1.3 空间向量及其运算的坐标表示（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．3 空间向量及其运算的坐标表示 1．（2025·高二·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 2．（江苏省连云港市2024-2025学年高二期末调研考试数学试题）在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 【答案】A 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，，故，结合图形可知， 故选：A. 3．（2025·高二·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】向量，，由，得， 所以. 故选：D 4．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 5．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 6．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量，，则， 所以. 故选：A 7．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 8．在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 9．（多选题）（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【解析】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 10．（多选题）（2025·高二·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 11．（多选题）（2025·高二·河南周口·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对A，若点，关于平面对称，则， 所以，故A错误； 对B，若点，关于轴对称，则， 所以，故B正确； 对C，若，则，故C正确； 对D，若，则， 所以，两式相减得，故D错误. 故选：BC 12．（2025·高二·广东江门·期中）已知，则 等于 【答案】 【解析】， ， 所以. 故答案为：. 13．（2025·高二·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】向量与垂直， 所以，解得. 故答案为： 14．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 【答案】4 【解析】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 15．（上海市宝山区2024-2025学年高二期末教学质量监测数学试卷）向量与的夹角是 . 【答案】 【解析】，因为 则其夹角为. 故答案为：. 1．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 2．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 3．（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025·高二·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 5．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 设关于平面的对称点分别为，底面和的中心分别为，如图所示： 对于A，易知为的中点，则，可得， 所以， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，即的最小值为2，故A正确； 对于D， ， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，则的最小值为3，故D正确； 对于B，当与重合时，，故B错误； 对于C，由对称性可知，，则， 当且仅当点为线段与平面的交点时，的最小值为，故C正确. 故选：ACD. 6．（2025·安徽·模拟预测）已知正四面体的棱长为2，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 . 【答案】1 【解析】把正四面体还原成正方体，以正方体的中心为原点，垂直于共点的三个面的直线分别为轴建立 空间直角坐标系， 设正四面体的四个顶点为， 每条棱长均为2，设动点， ， , , 故， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，故平面与正四面体相交于棱的中点处， 由于正四面体中,因此截的四边形为正方形，且边长为,故面积为1 故答案为：1. 1．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 2．（2025·高二·湖北·开学考试）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为R，则，则， 故，，， 故，，， 由向量模长公式得， 而， ， ， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值，故B正确. 故选：B 3．（2025·高二·湖北·期末）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 4．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 5．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】三棱锥中，两两垂直，且．若为该三棱锥外接球上的一动点， 如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到， 设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为，则， 故， 故， 由向量模长公式得， 而， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值． 故答案为：． 6．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．3 空间向量及其运算的坐标表示 1．（2025·高二·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（江苏省连云港市2024-2025学年高二期末调研考试数学试题）在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 3．（2025·高二·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 7．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 9．（多选题）（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 10．（多选题）（2025·高二·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（2025·高二·河南周口·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 12．（2025·高二·广东江门·期中）已知，则 等于 13．（2025·高二·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 14．（2025·高二·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 15．（上海市宝山区2024-2025学年高二期末教学质量监测数学试卷）向量与的夹角是 . 1．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 5．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 6．（2025·安徽·模拟预测）已知正四面体的棱长为2，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 . 1．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·高二·湖北·开学考试）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·湖北·期末）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 4．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 6．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$