专题14 圆的基本性质章末易错压轴题型（17易错+7压轴）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题14 圆的基本性质章末易错压轴题型 （17易错+7压轴） 易错题型一 圆的基本概念 1．下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 【答案】A 【分析】此题考查了圆弧的认识．根据：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，逐一判断即可． 【详解】解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦． 观察四个选项，只有选项A说法正确， 故选：A． 2．如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． 【答案】 ， / 【分析】本题主要考查了圆的相关定义，正确识别半径和直径成为解题的关键． （1）根据半径的定义即可解答； （2）根据直径的定义即可解答． 【详解】解：（1）如图，在 中， 半径有，． （2）如图，在 中， 直径有． 故答案为：；． 3．如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．由，，得，，根据等边对等角得，从而，再利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 易错题型二 圆中弦的问题 4．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 5．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 6．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 易错题型三 点与圆的位置关系 7．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 8．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 9．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 易错题型四 三角形外接圆 10．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 12．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 易错题型五 尺规作圆 13．如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 14．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 15．如图， (1)画出三角形的外接圆． (2)画出三角形的内切圆 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆和内切圆，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线和角平分线． （1）先作出、的垂直平分线，确定圆心O的位置，然后再以O到任意一个顶点的距离为半径画圆即可； （2）先作出和的角平分线，两条角平分线的交点E为内切圆的圆心， 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形的外接圆； （2）解：如图，即为所求作的三角形的内切圆．过点E作的垂线，交于点F，以点E为圆心，长为半径画圆即可． 易错题型六 图形的旋转问题 16．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点，恰好在同一条直线上时，设，则旋转角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．由旋转得，，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由旋转得：，， ∵点，恰好在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即旋转角为． 故选：D． 17．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】该题考查了等腰三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形性质得，根据旋转可得，根据等腰三角形性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：中，，， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴， 故答案为：． 18．在坐标系中，的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)把向右平移4个单位长度得到； (3)可以看作由旋转得到，则旋转中心为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用平移、中心对称作图，求旋转中心的坐标． （1）利用中心对称图形的性质，作出点的对应点，依次连接即为所求； （2）利用平移的性质，作出点的对应点，依次连接，即为所求； （3）连接，相交于点，得到旋转中心为点． 【详解】（1）解：由题可知， 如图，取点，依次连接即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，连接，相交于点， 旋转中心为点， 故答案为：． 易错题型七 垂径定理 19．如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 20．如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段． 根据垂径定理，先利用勾股定理求出，再求出的长． 【详解】解：∵为的弦，，半径于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2． 21．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 易错题型八 垂径定理的实际应用 22．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 23．利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 【答案】（1）3；（2）所在圆的半径为20米；（3）函数解析式为 【分析】（1）根据线段垂直平分线交点得到圆心，即可求解； （2）根据题意，米，米，，如图所示，连接，设，则（米），在中，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可得，设二次函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，线段垂直平分线交点得到圆心， ∴不在同一条直线上的个点确定一个圆， 故答案为：； （2）根据题意，米，米，， 如图所示，连接， ∴， 设，则（米）， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴所在圆的半径是米； （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴函数解析式为． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，掌握垂径定理，二次函数图象的性质及运用是解题的关键． 24．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理： （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作于点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵O为圆心，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为； （2）解：过O作于点D，连接，    由题意得，， 在中，， ∴， ∴ ∴水面截线减少了． 易错题型九 圆心角 25．在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据“”得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 26．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即弧的度数为； 故答案为：． 27．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 易错题型十 圆周角定理 28．如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】该题考查了圆周角定理和等边三角形的性质和判定，连接，根据圆周角定理得出，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 29．如图，等边三角形内接于圆O，点是上的一个三等分点（即），则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理．熟练掌握等边三角形的性质、圆周角定理是解决本题的关键，连接，由等边三角形的性质可得，再由可得,由圆周角定理得出,再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， , , ． 故答案为：． 30．如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 【答案】10 【分析】本题考查了圆的有关性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，正确理解圆周角定理是解题的关键．先判断是直角三角形，然后根据圆周角定理得出，再根据角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 直径的长10． 易错题型十一 直径所对的圆周角是直角 31．如图，内接于，是的直径，，D 是上的一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由直径所对的圆周角是90度，且结合，则，结合，即，由等边对等角，得，即可作答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 则， 则， 故选：C 32．如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆，圆周角定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．连接，证明是等腰直角三角形即可求出答案． 【详解】 解：如图，连接． ， ． ， ， ， 又是的直径， ． 在中，由勾股定理，得 故答案为：． 33．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 易错题型十二 圆内接四边形 34．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 35．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：连接，则， 又∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 36．如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答． 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错题型十三 圆与正多边形 37．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 38．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 39．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 易错题型十四 尺规作图—正多边形 40．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 41．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 42．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 易错题型十五 弧长 43．如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，先根据等边对等角得到，由圆周角定理求出，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，则的半径为， ∴的长， 故选：B． 44．如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 45．已知的半径为6，为上的弧，它所对的圆心角为，求的长度．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆中弧长的求取公式，掌握弧长公式是关键． 根据弧长公式，直接求出即可． 【详解】解：由题意得，弧长， ∴的长度． 易错题型十六 扇形面积 46．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 47．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 48．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积． （1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论； （2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离． 【详解】（1）证明：弦垂直平分半径， ，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：作于， ， 是等边三角形， ， ， 扇形（图中阴影部分）的面积为， ， ， ，， ∴， ， 与间的距离为． 易错题型十七 不规则图形的面积 49．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 50．如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．将阴影部分的面积转化为矩形的面积减去半径为长的圆面积的一半即可． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ， ，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点． ， ， ， 又， ． 故答案为：． 51．如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 压轴题型一 隐圆问题 52．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 53．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 54．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 压轴题型二 图形的旋转综合 55．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至线段，点M是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，利用垂线段最短原理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的中点，点M是边的中点，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 过点N作于点G， 则的最小值为， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，垂线段最短原理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 56．如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值 ． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，过点A作于点F，   ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当点在处时，最小，即的长度， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 57．如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在边上，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，点分别为线段上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，，则可证明都是等边三角形，得到，再证明，则可证明； （2）由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，则四边形是平行四边形； （3）连接，可证明垂直平分，则，则可得到当A、M、N三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，由旋转的性质可得，则，由勾股定理可得，则的最小值为． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、M、N三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵此时都是等边三角形的高， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 压轴题型三 垂径定理综合 58．利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①圆弧所在圆的半径为；②抛物线的解析式为； 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：①，设的半径为，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理求出即可；②设抛物线的解析式为，代入 点和点即可求出抛物线式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入，利用求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：①设计成圆弧形，设的半径为， ，交于点，交于点 ， 在中， ， 解得：． 答：圆弧所在圆的半径为. ②设计成抛物线型 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为. 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥．在抛物线型拱桥中 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥. 59．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 60．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．    ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，，即， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）解：如图，当点P在上方时，连接，    ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图，    ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 压轴题型四 圆心角、圆周角综合 61．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 62．综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【分析】探究发现：图形面积分割法得出，根据得出； 实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：探究发现：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中，． ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 63．在中，弦、相交于点，连接，，． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的直径，交线段于点，点在上，连接、，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，，点在线段上，连接，，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆的相关性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的性质及全等三角形的判定定理，通过构造辅助线和角度计算解决问题． （1）连接，利用同圆中相等弧所对的圆周角相等，结合已知条件推导出，从而证明其为等边三角形． （2）连接，根据是等边三角形，得到，证明是等边三角形，得到，连接，，，．，结合直径所对圆周角为直角的性质，通过角度的计算与转化，证明角相等，进而得出角平分线． （3）设交于点，过作平分交于点，交于点，在上取点，使，连接，利用全等三角形的判定条件，结合角度和线段的等量关系，探究并证明线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 连接，，，． 又∵， ∴， ， 设， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平分； （3）． 证明：设交于点，过作平分交于点，交于点，在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，是⊙O的直径， ， ， ， ， ． 压轴题型五 正多边形与圆综合 64．已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解． （2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解； （3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴ 在中， ∴ ∴的半径为 （2），理由如下： 在上取点G，使，连接， 同理（1）可得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：点A到的距离是或，理由如下： ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点是这两圆的交点， ①当点P在如图3①所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴A、P、D、B在以为直径的圆上， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，， ∴由（2）中的结论可得：， ∴， ∴； ②当点P在如图3②所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：点A到的距离为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 65．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等边三角形，，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，由，即可求解； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等腰直角三角形，，，再证，，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由即可求解； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形，可得作图符合（2）的条件，连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点，由是等腰直角三角形，正方形的边长为，即，可得，，，由勾股定理得到，根据即可求解． 【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∴，符合（2）的条件， 连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点， ∵是等腰直角三角形，正方形的边长为，即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的基础知识，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 66．如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； （2）解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 压轴题型六 其他不规则图形面积综合 67．如图，四边形内接于，为的直径，，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）延长至点，使，连接，根据圆内接四边形对角互补和邻补角的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，从而可得，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，设，，利用勾股定理可求的长度； （2）连接，可证是等腰直角三角形，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可求阴影的面积． 【详解】（1）解：如下图所示，延长至点，使，连接， 四边形是圆内接四边形，   ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 过点作于点，则， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示，连接， ， ， 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质解决问题． 68．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)①的度数为或或；② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连接，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点C，此时可使得是“圆等三角形”； （2）①四边形是的内接四边形，，， ，， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的度数为或或． ②连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是圆等三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点O作， ， ，， ， ， 扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 69．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形的性质求出，则，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出，，由勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， 为的直径， ； （3）解：连接，如图所示： 由（2）知，，， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 压轴题型七 圆的综合问题 70．已知四边形内接于，与直径交于点，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由圆周角定理可得，再由平分，可得．再由，，可得，再由圆周角定理可得，得出，即可得出，再由等腰三角形的判定即可求证； （2）先由勾股定理可得，求出．再由平分，可得出，得出，即．再由圆内接四边形的性质可得．再求得．再证明，可得，，再证明为等腰直角三角形，可得，即，再求解即可． ． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 平分， ． ，， ． 和是所对的圆周角， ， ， ， ； （2）解：在中，，，， ， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于， ． ， ． 在和中， ，，， ， ，． 为的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理是解题的关键． 71．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)5． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得，，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正方形的判定方法得菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形内接于， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）证明：连接， 由（）得， ， ， ， 是的直径， ，，三点共线； （3）解：连接，，过点作于点， 由（1）得， ， ， ． ， ，， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，， ，． 点、、、在上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ， 是的直径， ， 的半径是． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等．掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 72．如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，推出，即可得到结论； （2）先证明，得到，再证明，得到，求出，根据勾股定理求出，得到； （3）的值不发生变化；过点作于，作于，延长交于点,连接，证明，推出为等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）证明：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， 是的角平分线 ； （2）解：， ， 在和中， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ． （3）解：的值不发生变化， 如图：过点作于，作于，延长交于点,连接， 为的直径， , ,, , , 垂直平分, ， 为直角边的等腰， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ,,, , 四边形是矩形， ， ， ， , ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆的基本性质章末易错压轴题型 （17易错+7压轴） 易错题型一 圆的基本概念 1．下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 2．如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． 3．如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 易错题型二 圆中弦的问题 4．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 5．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 6．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 易错题型三 点与圆的位置关系 7．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 8．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 9．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 易错题型四 三角形外接圆 10．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 12．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 易错题型五 尺规作圆 13．如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 14．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 15．如图， (1)画出三角形的外接圆． (2)画出三角形的内切圆 易错题型六 图形的旋转问题 16．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点，恰好在同一条直线上时，设，则旋转角等于（　　） A． B． C． D． 17．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ． 18．在坐标系中，的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)把向右平移4个单位长度得到； (3)可以看作由旋转得到，则旋转中心为________． 易错题型七 垂径定理 19．如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 20．如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 21．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 易错题型八 垂径定理的实际应用 22．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 23．利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 24．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 易错题型九 圆心角 25．在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 26．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 27．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 易错题型十 圆周角定理 28．如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　） A． B． C． D．3 29．如图，等边三角形内接于圆O，点是上的一个三等分点（即），则的度数为 ． 30．如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 易错题型十一 直径所对的圆周角是直角 31．如图，内接于，是的直径，，D 是上的一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 32．如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 33．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 易错题型十二 圆内接四边形 34．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 °． 36．如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 易错题型十三 圆与正多边形 37．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 38．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 39．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 易错题型十四 尺规作图—正多边形 40．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 41．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 42．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 易错题型十五 弧长 43．如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 45．已知的半径为6，为上的弧，它所对的圆心角为，求的长度．（结果保留π） 易错题型十六 扇形面积 46．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 47．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 48．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离． 易错题型十七 不规则图形的面积 49．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 50．如图，在矩形中，分别以和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 51．如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 压轴题型一 隐圆问题 52．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 53．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 54．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 压轴题型二 图形的旋转综合 55．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至线段，点M是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 56．如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值 ． 57．如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在边上，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，点分别为线段上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 压轴题型三 垂径定理综合 58．利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 59．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 60．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    压轴题型四 圆心角、圆周角综合 61．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 62．综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 63．在中，弦、相交于点，连接，，． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的直径，交线段于点，点在上，连接、，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，，点在线段上，连接，，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 压轴题型五 正多边形与圆综合 64．已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 65．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 66．如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 压轴题型六 其他不规则图形面积综合 67．如图，四边形内接于，为的直径，，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 68．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且： ①当时，求的度数； ②如图3，当，时，求阴影部分的面积． 69．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 压轴题型七 圆的综合问题 70．已知四边形内接于，与直径交于点，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 71．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 72．如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 11 / 11 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