1.2 空间向量基本定理（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．2 空间向量基本定理 1．（2025·高二·福建龙岩·期中）在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 4．（2025·高二·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·江苏宿迁·期中）在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 8．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（多选题）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列命题中是真命题的是（   ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 11．（多选题）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 13．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 14．如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 15．（2025·高二·广东湛江·期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 16．（2025·高二·北京顺义·期中）如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则 （用，表示）. 1．（2025·高二·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·高二·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 1．（2025·高二·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 3．（多选题）在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，则下列说法正确的有（   ） A．当时，直线与所成角的正切值的取值范围是 B．当时，的最小值为 C．当时，线段的长度最小值为 D．当时，记点P的轨迹为，则的面积为 4．（多选题）（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 5．（多选题）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面面积为9 D．存在实数使得 6．（多选题）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 7．（2025·高三·河北·期中）在平行六面体中，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点为的中点，则； ②若点在平面内，则； ③若，则三棱锥的体积为； ④若点为的中点，则异面直线与垂直. 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 空间向量基本定理 1．（2025·高二·福建龙岩·期中）在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C 2．在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，. 故选：A 3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解析】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 4．（2025·高二·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 6．（2025·高二·江苏宿迁·期中）在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 7．（2025·高二·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 8．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由，得， 即，所以，，， 故. 故选：A. 9．（多选题）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 10．（多选题）下列命题中是真命题的是（   ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABCD 【解析】对于①，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面， 又与共线，，所以不共面， 则也可作为空间的一个基底，故①正确； 对于②，因为，所以，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确； 对于③，因为，，不能构成空间的一个基底， 所以，，共面，则，，，四点共面，故③正确； 对于④，因为是空间的一个基底，所以不共面， 又，所以不共面， 则也是空间的一个基底，故④正确. 故选：ABCD. 11．（多选题）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 12．（2025·高二·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【解析】在正方体中， . 故答案为：. 13．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 14．如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 【答案】 【解析】由已知， . 故答案为 ： 15．（2025·高二·广东湛江·期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【解析】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 16．（2025·高二·北京顺义·期中）如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则 （用，表示）. 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为：． 1．（2025·高二·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 2．（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B 3．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点G为的重心，∴， ∴.. ∴，∴，∴. 故选：B 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 5．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B. 6．（2025·高二·江苏盐城·期末）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 1．（2025·高二·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 2．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】设，则有， 由，，所以，， 所以 ， 即， 由，当且仅当时，等号成立， 所以， 即，令， 即，关于的一元二次不等式要有解， 所以，解得，即， 所以的最大值为，当时，， 即，所以，即时，等号成立， 故选：D. 3．（多选题）在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，则下列说法正确的有（   ） A．当时，直线与所成角的正切值的取值范围是 B．当时，的最小值为 C．当时，线段的长度最小值为 D．当时，记点P的轨迹为，则的面积为 【答案】ABD 【解析】对选项A，当时，点P在棱上运动，连接， 如图所示．因为平面平面，所以． 因为，所以即直线与所成角，． 由题意，所以． 在中，，所以． 因为，所以，故A正确． 对于选项B，当时，点P在线段上运动， 故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上， 如图． 由图可知，线段的长度即为的最小值． 在中，，故B正确． 对于选项C，当时，点P在截面内（含边界）运动， 则线段的长度最小值即为正方体体对角线的， 故线段的长度最小值为，故C错误． 对于选项D，当时，点P的轨迹为四边形， 由正方体的性质可知，四边形是矩形，， 所以的面积为，故D正确． 故选:ABD． 4．（多选题）（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以，从而，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选题）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面面积为9 D．存在实数使得 【答案】BD 【解析】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又易求得， 所以，所以不垂直于， 所以不垂直于，故A错误； 对于B，取的中点，连接， 由E、F、G分别为的中点，所以可得， 又平面，平面，所以平面， 又易得，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，又， 所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于C，连接，因为E、F分别为的中点， 所以易得，且，则四点共面， 所以平面截正方体所得的截面为四边形， 由题意可得， 所以四边形为等腰梯形，所以梯形的高为， 所以四边形的面积为，故C错误； 对于D，易知，又因为E、F分别为的中点， 所以，且，则四点共面， 所以四边形为梯形，又为相交直线， 所以存在实数使得，又因为且， 所以，所以存在实数使得，故D正确. 故选：BD. 6．（多选题）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 【答案】ACD 【解析】设，，，因为平行六面体的棱长为1， 所以，因为分别为，，，中点， 所以，， ， 因为两两垂直，所以，，， 因为，所以，所以，故正确； 因为， 所以， 所以，故错误； 因为， 所以， 所以，故正确； 因为，，， 平面，平面， 所以平面， ， ， 所以， 所以是直角三角形，面积为， 所以四面体的体积为，故正确. 故选：. 7．（2025·高三·河北·期中）在平行六面体中，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点为的中点，则； ②若点在平面内，则； ③若，则三棱锥的体积为； ④若点为的中点，则异面直线与垂直. 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）. 【答案】①②④ 【解析】对于①，若点为的中点， 则， 则 ， 所以，故①正确； 对于②，点在平面内，则四点共面， 所以，故②正确； 对于③，若，则，所以， 所以共面， 因为都在平面内，所以在平面内， 因为平面平面，平面， 所以点平面， 则三棱锥高即为点到平面的距离， 连接，则， 因为， 所以， 又平面，所以平面， 过点作，垂直为点， 因为平面，所以， 又相交，平面， 所以平面， 所以线段即为点到平面的距离， ，， 所以，所以， 所以， 所以，故③错误； 对于④，若点为的中点， 则， ， 则 ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$