式、代数式求值、平方根等知识点，灵活运用整体思想解决实际问题是解题的关键． 设，则，即，再根据平方根求得，进而完成解答． 【详解】解：设，则， 所以，即， ∴， 所以． 故选A． 【例题7-14】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 【例题7-15】（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）13的平方根是（   ） A． B． C． D．169 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：13的平方根是， 故选：A． 【例题7-16】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 【例题7-17】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值，乘方，代数式求值，掌握绝对值，乘方的计算，确定x， y的值是解题的关键．根据题意可得，由确定x， y的值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ； 综上所述，的值等于或． 故选：C． 【例题7-18】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、求一个数的平方根 【分析】本题考查了同类项、平方根的概念，根据同类项的概念即可求出m与n的值，从而可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴， ∵36的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 【例题7-19】．（24-25九年级下·上海·期中）方程的根是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，就是方程的解，也叫做方程的根，熟练掌握方程的根的定义是解题关键． 根据得，令或，分别解方程即可求解． 【详解】解：， ， 当时，解得：； 当时，解得：， 方程的根是或． 【例题7-20】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 【例题7-21】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据平方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【例题7-22】．（24-25七年级下·福建厦门·期中）（1）的相反数是 ； （2）16的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，平方根，解题的关键是掌握负数的相反数是它的绝对值，正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：（1）的相反数是：； （2）16的平方根是：； 故答案为：；． 【例题7-23】．（24-25七年级下·河南信阳·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、求一个数的平方根．首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小，然后代入求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根为． 故答案为：． 【例题7-24】．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）若利用计算器求得，，则根据此值估计的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键． 根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 【例题7-25】．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，结合已知条件求得的值是解题的关键． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到和是互为相反数，然后就可以求出的值，接着根据平方根的定义求出即可解答． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 则， 那么， 故答案为：． 【例题7-26】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平方根的应用、已知一个数的平方根，求这个数、相反数的应用 【分析】本题考查了对平方根和相反数的应用，熟练运用平方根和相反数的应用是解题的关键； 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出这两个根互为相反数，相加为零即可求得的值，进而求解； 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 则， 这个正数是， 故答案为： 题型八：求代数式的平方根 【例题8-1】．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求代数式的平方根 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 【例题8-2】．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为和，其中，，三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式的值、求代数式的平方根 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何运算中的应用、代数式求值以及平方根等知识，理解题意，灵活运用完全平方公式是解题关键． （1）根据图形面积的不同表达方法，即可获得答案； （2）根据（1）中的结论，可有，然后代入求值，再开平方即可； （3）首先根据题意可得，进而可得阴影部分面积，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形面积， 故，，之间的一个等量关系为（答案不唯一）； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴阴影部分面积， ∵，， ∴． 【例题8-3】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 【例题8-4】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用平方差公式进行运算、求代数式的平方根 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，平方根： （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，之间的等量关系； （2）由（1）的等量关系求出，再利用平方差公式即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，四个小长方形的面积为：， 因此有， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ， ． 【例题8-5】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 题型九：已知一个数的平方根求这个数 【例题9-1】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【答案】(1) (2)，的平方根是 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解； （2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ； （2）， 的平方根是， ，的平方根是． 【例题9-2】．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与，求的值． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一元一次方程，算术平方根等知识点，根据平方根的定义进行解题即可，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 解得， ∴． 【例题9-3】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或25 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，平方根的定义，一元一次方程的应用．熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可得，求解即可； （2）根据平方根的定义，可得或，求出a的值，进而即可求出原数． 【详解】（1）解：∵已知的算术平方根为3， ∴， ∴； （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或， 解得：或． 当时，， 当时，， ∴这个数是1或25． 【例题9-4】．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 题型十：利用平方根解方程 【例题10-1】．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知是关于的完全平方式，则常数 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：1． 【例题10-2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查求一个数的平方根，利用平方差公式得到，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 【例题10-3】．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】32 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，利用平方根解方程，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设等腰直角三角形的腰为，由题意得，，求出腰长，即可求解面积． 【详解】解：设等腰直角三角形的腰为， 由题意得，， 解得：（舍负）， ∴面积为：， 故答案为：32． 【例题10-4】．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）①利用完全平方公式把式子变形即可；②利用完全平方公式把式子变形即可； （2）利用完全平方公式把式子变形，再根据平方根的定义解方程即可； （3）利用完全平方公式把式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【例题10-5】．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图、图，请你写出、、之间的等量关系； (2)根据中的结论，若，，试求的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积是正确解答的前提． （1）由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴． 【例题10-6】．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列式子中的值：． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数解答即可． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： 解得：或． 【例题10-7】．（24-25八年级上·北京·期中）阅读材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或． 若，则_______； (2)已知（为整数），．若，求（用含的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了列代数式的变化． （1）根据示例，可以得到，从而得到m的值； （2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果； （3）由题意，得到，从而得到m，n的式子． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，（c，d为整数），， ， ∵，， ∴， ∴或； （3）解： ， ∴，． 【例题10-8】．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）求下列x的值： 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以25，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项，得； 系数化为1，得， ∵； ∴或， 解得或． 题型十一：立方根概念理解 【例题11-1】．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 【例题11-2】（24-25九年级下·广东广州·期中）下列结论错误的是（   ） A．有立方根 B． C． D．是1的平方根 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】此题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解本题的关键． 利用平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：A、有立方根，原结论正确，故此选项不符合题意； B、， 原结论错误，故此选项符合题意； C、，原结论正确，故此选项不符合题意； D、是1的平方根，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例题11-3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）以下说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1 C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根的概念，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、0有平方根，原说法错误，不符合题意； B、算术平方根是本身的数只有1和0，原说法错误，不符合题意； C、任何数都有立方根，原说法正确，符合题意； D、正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【例题11-4】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解、无理数 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，正确理解定义是解题的关键． 根据无理数的定义去甄别即可． 【详解】解：A、是有理数，故该项正确，符合题意； B、是无理数，故该项错误，不符合题意； C、是无理数，故该项错误，不符合题意； D、是无理数，故该项错误，不符合题意； 故选A． 【例题11-5】．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 【例题11-6】（24-25八年级上·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．没有立方根 C．正数的两个平方根互为相反数 D．算术平方根等于它本身的数只有 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、无理数 【分析】本题考查了实数，熟练掌握平方根、立方根、无理数的概念是解题的关键． 根据平方根、立方根、无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：无限不循环小数都是无理数，故此选项不符合题意； B：负数有立方根，的立方根是，故此选项不符合题意； C：正数的两个平方根互为相反数，故此选项符合题意； D：算术平方根等于它本身的数有和，故此选项不符合题意． 故选：C ． 【例题11-7】．（24-25七年级下·天津·期中）下列说法：；；③的平方根是；的算术平方根是；是的平方根；的立方根，平方根都是本身．其中正确的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，根据立方根，平方根，算术平方根的定义逐个进行化简，作出判断即可，正确理解相关概念是解题的关键． 【详解】解：，原说法错误，不符合题意； ，原说法错误，不符合题意； ，负数没有平方根，原说法错误，不符合题意； ∵， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； ∵， ∴的平方根是，原说法错误，不符合题意； 1的立方根是，的平方根是，原说法错误，不符合题意； ∴正确的有个， 故选：． 【例题11-8】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【例题11-9】．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐句进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、1的平方根是，故A选项错误； B、若，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 题型十二：求一个数的立方根 【例题12-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）实数的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念，正确掌握立方根的概念是解题关键． 根据立方根的概念解答即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 【例题12-2】．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，此选项错误，不符合题意； C、是的立方根，此选项正确，符合题意； D、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【例题12-3】．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．4是的立方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 平方根，算术平方根，立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A、是16的平方根，故本选项符合题意； B、4不是的立方根，而是的立方根，故本选项不符合题意； C、的平方根是，故本选项不符合题意； D、的平方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例题12-4】．（2025·陕西西安·模拟预测）（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，注意计算的准确性． 根据求一个数的立方根计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【例题12-5】．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】倒数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了倒数和立方根，由立方根得，由倒数的定义即可求解，理解倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：， 实数与互为倒数， ， 故选：B． 【例题12-6】（2025·四川成都·二模）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了求一个数立方根，无理数的识别，解题关键是化简所给的数． 先求出，再对四个数逐一判断，然后作出选择． 【详解】解：是有理数，不是无理数，故A不符合； 是分数，是有理数，不是无理数，故B不符合； 是无理数，故C符合； 是无限循环小数，是有理数，不是无理数，故D不符合． 故选：C ． 【例题12-7】．（24-25七年级下·福建福州·期中）在下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选：D． 【例题12-8】．（2025·湖南岳阳·二模）8的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作．据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【例题12-9】．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 由即可得到答案． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A． 【例题12-10】．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 【例题12-11】．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】立方根概念理解、求一个数的平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 【例题12-12】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 【例题12-13】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的概念是解题的关键． 先求出，再进行比较即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例题12-14】（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 【例题12-15】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 【例题12-16】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 【例题12-17】（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）计算： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例题12-18】（2025·江苏常州·一模）化简： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【例题12-19】（2025·黑龙江大庆·二模） ． 【答案】/0.25 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础概念题，熟知立方根的概念是解题的关键； 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【例题12-20】（24-25八年级下·重庆·期中）计算： ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，绝对值的计算，掌握立方根的计算是关键． 根据立方根，绝对值的计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【例题12-21】．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 【例题12-22】（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【例题12-23】．（2025·安徽铜陵·三模）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的运算，涉及绝对值、负整数指数幂和立方根的运算．关键步骤是：正确计算各单项的值，注意负号和运算顺序．首先分别计算绝对值、负整数指数幂和立方根，然后按照运算顺序进行减法运算即可得出结果． 【详解】解： ． 【例题12-24】．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的运算以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．熟练掌握运算法则是解题关键． （1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． （2）先移项，求出，再根据平方根的性质得出两个一元一次方程，解方程求出的值即可得答案． 【详解】解：（1） ． （2） 或， ∴或． 【例题12-25】．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 【例题12-26】．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 【例题12-27】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据有理数乘方，绝对值的性质，立方根，算术平方根化简，再算乘方，最后合并即可； （）根据绝对值的性质，立方根，算术平方根化简，再合并即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题12-28】．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期中）已知的平方根是，的立方根是，的平方根是．求： (1)a，b，c的值； (2)的平方根． 【答案】(1)，，的值分别为3，9，12 (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根和立方根的定义，求出a，b，c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求值后，再根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ； ∴，，的值分别为3，9，12； （2）当时， 所以的平方根是． 题型十三：已知一个数的立方根，求这个数 【例题13-1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知a的平方根是，的立方根是b，求的算术平方根． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查的是平方根，立方根，算术平方根的含义，先根据平方根，立方根的含义求解，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵a的平方根是， ∴， ∵的立方根是b， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 【例题13-2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】求代数式的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用算术平方根和立方根知识求得a，b的值； （2）将a，b的值代入，再运用平方根知识进行求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， （2）解：当时，， ∴16的平方根为． 【例题13-3】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的算术平方根． (2)解关于的方程：． 【答案】(1)3； (2)，． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方根和立方根的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意得到，，解得，，代入即可求解； （2）把，代入方程中，求解即可． 【详解】（1）解： 一个正数的两个平方根是和，的立方根为， ，， 解得：，， ， ， 的算术平方根是3； （2）解：，， ， ， ， 解得：，． 【例题13-4】．（24-25七年级下·山西朔州·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12，见解析 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题考查了平方根和立方根知识的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 先运用平方根和立方根知识求得m，n的值，再求得的值，最后运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解：由题目，可知． ． 把代入，得． ． 的算术平方根为12． 【例题13-5】．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是5，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根的概念求出a，立方根的概念求出b，即可得，再由平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【例题13-6】．（24-25七年级下·广东阳江·期中）已知的平方根是，的立方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b，然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 【例题13-7】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)4；5 (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∵13的平方根为， ∴的平方根为． 利用立方根解方程 【例题13-8】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、立方根概念理解 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【例题13-9】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】立方根概念理解、利用平方根解方程 【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握平方根与立方根的概念． （1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可； （2）直接用开立方方法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴或； （2）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴． 【例题13-10】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中x的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根． （1）先移项，将二次项系数化为1，然后开方即可得出x的值； （2）先移项，然后开立方可得出的值，进而可得出x的值． 【详解】（1）解：， 原方程可化为：， 开方，得：； （2）解：， 原方程可化为：， ∴， 解得：． 题型十四：与立方根有关的规律探索 【例题14-1】．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、数字类规律探索 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ……， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例题14-2】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【答案】32 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、数字类规律探索 【分析】本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键． 根据题目提供的方法，类推确定． 【详解】解：由，确定是两位数． 由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2． 如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3． 因此，32768的立方根是32． 故答案为：32． 【例题14-3】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 【例题14-4】．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【例题14-5】．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察规律，，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例题14-6】．（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知，，，，则 ． 【答案】1.285 【难度】0.85 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．据此进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1.285 【例题14-7】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【例题14-8】．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【答案】42 【难度】0.65 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 题型十五：立方根的实际应用 【例题15-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 【例题15-2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 【例题15-3】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．体积为17的正方体的棱长 D．直角边分别为1和4的直角三角形斜边长 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、立方根的实际应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，勾股定理，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，描述正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，描述正确，不符合题意； C、体积为17的正方体的棱长为，描述错误，符合题意； D、直角边分别为1和4的直角三角形斜边长，描述正确，不符合题意； 故选C． 【例题15-4】．（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 题型十六：算术平方根和立方根的综合应用 【例题16-1】．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【例题16-2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 【例题16-3】．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【例题16-4】．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 【例题16-5】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 【例题16-6】．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，根据算术平方根、立方根的定义求出的值，求出的值，再根据平方根的定义求出即可． 【详解】解：的算术平方根是， ， ， ， 的立方根是， 的立方根为． 【例题16-7】．（24-25八年级上·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 【例题16-8】．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【例题16-9】．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 【例题16-10】．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 【例题16-11】．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 【例题16-12】．（20-21八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 【例题16-13】．（20-21七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定义可得，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案． 【详解】解：∵实数的平方根是和， ∴， 解得：． ∴， ∴． ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【例题16-14】．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，从而得出的值，再根据平方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）根据题意得：，， ，， ，， ， 的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.2 平方根与立方根 第一篇 专题精析 专题名称 平方根与立方根 专题内容 平方根和立方根的定义和性质以及相关题型 讲解建议 根据知识点和题型进行详细讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：求一个数的算术平方根 2 题型二：利用算术平方根的非负性解题 10 题型三：估计算术平方根的取值范围 22 题型四：无理数整数部分的有关计算 27 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 40 算术平方根的实际应用 51 题型六：平方根概念理解 58 题型七：求一个数的平方根 67 题型八：求代数式的平方根 77 题型九：已知一个数的平方根求这个数 82 题型十：利用平方根解方程 85 题型十一：立方根概念理解 90 题型十二：求一个数的立方根 94 题型十三：已知一个数的立方根，求这个数 106 利用立方根解方程 110 题型十四：与立方根有关的规律探索 112 题型十五：立方根的实际应用 117 题型十六：算术平方根和立方根的综合应用 119 第三篇 典型例题汇总 题型一：求一个数的算术平方根 【例题1-1】．（24-25七年级下·河南周口·期中）“16的算术平方根是4”，可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】．（2025·贵州·二模）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【例题1-3】．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【例题1-4】．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在给出的一组数中无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-5】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-6】．（2025·陕西西安·模拟预测）的值是（　　） A． B． C．5 D． 【例题1-7】．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【例题1-8】．（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【例题1-9】．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）下列结论正确的是（   ） A．2是无理数 B．的算术平方根是 C．是有理数 D．的平方根是 【例题1-10】．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【例题1-11】．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．16的平方根是 B．100的算术平方根是10 C．64的算术平方根的相反数是 D．的算术平方根是 【例题1-12】．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【例题1-13】．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【例题1-14】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是 ． 【例题1-15】．（2025·云南昆明·模拟预测） ． 【例题1-16】．（24-25七年级下·福建福州·期中）的算术平方根是 ． 【例题1-17】．（2011·四川泸州·中考真题）计算： ． 【例题1-18】．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若是的一个平方根，则的算术平方根是 ． 【例题1-19】．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）的算术平方根为 ． 【例题1-20】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，那么 ． 【例题1-21】．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 【例题1-22】．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 【例题1-23】．（24-25八年级上·山东淄博·期末）若，则的值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．3或 题型二：利用算术平方根的非负性解题 【例题2-1】．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，，且，则的值等于（   ） A．7 B． C．3 D．7或 【例题2-2】．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【例题2-3】．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【例题2-4】（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2-5】．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例题2-6】．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【例题2-7】．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知直角三角形的两边长分别为、，且、满足，则此直角三角形的斜边为（   ） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 【例题2-8】．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 【例题2-9】．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【例题2-10】．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 【例题2-11】．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）若，则的值为 ． 【例题2-12】．（2025·西藏日喀则·一模）若为实数，且，则的值为 ． 【例题2-13】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三条边长为 ． 【例题2-14】．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【例题2-15】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 【例题2-16】．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【例题2-17】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知b与c满足，某正数的平方根分别是和． (1)求a、b、c的值． (2)求的值． 【例题2-18】．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【例题2-19】．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）已知实数a，b满足． (1)求及的值； (2)若，求m的值． 【例题2-20】．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知，求的平方根． 【例题2-21】．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知满足，求的算术平方根． 【例题2-22】（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 【例题2-23】．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）（1）若，求：； （2）已知与互为相反数，k是64的平方根，求的平方根． 题型三：估计算术平方根的取值范围 【例题3-1】．（24-25七年级下·广东东莞·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【例题3-2】．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【例题3-3】．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【例题3-4】．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题3-5】．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【例题3-6】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【例题3-7】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题3-8】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 【例题3-9】．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【例题3-10】．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【例题3-11】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【例题3-12】．（2024·贵州黔南·模拟预测）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 题型四：无理数整数部分的有关计算 【例题4-1】．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【例题4-2】．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【例题4-3】．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【例题4-4】．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【例题4-5】．（22-23八年级上·北京·期中）已知，，求和的值． 【例题4-6】．（2025·河南平顶山·三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【例题4-7】．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【例题4-8】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【例题4-9】．（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【例题4-10】．（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【例题4-11】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 【例题4-12】．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【例题4-13】．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 【例题4-14】．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【例题4-15】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的算术平方根． 【例题4-16】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【例题4-17】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【例题4-18】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【例题4-19】（24-25八年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)若c是的小数部分，求的立方根． 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 【例题5-1】．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【例题5-2】．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【例题5-3】．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行第十三个数是（   ） A． B． C． D． 【例题5-4】．（24-25八年级下·重庆·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【例题5-5】．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【例题5-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 【例题5-7】．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 【例题5-8】．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 【例题5-9】．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则 ． 【例题5-10】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【例题5-11】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【例题5-12】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 【例题5-12】．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【例题5-13】．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【例题5-14】．（23-24七年级下·广西百色·期末）计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【例题5-15】．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【例题5-16】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)化简：______； (2)写出第个等式（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 算术平方根的实际应用 【例题5-17】．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【例题5-18】．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【例题5-19】．（24-25七年级下·福建福州·期中）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．在各式各样的窗格图案中，有一类是仅由笔直的短木条或铁条沿横、竖、斜方向交错构成的．这样的窗格子给人以明朗、匀称、简洁的感觉．请你用两条相等长度的线段在正方形窗格中设计六种不同的窗格图案，使得这两条线段将正方形窗格分成面积相等的几个部分．当正方形面积为2时，计算出每个部分的面积以及被分割的边的长度并标注在图中． 【例题5-20】．（24-25七年级下·北京·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为______（结果保留），正方形团扇的边长为______； (2)通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短（计算过程中取整数3，结果保留小数点后一位，以下数据供参考：，，）． 【例题5-21】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形边长； (2)小丽想沿此大正方形纸片边的方向剪出一个长方形（如图2），使剪出的长方形纸片的长与宽的比为，且面积为．你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【例题5-22】（24-25七年级下·福建厦门·期中）教材中，如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数．由此启发，我们可以尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小．      如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形． (1)所得到的小正方形的边长为______；大正方形的边长为______． (2)把图2中的正方形放在数轴上，如图3，点C表示的数为1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点A翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．是否存在正整数n．使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2025重合？ 题型六：平方根概念理解 【例题6-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如果，那么叫做的平方根，记作，其中叫做的 ，式子叫做二次根式，叫做 ． 【例题6-2】．（21-22八年级下·广西河池·期末）若，则x的值是 ． 【例题6-3】．（24-25七年级下·北京·期中）正实数的平方根有 个． 【例题6-4】．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： ； ． 【例题6-5】．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若、是2025的两个平方根，则 ． 【例题6-6】．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ． 【例题6-7】．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【例题6-8】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【例题6-9】．（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【例题6-10】．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题6-11】．（2025·陕西渭南·一模）下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．1.01 C． D． 【例题6-12】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 【例题6-13】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法中，不正确的是（　　） A．是121的一个平方根 B．11是121的一个平方根 C．121的平方根是11 D．121的算术平方根是11 【例题6-14】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（   ） A．1 B． C．9 D． 【例题6-15】．（24-25七年级下·全国·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 【例题6-16】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【例题6-17】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【例题6-18】．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例题6-19】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题6-20】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）下列说法错误的有（    ）个 ①9的平方根是3；②是9的平方根；③是分数；④无理数都是无限小数；⑤的平方根是；⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 【例题6-21】．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题6-22】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【例题6-23】．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是和，那么这个正数m的值为 ． 【例题6-24】（24-25八年级下·山东德州·期中）写出一个对字母进行加法、除法和开平方运算的代数式 ． 题型七：求一个数的平方根 【例题7-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【例题7-2】．（24-25七年级下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．0的平方根与算术平方根都是0 C．的算术平方根是 D．的平方根是 【例题7-3】．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题7-4】．（2025·浙江·二模）有理数 是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【例题7-5】．（24-25七年级下·广东江门·期中）若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【例题7-6】．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【例题7-7】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 【例题7-8】．（24-25七年级下·云南昆明·期中）9的平方根是（   ） A． B．3 C． D． 【例题7-9】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．8 【例题7-10】．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【例题7-11】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【例题7-12】（24-25七年级下·山东临沂·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例题7-13】．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、均为实数，且满足，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【例题7-14】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 【例题7-15】（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）13的平方根是（   ） A． B． C． D．169 【例题7-16】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【例题7-17】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 【例题7-18】（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）已知与是同类项，则的平方根是 ． 【例题7-19】．（24-25九年级下·上海·期中）方程的根是 ． 【例题7-20】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）的平方根是 ． 【例题7-21】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）的平方根是 ． 【例题7-22】．（24-25七年级下·福建厦门·期中）（1）的相反数是 ； （2）16的平方根是 ． 【例题7-23】．（24-25七年级下·河南信阳·期中）若，则的平方根为 ． 【例题7-24】．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）若利用计算器求得，，则根据此值估计的平方根是 ． 【例题7-25】．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【例题7-26】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 题型八：求代数式的平方根 【例题8-1】．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【例题8-2】．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为和，其中，，三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【例题8-3】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【例题8-4】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 【例题8-5】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 题型九：已知一个数的平方根求这个数 【例题9-1】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【例题9-2】．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与，求的值． 【例题9-3】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 【例题9-4】．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 题型十：利用平方根解方程 【例题10-1】．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知是关于的完全平方式，则常数 ． 【例题10-2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）若，则 ． 【例题10-3】．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为 ． 【例题10-4】．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【例题10-5】．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图、图，请你写出、、之间的等量关系； (2)根据中的结论，若，，试求的值； 【例题10-6】．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列式子中的值：． 【例题10-7】．（24-25八年级上·北京·期中）阅读材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或． 若，则_______； (2)已知（为整数），．若，求（用含的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【例题10-8】．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）求下列x的值： 题型十一：立方根概念理解 【例题11-1】．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 【例题11-2】（24-25九年级下·广东广州·期中）下列结论错误的是（   ） A．有立方根 B． C． D．是1的平方根 【例题11-3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）以下说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1 C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根 【例题11-4】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【例题11-5】．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【例题11-6】（24-25八年级上·全国·期中）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．没有立方根 C．正数的两个平方根互为相反数 D．算术平方根等于它本身的数只有 【例题11-7】．（24-25七年级下·天津·期中）下列说法：；；③的平方根是；的算术平方根是；是的平方根；的立方根，平方根都是本身．其中正确的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题11-8】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【例题11-9】．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 题型十二：求一个数的立方根 【例题12-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）实数的立方根是（   ） A． B． C． D． 【例题12-2】．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【例题12-3】．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．4是的立方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【例题12-4】．（2025·陕西西安·模拟预测）（   ） A．8 B． C．4 D． 【例题12-5】．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【例题12-6】（2025·四川成都·二模）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【例题12-7】．（24-25七年级下·福建福州·期中）在下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【例题12-8】．（2025·湖南岳阳·二模）8的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【例题12-9】．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【例题12-10】．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 【例题12-11】．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ． 【例题12-12】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【例题12-13】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”）． 【例题12-14】（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【例题12-15】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 【例题12-16】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【例题12-17】（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）计算： ． 【例题12-18】（2025·江苏常州·一模）化简： ． 【例题12-19】（2025·黑龙江大庆·二模） ． 【例题12-20】（24-25八年级下·重庆·期中）计算： ． 【例题12-21】．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【例题12-22】（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【例题12-23】．（2025·安徽铜陵·三模）计算： 【例题12-24】．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 【例题12-25】．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【例题12-26】．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【例题12-27】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题12-28】．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期中）已知的平方根是，的立方根是，的平方根是．求： (1)a，b，c的值； (2)的平方根． 题型十三：已知一个数的立方根，求这个数 【例题13-1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知a的平方根是，的立方根是b，求的算术平方根． 【例题13-2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【例题13-3】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的算术平方根． (2)解关于的方程：． 【例题13-4】．（24-25七年级下·山西朔州·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【例题13-5】．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是5，是的立方根，求的平方根． 【例题13-6】．（24-25七年级下·广东阳江·期中）已知的平方根是，的立方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【例题13-7】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 利用立方根解方程 【例题13-8】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 【例题13-9】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）解方程： (1) (2) 【例题13-10】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中x的值： (1) ； (2)． 题型十四：与立方根有关的规律探索 【例题14-1】．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【例题14-2】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【例题14-3】．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【例题14-5】．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察规律，，，则 ． 【例题14-6】．（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知，，，，则 ． 【例题14-7】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【例题14-8】．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 题型十五：立方根的实际应用 【例题15-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【例题15-2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题15-3】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．体积为17的正方体的棱长 D．直角边分别为1和4的直角三角形斜边长 【例题15-4】．（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 题型十六：算术平方根和立方根的综合应用 【例题16-1】．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【例题16-2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【例题16-3】．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题16-4】．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【例题16-5】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【例题16-6】．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若的算术平方根是，求的立方根． 【例题16-7】．（24-25八年级上·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【例题16-8】．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【例题16-9】．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【例题16-10】．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【例题16-11】．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【例题16-12】．（20-21八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【例题16-13】．（20-21七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【例题16-14】．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$