1.1 集合的概念与表示讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

1.1集合的概念 知识梳理 一．集合的有关概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 【注】 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中所看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等 3．集合相等：当构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 二．集合的表示 1．自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法. 如：①大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. ②方程−1=0的解集 2．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 如：①{1，2，3，4，5} ②{1，(2,3),{1，2}} 【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 3．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 如：①{x∈R|x2﹣3x﹣4＝0} {x|x2﹣3x﹣4＝0 , x∈R} {x|x2﹣3x﹣4＝0} ②{} 4．图示法 图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等. （1） Venn图：在数学中，常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做韦恩（Venn）图。 如：1，2，3，4 （2）区间 设，且，实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”．实数集也可以用表示． 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 一类特殊的区间 三．元素的特性 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 四．元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． Eg：菱形，. 2．集合的常见分类 (1)根据集合里元素的个数，可分为 有限集：集合里元素的个数是有限的 无限集：集合里元素的个数是无限的 Eg：奇数集属于无限集，. （2） 根据集合里元素的性质，可分为 点集：集合里的元素是点 数集：集合里的元素是数字 3．常用的数集及其记法 典例剖析 【考点一 集合的有关概念及表示】 【题型一 集合的判断(判断元素能否构成集合)】 【总结归纳】判断集合，从集合元素的3个特征出发去判断 1.文字型：抓“确定性”——看标准是否明确，文字中是否出现不明确的词语 2.数字型：抓“互异性”or“无序性”——看是否有重复数字，顺序是否有影响 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【来源】暑假预习专题01 集合（1） 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【题型二 集合的表示方法】 【方法点拨】集合的表示 1.列举法：①求出集合的元素；②一一列举所有元素出来，注意相同元素只能列举一次． 2.描述法： ①先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内 2．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】四川省成都市青白江区鸿鹄高级中学2023-2024学年高一上学期九月月考数学试题 【知识点】列举法表示集合 【分析】 （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【详解】 （1） . （2）. （3）且， ． ，即． ． （4），，， 或或 ． 【练习】表示下列集合： (1)由大于且小于的偶数组成的集合； 【答案】(1)有限集； 【详解】（1）有限集. (2)方程组的解集． 【答案】 【来源】重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期九月测试数学试题 【知识点】列举法表示集合、方程组的解集 【分析】解方程组，得到解集. 【详解】，两式相减得，解得， 代入，可得， 故方程组的解集为. 故答案为： 3．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集组成集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2)，无限集； (3)，无限集. (4) 【来源】上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测考试数学试卷 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1），无限集.； （2），无限集. （3），无限集. （4）利用描述法表示集合. 【考点二 元素与集合的归属关系】 【题型一 判断元素与集合的关系】 【归纳总结】判断元素与集合的关系 直接法：如果集合中的元素是直接给出，→看该元素在已知集合中是否出现． 推理法：对于一些没有直接表示的集合，→看该元素是否满足集合中元素所具有的特征， ∴要先对集合进行化简 4．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【来源】1.1 集合的概念——课后作业（基础版） 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 5．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 【答案】 【来源】1.1.1 集合及其表示方法——课后作业（巩固版） 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】（1）空集不含任何元素，故； （2）因为，所以 ； （3）因为，所以 ； （4）因为，所以2017 . 故答案为：；；； 【变式】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 【题型二 根据元素与集合的归属关系求参】 【归纳总结】根据元素与集合的关系求参数的解题思路 ①先利用确定性解出字母所有可能值，讨论谁与谁相等 ②根据互异性对集合中元素进行检验，看是否满足题目要求 注意分类讨论． 6．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025届高三下学期学科热身卷（一）数学试题 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【变式】已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【来源】01 限时小练1 集合的概念与表示 高中数学必修第一册�SJ 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 7．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省名校联盟2024-2025学年高三阶段性测试（六）数学试题 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【变式】已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省2024-2025学年高一上学期期中调研测试数学试卷 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【题型三 集合相等】 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【来源】1.1 集合的概念与关系课前�考点引领基础再现 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 9．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【来源】海南省儋州某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【变式】设a，，若集合，则 . 【答案】0 【来源】重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【考点三 集合中元素的个数问题】 【题型一 集合中元素个数的判断】 10．由实数所组成的集合最多含（    ） A．3个元素 B．2个元素 C．4个元素 D．5个元素 【答案】B 【来源】山西省运城市教育联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】通过分类讨论，对算式进行化简，判断集合中元素的个数. 【详解】当时，，集合中只有1个元素0； 当时，，集合中只有2个元素和； 当时，，集合中只有2个元素和. 所以实数所组成的集合最多有2个元素． 故选：B 【变式】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【来源】【课后练】 1.1.1.1 集合与元素课后作业-湘教版（2019）必修（第一册）第1章 集合与逻辑 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 11．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【来源】浙江省”南太湖“联盟2024-2025学年高一上学期第一次联考数学学科试题 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 【变式】已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【来源】04 题组4 集合中的新定义、应用探索问题 高中数学必修第一册�RA�巅峰版 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 【题型二 根据集合中元素个数求参】 12．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【来源】江苏省连云港市海州区四校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合中元素的个数求参数、描述法表示集合 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 【变式】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【来源】01 题组1 集合的概念与表示 高中数学必修第一册SJ�巅峰版 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 13．（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省丹东市第二中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先将分式方程化为整式方程，然后根据题意可得，或方程有一个根为3或0，从而可求出的值. 【详解】由，得，即， 因为方程的解集为单元素集， 所以，或方程有一个根为3或0， 当时，得，此时方程的解为，符合题意； 当方程有一个根为3时，得，此时方程为， ，解得（舍去），或，符合题意； 当方程有一个根为0时，得，此时方程为，解得（舍去），或，符合题意； 综上，或或. 故选：ABD. 14．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 【答案】/ 【来源】上海市市西中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案. 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 知识梳理 一．集合的有关概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 【注】 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中所看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等 3．集合相等：当构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 二．集合的表示 1．自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法. 如：①大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. ②方程−1=0的解集 2．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 如：①{1，2，3，4，5} ②{1，(2,3),{1，2}} 【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 3．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 如：①{x∈R|x2﹣3x﹣4＝0} {x|x2﹣3x﹣4＝0 , x∈R} {x|x2﹣3x﹣4＝0} ②{} 4．图示法 图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等. （1） Venn图：在数学中，常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做韦恩（Venn）图。 如：1，2，3，4 （2）区间 设，且，实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”．实数集也可以用表示． 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 一类特殊的区间 三．元素的特性 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的． Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 四．元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． Eg：菱形，. 2．集合的常见分类 (1)根据集合里元素的个数，可分为 有限集：集合里元素的个数是有限的 无限集：集合里元素的个数是无限的 Eg：奇数集属于无限集，. （2） 根据集合里元素的性质，可分为 点集：集合里的元素是点 数集：集合里的元素是数字 3．常用的数集及其记法 典例剖析 【考点一 集合的有关概念及表示】 【题型一 集合的判断(判断元素能否构成集合)】 【总结归纳】判断集合，从集合元素的3个特征出发去判断 1.文字型：抓“确定性”——看标准是否明确，文字中是否出现不明确的词语 2.数字型：抓“互异性”or“无序性”——看是否有重复数字，顺序是否有影响 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【题型二 集合的表示方法】 【方法点拨】集合的表示 1.列举法：①求出集合的元素；②一一列举所有元素出来，注意相同元素只能列举一次． 2.描述法： ①先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内 2．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3)； (4)； 【练习】表示下列集合： (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)方程组的解集． 3．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集组成集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【考点二 元素与集合的归属关系】 【题型一 判断元素与集合的关系】 【归纳总结】判断元素与集合的关系 直接法：如果集合中的元素是直接给出，→看该元素在已知集合中是否出现． 推理法：对于一些没有直接表示的集合，→看该元素是否满足集合中元素所具有的特征， ∴要先对集合进行化简 4．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 5．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 【变式】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型二 根据元素与集合的归属关系求参】 【归纳总结】根据元素与集合的关系求参数的解题思路 ①先利用确定性解出字母所有可能值，讨论谁与谁相等 ②根据互异性对集合中元素进行检验，看是否满足题目要求 注意分类讨论． 6．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【变式】已知集合，则实数a的值为 ． 7．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式】已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型三 集合相等】 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 9．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式】设a，，若集合，则 . 【考点三 集合中元素的个数问题】 【题型一 集合中元素个数的判断】 10．由实数所组成的集合最多含（    ） A．3个元素 B．2个元素 C．4个元素 D．5个元素 【变式】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 11．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式】已知集合，，记且.则 ， . 【题型二 根据集合中元素个数求参】 12．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【变式】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 13．（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 14．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$