（温故知新）专题04 三角形（导图+技巧点拨+10个高频考点+真题强化 共50题）-2025年人教版数学四升五年级暑假衔接精讲练过关金牌讲义（原卷版+解析版）

（温故知新篇） 2025-2026学年人教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲练 （导图指引+知识梳理+10个考点讲练+拔尖训练 共50题） 专题04 三角形 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 易错点拨 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 高频考点讲练01：三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）数一数。 个三角形       　 个三角形 【演练1】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【演练2】（23-24四年级下·重庆渝中·期末）小明用长12厘米，16厘米，19厘米的三根小棒摆了一个三角形，小芳用长19厘米，12厘米，16厘米的三根小棒摆了一个三角形，这两个三角形（    ）。 A．形状不同，大小也不同 B．形状相同，大小不同 C．形状不同，大小相同 D．形状相同，大小也相同 高频考点讲练02：三角形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级下·天津河东·期末）下列三角形中，不能沿指定底边上的高把三角形剪成两部分的是（    ）。 A． B． C． D． 【演练1】（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）画出下面三角形指定底上的高。 【演练2】（23-24四年级下·重庆奉节·期末）画一画。（下图中每个小方格的边长均为1m） （1）妙想用木条拼成一个底是4cm，高是3m的三角形，它可能是什么样子的呢？请你以BC为底在方格图中画一画。（至少画出3个） （2）你有什么发现？ 我发现：__________________________________。 高频考点讲练03：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南岳阳·期中）下面图形中，稳定性最差的是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．平行四边形 【演练1】（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）李爷爷管理一块林地（如下图），林地的面积是多少平方米？ （1）小思想：先分别算出两个长方形的面积再加起来。 请你用小思的方法列出综合算式（不用计算）： 。 （2）小维想：我观察这两个长方形的宽都是27m，可以把一个长方形旋转后排成一个大长方形算面积；你能用小维的方法算出林地的面积吗？ （3）李爷爷想在林地周围装上篱笆，选择 款篱笆比较合适，运用了 特性。 高频考点讲练04：两点间线殷最短与两点间的距离 【典例精讲】（23-24四年级下·河北承德·期末）丽丽从家去超市走( )号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 【演练1】（23-24四年级下·四川南充·期末）从小明家到学校有三条路可走，走哪条路最近？下列说法错误的是（    ）。 A．走中间那条路最近，因为垂直线段最短 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短 【演练2】（22-23四年级下·全国·课前预习）课件出示教科书P60例3。 （1）看一看：从小明家到学校有几条路可以走？ （2）说一说：那你们觉得小明走哪条路最近呢？ （3）议一议：通过上面的观察、测量、比较，发现，你能得出什么结论？ 高频考点讲练05：三角形三边关系 【典例精讲】（22-23四年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下面不能围成三角形的三条线段是（    ）。 A．5厘米，8厘米，3厘米 B．9厘米，5厘米，5厘米 C．1分米，6厘米，0.06米 【演练1】（23-24四年级下·江西上饶·期末）张叔叔家太阳能热水器的支架坏了（如图），需要更换钢条，钢条的长度可能为（    ）米。 A．0.9 B．2.7 C．0.3 D．3.6 【演练2】（23-24四年级下·浙江绍兴·期末）一根吸管长20厘米，把它剪成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数），最长的一条边最长是( )厘米。 高频考点讲练06：三角形的分类 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江绍兴·期末）如果一个三角形中最大的角是91°，那到它一定是（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．锐角 D．等腰 【演练1】（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）下图中一共有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，有( )个直角三角形，有( )个钝角三角形。 【演练2】（21-22四年级下·河南安阳·期末）下图中，有( )个锐角，( )个锐角三角形。( )个钝角，( )个钝角三角形。( )个直角，( )个直角三角形。 高频考点讲练07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【演练1】（19-20四年级下·全国·期末）下图中有10个点，共连成13个等边三角形，现在已经擦去1个点（用O表示），至少再擦去几个点后，才能使图中一个等边三角形都没有？ （在图中画O表示擦去的点） 【演练2】（23-24四年级下·广东湛江·期末）下面能用24÷3来解决的问题有（    ）。 ①一个等边三角形的周长是24厘米，求等边三角形的边长是多少？ ②一根绳子长24米，对折3次后，求每段的长度是多少？ ③商场“买三送一”打包卖小蛋糕，每份一共24元，实际上每块蛋糕多少元？ ④已知◯＋◯＋◯＝24，求◯＝？ A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 高频考点讲练08：画三角形 【典例精讲】（23-24四年级下·重庆丰都·期末）（1）在下面方格纸中画出一个“钝角”三角形。 （2）再画出这个钝角三角形的其中一条高。 （3）三角形的高其实就是它的一个顶点到它的（    ）作的一条垂直线段。 【演练1】（23-24四年级下·重庆·期末）按要求在方格图中画三角形（每个小方格边长1cm）。 （1）以线段AB为底，画一个高3cm的三角形ABC，且AC＝BC。 （2）以线段DE为底，画一个高3cm的直角三角形DEF。 【演练2】（24-25四年级下·河北石家庄·期中）按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是4厘米，高是3厘米的三角形，并画出这个三角形的一条高。 （2）画一个上底为2厘米，下底为4厘米，高为3厘米的等腰梯形，并把它分割成一个平行四边形和一个三角形。 高频考点讲练09：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·北京朝阳·期末）一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是( )°。 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°；如果它的底角是50°，顶角是( )°。 【演练2】（24-25四年级下·湖北宜昌·期中）如果在一个三角形中有两个内角的度数和是90°，那么这个三角形一定是( )三角形：如果在一个直角三角形中有一个内角是45°，那么这个三角形一定是( )三角形。 高频考点讲练10：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·天津河东·期末）将直角三角形的直角剪掉（如图），剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°，∠4＋∠5＝( )°。 【演练1】（23-24四年级下·广东湛江·期末）如图，将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，下面选项正确的是（    ）。 A．甲图形的内角和＜乙图形的内角和 B．甲图形的内角和＝乙图形的内角和 C．甲图形的内角和＞乙图形的内角和 D．无法比较 【演练2】（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（    ）。 1．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）把所有三角形作为一个整体，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形作为整体的一部分，可以表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25四年级下·天津南开·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．若甲与乙（0除外）相乘后，积仍然是乙，那么甲一定是0 B．计算器的按键“8”坏了，如果要计算76乘28，可以按76×4 C．4个十分之一和40个百分之一大小相等 D．一个多边形有n条边，它的内角和是180°×n 3．（24-25四年级下·天津河东·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．4.5和4.50大小相等，意义也相同 B．25×（4×8）＝25×4×25×8 C．等边三角形不可能是直角三角形。 D．大于1.56而小于1.58的小数只有一个。 4．（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）猜一猜，下面三个三角形被遮住了一部分，下面可能是直角三角形的是（    ）。 A． B． C． 5．（18-19四年级下·山东潍坊·期末）在一个三角形中，最小的一个角是47°，这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 6．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是( )cm。 7．（24-25四年级下·天津南开·期末）手工课小明剪了两个相同的等腰三角形，叠在一起（如图），已知∠2＝136°，∠1＝( )°。 8．（24-25四年级下·天津南开·期末）四年1班同学在“数学实践周”活动中为学校设计了一个三角形的花坛，其中两条边刚好被两段栅栏围住，每段栅栏长9米。花坛的形状是( )三角形，另外一条边的栅栏最长为( )米。（限整米数） 9．（24-25四年级下·天津河东·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”中国自古就有放风筝的习俗。爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝，其中一个底角是65°，这个风筝的顶角是( )°；测得风筝的两条边长分别是14dm和7dm，这个风筝的周长是( )dm。 10．（23-24四年级下·河北保定·期末）三角形任意两个内角之和大于第三个内角。( )（判断对错） 11．（23-24六年级下·天津河东·期末）在一个三角形中，至少有两个内角是锐角。( )（判断对错） 12．（23-24四年级下·陕西安康·期末）五边形的内角和比四边形的内角和大180度。( )（判断对错） 13．（24-25四年级下·广东广州·阶段练习）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1＝45°，求顶角∠3＝？ 14．（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）列式计算算出下面各个未知角的度数。 15．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）小玲和小红在学习完四边形的内角和后，对五边形的内角和进行了研究。 你同意________的说法（填“小玲”或“小红”）。请说明理由。 16．（23-24四年级下·辽宁盘锦·期末）王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 17．（23-24四年级下·浙江杭州·期末）挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 18．（23-24四年级下·浙江舟山·期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长3厘米。它的底和腰各是多少厘米？（先将线段图补充完整，标出已知条件和问题，再解答） 19．（22-23四年级下·新疆昌吉·期末）操作。 （1）已知三角形ABC是直角三角形，∠1＝55°，∠2＝（    ）。 （2）以AC为底，画出三角形ABC的高。 20．（18-19四年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍，这个三角形的顶角和一个底角各是多少度？ $$（温故知新篇） 2025-2026学年人教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲练 （导图指引+知识梳理+10个考点讲练+拔尖训练 共50题） 专题04 三角形 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 易错点拨 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 高频考点讲练01：三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）数一数。 个三角形       　 个三角形 【答案】 13 12 【思路引导】左数第一个图三角形的总个数＝9个小三角形＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×3个＋整个大的三角形；第二个图三角形的总个数＝3个小三角形＋两个小三角形合成的一个稍大的三角形×5个＋三个小三角形合成的一个稍大的三角形×1个＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×2个＋整个大的三角形。 【规范解答】9＋3＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 3＋5＋1＋2＋1 ＝8＋1＋2＋1 ＝9＋2＋1 ＝11＋1 ＝12（个） 【演练1】（23-24四年级下·甘肃平凉·期末）按要求画一画。 （1）在上图中画两条互相平行的直线和两条互相垂直的直线。 （2）在上图中先画一个梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）画平行线可以借助直尺或三角尺来完成：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。3、平移后，沿直角边画出另一条直线；用三角尺画两条互相垂直的直线的步骤：1、固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。2、把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。据此作图。 （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。据此作图。 【规范解答】 【演练2】（23-24四年级下·重庆渝中·期末）小明用长12厘米，16厘米，19厘米的三根小棒摆了一个三角形，小芳用长19厘米，12厘米，16厘米的三根小棒摆了一个三角形，这两个三角形（    ）。 A．形状不同，大小也不同 B．形状相同，大小不同 C．形状不同，大小相同 D．形状相同，大小也相同 【答案】D 【思路引导】两个三角形的三条边分别相等，所以是两个完全一样的三角形，也就是形状相同，大小也相同，据此解答。 【规范解答】根据解析可知，这两个三角形形状相同，大小也相同。 故答案为：D 高频考点讲练02：三角形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级下·天津河东·期末）下列三角形中，不能沿指定底边上的高把三角形剪成两部分的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，画出三角形的高即可判断。 【规范解答】 A. 如图，沿三角形的高可以把三角形分成两部分，所以不符合题意； B． 如图，沿三角形的高可以把三角形分成两部分，所以不符合题意； C． 如图，沿三角形的高可以把三角形分成两部分，所以不符合题意； D． 直角三角形直角边上的高就是与它垂直的另一条直角边，因此不能把三角形分成两部分，符合题意。 故答案为：D 【演练1】（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）画出下面三角形指定底上的高。 【答案】见详解 【思路引导】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。 【规范解答】如图： 【演练2】（23-24四年级下·重庆奉节·期末）画一画。（下图中每个小方格的边长均为1m） （1）妙想用木条拼成一个底是4cm，高是3m的三角形，它可能是什么样子的呢？请你以BC为底在方格图中画一画。（至少画出3个） （2）你有什么发现？ 我发现：__________________________________。 【答案】（1）见详解 （2）三角形的高的位置不同，画的三角形可能是直角三角形，可能是锐角三角，也可能是钝角三角形。 【思路引导】（1）从三角形一个顶点向它的对边作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。根据题意可知，三角形的底是4厘米，高是3厘米，每个小方格的边长是1厘米，以BC为底画三角形，要使高是3厘米，就是距离BC3格的地方点一点，过该点与B和C即可，由于距离BC3格的点不唯一，所以能画的三角形也不唯一。按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。以此答题即可。 （2）根据题意经过分析，写出发现，合理即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）三角形可能是直角三角形，可能是锐角三角，也可能是钝角三角形。 画三角形如下： （2）我发现：三角形的高的位置不同，画的三角形可能是直角三角形，可能是锐角三角，也可能是钝角三角形。 高频考点讲练03：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南岳阳·期中）下面图形中，稳定性最差的是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．平行四边形 【答案】C 【思路引导】A．正方形相对稳定，但由于是四边形，它可能被压扁或拉伸变形，尤其是当受力时。 B．三角形最稳定，因为一旦三条边长度固定，角度就无法改变，形状固定不变。例如，桥梁结构中常用三角形增加稳定性。 C．平行四边形稳定性最差，因为它的对边平行且等长，但角度可以随意改变，在不改变边长的情况下，轻轻一推就能变形（如从“瘦长”变“扁平”）。 【规范解答】根据分析可知： 上面图形中，稳定性最差的是平行四边形。 故答案为：C 【演练1】（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 【答案】A 【思路引导】根据题意，明确三角形具有稳定性，不容易发生形变，生活中有许多三角形稳定性运用的场景，如自行车的三脚架、相机三脚架、太阳能热水器、起重机、屋顶、斜拉桥、古埃及金字塔等。以此判断即可。 【规范解答】由分析可知，伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了三角形的稳定性。 故答案为：A 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）李爷爷管理一块林地（如下图），林地的面积是多少平方米？ （1）小思想：先分别算出两个长方形的面积再加起来。 请你用小思的方法列出综合算式（不用计算）： 。 （2）小维想：我观察这两个长方形的宽都是27m，可以把一个长方形旋转后排成一个大长方形算面积；你能用小维的方法算出林地的面积吗？ （3）李爷爷想在林地周围装上篱笆，选择 款篱笆比较合适，运用了 特性。 【答案】（1）68×27＋32×27 （2）2700平方米 （3）B；三角形的稳定 【思路引导】（1）林地的面积＝大长方形的长×大长方形的宽＋小长方形的长×小长方形的宽，据此列式计算即可； （2）两个长方形的宽相同，所以林地的面积＝（大长方形的长＋小长方形的长）×长方形的宽，据此代入数值作答即可； （3）根据三角形的稳定性作答即可。 【规范解答】（1）用小思的方法列出综合算式：68×27＋32×27。 （2）（68＋32）×27 ＝100×27 ＝2700（平方米） 答：林地的面积是2700平方米。 （3）李爷爷想在林地周围装上篱笆，选择B款篱笆比较合适，运用了三角形的稳定特性。 高频考点讲练04：两点间线殷最短与两点间的距离 【典例精讲】（23-24四年级下·河北承德·期末）丽丽从家去超市走( )号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 【答案】 ② 线段 大于 【思路引导】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此判断①号与②号哪条路更短；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边据此判断②号与③号哪条路更短，据此填空即可。 【规范解答】丽丽从家去超市走②号路最近。①号与②号比较时，依据是两点间所有连线中线段最短；②号与③号比较时，依据是三角形任意两边的和大于第三边。 【演练1】（23-24四年级下·四川南充·期末）从小明家到学校有三条路可走，走哪条路最近？下列说法错误的是（    ）。 A．走中间那条路最近，因为垂直线段最短 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短 【答案】A 【思路引导】A．中间这条路可以看作是两点之间的线段，而不是垂线段，所以应是两点之间线段最短。 B．图中有2个三角形，根据三角形的任意两边之和大于第三边，可以知道从小明家到医院再到学校这条路，从小明家先到图书馆再到学校这条路，都没有从小明家直接到学校这条路近。 C．根据两点之间的所有连线中线段最短可知，走从小明家直接到学校的那条路最近，即图中最中间的路最近。 【规范解答】A．走中间那条路最近，因为两点之间线段最短，原说法不对。 B．走中间那条路最近，因为三角形任意两边的和大于第三边，这个说法正确。 C．走中间那条路最近，因为两点间所有连线中，线段最短，这个说法正确。 故答案为：A 【演练2】（22-23四年级下·全国·课前预习）课件出示教科书P60例3。 （1）看一看：从小明家到学校有几条路可以走？ （2）说一说：那你们觉得小明走哪条路最近呢？ （3）议一议：通过上面的观察、测量、比较，发现，你能得出什么结论？ 【答案】（1）3条；（2）小明家直接到学校；（3）见详解 【思路引导】（1）小明家经邮局到学校、小明家经商店到学校和小明家直接到学校共有3条路。 （2）观察上图，我觉得从小明家直接到学校哪条最近。 （3）用直尺测量一下三条路线，然后进行比较，最后得出结论。 【规范解答】（1）根据分析可知，从小明家到学校有3条路可以走。 （2）我觉得从小明家直接到学校哪条最近。 （3）小明家经邮局到学校：41＋49＝90（毫米）； 小明家直接到学校：85毫米； 小明家经商店到学校：36＋55＝91（毫米）； 91＞90＞85，小明家直接到学校最近。 我发现两点间所有的连线中线段最短。 【考点剖析】本题主要考查学生对线段特性的掌握和灵活运用。 高频考点讲练05：三角形三边关系 【典例精讲】（22-23四年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下面不能围成三角形的三条线段是（    ）。 A．5厘米，8厘米，3厘米 B．9厘米，5厘米，5厘米 C．1分米，6厘米，0.06米 【答案】A 【思路引导】三角形的三边关系：任意三角形的两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边，据此解答。第三组单位不统一，先统一单位，1分米＝10厘米，1米＝100厘米，所以0.06米乘100，相当于小数点向右移动两位是6厘米，再判断。 【规范解答】A．5＋3＝8（厘米）＝8厘米，不能围成三角形； B．5＋5＝10（厘米）＞9厘米，能围成三角形； C．0.06×100＝6（厘米），1分米＝10厘米，6＋6＝12（厘米）＞10厘米，能围成三角形； 故答案为：A 【演练1】（23-24四年级下·江西上饶·期末）张叔叔家太阳能热水器的支架坏了（如图），需要更换钢条，钢条的长度可能为（    ）米。 A．0.9 B．2.7 C．0.3 D．3.6 【答案】A 【思路引导】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【规范解答】1.2＋1.5＝2.7（米） 1.5－1.2＝0.3（米） 钢条的长度应比2.7米短，比0.3米长。 A．0.3＜0.9＜2.7 B．2.7＝2.7 C．0.3＝0.3 D．3.6＞2.7 钢条的长度可能为0.9米。 故答案为：A 【演练2】（23-24四年级下·浙江绍兴·期末）一根吸管长20厘米，把它剪成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数），最长的一条边最长是( )厘米。 【答案】9 【思路引导】本题可根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”来确定最长边的长度。先求出吸管长度的一半，再结合最长边的长度要小于吸管长度的一半且为整厘米数来求解。 【规范解答】已知吸管长20厘米，那么它长度的一半为：20÷2＝10（厘米）；因为三角形任意两边之和大于第三边，所以最长边要小于吸管长度的一半，即小于10厘米。又因为每段长度都是整厘米数，所以小于10的最大整数是9，即最长的一条边是9厘米。 所以，最长的一条边最长是9厘米。 高频考点讲练06：三角形的分类 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江绍兴·期末）如果一个三角形中最大的角是91°，那到它一定是（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．锐角 D．等腰 【答案】B 【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个是直角的三角形是直角三角形；有一个是钝角的三角形是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；据此解答即可。 【规范解答】90°＜91°＜180°，即91°角是钝角； 故，如果一个三角形中最大的角是91°，那么它一定是一个钝角三角形。 故答案为：B 【演练1】（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）下图中一共有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，有( )个直角三角形，有( )个钝角三角形。 【答案】 6 2 3 1 【思路引导】单独的小三角形有3个；由两个小三角形组成的三角形有2个；由三个小三角形组成的三角形有1个；把这些数量加起来即可得到总数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】3＋2＋1＝6（个） 如图：①②是直角三角形，①＋②组成锐角三角形；②＋③组成直角三角形；①＋②＋③组成锐角三角形；③是钝角三角形。所以图中共有6个三角形，其中有2个锐角三角形，3个直角三角形，1个钝角三角形。 【演练2】（21-22四年级下·河南安阳·期末）下图中，有( )个锐角，( )个锐角三角形。( )个钝角，( )个钝角三角形。( )个直角，( )个直角三角形。 【答案】 10 2 2 2 4 4 【思路引导】长方形将两条对角线画出来后，长方形里面一共有20个角。其中，锐角有10个，钝角有2个，直角有4个，平角有4个。图里一共有2个锐角三角形，4个直角三角形，2个钝角三角形。 【规范解答】图中一共有10个锐角，2个锐角三角形。2个钝角，2个钝角三角形。4个直角，4个直角三角形。 【考点剖析】本题考查学生角的分类及三角形分类的掌握。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 高频考点讲练07：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【答案】 8 9 10 【思路引导】这根吸管长14厘米，第一段长4厘米，剩下吸管长14－4＝10厘米。等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是4厘米、4厘米、6厘米，或者4厘米、5厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从4＋4＝8厘米或者4＋5＝9厘米或者14－4＝10厘米处剪开。 【规范解答】14－4－4＝6（厘米） 4＋4＞6 则长4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （14－4）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 4＋5＞5 则长4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。 4＋4＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 第二段从8厘米或9厘米或10厘米处剪开。 【考点剖析】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。 【演练1】（19-20四年级下·全国·期末）下图中有10个点，共连成13个等边三角形，现在已经擦去1个点（用O表示），至少再擦去几个点后，才能使图中一个等边三角形都没有？ （在图中画O表示擦去的点） 【答案】 【思路引导】要使擦去的点最少，那么就找顶点相交的最多的点，据此画出即可。 【规范解答】由分析可得： 【考点剖析】本题考查的是应用与设计作图，首先要理解题意，弄清题目中作图的要求。 【演练2】（23-24四年级下·广东湛江·期末）下面能用24÷3来解决的问题有（    ）。 ①一个等边三角形的周长是24厘米，求等边三角形的边长是多少？ ②一根绳子长24米，对折3次后，求每段的长度是多少？ ③商场“买三送一”打包卖小蛋糕，每份一共24元，实际上每块蛋糕多少元？ ④已知◯＋◯＋◯＝24，求◯＝？ A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【思路引导】由题意得，需要逐个分析选项中的问题，然后找出可以用算式24÷3来解决的问题即可。 【规范解答】①等边三角形的三条边的长度相等。已知等边三角形的周长是24厘米，求它的边长，直接用24除以3即可解答。列式为：24÷3。 ②一根绳子对折1次，就是把这根绳子平均分成2段。对折2次，就是把这根绳子平均分成4段。对折3次，就是把这根绳子平均分成8段。一根绳子长24米，对折3次后，求每段的长度是多少，直接用24除以8即可解答。列式为：24÷8。 ③商场“买三送一”打包卖小蛋糕，每份一共24元，即4个小蛋糕一共24元。求实际上每块蛋糕多少元，直接用24除以4即可解答。列式为：24÷4。 ④已知◯＋◯＋◯＝24，求◯，直接用24除以3即可解答。列式为：24÷3。 综上所述，可以用算式24÷3解决的问题有①④。 故答案为：A 高频考点讲练08：画三角形 【典例精讲】（23-24四年级下·重庆丰都·期末）（1）在下面方格纸中画出一个“钝角”三角形。 （2）再画出这个钝角三角形的其中一条高。 （3）三角形的高其实就是它的一个顶点到它的（    ）作的一条垂直线段。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）对边 【思路引导】（1）有一个角是钝角（大于90°）的三角形是钝角三角形。据此作图即可； （2）找到三角形的一条底边，从底边所对的顶角作一条垂线垂直于底边，并画上垂足符号，这条垂线则为三角形的高。据此作图即可； （3）三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，从这点到对边垂足之间的线段是三角形的高。 【规范解答】（1）（2）如图所示： （3）三角形的高其实就是它的一个顶点到它的对边作的一条垂直线段。 【演练1】（23-24四年级下·重庆·期末）按要求在方格图中画三角形（每个小方格边长1cm）。 （1）以线段AB为底，画一个高3cm的三角形ABC，且AC＝BC。 （2）以线段DE为底，画一个高3cm的直角三角形DEF。 【答案】见详解 【思路引导】（1）要画一个以线段AB为底，高为3cm的三角形，且AC＝BC的三角形，即画一个等腰三角形，先找到AB中点，再在中点距离AB所在直线3cm处确定顶点C，最后连接AC和BC； （2）要画一个以线段DE为底，高为3cm的直角三角形，需要利用方格的直角特征，以DE为底边，在距离E点所在直线3cm处确定直角顶点F，使得两条直角边互相垂直，最后连接DF和EF即可。 【规范解答】根据分析画出图形： （答案不唯一） 【演练2】（24-25四年级下·河北石家庄·期中）按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是4厘米，高是3厘米的三角形，并画出这个三角形的一条高。 （2）画一个上底为2厘米，下底为4厘米，高为3厘米的等腰梯形，并把它分割成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）根据三角形的特征画图：由三条边首尾相连围成；先用直尺画一条长4个小格的线段作为三角形的底，在底的垂直方向取高是3个小格，再把另外两边画出。 经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高。 （2）根据等腰梯形特征画图：只有一组对边平行，且两腰相等；因此可先用直尺画一条长4个小格的线段作为梯形的下底，并在距离下底的上方3个小格处，画一条2个小格的线段，并且下底比上底左右两端各多出1个小格即可。 梯形两底间的距离叫梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。三角形的特征：由三条边首尾相连围成；平行四边形的对边互相平行且相等；由此画一条线段，即可把平行四边形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【规范解答】（1）（2）画图如下： （答案不唯一） 高频考点讲练09：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·北京朝阳·期末）一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是( )°。 【答案】120 【思路引导】根据三角形三个内角的度数和是180°，等腰三角形两个底角度数相等，把一个底角看作1份，则顶角是1×4＝4（份），所以三个角的度数和就是1＋1＋4＝6（份），用180°除以总份数6，即得到每份数一个底角的度数，再乘4即得到顶角的度数。据此解答。 【规范解答】1＋1＋4＝6（份） 180°÷6＝30° 30°×4＝120° 即一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是120°。 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°；如果它的底角是50°，顶角是( )°。 【答案】 50 80 【思路引导】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两底角相等，用180°减去顶角的80°等于两个底角的度数和，再除以2即等于一个底角的度数；等腰三角形的底角等于50°，用180°减去两个50°即等于顶角的度数；据此即可解答。 【规范解答】（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° 即，一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是50°；如果它的底角是50°，顶角是80°。 【演练2】（24-25四年级下·湖北宜昌·期中）如果在一个三角形中有两个内角的度数和是90°，那么这个三角形一定是( )三角形：如果在一个直角三角形中有一个内角是45°，那么这个三角形一定是( )三角形。 【答案】 直角 等腰直角/等腰 【思路引导】根据题意，明确三角形内角和是180°，已知三角形中有两个内角的度数和是90°，那么用180°减去90°，就可以求出第三个角的度数；三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。可以判断这个三角形一定是直角三角形。在直角三角形中，已经有一个角是90°，如果还有一个内角是45°，那么第三个角的度数就是：用180°减去90°，再减去45°，可知求出第三个角的度数是45°；两个锐角相等，这个三角形有两条边相等（等腰），且有一个直角。因此，它一定是等腰直角三角形。 【规范解答】根据分析可知： 180°－90°＝90° 180°－90°－45°＝45° 如果在一个三角形中有两个内角的度数和是90°，那么这个三角形一定是直角三角形：如果在一个直角三角形中有一个内角是45°，那么这个三角形一定是等腰直角三角形。 高频考点讲练10：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·天津河东·期末）将直角三角形的直角剪掉（如图），剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°，∠4＋∠5＝( )°。 【答案】 90 270 【思路引导】三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。 原来的直角三角形中，∠1、∠2和一个直角组成一个三角形，用三角形的内角和减去90°，即可求出∠1与∠2的度数之和。 ∠1、∠2、∠4、∠5组成一个四边形，用四边形的内角和减去∠1与∠2的度数之和，即是∠4与∠5的度数之和。 【规范解答】∠1＋∠2＝180°－90°＝90° ∠4＋∠5＝360°－（∠1＋∠2）＝360°－90°＝270° 即∠1＋∠2＝90°，∠4＋∠5＝270°。 【演练1】（23-24四年级下·广东湛江·期末）如图，将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，下面选项正确的是（    ）。 A．甲图形的内角和＜乙图形的内角和 B．甲图形的内角和＝乙图形的内角和 C．甲图形的内角和＞乙图形的内角和 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分，这两部分都是四边形，只要是四边形，内角和都是相等的，内角和都是360°。 【规范解答】将两个三角形各截去∠1，剩下甲、乙两部分内角和相等。 故答案为：B 【演练2】（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（    ）。 【答案】720°/720度 【思路引导】根据方法3可知，四边形可以分成（4－2）个三角形，四边形的内角和是：180°×（4－2）＝360°，同理，五边形可以分成（5－2）个三角形，五边形的内角和是：180°×（5－2）＝540°；六边形可以分成（5－2）个三角形，六边形的内角和是：180°×（6－2）＝720°。 【规范解答】 180°×（6－2）＝180°×4＝720° 六边形内角和：（720°）。 1．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）把所有三角形作为一个整体，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形作为整体的一部分，可以表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。据此解答。 【规范解答】 A．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形且三者之间不存在包含关系，该关系图正确。 B．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，但三角形按角分类，除了这三种三角形没有其它种类的三角形。该关系图错误。 C．锐角三角形不应该包含直角三角形和钝角三角形。该关系图错误。 D．钝角三角形不应该包含直角三角形和锐角三角形。该关系图错误。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·天津南开·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．若甲与乙（0除外）相乘后，积仍然是乙，那么甲一定是0 B．计算器的按键“8”坏了，如果要计算76乘28，可以按76×4 C．4个十分之一和40个百分之一大小相等 D．一个多边形有n条边，它的内角和是180°×n 【答案】C 【思路引导】A．若甲与乙（乙≠0）相乘的积仍为乙，即甲×乙＝乙，根据1×任何数＝原数，可以推出甲＝1（因为1×乙＝乙），而不是0； B．根据乘法结合律：三个数相乘先算后两个数相乘再乘第一个数等于先算前两个数相乘再乘第三个数，将76×28中的28看作4×7，据此解答； C．4个十分之一是0.4，40个百分之一是0.40，化简为0.4，则4个十分之一和40个百分之一的大小相等； D．从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和，多边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。 【规范解答】A．若甲＝0，则甲×乙（乙≠0）＝0×乙＝0，当甲＝1时，甲×乙（乙≠0）＝1×乙＝乙，那么甲是1，而不是0，所以原题说法错误； B．76×4＝304，76×28＝76×（4×7）＝76×4×7＝304×7＝2128，304≠2128，所以原题说法错误； C．4个十分之一和40个百分之一的大小相等，均为0.4，所以原题说法正确； D．一个多边形有n条边，那么它的内角和是（n－2）×180°，所以原题说法错误。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·天津河东·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．4.5和4.50大小相等，意义也相同 B．25×（4×8）＝25×4×25×8 C．等边三角形不可能是直角三角形。 D．大于1.56而小于1.58的小数只有一个。 【答案】C 【思路引导】A．根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；小数的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一 B．根据乘法结合律：，分别计算出等式左右两边算式的得数即可； C．等边三角形的三个角均为60°，直角三角形有一个角为90°； D．大于1.56而小于1.58的两位小数只有一个，而大于1.56小于1.58的小数有无数个。 【规范解答】A．根据分析可得：，但是4.5的计数单位为十分之一，4.50的计数单位为百分之一，两者意义不同，因此选项错误； B．，，左右两边算式的得数不一致，因此选项错误； C．根据分析可得：等边三角形不可能是直角三角形，因此选项正确； D．根据分析可得：大于1.56而小于1.58的小数有无数个。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）猜一猜，下面三个三角形被遮住了一部分，下面可能是直角三角形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】A．露出的是一个钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； B．只露出一个锐角，那么剩余两个角有可能有一个是直角就是直角三角形，也有可能有一个角是钝角是钝角三角形；也有可能两个角都是锐角是锐角三角形； C．露出的两个锐角，比较大，相加超过了90°，所以没有露出的角一定是锐角，三个角都是锐角的三角形一定是锐角三角形。 故答案为：B 5．（18-19四年级下·山东潍坊·期末）在一个三角形中，最小的一个角是47°，这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，由题意可知，另一个锐角的度数一定大于47°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因为三角形的内角和是180°，所以可得出第三个内角必定小于90°，则这个三角形是锐角三角形。 【规范解答】结合三角形的特性，以及三角形的内角和定理可知，一个最小角是47°的三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A。 【考点剖析】本题具有一定的思维量，能够想到一个三角形至少有2个锐角，是最基本的条件；再进一步考虑内角和180°，经过计算后可得出答案；本题具有举一反三的特性。 6．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是( )cm。 【答案】9 【思路引导】根据题意，根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和。已知两根小棒分别为6厘米和4厘米，第三边长度需满足：6－4＜第三边＜6＋4，即2＜第三边＜10。由于长度取整厘米数，第三边最长为9厘米。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 6－4＝2（厘米） 6＋4＝10（厘米） 10－1＝9（厘米） 有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是9cm。 7．（24-25四年级下·天津南开·期末）手工课小明剪了两个相同的等腰三角形，叠在一起（如图），已知∠2＝136°，∠1＝( )°。 【答案】92 【思路引导】 已知∠2＝136°，∠3和∠2组成一个平角，用180°－136°＝44°，求出∠3的度数，等腰三角形两个底角度数相等，∠3＝∠4，三角形内角和等于180°，用180°―44°―44°，求出∠5的度数，由图形可知∠5＝∠1，据此即可求出∠1的度数。 【规范解答】180°－136°＝44° 180°―44°―44° ＝136°―44° ＝92° 因此，∠1＝92°。 8．（24-25四年级下·天津南开·期末）四年1班同学在“数学实践周”活动中为学校设计了一个三角形的花坛，其中两条边刚好被两段栅栏围住，每段栅栏长9米。花坛的形状是( )三角形，另外一条边的栅栏最长为( )米。（限整米数） 【答案】 等腰 17 【思路引导】一个三角形的花坛，其中两条边刚好被两段栅栏围住，说明两条边的长度相等，两条边长都是9米，等腰三角形两条腰相等，那么这是一个等腰三角形花坛；根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可求出另外一条边的栅栏最长为米。 【规范解答】9＋9＝18（米） 第三边＜18米 第三边最长是18－1＝17（米） 因此，这个花坛的形状是等腰三角形，另外一条边的栅栏最长为17米。 9．（24-25四年级下·天津河东·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”中国自古就有放风筝的习俗。爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝，其中一个底角是65°，这个风筝的顶角是( )°；测得风筝的两条边长分别是14dm和7dm，这个风筝的周长是( )dm。 【答案】 50 35 【思路引导】（1）三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，求顶角的度数，用180°减去两个底角的度数即可解答； （2）等腰三角形的两个腰相等，测得的两条边是14分米和7分米，不知道哪条边是腰，哪条边是底边，因此需要分类讨论； 当14分米为底边时，那么7分米就是等腰三角形的腰，此时等腰三角形的三边分别为7分米、7分米、14分米，因为7＋7＝14，三角形的两边之和要大于第三边，所以这个等腰三角形的三边不可能是7分米、7分米、14分米；三条边的长只能是14分米、14分米、7分米，求三角形的周长，把三条边相加即可。 【规范解答】180°－65°－65°＝50° 所以这个风筝的顶角是50°。 14＋14＋7＝35（分米） 所以这个风筝的周长是35分米。 10．（23-24四年级下·河北保定·期末）三角形任意两个内角之和大于第三个内角。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。三角形的内角和为180°。据此解答。 【规范解答】根据题意作图如下： 在锐角三角形中，60°＋60°＝120°。120°＞60°，满足题意。在直角三角形中，60°＋30°＝90°。90°＝90°，不满足题意。在钝角三角形中，30°＋30°＝60°。60°＜120°，不满足题意。原题说法错误。 故答案为：× 11．（23-24六年级下·天津河东·期末）在一个三角形中，至少有两个内角是锐角。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形内角和可知，三角形的三个内角之和为180°。假设一个三角形中只有一个锐角，即可得出结论，据此解答。 【规范解答】假设一个三角形中只有一个锐角，则另外两个角都大于或等于90°，此时三个角的和必然超过180°，与三角形内角和是180°矛盾；原说法正确。 故答案为：√ 12．（23-24四年级下·陕西安康·期末）五边形的内角和比四边形的内角和大180度。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据多边形内角和公式：（n－2）×180°（其中n为多边形的边数，n≥3且n为整数）。先算出五边形和四边形的内角和，再计算它们的差值，从而判断该说法是否正确。 【规范解答】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 540°－360°＝180° 所以，五边形的内角和比四边形的内角和大180度。题干说法正确。 故答案为：√ 13．（24-25四年级下·广东广州·阶段练习）如下图所示，一个等腰三角形，其中的一个底角∠1＝45°，求顶角∠3＝？ 【答案】90° 【思路引导】三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角相等。由题意得，等腰三角形的一个底角是45°，那么另一个底角的度数也是45°，直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【规范解答】180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 即顶角∠3＝90°。 14．（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）列式计算算出下面各个未知角的度数。 【答案】78°；60° 【思路引导】根据三角形内角和是180°和图中给出的度数，用180°减去三角形的两个已知角度，可以求得未知角的度数。 【规范解答】根据分析可知： 180°－（65°＋37°） ＝180°－102° ＝ 78° 图一的未知角的度数是 78°。 180°－（90°＋30°） ＝180°－120° ＝ 60° 图二的未知角的度数是 60°。 15．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）小玲和小红在学习完四边形的内角和后，对五边形的内角和进行了研究。 你同意________的说法（填“小玲”或“小红”）。请说明理由。 【答案】小红；理由见详解 【思路引导】小玲的方法：三角形的内角和是180°，把五边形分成5个三角形，求出5个三角形的内角之和后，还需要减去一个周角，得到的才是五边形的内角和； 小红的方法：把五边形分成3个三角形，则这五边形的内角和等于3个三角形的内角之和。 【规范解答】小玲的计算方法错误，小红的计算方法正确； 我同意小红的说法，因为小玲的算法还需要减去一个周角，即180°×5－360°＝900°－360°＝540°。 16．（23-24四年级下·辽宁盘锦·期末）王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 【答案】 65米 【思路引导】题目给出两条边分别为26米和13米，需确定哪两条边为腰：若腰为13米，则底边为26米，此时米，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立；因此腰只能是26米，底边为13米，此时三边满足三角形三边关系。根据等腰三角形的特点，两条腰相等，据此求出三角形周长即可。 【规范解答】根据分析可得：（米） 所以，三角形的腰是26米，底是13米。 因此三角形周长为： （米） 答：栅栏长65米。 17．（23-24四年级下·浙江杭州·期末）挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 【答案】（1）60；（2）360；理由见详解；（3）图见详解 【思路引导】（1）根据三角形内角和是180°，直角三角形有一个直角是90°，可知另外两个三角形两锐角和是180°－90°＝90°，即∠A＋∠C＝90°，则∠A＝90°－∠C； （2）将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），可以看出这个四边形是由两个三角形组成的，所以四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，据此解答（答案不唯一）。 （3）剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大，只要任意两边上分别找出一点（除去顶点）连接，剪去一个三角形，剩下的是一个四边形即可。（答案不唯一） 【规范解答】（1）∠A＝90°－∠C＝90°－30°＝60° （2） 剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。 （3） 18．（23-24四年级下·浙江舟山·期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长3厘米。它的底和腰各是多少厘米？（先将线段图补充完整，标出已知条件和问题，再解答） 【答案】底12厘米；腰15厘米 【思路引导】等腰三角形的两腰相等，两条腰长加上底的长度就是它的周长。根据周长是42厘米，腰比底长3厘米。画出线段图即可。 用它的周长减去2个3厘米的长度就是3个底的长度。算出结果除以3就是一条底的长度。再用底的长度加上3厘米就是腰的长度。 【规范解答】根据条件，画出的线段图如下所示： 底长： （42－2×3）÷3 ＝（42－6）÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） 腰长：12＋3＝15（厘米） 答：它的底是12厘米和腰是15厘米。 19．（22-23四年级下·新疆昌吉·期末）操作。 （1）已知三角形ABC是直角三角形，∠1＝55°，∠2＝（    ）。 （2）以AC为底，画出三角形ABC的高。 【答案】（1）35° （2）见详解 【思路引导】（1）在三角形ABC中，已知∠B是直角，∠1＝55°，根据三角形内角和是180°，用180°减去90°，再减去55°，即可求出∠2的度数。 （2）过点B作AC边的垂线，就是以AC为底的高。以此画图即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° 已知三角形ABC是直角三角形，∠1＝55°，∠2＝35°。 （2）以AC为底，画出三角形ABC的高如下： 20．（18-19四年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍，这个三角形的顶角和一个底角各是多少度？ 【答案】底角： 36°   顶角： 108° 【规范解答】底角：180°÷（3＋1＋1）＝36°   顶角：36°×3＝108° $$