专题06 二次函数章末易错压轴题型（18易错+10压轴）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题06 二次函数章末易错压轴题型 （18易错+10压轴） 易错题型一 二次函数的相关概念 1．下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 2．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 3．已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 易错题型二 二次函数的图象 4．关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 5．如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）． 6．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 易错题型三 二次函数的性质 7．已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 9．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 易错题型四 一般式、顶点式、交点式 10．有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 11．已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 12．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 易错题型五 二次函数图象与各项系数符号 13．二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知二次函数的图象如图所示，则 0．（填“>”“<”或“=”） 15．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是 （填序号） 易错题型六 一次函数、二次函数图象判断 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 17．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   易错题型七 根据二次函数的图象判断式子符号 19．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，，则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 21．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    易错题型八 二次函数图象的平移 22．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 23．二次函数（为常数，且）中和满足下表： 将原抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则的值为 ． 24．已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 易错题型九 求二次函数的对称轴 25．设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 26．已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 27．已知关于x的一元二次方程的两根为，则抛物线的对称轴为直线 ． 易错题型十 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标 28．二次函数图象的对称轴是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 29．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 30．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 易错题型十一 根据二次函数图象确定相应方程根的近似根 31．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 33．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 易错题型十二 利用不等式求自变量或函数值的范围 34．已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知，则当时，的取值范围是 36．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 易错题型十三 根据交点确定不等式的解集 37．如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 38．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ． 39．如图，已知抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点A的坐标是． (1)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； (3)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集为______． 易错题型十四 图形问题 40．如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． (1)求与的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求该矩形鸡场面积的最大值． 41．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 42．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值； (2)若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积有最大值和最小值． 易错题型十五 图形运动问题 43．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为ts．    (1) ， （用t的代数式表示） (2)经过多长时间，的面积等于？ (3)当移动时间 s时，四边形的面积最小？ 44．如图，在矩形中，cm，cm，动点P从点A开始沿折线以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边以1cm/s的速度运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时也随之停止运动，设动点的运动时间为ts． (1)求当t为何值时，四边形是矩形； (2)直接写出当t为何值时，图中存在的矩形的个数最多，最多是几个； (3)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式． 45．如图，在中，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t 秒，请解答下面的问题． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 易错题型十六 拱桥、投球、喷水问题 46．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 47．某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． (1)求与的函数解析式． (2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 48．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 易错题型十七 销售问题 49．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 50．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 51．中山市沙岗墟正在举办“贺新春”活动吴老板租了一个摊位，销唐“文创雪糕”与 “牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多元，用元购进“牌甜筒”的数量与用元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)根据销售经验，吴老板发现“牌甜筒”的销量(个)与售价(元/个)之间 满足一次函数关系：，且所有进货均能全部售出，问：“牌甜筒”销售单价为多少元时，每天销售“牌甜筒”的总利润(元)最大？ 易错题型十八 增长率问题 52．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 53．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 54．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 压轴题型一 二次函数的图象与性质综合 55．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 56．二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 57．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 压轴题型二 二次函数图象与各系数关系综合 58．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的结论有（　　）个 A．个 B．个 C．个 D．个 压轴题型三 二次函数图象的平移综合 61．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 63．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)当抛物线经过点A，时，求点的坐标； (2)若，抛物线上的点的横坐标为，且． （i）求的长； （ii）当时，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 压轴题型四 二次函数的最值 64．如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 65．如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    66．已知二次函数的图象经过点． (1)如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． (2)二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 压轴题型五 二次函数与方程、不等式综合 67．已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 68．已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ． 69．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 压轴题型六 二次函数的存在性问题 70．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．    (1)求的长． (2)求的面积． (3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 71．如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型七 二次函数含参应用题 73．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格P（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 销售价格（元/只） 销量（只） 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． (1)请你先描述与的变化规律，并直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为________． 74．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 75．某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 压轴题型八 二次函数的角度综合 76．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 77．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 78．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4． (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标． 压轴题型九 二次函数的面积综合 79．如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 80．如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 81．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，点D是抛物线上的动点，连接，若的面积是面积的一半，求点D的坐标． 压轴题型十 二次函数的新定义问题 82．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 83．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 84．定义：若一个点的纵坐标的绝对值是横坐标绝对值的2倍，则称这个点为“好点”，如：，，等都是“好点”． (1)在点中，点______是“好点”； (2)若“好点”在直线上，求点的坐标； (3)若抛物线上恰好有3个“好点”，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数章末易错压轴题型 （18易错+10压轴） 易错题型一 二次函数的相关概念 1．下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是二次函数，故C符合题意； D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 3．已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意且， 所以； （2）解：依题意， 所以且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 易错题型二 二次函数的图象 4．关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 5．如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由可知，对称轴直线为，抛物线开口向下，又比离较远，结合函数图像即可得出． 【详解】解：由可知，对称轴直线为，抛物线开口向下， 又∵比离较远， ∴， 故答案为： ． 6．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 易错题型三 二次函数的性质 7．已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 先把点的坐标分别代入解析式得到，， 再由，依次对各选项进行判断即可求解. 【详解】解：二次函数的图象经过， ，， ， ， ， 当时，不成立， 故选项B不符合题意； ， 当时，可能成立， 故选项A符合题意； ， 当，则， 不成立， 故选项C不符合题意； ， ， 当时，，则， 故当时，不成立， 故选项D不符合题意； 故选：A． 8．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线和直线的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得交点坐标为：和，然后分和进行讨论，然后即可求解； 【详解】解：已知点，点， ∴线段在直线上面， 联立方程组：， 解得：，， ∴交点为和， 由于线段 的 范围为：， ∵， ∴， 当时，，，均在之间，且，保证两点不同， 当时，，在之间，但是不在之间，仅有一个交点， 综上所述：抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是：； 故答案为：； 9．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 易错题型四 一般式、顶点式、交点式 10．有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案． 【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 11．已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 12．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为 将点代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 易错题型五 二次函数图象与各项系数符号 13．二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在y轴右侧，可确定a与b异号，即，最后根据二次函数与y轴的交点可以确定． 【详解】解：由图象可知该二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点位于x轴上方， ∴，，， ∴， 故选：A． 14．已知二次函数的图象如图所示，则 0．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由图得出抛物线的开口方向向下以及对称轴在轴右侧，与轴的交点在轴下方，则，，，即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴． 故答案为：． 15．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是 （填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识．利用图象信息以及二次函数的性一一判断即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②错误； ∵抛物与x轴的交点在原点与之间，对称轴为直线， ∴抛物与x轴的另一个交点在原点与的左边， 当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，是函数的最大值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤ 易错题型六 一次函数、二次函数图象判断 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数结合，一次函数，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； B、函数中，，，中，，，故选项不符合题意； C、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； D、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 17．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 18．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 易错题型七 根据二次函数的图象判断式子符号 19．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 20．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，，则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图示可得，二次函数与坐标轴的交点，且，可得等方法即可求解． 【详解】解：根据图示可得，得， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵二次函数的图象与轴分别交于，两点， ∴，即， ∴，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； ∵当时，，且， ∴， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 21．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 易错题型八 二次函数图象的平移 22．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规律． 利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式． 【详解】因为二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，与对照，可得，， 故选：A． 23．二次函数（为常数，且）中和满足下表： 将原抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据表格求得对称轴进而得出，在抛物线上，根据平移得出在，即可求解． 【详解】解：依题意，向左平移1个单位得出，点在新抛物线上， ∴在上， 观察表格可得在抛物线上， 又对称轴为直线， ∴也在原抛物线上， ∴或 ∴或 故答案为：． 24．已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)向左平移4个单位，向上平移6个单位 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及二次函数的平移和翻折． （1）将抛物线的函数表达式化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案； （2）根据翻折的性质，即可得到新的抛物线的函数表达式． 【详解】（1）解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； （2）将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． 易错题型九 求二次函数的对称轴 25．设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 26．已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性．根据，求出函数的对称轴，再结合对称轴的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的对称轴为直线，即直线， ∵， 故与关于对称轴对称， 即． 故选：A． 27．已知关于x的一元二次方程的两根为，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两根为， 二次函数与x轴的两个交点的横坐标为分别为1和3． 抛物线的对称轴为直线． 故答案为∶ ． 易错题型十 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标 28．二次函数图象的对称轴是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点坐标，根据二次函数，得出二次函数与轴的交点坐标分别是，则对称轴是直线，即可作答． 【详解】解：依题意，令时，则， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标分别是， ∴对称轴为直线， 故选：B． 29．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 30．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)和； 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 易错题型十一 根据二次函数图象确定相应方程根的近似根 31．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 32．二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 仔细看表，可发现的值和最接近0，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取1.4与1.5之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故的一个解的取值范围为． 故选：C． 33．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 易错题型十二 利用不等式求自变量或函数值的范围 34．已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 35．已知，则当时，的取值范围是 【答案】/ 【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当时取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为1 当时，当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键． 36．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据的范围得出时，求得函 数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为， ∵， ∴时，取得最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 易错题型十三 根据交点确定不等式的解集 37．如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 38．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象，熟练掌握函数的图象，学会利用图象法解不等式是解题的关键．对不等式整理可得，再结合函数图象，找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的取值范围即可解答． 【详解】解：， ， 由图象可得，当时，则有， 不等式的解集为． 故答案为：． 39．如图，已知抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点A的坐标是． (1)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； (3)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集为______． 【答案】(1) (2)B (3)或 【分析】（1）先求解抛物线的解析式为，再结合抛物线的性质可得答案； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的性质可得答案； （3）由抛物线在轴下方的图象可得的解集． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线为， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （2）解：∵抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是． （3）解：根据图象可得：的解集为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程以及抛物线的性质，抛物线与轴的交点坐标，掌握以上基础知识是解本题的关键． 易错题型十四 图形问题 40．如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． (1)求与的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求该矩形鸡场面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形鸡场面积的最大值为 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二次函数的实际应用． （1）先根据，求出，再根据矩形面积公式即可列出关系式； （2）根据实际意义列出不等式组，求出的取值范围即可； （3）将二次函数化成顶点式，在的取值范围内利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：墙的长度为20米，即， ，即， 解得：， （3）解：由（1）知， ， 且， 当时，有最大值，最大值为， 答：该矩形鸡场面积的最大值为． 41．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 42．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值； (2)若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积有最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【分析】（1）由题意可得平行于墙的一边长为米，利用矩形面积建立等量关系解一元二次方程即可； （2）由题意可得园圃面积，根据边长的不等关系建立不等式组得到边长的范围，即，再结合二次函数图象及性质求最值即可； 【详解】（1）解：由题意知：平行于墙的一边长为米， ∵， 整理得：， 解得：， 当，，故舍去， 当，，成立； ∴ （2）设园圃面积为平方米， ∵，解得： ∴ ∵ 当时，， ∵， ∴当时， ∴这个苗圃园的面积有最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了根据题意列方程及函数关系式，解一元二次方程，解一元一次不等式组，二次函数求最值，掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 易错题型十五 图形运动问题 43．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为ts．    (1) ， （用t的代数式表示） (2)经过多长时间，的面积等于？ (3)当移动时间 s时，四边形的面积最小？ 【答案】(1)， (2)经过或时，的面积等于； (3)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）的面积等于，根据数量关系，列方程即可求解； （3）计算出关于的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，此时四边形的面积最小． 【详解】（1）解：点的速度是，点的速度是，点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，，，， ∴点从点到点的时间为秒，点从点到点的时间为秒， 设点运动的时间为， ∴，，则， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， 即， 解方程得，，， ∴经过或时，的面积等于； （3）解：要使四边形的面积最小，即的面积要最大， 由（2）得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为9， ∴当时，四边形的面积最小． 故答案为：3． 44．如图，在矩形中，cm，cm，动点P从点A开始沿折线以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边以1cm/s的速度运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时也随之停止运动，设动点的运动时间为ts． (1)求当t为何值时，四边形是矩形； (2)直接写出当t为何值时，图中存在的矩形的个数最多，最多是几个； (3)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】(1)4； (2)t为，最多3个； (3)． 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，二次函数的解析式，梯形的面积，三角形的面积，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据题意分别表示出，利用建立方程即可求解； （2）由（1）即可得出结论； （3）分类讨论①当点P在上②当点P在上③当点P在上三种情况，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， 在矩形中， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当t为4时，四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，当t为4时，图中存在的矩形的个数最多，最多是个 （3）解：①当点P在上时，， ②当点P在上时，， 根据题意可知： ∴ ③当点P在上时，点Q也在上， ∴不是四边形，不符合题意， 综上所述：S与t的函数关系式为：． 45．如图，在中，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t 秒，请解答下面的问题． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)或 (2)经过3秒时间后，的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法以及二次函数的应用． （1）根据题意得：，根据，可得关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，根据三角形的面积公式以及二次函数最值，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，P、Q两点的距离为， ∴； 解得或， 即或时，P、Q两点的距离为； （2）解：根据题意得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴当时，的面积最大，最大面积是， 即经过3秒时间后，的面积最大，最大面积是． 易错题型十六 拱桥、投球、喷水问题 46．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 47．某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． (1)求与的函数解析式． (2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为，可设抛物线的解析式为：， 将点代入，即可求解； （2）令抛物线解析式的，即可求出原先羽毛球的落地点到发球机点的水平距离，根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为， 可设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得：， 解得：， 关于的函数表解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，（舍去）， 抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 48．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 易错题型十七 销售问题 49．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 50．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 【答案】(1) (2)，最大值为1920元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程组和函数关系式是关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同”列出方程求解； （2）依据题意，该商家每月销售A类头盔的利润为，又，抛物线开口向下，对称轴为直线，故当时，w随a的增大而增大，最后结合，进而可以计算得解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：由题意得，该商家每月销售A类头盔的利润为 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随a的增大而增大． ∴当时，故当时，w取最大值为1920元． 51．中山市沙岗墟正在举办“贺新春”活动吴老板租了一个摊位，销唐“文创雪糕”与 “牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多元，用元购进“牌甜筒”的数量与用元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)根据销售经验，吴老板发现“牌甜筒”的销量(个)与售价(元/个)之间 满足一次函数关系：，且所有进货均能全部售出，问：“牌甜筒”销售单价为多少元时，每天销售“牌甜筒”的总利润(元)最大？ 【答案】(1)“文创雪糕”的进价为元，“牌甜筒”的进价为元 (2)当售价时，总利润达到最大值为元 【分析】本题主要考查分式方程，二次函数求最大利润的计算，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设“牌甜筒”的进价为元，则“文创雪糕”的进价为元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）现今售价为元，则单个的利润为元，可得利润，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元，则“文创雪糕”的进价为元， 依题意，可列出方程为：， 解得， 检验，当时，原分式方程有意义， ， 答：“文创雪糕”的进价为元，“牌甜筒”的进价为元． （2）解：由（1）可知，“牌甜筒”的进价为每个元， 现今售价为元，则单个的利润为元， 设总利润为， ∴， 当售价时，总利润达到最大值为元． 答：当售价时，总利润达到最大值为元． 易错题型十八 增长率问题 52．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 53．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 54．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 压轴题型一 二次函数的图象与性质综合 55．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 56．二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 57．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解； （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解． 【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上． ， ． 图象上任意两点纵坐标差的最大值为2， ， ， 解得（舍去）， ， ∴整数的值为1． 压轴题型二 二次函数图象与各系数关系综合 58．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握抛物线对称轴，顶点坐标，与x轴交点，一元二次方程与二次函数的联系，是解决问题是关键． ①根据抛物线的对称轴公式即可求解； ②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线与x轴有两个交点即得； ④根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：①∵根据题意得：抛物线的对称轴为， 即， ∴， ∴①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， ∴②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴③正确 ④∵抛物线的顶点坐标为， 即对称轴为直线， 且与x轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与x轴另一个交点在到之间． ∴④正确． ∴正确的有②③④，共3个． 故选：C． 59．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，根据图象信息逐个判断即可． 【详解】解：①由图象可得，当时，，故①错误； ②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 故③错误； ④∵抛物线过点， ∴， ∵当时，，即， 当时，， ∴，即， 解得， 故④正确； ⑤∵抛物线与轴交点的横坐标分别为，， ∴，是的两根， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上所述，正确的结论有②④⑤共3个， 故选：C． 60．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的结论有（　　）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与的关系，以及，，对应值的正负，二次函数的对称性，逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴右侧， ∴、异号，即， ∴，故此项符合题意； ②有图象可得，当时，， ∵对称轴为 ∴由函数的对称性可得，当时， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，的取值不确定，故此项不符合题意； ③∵， ∴，即， 又∵结合图象可得当时，，对称轴为 ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故此项符合题意； ④把代入上式， 可得， ∵ ∴，故此项不符合题意， 综上所述，正确的有个． 故选为：B． 压轴题型三 二次函数图象的平移综合 61．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 62．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 3； 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，平移的性质，二次函数和不等式的综合等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和求不等式组的解集． （1）利用对称轴的公式求出抛物线的对称轴，再利用平移的性质可求得抛物线的对称轴； （2）根据题意求出，，把两个点的坐标代入解析式再求出，整理表示出，再根据即可求解． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 所以，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：3； （2）已知，则抛物线， ∴的表达式为， ∵点在抛物线上，把代入，可得， 点在抛物线上，把代入，可得， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴ ，即， 解不等式可得； 解不等式可得； 又∵时，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 63．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)当抛物线经过点A，时，求点的坐标； (2)若，抛物线上的点的横坐标为，且． （i）求的长； （ii）当时，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）依据题意，由，在抛物线上，可得，进而可以抛物线的解析式，然后化成顶点式即可判断得解； （2）（i）依据题意，由，则抛物线，故，又，则设直线的解析式为，故可得，进而直线的解析式为，结合抛物线为，则，，又，故点的横坐标为，纵坐标为，则，从而，进而得解； （ii）依据题意，由可得，点，的坐标分别为，，则当时，点，的坐标分别为，，从而可得直线的解析式为，又设平移后所得抛物线对应的表达式为，故其顶点坐标为，又顶点在直线上，从而，故抛物线与轴交点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线（，为常数，）， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：（i）， 抛物线， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， ； （ii）由（i）知，点，的坐标分别为，， 当时，点，的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． 设平移后所得抛物线对应的表达式为， 则其顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ， 抛物线与轴交点的纵坐标， ， 有最大值， 当时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 压轴题型四 二次函数的最值 64．如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 65．如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】连接，设，则，证明，得出，根据，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴当时，最大，且最大值为， 即面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 66．已知二次函数的图象经过点． (1)如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． (2)二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的增减性，是解题的关键： （1）①待定系数法进行求解即可；②分别求出的坐标，根据，列出方程，求出的值即可得出结果； （2）把和对称轴为直线，代入函数解析式，求出顶点坐标，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：①把，代入，得： ，解得：； 故答案为：； ②由①知：， 当时，，当时，， ∴，，， ∴； ∵，， ∴， 解得：或， ∴或； 综上：或； （2）把，代入，得：， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当时，函数有最大值为：， 对于， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最小值为：，当时，函数有最大值为：； ∴． 压轴题型五 二次函数与方程、不等式综合 67．已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据两种情况，①当△时由求得，将的两个值分别代入方程中，求得方程的两个根检验即可； ②当△时，在范围内有一个根，则与时的两个函数值异号或有一值为0，另一个根在范围内，分别求出的取值范围． 【详解】解：与直线在范围内有唯一公共点， 令，即， （1）当△时，则， 解得， 当时，原方程为， 解得，不合题意，舍； 当时，原方程为， 解得满足要求， ； （2）当△时，与直线在范围内有一个根， 即与x轴在范围内有一个交点， ①若与时的两个函数值异号， 当时，， 当时，， ， 时，或， ∵开口向上，则的解为， ②若与时的两个函数值中有一个为0，即为方程的根， 当是方程的根时，则，另一个根为，在范围内， 当是方程的根时，则，另一个根为，不在范围内， 综上所述：或． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象和系数的关系以及一元二次方程根的判别式，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 68．已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入并整理得：， ∴， ∵当时，， ∴， ∴函数图象大致如下： 结合函数图象知，当时，x的取值范围是：， 故答案为：． 69．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合应用，一次函数的图象及性质，二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解． （2）求出点B的坐标为，再观察函数图象即可． （3）分类讨论：当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 将点A的坐标代入得：，解得； ∴，； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，一次函数解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是4，故此时只有一个交点，即 ； 当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，且恰好经过抛物线顶点时， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，直线与直线平行，且两条直线的水平距离为4，即点N一定在直线上，由函数图象可知当点M在点A的右侧时，除去恰好经过抛物线顶点这种情况，与抛物线都不存在只有一个交点的情况， 综上所述，或． 压轴题型六 二次函数的存在性问题 70．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．    (1)求的长． (2)求的面积． (3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)7 (3)或或或或 【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可得到答案； （2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）分三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解；， ∴， 点坐标为点坐标为． 将点分别代入中得 解得 抛物线解析式为． 在中，当时，则， 解得， 点坐标为， ∴． （2）解；设直线的解析式为， ∴，， ． 把点代入，得解得 直线的解析式为． 联立 解得 ； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴． 设， ①当时，， 解得， ； ②当时，， 解得 或； ③当时，， 解得 或． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 71．如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 72．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 压轴题型七 二次函数含参应用题 73．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格P（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 销售价格（元/只） 销量（只） 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． (1)请你先描述与的变化规律，并直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为________． 【答案】(1)与的变化规律：当增加，增加；，且x为整数，，且x为整数； (2)且x为整数，第5天时利润最大； (3) 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）根据表格数据，是的一次函数，是的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润与的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值． （3）先求出前天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）与的变化规律：当增加，增加； 观察表格发现：是的一次函数，是的一次函数， 设， 将，；，分别代入得：， 解得：， 所以， 经验证符合题意， 所以，且为整数； 设， 将，；，分别代入得：， 解得：， 所以， 经验证符合题意， 所以，且为整数； （2）当且为整数时， ； 当且为整数时， ； 即有且x为整数； 当且为整数时，售价，销量均随的增大而增大， 故当时，（元） 当且为整数时， 故当时，（元）； 由，可知第天时利润最大． （3）根据题意，前天的销售数量为：（只）， 前天多赚的利润为： （元）， ， ； 的取值范围为． 74．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【详解】（1）依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）解：依题意，得：， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． 75．某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1) (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 压轴题型八 二次函数的角度综合 76．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 77．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，，，，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标； （3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， 设， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即，解得， ∴点M坐标为或； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为，， 综上，点M的坐标为，，，，； （3）解：存在点P使，理由如下： 当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 解得； ∴点P的横坐标为； 当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 将代入，得 ． 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点P的横坐标为 综上，点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 78．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4． (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)S最大值为， (3)Q的坐标为或 【分析】（1）将代入，由待定系数法可得抛物线的解析式为，由即得，设直线l解析式为，代入，即可得直线解析式为； （2）过P作轴交于K，设，则，即得，故面积，从而可知当时，S取最大值， （3）分两种情况，Q点在下方、x轴正半轴上时；Q点在上方、x轴负半轴上时，分别解决问题． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令得， ， 设直线l解析式为，将代入得： ，解得， ∴直线l解析式为； （2）过P作轴交于K，如图： 设，则， ， ∴面积， ∵， ∴当时，S取最大值，最大值为，此时； （3）当Q在直线上方时，过A作交射线于M，过M作轴于N，过D作轴于N，如图： ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ， ，由得直线为：， 解得（与D重合，舍去）或， ∴； 当Q在直线下方时，过点A作交于T，过A作轴，过D作于R，过T作于S，如图： 　 同理可证， ， ， ∴直线解析式为， 由得（舍去）或， ， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值解决三角形面积、等腰直角三角形性质及应用等知识，分类讨论和转化的思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，联立方程求解，综合运用这些知识点是解题关键． 压轴题型九 二次函数的面积综合 79．如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 80．如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，12 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与坐标轴的交点以及四边形面积的最值问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数图象与坐标轴的交点坐标求出相关线段的长度，以及运用分割法求不规则图形的面积，并利用二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）已知抛物线经过点，，可将这两点的坐标代入抛物线方程，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，从而得到抛物线的解析式． （2）先求出点的坐标，设点的横坐标为，根据抛物线解析式表示出点的纵坐标．通过分割法，将四边形的面积表示为与的面积之和，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入得： 即 解得 ， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作轴交于点， 对于，令，则， ∴． 设． ∵，，． ∴，设直线为， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ∴ ∴当时，有最大值，此时， ∴． 81．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，点D是抛物线上的动点，连接，若的面积是面积的一半，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数与面积的综合，利用待定系数法正确求出函数解析式是解题关键． （1）将，代入，求解即可； （2）由题意可求出．设点的坐标为，根据，即得出，即，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：，， ，， ． 设点的坐标为． ， ，即， 或． 当时，解得，， 此时点的坐标为或； 当时，解得，， 此时点的坐标为或． 综上可得点的坐标为或或或． 压轴题型十 二次函数的新定义问题 82．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 是的中线， D为的中点， ， 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， ． 83．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)理由见解析． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 84．定义：若一个点的纵坐标的绝对值是横坐标绝对值的2倍，则称这个点为“好点”，如：，，等都是“好点”． (1)在点中，点______是“好点”； (2)若“好点”在直线上，求点的坐标； (3)若抛物线上恰好有3个“好点”，求的值． 【答案】(1)E (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据“好点”定义判定即可； （2）根据“好点”定义设点或，代入解析式求出值即可得到点坐标； （3）得到或，利用判别式得到，解出值即可． 【详解】（1）解：，，， 根据“好点”定义可知点是“好点”； 故答案为：； （2）解：根据“好点”的定义设点， 在直线上， 当，解得 当，解得， 或； （3）解： 当时， 可得， 则，该方程有两个不相同的根， 抛物线上恰好有3个“好点”， 有两个相同的根， 整理得：， ， 解得或， 当时，抛物线为， 解，得， 解，得， 此时有“好点”重合，故不符合题意， 同理当时，符合题意， 故． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$