专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级上册

专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型 目录 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 7 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 16 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 23 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 30 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 例题：如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 2．如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练】 1．如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点． （1）反比例函数的解析式为 ； （2）若，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 （1）把点代入，即可得到答案； （2）连接并延长交轴于，构造等腰，进而得到点的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，再解方程组即可得到点的坐标． 【详解】 解：(1)反比例函数图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 故答案为：； (2)连接并延长交轴于，如图所示： 由，可得， ， ，， ， ， ，即， ， ， 设的解析式为， 将，代入可得， 解得， 的解析式为， 联立方程组， 解得或， 点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用． 2．如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解； （3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，点， ∴ 将点代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∵ ∴ 将代入直线的解析式中，得： ， 解得：， ∴直线的解析式， 联立和得： ， 解得：，， ∴反比例函数与的交点为：如图： ∴不等式时，即，的取值范围是和． （3）解：设分别与轴交于点，如图： 由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积， ∵点， ∴点到轴的距离为， 又∵， ∴． 3．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1)4 (2)当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，设，根据E为中点，且点E在y轴上，得出，再利用平行四边形的性质表示出点的坐标，结合反比例函数的图像经过C、D两点，求出的值，再把点代入即可解答； （2）由（1）得，反比例函数解析式为，，，根据题意分①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线三种情况讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得：， ，， 设， E为中点，且点E在y轴上， ， 解得：， ， ， ，， ， 反比例函数的图像经过C、D两点， ， 解得：， ，， 代入到，得， 的值为4． （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，，， 设，， ①当为对角线时，则， 解得：， ，； ②当为对角线时，则， 解得：， ，； ③当为对角线时，则， 解得：， ，． 综上所述，当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，，． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 例题：如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质， 三角形的中位线定理等； （1）由矩形的性质得，可得，，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解； 掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 点的纵坐标为， ， ， ，； 故答案：，； （2）解：过作轴交于，作轴交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 反比例函数经过，两点， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 2．如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m． (1)求点A的纵坐标（用m表示）： (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用平方根解方程等知识，解题应用了数形结合的思想． （1）过点作交于点，易知，求出即可求出点的纵坐标，代入即可求出点的横坐标； （2）当时，，可求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，   点是对角线的中点，四边形是矩形， 点是与的交点， 又， ， ， ，即点的纵坐标为； （2）解：当时，， 点的纵坐标为， ，， ， ， ， 则，即， 解得：，（舍去）， ， 3．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的性质可得，则，解方程求出a的值即可求出k的值； （2）先求出直线解析式，进而求出点M的坐标，再根据三角形 面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 两点在上， ， ， （2）解：设直线的解析式为： 把代入得，， ∴直线的解析式为 在中，当时，， ． ． 4．四个角都是直接的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． (1)直接写出三点的坐标； (2)将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、坐标平移、反比例函数的性质，熟练掌握矩形对边平行且相等、坐标平移规律、反比例函数的应用是解题的关键． （1）求、、三点坐标：根据矩形性质，垂直轴，平行轴，结合点坐标、和的长度确定坐标． （2）求平移距离和反比例函数解析式：先得出平移后、坐标，利用反比例函数（、在反比例函数上，值相等）列方程求，再代入求． （3）求的面积：确定、坐标，用三角形面积公式（以为底，纵坐标为高 ）计算． 【详解】（1）解：四边形是矩形，轴，，，垂直于轴 点的横坐标与相同，纵坐标为，即 ，轴， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 四边形是矩形，， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 （2）解：矩形向右平移个单位，平移后，平移后 、在上， 即 两边同乘得： 展开： 移项： 合并：，解得 ， 则， 反比例函数解析式为 （3）解：由平移知平移后，即，， 在轴投影长度纵坐标 在轴投影长度为，纵坐标为 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 例题：如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解； （2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴， 四边形是菱形，边长为5， ， 的纵坐标为4，横坐标为， ， 为的中点，在反比例函数上， 的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）∵， ∴反比例函数解析式是 ∵E在AB的垂直平分线上，A，， E点横坐标为， 把代入 得：， ， 如图，过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于F， 则，，，，， ． 【变式训练】 1．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)一次函数的解析式是；反比例函数的解析式是； (2)见解析． 【分析】把点的坐标代入，求出值即可得到一次函数的解析式，根据一 次函数的解析式求出点的坐标是，又因为点为的中点，可得点的坐标是，根据轴于点，且，可得点的坐标是代入，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； 由点、、的坐标可知和互为垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 当时，可得：， 点的坐标是， 点为的中点， 点的坐标是， 轴于点，且， 点的坐标是， 把点的坐标是代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式是； （2）证明：由可知点的坐标是， 是的垂直平分线， ，， 又， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与 反比例函数的综合、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据点的坐标得到和互为垂直平分线，根据垂上平分线的性质进行证明． 2．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过D作于E，根据A、B的坐标求出，结合菱形的面积为15求出，根据勾股定理求出，则可求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移性质求出点B平移后的坐标，然后代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形的面积为15， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵菱形ABCD向上平移m个单位长度， ∴点B平移后的坐标为， ∵平移后点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即平移距离为1． 3．如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 4．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 例题：如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 【变式训练】 1．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求，根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【详解】解：根据的几何合义，易知， 两个正方形面积分别是和， 两个正方形的边长分别是和， 设，， 则， ， 解得：， ， ， 故答案为：，． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，利用一线三等角模型求得点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴于点，则，证明求得点坐标，再利用中点公式求得点坐标，代入即可解答． 【详解】（1）解：将点分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解： 点， ， 如图，过点作轴于点，则． 四边形是正方形， ． ． ， ． ， ， ， ， 点的坐标为， 点， 点的坐标为，即， 反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点， ． 3．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)反比例函数解析式为 【分析】本题主要考查正方形的性质，反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象与几何图形面积的计算方法是关键． （1）根据正方形的性质得到，由反比例函数图形的性质得到，则，，则，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象与交于点，与交于点， ∴当时，， ∴，则， 当时，，则， ∴，则， ∴； （2）解：根据上述证明得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴反比例函数解析式为． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)平移的距离为个单位 【分析】本题考查了反比例函数与坐标图形，掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，将代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，然后根据得出，即可求解； （3）设平移后的对应点为，代入（1）中的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为，点的横坐标为 ∵点的坐标为，为边的中点， ∴ ∴正方形的边长为 ∴，则 ∵， ∴，则的横坐标为 ∴； （3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为 ∵在上， ∴ 解得：，即平移的距离为个单位． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 反比例函数与几何图形的综合的五种模型 目录 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 7 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 16 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 23 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 30 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 例题：如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【变式训练】 1．定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 2．如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【变式训练】 1．如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点． （1）反比例函数的解析式为 ； （2）若，点的坐标为 ． 2．如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 3．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 例题：如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【变式训练】 1．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 2．如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m． (1)求点A的纵坐标（用m表示）： (2)当时，求m的值． 3．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 4．四个角都是直接的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． (1)直接写出三点的坐标； (2)将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 例题：如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【变式训练】 1．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 2．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 3．如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 4．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 例题：如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【变式训练】 1．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 3．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$