1.1 集合的概念与表示 讲义-2025年暑期新高一数学苏教版（2019）第一册

第一章——集合 1.1集合的概念与表示 知识点一、集合与元素的含义 概念 表示 集合 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合 通常用大写拉丁字母来表示，例如集合A、集合B等 元素 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元 集合的元素常用小写拉丁字母a,b,c……表示 例1、 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A、 参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B、 小于5的正整数 C、 2023年高考数学难题 D、 所有无理数 知识点二、集合中元素的特性 确定性、互异性、无序性 例2-1、下列说法正确的是（ ） A、我校爱好足球的同学组成一个集合 B、｛1，2，3｝是不大于3的自然数组成的集合 C、集合｛1，2，3，4，5｝和｛5，4，3，2，1｝表示同一个集合 D、数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 例2-2、已知-3是由x-2，2x2+5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值。 知识点三、元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 例3、已知集合A是由元素x组成的，其中x=m+n，m，n∈Z(整数集）。设x1= ，x2= ,x3=()2,试判断x1,x2,x3与A之间的关系。 知识点四、集合的表示方法与分类 1、 常用数集及其记法 自然数集N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 例4-1、下列关系中不正确的是（ ） A、0∈N B、π∉R C、∈Q D、-3∉N 2、 三种常用的集合表示方法 对于集合，我们除了用自然语言（用文字叙述的形式描述集合的方法）描述，还有三种常用方法。 （1） 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法是列举法（逗号隔开） （2） 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征p(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|p(x)}。（花括号，分隔线，代表元素，代表元素的性质（所满足的条件）） （3） 图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示集合，称为Venn图。 例4-2、用列举法表示下列集合： （1）{x|x<7,x∈N}； （2）平方后仍等于原数的数组成的集合； （3）小于10的正偶数组成的集合； （4）{∈N|x∈N}。 例4-3、用描述法表示下列集合： （1）所有能被4整除的自然数组成的集合； （2）平面直角坐标系中的第一象限的点所组成的集合； （3）所有平行四边形组成的集合； （4）不等式5x+10<0的解集。 3、集合的分类 （1）按集合中元素的类型可分为：数集，点集，图形集，人物集，事物集等； （2）按集合中元素的个数可分为：有限集，无限集，空集。 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Ø 例4-4、下列集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？哪些是空集？ （1）小于100的全体质数组成的集合； （2）线段AB内包含AB的中点M的所有线段组成的集合； （3）A={x||x|+1=0}; （4）A={(x,y)|y=2x+1}。 知识点五、集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等。 用符号语言可以表述为：若对任意x∈A，有x∈B，且对任意x∈B，有x∈A，则A=B 例5、 设集合A={a|a=n2+1,n∈Z}，集合B={b|b=k2-4k+5,k∈Z}，试判断集合A与集合B的关系。 能力点1、集合的不同表示方法的转换 例1、 用适当的方法表示下列集合： （1） 方程（x-2）2+（y+3）2=0的解集； （2） A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}; （3） 平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； （4） 不等式2x+3>7的解集。 能力点2、数集与点集的区分方法 例2、 给出下列说法：（1）方程+｜3y+3｜=0的解集是{,-1}；（2）方程x2-x-6=0的解集为{(-2,3 )}；（3）集合A={y|y=2x2-1}，B={(x,y)|y=2x2-1}，C={y=2x2-1}表示同一个集合。其中说法正确的个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 能力点3、集合中新定义问题 例3、 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”。 （1） 判断集合A={-1,1,2}是否为“可倒数集”； （2） 试写出一个含3个元素的“可倒数集”。 能力点4、集合与方程的综合问题 例4、 已知集合A={x∈R|ax2=4x+2}，其中a∈R。 （1） 若1∈A，用列举法表示集合A； （2） 若集合A中有且仅有一个元素，求实数a的值组成的集合B。 易错1、用列举法表示下列集合： （1） A={x∈N|∈N}; （2） B={∈N|x∈N}。 易错2、写出方程x2-(a+1)x+a=0的解集。 易错3、已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}。 （1） 当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素； （2） 当A中有两个元素时，求a满足的条件； （3） 当A中至少有一个元素时，求a满足的条件。 真题练1、已知集合{a,b,c}={0,1,2}，且下列三个关系：（1）a≠2；（2）b=2；（3）c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于_______________。 真题练2、已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ） A、9 B、8 C、5 D、4 真题3、设整数n≥4，集合X={1,2,3……，n}。令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X，且三个条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}。若（x,y,z）和（z,w,x）都在S中，则下列选项正确的是（ ） A、 （y,z,w)∈S，（x,y,w）∉S B、 （y,z,w)∈S，（x,y,w）∈S C、 （y,z,w)∉S，（x,y,w）∈S D、 （y,z,w)∉S，（x,y,w）∉S 达标检测： 1、 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A、 上课迟到的学生 B、 小于π的正整数 C、 2023年高考数学试卷上的难题 D、 所有有理数 2、 已知集合M中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ） A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 3、 （多选）下列关系中，正确的有（ ） A、 ∈R B、∈Q C、-2∉Z D、-∉N 4、 已知集合M={x|x=a+b，a∈Z,b∈Z}，则下列选项中错误的是（ ） A、 ∈M B、∉M C、∈M D、∈M 5、 （多选）已知集合M={1,m+2,m2+4}，且5∈M ，则m的可能取值有（ ） A、1 B、-1 C、3 D、2 6、 已知M={a-3,2a-1,a2+1}，N={-2,4a-3,3a-1}，若M=N，则实数a的值为_________。 7、 方程组的解集是（ ） A、 {(3,-1)} B、{3,-1} C、{x=3,y=-1} D、{x=-1,y=3} 8、 下列各组是相等集合的是（ ） A、 M={(3,2)}，N={(2,3)} B、 M={(x,y)|y=-2x+1}，N={y|y=-2x+1} C、 M={1,2}，N={2,1} D、 M={2,4}，N={(2,4)} 9、 已知关于x 的方程｜x2-6x|=a(a>0)的解集为P，则P中所有元素的和是（ ） A、3或6或9 B、6或9或12 C、9或12或15 D、6或12或15 10、（多选）已知x,y,z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A、0∉M B、2∉M C、-4∈M D、4∈M 11、（多选）当一个非空数集F满足条件“若a,b∈F，则a+b，a-b，ab∈F，且当b≠0时，∈F ”时，称F为一个数域，以下说法正确的是（ ） A、0是任何数域的元素 B、 若数域F有非零元素，则2021∈F C、 集合P={x|x=3k,k∈Z}为数域 D、 有理数为数域 12、 已知a、b∈R，若{a,,1}={a2,a+b,0},则a2022+b2022=_________。 13、 设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则∈A。 （1） 若2∈A，试证明A中还有另外两个元素； （2） 集合A中是否为双元素集合，并说明理由； （3） 若集合A中元素不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A。 14、 已知集合A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}，且_________。求实数a的值组成的集合。 在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题。 （1）集合A中仅有一个元素；（2）集合A中有两个元素；（3）集合A中没有元素。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$