5.5.2 简单的三角恒等变换第2课时 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 第2课时 辅助角公式的推导和应用   一、教学目标 1. 能够利用等式的性质，也可以逆用和差角公式推导出辅助角公式. 2. 通过三角恒等变形，灵活利用公式将三角恒等变形将形如asinx＋bcosx的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数，解决函数的最值、周期、单调性等问题，强化数学运算的核心素养. 3. 会利用辅助角公式求解实际问题中的最值，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； 4. 通过对三角函数中的恒等式变换应用的学习，体会数学来源于生活，最终也服务于生活，提高学习数学的兴趣.   二、教学重难点 重点：辅助角公式的推导；利用辅助角公式和三角函数恒等变换解决实际应用问题． 难点：辅助角推导应用的数学方法和思想；如何将实际问题转换成三角函数恒等变换的问题．   三、教学过程 （一）创设情境 通过提问的方式依次让学生回答和差化积公式有哪些呢？ 师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答：1. 回顾一下和差化积公式有哪些呢？2. 对于更一般的asinx+bcosx（a>0,b>0)这样的形式是否也可以用和差化积公式进行化简呢？等问题引发学生三角函数的恒等式的实际应用的探讨和思考，学生积极讨论. 设计意图：回顾旧知，对三角函数公式加强记忆以及对其使用条件的熟悉，初步了解三角函数中的恒等式变换在实际应用中还可以解决哪些问题提供解决问题的思路和方向, 为接下来的探究作铺垫. （二）探究新知 任务1：探究辅助角公式的推导. 探究：如何将转化成的形式呢？ 问题: 三角函数式y=Asin(x+φ)，利用和差角公式展开为哪种形式？如何推导呢？ 答案: 可化为asinx+bcosx的形式；y=Asin(x+φ)=A(sinxcosφ+cosxsinφ) =Acosφsinx+Asinφcosx 思考：依据等式性质，如何逆用和差角公式将asinx+bcosx转化成的的形式呢？sinx与cosx的系数能否看成同一个角的正弦和余弦？ 教师并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结. 分析： ∵ ，可令 ， 则有 因此，可以得出如下结论：其中 . 追问：类似地，是否可以将其写成余弦的形式呢？ 分析：可以将其写成余弦的差角形式：其中 . 思考：化简：；； 解：； ； 总结：辅助角公式：.（其中）；.（其中） 任务2：探究三角函数性质中的应用 探究：求下列函数的周期，最大值和最小值： （1） y＝sinx+ cosx；（2）y＝3sinx＋4cosx． 教师追问1: 什么样的三角函数式便于求周期，最大值和最小值等性质？ 提示：形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的一个角的一个三角函数名的形式. 教师追问2: 三角函数式y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)，利用和差角公式展开，都可化为哪种形式？ asinωx+bcosωx化为哪种形式？ 提示：1：可化为asinωx+bcosωx的形式；2：Asin(ωx+φ)或者Acos(ωx+φ)的形式. 思考：对于y＝ ，其中sinx与cosx的系数1与 能否看成同一个角的正弦和余弦？满足什么条件的两个实数才可以分别看作同一个角的正弦和余弦?并求解这两个式子. 师生活动：教师可以给以提示：不能；利用同角三角函数关系sin2x+cos2x=1，可知满足m2+n2=1的实数m，n才可以分别看作同一个角的正弦和余弦．并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结. 解：因此，所求周期为，最大值为，最小值为． 设，则． 于是，，于是，所以． 取，则，． 由可知，所求周期为，最大值为，最小值为．  任务3：探究在实际问题中的应用. 探究：如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形. 记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 思考：先需要根据已知条件表示矩形的面积 ，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？你是如何得到的？ 与之间的函数关系需要将这个解析式转化为哪种形式利于求出最值？ 师生活动：教师可以给以提示：在直角△OBC中，得宽BC=sinα． 由图得AB=OB－OA，而在直角△OBC中，得OB=cosα，在直角△OAD中，OA= AD= BC= sinα，所以AB=cosα－sinα．因此，可得S=(cosα－ sinα)sinα=cosαsinα－ sin2α．先利用降幂公式将函数化为y＝asinωx+bcosωx的形式，再利用辅助角公式将其化为y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式，即可求得最值． 并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结. 解：在中，，. 在中，. 所以 设矩形的面积为， 则 由，得 所以当 ，即 时 因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为 . 总结： 1．应用三角函数解决实际问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题； 2．运用三角函数的和角、差角、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcos ωx＋k的形式； 3．借助辅助角公式化为：y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式；4．将ωx+φ看成一个整体研究函数的性质. 设计意图：体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了三角函数中的恒等式变换在实际应用中的运用;通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握三角函数中的恒等式变换利用辅助角在实际应用，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生逻辑推理的核心素养. （三）应用举例 例1 已知函数． 求的最小正周期及单调递减区间； 求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时的值． 解： ， ． 函数的单调递减区间为： ， ， ． 函数的单调递减区间为：． 由得，， 当，即时，取得最小值为， 当，即时取得最大值为． 例2：设中的内角，，的对边分别为，且． 求 若，的周长为，求的面积． 解：由得， 由正弦定理得， 即， 即， 因为，所以， 故， 即，因为，所以， 故A 因为，的周长为， 所以，由余弦定理得， 即，解得， 故， 所以的面积为．  例3： 如图，，是单位圆上的点，，分别是圆与轴的两交点，为正三角形．若点坐标为，求的值；若，四边形的周长为，试将表示成的函数，并求出的最大值． 解：； ， 因为，所以， 则，即时，的最大值为．  设计意图：考察了学生独立完成利用三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数数学模型解决实际应用问题的能力, 在变换过程中，化高次为一次，化多项为一项，化陌生为熟悉，渗透了化归思想．，时刻留意辅助角的使用条件和注意事项，控制难度，逐步培养学生用数学模型解决问题的能力． （四）课堂练习 1.关于函数，下列说法中正确的是(    ) A. 其表达式可写成 B. 曲线关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. ，使得恒成立 解：，所以A错误， ，所以B错误， 当，，，所以C正确， 若，使恒成立，说明是的一个周期，而与最小正周期为矛盾，所以D错误． 2.若，则在上的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：， ， ，． 则在上的最大值为， 故选B． 3.，则          化成的形式 解：由题意，， ， 因为， 所以， 则， 故 ． 故答案为：． 4.当时，函数取得最大值，则          ． 解：， 其中，， 当，即时，取得最大值， 此时， ，同理得， ， ， 故答案为． 5.如图，一质点在以为圆心，为半径的圆周上逆时针匀速运动，角速度为，初始位置为，，秒后转动到点设． 求的解析式，并化简为最简形式； 如果曲线与直线的两个相邻交点间的距离为，求的值． 解：由题意知，，， 所以 由，得， 所以，或，， 即或， 由，得； 由，得， 综上，或．  设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固辅助角公式的推导的数学方法和思想；如何利用辅助角公式和三角函数恒等变换解决实际应用问题的相关知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课所学内容，回答下列问题： 设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容. 学科网（北京）股份有限公司 $$