第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版九年级上册

第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D． 5．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 6．从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．已知m是方程的一个根，则的值是 ． 8．若一元二次方程配方后为，则 ． 9．淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 10．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 11．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 12．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是 ． 14．如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ． 15．在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ． 16．已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 18．（8分）已知是方程的根，求代数式的值． 19．（8分）选择适当的方法解方程： (1) (2) 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 21．（8分）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 22．（8分）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 23．（8分）阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 24．（8分）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 25．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 26．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 27．（10分）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 2．若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】把代入，得，， 【点睛】考察了根据一元二次方程的根求参数，注意代数式的正确变形是关键 3．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵于x的一元二次方程， ∴设方程两个实数根分别为， ∴，， ∵两个实数根的平方和为52， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：B． 6．从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 【答案】C 【详解】解：当、5是方程的根时， ， 解得： ， 当5、是方程的根时， ， 解得： ， 当、是方程的根时， ， 解得：， ， ， 的值最大为， 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．已知m是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若一元二次方程配方后为，则 ． 【答案】2 【详解】解：由可得， ∴，， ∴， 故答案为：2． 9．淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 【答案】 【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：． 10．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， ， ． 故答案为：． 11．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：根据新运算，对于，有： 整理为 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 即 解得 12．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】1 【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是 ． 【答案】4 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴且， 解得：且， m的最大整数解为4． 故答案为：4． 14．如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ． 【答案】15 【详解】解：根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：15． 15．在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ． 【答案】 【详解】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为， ． 小刚看错了常数项c，得到的解为， ， ． ∴正确的一元二次方程为． 故答案为：． 16．已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 18．（8分）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：是方程的根， ， ． 19．（8分）选择适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 于是得，或， ， （2）解： ∴， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴， 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 21．（8分）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 22．（8分）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 23．（8分）阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 【答案】(1)4，18 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（8分）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】的值 【详解】解：∵ ， ∴无论取何值，此方程必有实数根； 当腰1时，则或有一条边为腰， 的解为1， ∴， 解得：， ∵时， 解得原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在， ∴不合题意，应舍去， 当1为底时，则为腰， 方程有两个相等的实数根， ，解得， ∴， 方程两根为，此时三角形三边为1，3，3，这样的三角形存在， 综上所述，的值． 25．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或时，线段的长为 (2)不存在，理由见解析 (3)存在， 【详解】（1）解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； （2）解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 26．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 27．（10分）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【详解】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$