（温故知新）专题01 四则运算与运算律（导图+技巧点拨+14个高频考点+真题强化 共62题）-2025年人教版数学四升五年级暑假衔接精讲练过关金牌讲义（原卷版+解析版）

（温故知新篇） 2025-2026学年人教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲练 （导图指引+知识梳理+14个考点讲练+拔尖训练 共62题） 专题01 四则运算与运算律 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：加、减法的意义和各部分间的关系 1.加、减法的意义 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 在加法中，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 在减法中，已知的和叫做被减数，减号后面的数叫做减数，减得的数叫做差。 （3）减法是加法的逆运算。 2.加、减法各部分间的关系 （1）加法各部分间的关系：和=加数+加数，加数=和一另一个加数。 （2）减法各部分间的关系：差=被减数一减数，减数=被减数-差，被减数=减数+差。 （3）由加、减法各部分间的关系，我们可以根据一个加法算式写出两个减法算式，也可以根据一个减法算式写出一个加法算式和一个减法算式。 知识点02：乘、除法的意义和各部分间的关系 1.乘、除法的意义 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 在乘法中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 （2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 在除法中，已知的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫做商。 （3）除法是乘法的逆运算。 2.乘、除法各部分间的关系 （1）乘法各部分间的关系：积=因数×因数 因数=积÷另一个因数 （2）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 3.有关0的运算 （1）一个数加上0，还得原数；一个数减去0，还得原数；被减数等于减数，差是0；一个数和0相乘，仍得0； 0除以一个非0的数，还得0。 （2）注意：0不能作除数。 知识点03：括号 1.四则运算 我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 2.有括号的混合运算的顺序 （1）一个算式里，有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 （2）一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 3.解决租车、租船等最省钱问题 解决此类问题时，可以先假设（如假设全租大船，或假设全租小船），然后再根据计算结果进行调整。 知识点04：加法运算定律 1.加法交换律 （1）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做加法交换律。 用字母表示：a+b=b+a。 （2）加法交换律中变化的只是两个加数的位置，不变的是这两个加数及它们的和。 2.加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫做加法结合律。 用字母表示；：（a+b）+c=a+（b+c）。 3.运用加法运算定律进行简便计算在计算几个数连加的算式时，可以利用加法交换律和加法结合律，使计算简便。 4.连减的简便计算 （1）一个数减去几个数的和，可以从这个数里依次减去各个加数。 用字母可表示：a-（b +c）=a-b-c。 （2）一个数连续减去几个数，可以先把所有的减数加起来，再从被减数里减去所有减数的和。用字母可表示：a -b-c=a-（b+c）。 知识点05：乘法交换律 1.乘法交换律 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。用字母表示：a×b=b×ag 2.乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。 3.乘法分配律（两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c 知识点06：乘法及连除的简便计算 1.同一道乘法算式的不同简算方法： 计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数折分成两个数的积，再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数折分成两个数的和，再运用乘法分配律来进行简算。 2.连除的简便计算 （1）一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。 用字母可表示为：a÷b÷c=a÷（b ×c）。（b‡0，c‡0） （2）一个数除以两个数的积，可以改为连续除以这两个数。 用字母可表示为：a÷（b×c）=a÷b÷c。（b‡0，c‡0） 易错点拨 易错点01：加法和减法的混淆 在验算加法时，孩子们可能会忘记使用减法来检查答案，即和减去一个加数是否等于另一个加数。 在进行减法运算时，可能会混淆被减数、减数和差的概念。 易错点02：乘法和除法的理解 在乘法运算中，孩子们可能会忘记0乘以任何数都得0，或者1乘以任何数都得原数。 在除法运算中，孩子们可能会忘记0不能做除数，或者混淆被除数、除数和商的关系。 易错点03：混合运算的优先级 在进行四则混合运算时，孩子们可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。 在有括号的算式里，孩子们可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。 易错点04：符号的误用 在运算过程中，孩子们可能会误用加号、减号、乘号和除号，导致运算结果错误。 易错点05：整数运算的进位和借位 在进行整数加法和减法时，孩子们可能会忘记进位或借位，导致计算错误。 易错点06：理解题目的不准确 在解决应用题时，孩子们可能会误解题目的意思，导致选择错误的运算方法。 易错点07：加法运算定律的易错点 加法交换律：学生可能会忘记加法的交换律，即两个数相加时，交换加数的位置，和不变。例如，学生可能会认为 5 + 3 不等于 3 + 5。 加法结合律：学生可能会在三个数相加时，错误地改变加数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将 (2 + 3) + 4 误算为 2 + (3 + 5)。 易错点08：乘法运算定律的易错点 乘法交换律：与加法类似，学生可能会忘记乘法的交换律，即两个数相乘时，交换因数的位置，积不变。例如，学生可能会认为 2 × 3 不等于 3 × 2。 乘法结合律：在三个数相乘时，学生可能会错误地改变因数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将 (2 × 3) × 4 误算为 2 × (3 × 5)。 乘法分配律：这是乘法运算定律中的一个重要部分，但学生常常会出现误解。乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。学生在应用这个定律时，可能会漏掉某个数与另一个数的相乘，或者错误地将某个数与和相乘。例如，学生可能会将 (2 + 3) × 4 误算为 2 × 4 + 3，或者 2 × 4 + 3 × 4 误算为 (2 + 3) × (4 + 4)。 易错点09：运算顺序的易错点 在进行四则运算时，学生可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。这会导致学生在计算时出错。 括号的使用也是学生容易出错的地方。在有括号的算式里，学生可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。 高频考点讲练01：加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（23-24四年级上·全国·单元测试）猴子们一起分桃子，如果每只猴子分得2个桃子，那么还剩下10个桃子；如果每只猴子分得4个桃子，就只剩下2个桃子，请问一共有多少只猴子？这堆桃子一共有多少个？ 【答案】4只；18个 【思路引导】我们可以简单画出两次分配的示意图： 对比两次分配过程，我们可以发现：第二次与第一次相比，每只猴子多分到了2个桃子，剩下的桃子少了8个也就是说一共多分出去了8个桃子，我们可以这样思考：从第一次分完剩下的10个桃子中再拿出8个桃子分给猴子，每只猴子可以再分到2个桃子，因此可以用8除以2算出猴子数量，再代入第一次（或第二次）分配过程计算桃子数量。 根据本题我们可以去总结“盈盈型”的解题方法： ①大盈（多的余数）－小盈（少的余数）＝总数差 ②每份多的－每份少的＝每份差 ③总数差÷每份差＝份数 【规范解答】总数差：10－2＝8（个） 每份差：4－2＝2（个） 猴子：8÷2＝4（只） 桃子：4×2＋10＝8＋10＝18（个）或4×4＋2＝16＋2＝18（个） 答：一共有4只猴子，18个桃子。 【考点剖析】本题考查学生分析问题和解决问题的能力，解决这类问题关键是知道（大盈－小盈）÷两次每人分得之差＝份数。 【演练1】（24-25四年级下·安徽黄山·期中）( )减去185得1024；513加上( )得900。 【答案】 1209 387 【思路引导】根据题意，明确被减数－减数＝差，被减数＝减数＋差，加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数；以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 185＋1024＝1209 900－513＝387 1209减去185得1024；513加上387得900。 【演练2】（23-24四年级下·江西上饶·期末）观察下边的竖式，验算的依据是： 。 【答案】减数＋差＝被减数 【思路引导】根据题意可知，被减数－减数＝差，题中验算时，用减数496加差406，求出被减数902，据此验算902－496＝406。验算的依据是减数＋差＝被减数。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 观察下边的竖式，验算的依据是：减数＋差＝被减数。 高频考点讲练02：乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）654－( )＝500   ( )×46＝552  378÷( )＝14……14 【答案】 154 12 26 【思路引导】根据被减数－差＝减数，积÷因数＝另一个因数，（被除数－余数）÷商＝除数，据此解答即可。 【规范解答】654－500＝154，所以，654－154＝500； 552÷46＝12，所以，12×46＝552； （378－14）÷14 ＝364÷14 ＝26 378÷26＝14……14 654－154＝500   12×46＝552  378÷26＝14……14 【演练1】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）两个数相乘，如果第一个因数增加14，第二个因数不变，那么积增加70；如果第一个因数不变，第2个因数增加14，那么积增加532，原来的积是多少？ 【答案】190 【思路引导】第一个因数增加14，第二个因数不变，就是增加了14个第二个因数，用第一个因数增加的积除以第一个因数增加的数，据此可求出第二个因数；第一个因数不变，第二个因数增加14，就是增加了14个第一个因数，用第二个因数增加的积除以第二个因数增加的数，据此可求出第一个因数，然后将两个因数相乘，据此计算可解此题。 【规范解答】第二个因数：70÷14＝5 第一个因数：532÷14＝38 原来的积：38×5＝190 答：原来的积是190。 【演练2】（19-20四年级下·全国·周测）△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 【答案】D 【思路引导】因△＋□＝150，□＝150－△，把□代入，△÷□＝5，就可求出它的值，据此解答。 【规范解答】△＋□＝150 □＝150－△ 把□代入，△÷□＝5得： △÷（150－△）＝5 △÷（150－△）×（150－△）＝5×（150－△） △＝750－5△ △＋5△＝750－5△＋5△ 6△÷6＝750÷6 △＝125 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了学生对等量代换的初步认识。 高频考点讲练03：带有小括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）在下面的算式中，a等于多少？请写出你的分析过程。 （19－a）×（14÷a）＝0 【答案】19；分析过程见详解 【思路引导】根据乘法性质，若两数相乘为0，则至少有一个数为0。因此分别考虑两个括号内的表达式是否为0，并结合被除数为0时，除以任何不为0的数，商为0；以及除数不能为0的条件进行排除。 【规范解答】要使得（19－a）×（14÷a）＝0成立，那么19－a和 14÷a至少有一个为0； 若19－a＝0，那么a＝19； 若14÷a＝0，则需被除数为0，除数a不为0，实际被除数为14，所以14÷a不能为0，等式不成立。 答：a等于19。 【演练1】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）近年来，我国的铁路运输飞速发展，客运列车的速度不断提高，现在速度最快的是高速列车（人们习惯称为“高铁”）。 普通列车：每小时行驶的路程比特快列车少50千米。 特快列车：每小时行驶120千米。 高速列车：每小时行驶的路程比特快列车的2倍多24千米。 （1）张林叔叔送8岁的小明坐高铁二等座去奶奶家，张叔叔单独做特快列车返程，来回一共需要花费多少钱？ （2）A、B两站相距1140千米，一列特快列车从A站出发，一列普通列车从B站出发，车同时相向而行，几小时后相遇？ 【答案】（1）1168元 （2）6小时 【思路引导】（1）高铁二等座儿童票价是成人的一半，用576÷2可求出儿童票价。特快列车成人票每张要比高铁二等座票价便宜272元，用576－272可求出特快列车成人票的价钱，用去时高铁二等座成人票价加儿童票价，再加返回时特快列车成人票价，就是来回一共需要花费多少钱。 （2）普通列车每小时行驶的路程比特快列车少50千米，用120－50求出普通列车每小时行驶多少千米；再用总路程除以两车的速度和，就是两车几小时后相遇。 【规范解答】（1）小明高铁票：576÷2＝288（元） 张叔叔特快列车票：576－272＝304（元） 来回总花费： 576＋304＋288 ＝880＋288 ＝1168（元） 答：来回一共需要花费1168元。 （2）普通列车速度：120－50＝70（千米/时） 1140÷（120＋70） ＝1140÷190 ＝6（小时） 答：6小时后相遇。 【演练2】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）周末，李老师带着6名老师和3名学生去游乐园玩耍。游乐园的门票价格规定如下：成人票每人40元，儿童票每人20元。不过还有一个团体票优惠政策，只要人数达到5人及5人以上，就可以按照每人25元购票。那么，李老师他们怎么买票才能花费最少呢？最少要花多少钱呢？ 【答案】李老师他们7名老师购买团体票，3名学生购买儿童票花费最少；235元 【思路引导】根据题意可知，一共有两种购票方案，方案一：买3张儿童票和（1＋6）张成人票，分别求出需要的钱数，然后相加即可； 方案二：都购买团体票，就是购买（1＋6＋3）张团体票，用张数乘票价求出需要的钱数； 方案三：（1＋6）名老师购买团体票，3名学生购买儿童票，分别求出需要的钱数再相加； 然后比较三个方案，找出需要花费钱数最少的即可。 【规范解答】方案一：老师购买成人票，学生购买儿童票，需要： （1＋6）×40＋3×20 ＝7×40＋3×20 ＝280＋60 ＝340（元） 方案二：全部购买团体票，需要： （1＋6＋3）×25 ＝（7＋3）×25 ＝10×25 ＝250（元） 方案三：（1＋6）名老师购买团体票，3名学生购买儿童票，需要： （1＋6）×25＋3×20 ＝7×25＋3×20 ＝175＋60 ＝235（元） 235元＜250元＜340元 答：李老师他们7名老师购买团体票，3名学生购买儿童票花费最少；最少要花235元。 高频考点讲练04：带有中括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）脱式计算。 440－540÷18×14           78×［（388－246）÷71］ 14×32＋351÷13          （800＋200÷50）×27 【答案】20；156 475；21708 【思路引导】（1）一个算式中既有减法，又有乘、除法，要先算乘、除法，再算减法。在算式440－540÷18×14中，要先算除法，再算乘法，最后算减法。 （2）一个算式中，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法。 （3）一个算式中既有乘、除法，又有加法，要先算乘、除法，再算加法。在算式14×32＋351÷13中，要先算乘法，再算除法，最后算加法。 （4）一个算式中，有小括号的，先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，最后算小括号外面的乘法。 【规范解答】440－540÷18×14 ＝440－30×14 ＝440－420 ＝20 78×［（388－246）÷71］ ＝78×［142÷71］ ＝78×2 ＝156 14×32＋351÷13 ＝448＋351÷13 ＝448＋27 ＝475 （800＋200÷50）×27 ＝（800＋4）×27 ＝804×27 ＝21708 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是( )，结果是( )。 【答案】 240÷[（15－5）×2] 12 【思路引导】由题意得，在算式240÷15－5×2中，要先算除法，再算乘法，最后算减法。要想先算减法，再算乘法，最后算除法，需要在算式15－5的两边加上小括号，在算式15－5×2的两边加上中括号，即综合算式为240÷[（15－5）×2]。 【规范解答】240÷[（15－5）×2] ＝240÷[10×2] ＝240÷20 ＝12 要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是240÷[（15－5）×2]，结果是12。 【演练2】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）水果店第一天卖出香蕉25千克，第二天卖出的比第一天的3倍多8千克，每千克香蕉5元，两天共收入多少元？ 【答案】540元 【思路引导】根据题意可知，第一天卖出香蕉的千克数乘3，再加上8等于第二天卖出香蕉的千克数，两天卖出香蕉的千克数相加等于两天一共卖出香蕉的千克数，每千克香蕉的价钱乘两天一共卖出香蕉的千克数即等于两天总共的收入，据此即可解答。 【规范解答】5×[25＋（25×3＋8）] ＝5×[25＋（75＋8）] ＝5×[25＋83] ＝5×108 ＝540（元） 答：两天共收入540元。 高频考点讲练05：巧填算符 【典例精讲】（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）在括号里填上适当的运算符号，使等式两边相等。 3( )3( )3( )3＝0    3( )3( )3( )3＝10 【答案】 ＋ － － ÷ ＋ × 【思路引导】（1）由题意得，最后的结果是0，那么可以想到3－3＝0。而3＋3＝6，6－3＝3，3－3＝0，据此列出综合算式3＋3－3－3 ＝0。 （2）由题意得，最后的结果是10，可以想3÷3＝1，3×3＝9，1＋9＝10。即列出综合算式为：3÷3＋3×3 ＝10。 【规范解答】根据分析可知： 3＋3－3－3 ＝6－3－3 ＝3－3 ＝0 3÷3＋3×3 ＝1＋9 ＝10 （答案不唯一） 【演练1】．（19-20六年级上·湖南娄底·期末）用写出的四个连续数字添上“＋、－、×、÷、（    ）、[    ]”运算符号等于24。 如：4  5 6  7等式是4×（5＋7－6）＝24；    5 6 7 8等式是6×8÷（7－5）＝24 3  4  5  6等式是：           6 7 8  9等式是： 【答案】 （答案不唯一）（3＋5－4）×6＝24 （答案不唯一）6÷（9－7）×8＝24 【思路引导】24点游戏是一种流行广泛的数学小游戏，它就是一种给出数字填算符的问题。游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用加减乘除四则运算及括号，使其结果等于24。凑24点的一个常用方法是先拿出4个数中的一个，由这个数怎样得到24？再考虑剩下的三个数如何配合它。 【规范解答】（答案不唯一）先拿出6来，6×4＝24，再用3，4，5凑出4来，3＋5－4＝8－4＝4，即（3＋5－4）×6＝24。 （答案不唯一）先拿出8来，8×3＝24，再用6，7，9凑出3来，6÷（9－7）＝6÷2＝3，即6÷（9－7）×8＝24。 【考点剖析】给算式添加运算符号这类问题，通常采用尝试探索法。运用运算法则、运算顺序，需多次尝试、探索。 【演练2】（19-20四年级下·湖南娄底·期末）填上运算符号使等式成立。（友情提示：先算小括号内后算中括号内。） 6   2   4   3  ＝24        7    2    6    3  ＝18 【答案】（6－2＋4）×3＝24；（7＋2）×6÷3＝18 【思路引导】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【规范解答】因为8×3＝24，所以只要6  2  4能凑成8即可，因为6－2＋4＝8，所以填上运算符号如下，因为6－2＋4要先算，所以要加小括号： （6－2＋4）×3 ＝8×3 ＝24 因为9×2＝18，所以只要能凑成9×2即可。因为7＋2＝9，6÷3＝2，所以填上运算符号如下，因为要先算7＋2，所以7＋2要有小括号： （7＋2）×6÷3 ＝9× ＝18 【考点剖析】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算。 高频考点讲练06：租船问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，实验小学志愿小队38名同学准备乘车前往老年公寓进行义工服务，怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】租5辆面包车和2辆小汽车最省钱，最少需要700元。 【思路引导】用每辆面包车的租金除以面包车的限乘人数，求出面包车的人均单价，同样用每辆小汽车的租金除以小汽车的限乘人数，求出小汽车的人均单价。通过比较后尽量选人均单价低的面包车，尽可能少留位置。用总人数除以每辆面包车限乘人数，求出需要租用的面包车数量，结合余数判断租用小汽车数量，并求出所需要的钱数。 【规范解答】面包车的人均租金：108÷6＝18（元）    小汽车的人均租金：80÷4＝20（元） 18＜20，面包车的人均租金少，所以尽量多租面包车省钱且尽量无空座； （辆）……2（人）可租6辆面包车，1辆小汽车； 租6辆面包车，1辆小汽车的租金： （元） 余下2人租1辆小汽车剩座多，可考虑少租1辆面包车，也就是租5辆面包车，剩下的人坐小汽车； 坐小汽车的人： （人） （辆）可租5辆面包车，2辆小汽车； 租5辆面包车，2辆小汽车的租金： （元） 728＞700 答：租5辆面包车和2辆小汽车最省钱，最少需要700元。 【演练1】（24-25四年级下·天津和平·期末）学校准备做66套表演服装，要按整卷买布。大卷布，每卷400元，最多可以做8套表演服装：小卷布，每卷300元，最多可以做5套表演服装。学校制作这批表演服装，最少需要花( )元。 【答案】 3400元 【思路引导】第一步，确定优先买的布：先计算出大卷布和小卷布平均每套的价钱，即用它们每卷的价钱除以最多可以做的套数，得到大卷布每套400÷8＝50（元），小卷布每套300÷5＝60（元），50＜60，从而可以确定优先买大卷布； 第二步：确定买布方案：用服装总套数66套除以大卷布每卷可做的套数8套，所得的商为大卷布的卷数，余数为剩下的套数，可再买1卷小卷布来做；如果小卷布有剩余，则需要调整方案，即减少大卷布的卷数增加小卷布的卷数，直到找到尽量多买大卷布且所买布料没有剩余或剩余最少的方案； 第三步：计算需要花的钱数：分别用大卷布和小卷布每卷的价钱与对应的卷数相乘，得到买大卷布和小卷布需要的钱数；再把它们的钱数相加；最后通过比较总钱数即可解答。 【规范解答】大卷布：400÷8＝50（元） 小卷布：300÷5＝60（元） 50＜60 所以，优先买大卷布； 方案一： 66÷8＝8（卷）……2（套） 可以买8卷大卷布和1卷小卷布（会剩余3套布料）： 8×400＋1×300 ＝3200＋300 ＝3500（元） 方案二： 8－1＝7（卷） （66－7×8）÷5 ＝（66－56）÷5 ＝10÷5 ＝2（卷） 可以买7卷大卷布和2卷小卷布（没有剩余）： 7×400＋2×300 ＝2800＋600 ＝3400（元） 3400＜3500 答：最少需要花3400元。 【演练2】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）林湾小学四年级参加浙江科技馆研学活动，出行教师共15人，学生200人，怎样租车合理？ 大车：限乘40人，租金800元 小车：限乘25人，租金550元 【答案】大车租5辆，小车租1辆。 【思路引导】先计算每辆车每人所需钱数，再根据总人数计算需要的辆数，尽量坐满最省钱；根据总人数及票价，计算所需钱数即可。 【规范解答】800÷40＝20（元） 550÷25＝22（元） 20＜22 所以尽量租大车； 200＋15＝215（人） 215÷40＝5（辆）……15（人）； 当需要5辆大车，还需要1辆小车时 5×400＋25 ＝200＋25 ＝225（人） 5×800＋550 ＝4000＋550 ＝4550（元） 当需要4辆大车，还需要3辆小车时 4×40＋3×25 ＝160＋75 ＝235（人） 4×800＋3×550 ＝3200＋1650 ＝4850（元） 当需要3辆大车时，需要4辆小车时 3×40＋4×25 ＝120＋100 ＝220（人） 3×800＋4×550 ＝2400＋2200 ＝4600（元） 当需要1辆大车，7辆小车时 40＋25×7 ＝40＋175 ＝215（人） 800＋7×550 ＝800＋3850 ＝4650（元） 综上所述当需要5辆大车，还需要1辆小车时，最省钱 答：需要5辆大车，还需要1辆小车。 【考点剖析】本题主要考查最优化问题及整数四则运算的应用，关键是找到合适的租车方案。 高频考点讲练07：购票问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）动物园推出“一日游”的活动价： （1）成人每人150元； （2）儿童每人60元； （3）团体5人以上（包括5人）每人90元。 现在有成人4人，儿童6人要去游玩，想一想怎样买票最省钱？ 【答案】1个儿童与4个成人买团体票，其他儿童买儿童票最省钱 【思路引导】可以成人买成人票，儿童买儿童票，用一张票的钱数×人数分别计算出各自花的钱数，然后再加一起；还可以购买团体票和儿童票，让1名儿童和4名成年人一起买团体票，剩余的儿童买儿童票，最后加一起，然后比较两种方法即可解题。 【规范解答】150×4＋60×6 ＝600＋360 ＝960（元） （6－1）×60＋（1＋4）×90 ＝5×60＋5×90 ＝300＋450 ＝750（元） 960＞750； 答：1个儿童与4个成人买团体票，其他儿童买儿童票最省钱。 【演练1】（24-25四年级下·重庆渝中·期中）重庆海洋世界门票有两种出售方案？ 方案一 成人每人100元，儿童半价。 方案二 团体5人以上（含5人）每人80元。 如果小丽（儿童）和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈一家去参观，选那种方案合算？ 【答案】方案二 【思路引导】根据题意，可以小丽买儿童票，剩下4人买成人票。用各自的人数乘各自票价，再相加，算出一共需要多少元。也可以合起来刚好是5人，购买团体票。用团体票每人的价格乘人数，就是一共需要多少元。最后比较看哪个方案合算即可。 【规范解答】方案一：100÷2＝50（元） 100×4＋50 ＝400＋50 ＝450（元） 方案二：5×80＝400（元） 450＞400 答：方案二合算。 【演练2】（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】（1）便宜；坐满 （2）7辆大车和2辆小车；7700元 （3）26张团体票和314张学生票；10460元 【思路引导】（1）要使所用钱数最少，那么不仅要考虑哪种车便宜，还要尽可能坐满； （2）总价÷数量＝单价，分别用两种车的总价，除以两种车限坐的人数，计算出两种车各自的单价；计算发现多坐大车且坐满最划算，用老师和学生的总人数，除以40计算出的商就是大车的辆数，计算发现余数为20人，不够坐满小车，就用商减去1计算出实际租的大车辆数；而用减去的1辆大车的人数加上余下的20人都去租小车，用这个人数除以30计算出小车的辆数；单价×数量＝总价，分别用两种车的辆数乘各自的单价，计算出两种车各自的总价，再相加即可； （3）第一种：买26张成人票和314张学生票，用26乘50计算出成人票的总价，再用314乘30计算出学生票的总价，最后将两个总价相加；第二种：买（26＋314）张团体票，用26加上314计算出总人数，再乘40计算出（26＋314）张团体票的总价；第三种：50＞40，观察发现团体票的单价比成人票的单价更少，那么可以26名老师买团体票，314名学生买学生票，用26乘40计算出团体票的总价，314乘40计算出学生票的总价，最后将两个总价相加即可；将三种买票方式的总价进行比较，选出最省钱的方案；据此解答。 【规范解答】（1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车便宜，还要尽可能使座位都坐满。 （2）小车单价：700÷30＝23（元）……10（元） 大车单价：900÷40＝22（元）……20（元） 23＞22，多坐大车且坐满 大车辆数： （26＋314）÷40 ＝340÷40 ＝8（辆）……20（人） 8－1＝7（辆） 小车辆数： （40＋20）÷30 ＝60÷30 ＝2（辆） 总费用： 7×900＋2×700 ＝6300＋1400 ＝7700（元） 答：租7辆大车和2辆小车花费最少，最少要付7700元租车费。 （3）第一种：买26张成人票和314张学生票 26×50＋314×30 ＝1300＋9420 ＝10720（元） 第二种：买340张团体票 （26＋314）×40 ＝340×40 ＝13600（元） 第三种：买26张团体票和314张学生票 26×40＋314×30 ＝1040＋9420 ＝10460（元） 13600＞10720＞10460 答：买26张团体票和314张学生票最省钱，最少要花10460元。 【考点剖析】租车问题要注意，尽量不空座位最省钱；掌握单价、数量和总价之间的关系，是解答本题的关键。 高频考点讲练08：货物运输问题 【典例精讲】（24-25四年级下·河南南阳·期中）物流公司有46吨货物，要将这些货物从甲地运到乙地，大车每辆的载重量是5吨，运费是250元；小车每辆的载重量是3吨，运费是180元。请你设计一套优化方案来运送这批货物，需要多少元？ 【答案】8辆大车和2辆小车运送；2360元 【思路引导】大车每辆的载重量是5吨，运费是250元，大车每吨运费：250÷5＝50（元/吨），小车每辆的载重量是3吨，运费是180元，小车每吨运费：180÷3＝60（元/吨）。要想最省钱，应在保证满载的情况下尽量多用大车运比较划算。用货物总重量除以每辆大车载重，求出租大车数量，再结合余数判断是否租小车，据此解答。 【规范解答】大车每吨运费：250÷5＝50（元/吨） 小车每吨运费：180÷3＝60（元/吨） 因为50＜60，所以尽量多用大车运比较划算。 46÷5＝9（辆）⋯⋯1（吨），若用9辆大车，1辆小车，小车未满载，可以租8辆大车。 46－5×8 ＝46－40 ＝6（吨） 6÷3＝2（辆） 8×250＋2×180 ＝2000＋360 ＝2360（元） 答：用8辆大车和2辆小车运送这批货物，需要2360元。 【演练1】（24-25三年级上·浙江杭州·期中）物流公司要运走18吨货物，现用载质量4吨的小货车和载质量6吨的大货车来运。小货车每次的运费是140元，大货车每次的运费是180元，如果每辆货车都装满，那么怎样安排恰好能把货物运完，且用的运费最少？ 【答案】大货车运3次 【思路引导】先尽量安排大车，然后减少大车的辆数，增加小车的辆数，这样列举出所有的方案，计算出总费用，比较后选择运费最少的方案即可。 【规范解答】 派车方案 载质量6吨 载质量4吨 运货吨数 总费用 ① 3次 0次 18吨 √ 540元 ② 2次 2次 20吨 640元 ③ 1次 3次 18吨 √ 600元 ④ 0次 5次 20吨 700元 方案①和方案③都恰好能把货物运完；540＜600，则方案①恰好能把货物运完，且用的运费最少。 答：用载质量6吨的大货车运3次，恰好能把货物运完，且用的运费最少。 【演练2】（22-23四年级下·山东·期末）工程队有92吨沙子要运走，现有一辆大车和一辆小车。大车每次可运10吨，每次要80元；小车每次可运6吨，每次60元。怎样安排最省钱？ 【答案】8辆大车和2辆小车 【思路引导】总价÷数量＝单价，先分别计算出两种车运1吨沙子的价格，得出多租大车，且运满最省钱；用92除以10计算出的商为大车的辆数，观察发现余下的吨数租小车不能运满，那么大车的实际辆数为商减去1；将减去的这10吨加上余下的吨数一起去租小车，除以6计算出小车的辆数；单价×数量＝总价，分别计算出两种车的总价，再相加就是这个租车安排的总价；据此解答。 【规范解答】大车每吨沙子：80÷10＝8（元） 小车每吨沙子：60÷6＝10（元） 8＜10，多租大车且租满最省钱。 大车辆数： 92÷10＝9（辆）……2（吨） 9－1＝8（辆） 小车辆数： （10＋2）÷6 ＝12÷6 ＝2（辆） 租车总价： 8×80＋2×60 ＝640＋120 ＝760（元） 答：租8辆大车和2辆小车最省钱。 高频考点讲练09：整数加法交换律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）46＋83＋54＝83＋（46＋54），这里运用了加法（    ）。 A．交换律 B．结合律 C．交换律和结合律 【答案】C 【思路引导】计算46＋83＋54时，先根据加法交换律，交换46和83的位置，算式变为83＋46＋54，再根据加法结合律，先计算46＋54，算式变为83＋（46＋54）。据此解答。 【规范解答】46＋83＋54＝83＋46＋54＝83＋（46＋54），这里运用了加法交换律和结合律。 故答案为：C 【演练1】（24-25四年级下·四川德阳·期中）春节期间，文文一家去旅游，各项开支如下： 门票费：476元 交通费：1380元 食宿费：1524元 文文家这次旅游一共花销了多少钱？ 【答案】3380元 【思路引导】把三项费用相加即为文文家这次旅游一共花销了多少钱，列式为476＋1380＋1524，再根据加法交换律交换476与1380的位置，利用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）把476与1524结合简算。 【规范解答】476＋1380＋1524 ＝1380＋476＋1524 ＝1380＋（476＋1524） ＝1380＋2000 ＝3380（元） 答：文文家这次旅游一共花销了3380元。 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）巧算。 501＋502＋503＋497＋498＋499 1＋2＋3＋…98＋99＋100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 【答案】3000；10000 【思路引导】（1）根据根据加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：501＋499＋（502＋498）＋（503＋497），再进行计算。 （2）根据根据加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：（1＋99）＋（2＋98）＋（3＋97）＋…（99＋1）＋100，再进行计算。 【规范解答】501＋502＋503＋497＋498＋499 ＝501＋499＋（502＋498）＋（503＋497） ＝1000＋1000＋1000 ＝3000 1＋2＋3＋…98＋99＋100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 ＝（1＋99）＋（2＋98）＋（3＋97）＋…（99＋1）＋100 ＝100＋100＋100＋…＋100＋100＋100＋100 ＝100×100 ＝10000 高频考点讲练10：整数加法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·黑龙江鸡西·期中）天天小学四年级42名学生和2名老师参加了学校组织的户外项目式研学活动。行走路线从入口处出发，先到奇石林，再到赏心湖后返回入口处。 大船限坐6人，每条30元； 小船限坐4人，每条25元。 路线 长度/米 入口处～奇石林 281 奇石林～赏心湖 379 赏心湖～入口处 421 （1）走完全程一共多少米？ （2）老师和同学们都到赏心湖参加乘船项目，该怎样租船最省钱？并算一算花多少钱？ 【答案】（1）1081米 （2）租6条大船和2条小船；230元 【思路引导】（1）根据题意，用入口处～奇石林的距离加上奇石林～赏心湖的距离再加上赏心湖～入口处的距离就是全程一共多少米。在计算时根据加法结合律把379和421先算使得计算简便。 （2）用各自的价格除以各自的人数，算出大船和小船每人各需要付多少钱。30÷6＝5（元），25÷4＝6（元）……1（元），5＜6，所以尽量乘坐大船。用总人数（42＋2）除以每条大船可以坐的人数等于需要几条大船。剩下的人坐小船。但是小船这时有空余，不划算。所以大船的数量再减少一条，让剩下的人都乘坐小船。然后用各自的条数乘各自的价格，算出大船和小船各需要多少钱，再相加即可。 【规范解答】（1）281＋379＋421 ＝281＋（379＋421） ＝281＋800 ＝1081（米） 答：走完全程一共1081米。 （2）大船：30÷6＝5（元）    小船：25÷4＝6（元）……1（元） 5＜6，多租大船且坐满最划算。 42＋2＝44（人） 大船数量：44÷6＝7（条）……2（人） 如果租7条大船，剩下的2条租小船，有空位，所以少租1条大船，则： 大船数量：7－1＝6（条） 还剩下： 44－6×6 ＝44－36 ＝8（条） 小船数量： 8÷4＝2（条） 总费用： 6×30＋2×25 ＝180＋50 ＝230（元） 答：租6条大船和2条小船最省钱，共花230元。 【演练1】（24-25四年级下·山东济南·期中）写出计算步骤。 【答案】2500 【思路引导】算式由1到99的连续单数相加构成，算式中共有50个数（1到100有100个数，其中有50个单数和50个双数。）根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把原式变为（1＋99）＋（3＋97）＋（5＋95）＋……（49＋51），每项相加都是100，共有50÷2＝25项，再把算式变成100×25，计算即可。 【规范解答】 ＝（1＋99）＋（3＋97）＋（5＋95）＋……（49＋51） ＝100×25 ＝2500 【演练2】（24-25四年级下·云南保山·期中）“618”购物节，某商店一台扫地机器人降价218元，前100名消费者再减155元。小红家第一个参加了这个活动，以845元的价格买下了这台扫地机器人，这台扫地机器人原价是多少元？ 【答案】1218元 【思路引导】845元的价格买下了这台扫地机器人是现价，原价先降价218元，前100名消费者再减155元（第一个属于这个范围），所以现价＋155元＋218元＝原价。列式为845＋218＋155，先交换218和155的位置，再利用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）把845与155结合，变为（845＋155）＋218简算，据此解答。 【规范解答】845＋218＋155 ＝（845＋155）＋218 ＝1000＋218 ＝1218（元） 答：这台扫地机器人原价是1218元。 高频考点讲练11：整数减法的性质的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）某商场店庆期间，进行优惠酬宾活动，李阿姨持会员卡只需付多少元就能买到这部手机？ 【答案】3008元 【思路引导】根据题意，已知手机原价是3888元，已降价443元，又优惠437元，用3888减去443，再减去437，求出实际付款的金额，根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：3888－（443＋437），再进行简便计算即可。 【规范解答】3888－443－437 ＝3888－（443＋437） ＝3888－880 ＝3008（元） 答：李阿姨持会员卡只需付3008元就能买到这部手机。 【演练1】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）妈妈带600元钱去商场，买了一件羊毛衫用去248元，又买了一个皮包用去252元，应找回多少元？ 【答案】100元 【思路引导】根据题意，用妈妈带的钱数减去买一件羊毛衫和买一个皮包用去的钱数，即可求出应找回多少元。计算时，利用减法的性质，简算即可。 【规范解答】600－248－252 ＝600－（248＋252） ＝600－500 ＝100（元） 答：应找回100元。 【演练2】（24-25四年级下·重庆大渡口·期中）为了准备花朝节，依依妈妈为依依挑选衣服，上衣98元，马面裙102元，妈妈带了1000元，买完还剩多少钱？ 【答案】800元 【思路引导】本题需要计算购买上衣和马面裙后的剩余金额。首先求出两者的总价，再用1000元减去总价即可。计算时可依据减法的性质进行简化运算。 【规范解答】1000－98－102 ＝1000－（98＋102） ＝1000－200 ＝800（元） 答：买完还剩800元。 高频考点讲练12：整数乘法交换律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）脱式计算，怎样简便就怎样计算。 360÷（70－4×16）     158－[（27＋54）÷9]     97－12×6＋43 688－534＋112    8×（29×125）         156×101－156 【答案】60；149；68； 266；29000；15600 【思路引导】360÷（70－4×16）先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法； 158－[（27＋54）÷9] 先计算小括号内的加法，再计算中括号内的除法，最后计算减法； 97－12×6＋43先计算乘法，再计算减法，最后计算加法； 688－534＋112利用加法交换律为688＋112－534，然后再计算； 8×（29×125）首先去括号为8×29×125，利用乘法的交换律为8×125×29，然后再计算； 156×101－156利用乘法分配律为156×（101－1），然后再计算。 【规范解答】360÷（70－4×16） ＝360÷（70－64） ＝360÷6 ＝60 158－[（27＋54）÷9] ＝158－[81÷9] ＝158－9 ＝149 97－12×6＋43 ＝97－72＋43 ＝25＋43 ＝68 688－534＋112 ＝688＋112－534 ＝800－534 ＝266 8×（29×125） ＝8×29×125 ＝8×125×29 ＝1000×29 ＝29000 156×101－156 ＝156×（101－1） ＝156×100 ＝15600 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）根据运算定律填空。 36×75＝（ × ）×9＝2700 125×（80－8）＝125×( )－125×( )＝9000 【答案】 4 75 80 8 【思路引导】（1）把36拆分成4×9，算式变成4×9×75，根据乘法交换律，交换9和75的位置，再利用乘法结合律计算即可； （2）乘法分配律：是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此解答即可。 【规范解答】36×75 ＝4×9×75 ＝4×75×9 ＝300×9 ＝2700 125×（80－8） ＝125×80－125×8 ＝10000－1000 ＝9000 36×75＝（4×75）×9＝2700 125×（80－8）＝125×80－125×8＝9000 【演练2】（24-25四年级下·江西赣州·期中）认真阅读下面的资料并回答问题。 中国是世界上最早养蚕织绸的国家，桑蚕养殖历史悠久。桑蚕养殖每年五月初开始，十月末结束，一年可养10批蚕。在养蚕的过程中，桑叶是必不可少的食料。幼虫期的蚕平均成长周期是34天，在幼虫期，每条蚕每天需食用5克桑叶。蚕吐丝结茧后，蚕茧按品质分为特级茧（每千克售价85元）、一级茧（每千克售价50元）和二级茧（每千克售价30元）。今年该地区李爷爷家第一批收获特级茧80千克、一级茧120千克、二级茧200千克。 （1）如果某养殖场一批蚕有40条，幼虫期共需准备多少克桑叶？ （2）李爷爷家的这批蚕茧全部售出后，总收入是多少元？ 【答案】（1）6800克 （2）18800元 【思路引导】（1）根据题意，已知每条蚕每天需5克桑叶，幼虫期34天，用5乘34，就是每条蚕整个幼虫期需要的桑叶数；再乘40，就是40条幼虫期共需准备的桑叶克数；根据乘法交换律：a×b＝b×a，变算式为5×40×34，再进行计算。 （2）根据总价＝单价×数量，分别求出三种茧的总价；再把三个数相加；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）5×34×40 ＝5×40×34 ＝6800（克） 答：幼虫期共需准备6800克桑叶。 （2）80×85＋120×50＋200×30 ＝6800＋6000＋6000 ＝12800＋6000 ＝18800（元） 答：总收入是18800元。 高频考点讲练13：整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）下面等式成立的是（    ）。 A．25×13＋4＝25×4＋13 B．50×807＝50×800×7 C．29×11＋11＝（29＋1）×11 D．32×5＝32×3＋2 【答案】C 【思路引导】（1）分别求出25×13＋4和25×4＋13的得数，再进行判断。 （2）根据乘法结合律，50×800×7＝50×（800×7）＝50×5600，很显然，与50×807不相等。 （3）根据乘法结合律，先计算29＋1，再用和乘11。也就是29×11＋11＝（29＋1）×11。 （4）根据乘法分配律，将5看成3＋2，则算式32×5变为32×3＋32×2，很显然与32×3＋2不相等。 【规范解答】A．25×13＋4 ＝325＋4 ＝329 25×4＋13 ＝100＋13 ＝113 329＞113，等式不成立。 B．50×800×7＝50×（800×7）＝50×5600， 50×5600与50×807不相等，等式不成立。 C．29×11＋11＝（29＋1）×11，等式成立。 D．32×5＝32×（3＋2）＝32×3＋32×2，32×3＋32×2与32×3＋2不相等，等式不成立。 故答案为：C 【演练1】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）怎样算简便就怎样算。 168－52－48＋232          1800÷25÷4          356×27－17×356 36×99                    101×38－38          125×48 【答案】300；18；3560 3564；3800；6000 【思路引导】168－52－48＋232先把－52－48和＋232交换位置，先计算168与232的和，再运用减法的性质，减去52与48的和； 1800÷25÷4运用除法的性质，先算25与4的积，再用1800除以它们的积； 356×27－17×356运用乘法分配律，先算27与17的差，再把它们的差与356相乘； 36×99先把99看作（100－1），运用乘法分配律，用36分别乘100和1，再把它们的积相减； 101×38－38先把算式变形为101×38－38×1，运用乘法分配律，先算101与1的差，再把它们的差与38相乘； 125×48把48看作8×6，先算125乘8，再乘6；据此计算。 【规范解答】168－52－48＋232 ＝168＋232－52－48 ＝400－（52＋48） ＝400－100 ＝300 1800÷25÷4 ＝1800÷（25×4） ＝1800÷100 ＝18 356×27－17×356 ＝356×（27－17） ＝356×10 ＝3560 36×99 ＝36×（100－1） ＝36×100－36×1 ＝3600－36 ＝3564 101×38－38 ＝101×38－38×1 ＝（101－1）×38 ＝100×38 ＝3800 125×48 ＝125×8×6 ＝1000×6 ＝6000 【演练2】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）用简便方法计算。 25×16×125                    748－135＋152－65 99×36＋36                  72×98 【答案】50000；700； 3600；7056 【思路引导】（1）先把16分成（2×8），再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），将原式变为（25×2）×（8×125）进行简算； （2）根据加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），以及减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），将原式变为（748＋152）－（135＋65）进行简算； （3）根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将原式变为（99＋1）×36进行简算； （4）先把98写成（100－2），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【规范解答】25×16×125 ＝25×（2×8）×125 ＝（25×2）×（8×125） ＝50×1000 ＝50000 748－135＋152－65 ＝748＋152－135－65 ＝（748＋152）－（135＋65） ＝900－200 ＝700 99×36＋36 ＝99×36＋1×36 ＝（99＋1）×36 ＝100×36 ＝3600 72×98 ＝72×（100－2） ＝72×100－72×2 ＝7200－144 ＝7056 高频考点讲练13：整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）脱式计算。（能简便计算就简便计算） （1）997－58－897         （2）896＋397＋104－197        （3）1999×85 （4）125×88           （5）3300÷4÷25        （6）888×71＋666×72 【答案】（1）42；（2）1200；（3）169915； （4）11000；（5）33；（6）111000 【思路引导】（1）交换58和897，算式变为：997－897－58，据此简算即可； （2）交换397和104的位置，算式变为：896＋104＋397－197，再分组凑整，分别计算出896＋104和397－197的结果，最后再相加； （3）把1999看成（2000－1），再利用乘法分配律简算； （4）把88拆分成8×11，再利用乘法结合律简算； （5）根据除法的性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，据此简算即可； （6）把888拆分成111×8，666拆分成111×6，算式变为：111×8×71＋111×6×72，再利用乘法分配律简算即可。 【规范解答】（1）997－58－897 ＝997－897－58 ＝100－58 ＝42 （2）896＋397＋104－197 ＝896＋104＋397－197 ＝（896＋104）＋（397－197） ＝1000＋（397－197） ＝1000＋200 ＝1200 （3）1999×85 ＝（2000－1）×85 ＝2000×85－1×85 ＝170000－1×85 ＝170000－85 ＝169915 （4）125×88 ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 （5）3300÷4÷25 ＝3300÷（4×25） ＝3300÷100 ＝33 （6）888×71＋666×72 ＝111×8×71＋111×6×72 ＝111×（8×71＋6×72） ＝111×（568＋6×72） ＝111×（568＋432） ＝111×1000 ＝111000 【演练1】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）下列选项中，（    ）没有运用乘法分配律。 A． B． C．45×101＝45×100＋45＝4545 D．25×32＝25×4＋25×8＝300 【答案】D 【思路引导】乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。 （1）计算43×26时，用26个位上的6乘43，再用26十位上的2乘43，再将两个积相加。运用了乘法分配律。 （2）长方形的面积＝长×宽，左边长方形的面积是4×8，右边长方形的面积是4×2。大长方形的面积是（8＋2）×4，等于左右两边长方形的面积和。也就是4×8＋4×2＝（8＋2）×4，运用了乘法分配律。 （3）计算45×101时，将101看成100＋1，用45分别乘100和1，再将两个积相加。运用了乘法分配律。 （4）计算25×32时，将32看成4×8，运用乘法结合律将算式变为25×4×8。 【规范解答】 A．，运用了乘法分配律； B．，4×8＋4×2＝（8＋2）×4，运用了乘法分配律。 C．45×101＝45×100＋45＝4545，运用了乘法分配律。 D．25×32＝800，25×4＋25×8＝100＋200＝300，25×32≠25×4＋25×8，等式不成立，没有运用乘法分配律。 故答案为：D 【演练2】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）如果☆×△＝60，那么（☆×4）×（△×5）＝( )。如果A＋B＝8，那么125×A＋125×B＝( )。 【答案】 1200 1000 【思路引导】（1）利用乘法交换律a×b＝b×a和乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），将（☆×4）×（△×5）变形为☆×△×4×5，再代入已知条件进行计算即可解答； （2）应用乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将125×A＋125×B转化为125×（A＋B），直接代入已知值计算即可解答。 【规范解答】（☆×4）×（△×5） ＝☆×△×4×5 ＝60×4×5 ＝240×5 ＝1200 125×A＋125×B ＝125×（A＋B） ＝125×8 ＝1000 如果☆×△＝60，那么（☆×4）×（△×5）＝1200。如果A＋B＝8，那么125×A＋125×B＝1000。 高频考点讲练14：整数乘法分配率的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）下列算式中，计算正确的是（    ）。 A．25×44×7＝25×4＋40×7 B．2100÷25÷4＝2100÷（25×4） C．18×16÷18×16＝（18×16）÷（18×16） 【答案】B 【思路引导】A．把44看作（4＋40），然后根据乘法分配律变换算式； B．利用除法的性质进行计算，一个数连续除以几个数，可以除后面几个数的积，商不变。将后面两个数相乘可以凑整，； C．乘除混合算式不满足结合律。 【规范解答】A．把44看作（4＋40），算式变为25×（4＋40）×7，原题表达错误，计算错误； B．根据除法的性质，先计算25×4，再用2100除以第一步的结果，所以2100÷25÷4＝2100÷（25×4），计算正确； C．计算18×16÷18×16时，从左向右依次计算，计算错误。 故答案为：B 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）脱式计算，怎样简便就怎样算。 420÷[（205－198）×4]       148＋154＋52＋246         125×48    53×212－53×12              5400÷30÷20            5×125×4×2 【答案】15；600；6000； 10600；9；5000 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）先算小括号里的减法，再根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：420÷7÷4，再进行计算。。   （2）根据加法交换律：a×b＝b×a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：148＋52＋（154＋246），再进行计算。   （3）根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：125×8×6，再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：53×（212－12），再进行计算。   （5）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：5400÷（30×20），再进行计算。 （6）根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：5×（125×4×2），再进行计算。 【规范解答】420÷[（205－198）×4]        ＝420÷[7×4]      ＝420÷7÷4 ＝60÷4 ＝15 148＋154＋52＋246      ＝148＋52＋（154＋246） ＝200＋400 ＝600           125×48 ＝125×8×6 ＝1000×6 ＝6000       53×212－53×12 ＝53×（212－12） ＝53×200 ＝10600                       5400÷30÷20 ＝5400÷（30×20） ＝5400÷600 ＝9                    5×125×4×2 ＝5×（125×4×2） ＝5×1000 ＝5000 【演练2】（24-25四年级下·湖北武汉·期中）脱式计算，能简算的要简算。 123＋349＋277＋151     892－（92＋145）         125×32×25 3700÷4÷25         16×[（720＋580）÷13]     57×68＋31×57＋57 【答案】900；655；100000 37；1600；5700 【思路引导】（1）根据加法交换律和加法结合律，交换349和277位置，分别计算123＋277和349＋151，再将和相加。 （2）根据减法的性质，连续减去两个数等于减去这两个数的和。本题减去这两个数的和也就是连续减去这两个数。 （3）把32看成8×4，再根据乘法结合律，分别计算125×8的积和4×25的积，再将积相乘。 （4）根据除法的性质，连续除以两个数等于乘这两个数的积。 （5）根据四则运算顺序，有中括号和小括号时，先计算小括号里面的，再计算中括号里面的，最后算括号外的。 （6）根据乘法分配律，先计算68＋31＋1的和，再用和乘57。 【规范解答】123＋349＋277＋151 ＝（123＋277）＋（349＋151） ＝400＋500 ＝900 892－（92＋145） ＝892－92－145 ＝800－145 ＝655 125×32×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 3700÷4÷25 ＝3700÷（4×25） ＝3700÷100 ＝37 16×[（720＋580）÷13] ＝16×[1300÷13] ＝16×100 ＝1600 57×68＋31×57＋57 ＝（68＋31＋1）×57 ＝100×57 =5700 1．（24-25四年级下·湖南长沙·期中）计算540÷[（3＋6）×2]时，最后一步算（    ）。 A．加法 B．乘法 C．除法 【答案】C 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。计算540÷[（3＋6）×2]时，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算除法。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 540÷[（3＋6）×2] ＝540÷[9×2] ＝540÷18 ＝30 计算540÷[（3＋6）×2]时，最后一步算除法。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）李老师和周老师买价格相同的铅笔，李老师买了28支，周老师买了32支，选择下面（    ）条件就能求出一支铅笔多少钱。 A．周老师比李老师多买了4支 B．周老师比李老师少花了36元 C．李老师和周老师一共花了180元 【答案】C 【思路引导】根据题意，单价＝总价÷数量，要求一支铅笔的价钱，必须知道总价和数量，A选项给的条件与题目给的条件重复，只有数量，没有总价，所以求不出铅笔的单价；B选项周老师比李老师买的铅笔多，花费少，不合理，所以求不出一支铅笔的钱数；C选项给出了总价，题目条件中可求出总支数，总价÷总支数＝一支铅笔的价钱，所以可以求出铅笔的单价。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 180÷（28＋32） ＝180÷60 ＝3（元） 李老师和周老师买价格相同的铅笔，李老师买了28支，周老师买了32支，选择下面（李老师和周老师一共花了180元）条件就能求出一支铅笔多少钱。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·四川德阳·期中）在一个减法算式里，被减数＋减数＋差＝648，差比减数小20，减数是（    ）。 A．314 B．172 C．152 【答案】B 【思路引导】根据减法各部分的关系，被减数＝减数＋差。结合题目条件，被减数＋减数＋差＝648，可转化为（减数＋差）＋减数＋差＝648，即减数＋差＝324。又已知差＝减数－20，则（减数＋差）＋减数＋差＝648可以转化为减数＋减数－20＋减数＋（减数－20）＝648。由此可以求出减数。据此解答。 【规范解答】由分析可知：减数＋减数－20＋减数＋（减数－20）＝648，即：减数＋减数＋减数＋减数－40＝648，减数＋减数＋减数＋减数＝688，则减数＝688÷4＝172，选项B正确。 故答案为：B 4．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）下面运算顺序相同的一组算式是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。分析选项中的两个算式的运算顺序，找出相同运算顺序的即可。 【规范解答】根据分析可知： A．158－27＋36和136÷2×7，，158－27＋36的运算顺序是从左到右；136÷2×7的运算顺序是从左到右，二者的运算顺序相同。 B．172－56÷8和（172－12）÷6，172－56÷8的运算顺序是先计算除法，再计算减法；（172－12）÷6的运算顺序是先计算括号里的减法，再计算括号外的除法，二者运算顺序不同。 C．45÷5×8和40－5×8，45÷5×8的运算顺序是从左到右；40－5×8的运算顺序是先计算乘法，再计算减法，二者运算顺序不同。 运算顺序相同的一组算式是158－27＋36；136÷2×7。 故答案为：A 5．（24-25四年级下·湖南长沙·期中）下面算式中与48×25结果不相等的是（    ）。 A．40×25＋8×25 B．12×（4×25） C．48×20＋5 【答案】C 【思路引导】48×25可以把48看作40＋8，利用乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变式为（40＋8）×25＝40×25＋8×25；也可以把48看作12×4，利用乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），把4与25结合简算，变式为12×（4×25）。 【规范解答】48×25 ＝（40＋8）×25 ＝40×25＋8×25 ＝1000＋200 ＝1200 48×25 ＝12×4×25 ＝12×（4×25） ＝12×100 ＝1200 算式中与48×25结果不相等的是48×20＋5； 故答案为：C 6．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）小聪在计算一道乘法算式时，计算步骤如图，他计算的乘法算式是( )，他运用了( )律。 134×50＝6700 134×2＝268 6700＋268＝6968 【答案】 134×52 乘法分配 【思路引导】乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘，再相加。由题意得，小聪用50和2分别与134相乘，然后再把得数相加，即134×50＋134×2＝6700＋268＝6968。其中，134×50表示50个134的和，134×2表示2个134的和，把它们合起来就是52个134的和，计算过程体现了乘法分配律的运用。 【规范解答】134×52 ＝134×（50＋2） ＝134×50＋134×2 ＝6700＋268 ＝6968 小聪计算的乘法算式是134×52，他运用了乘法分配律。 7．（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）学校举办知识竞赛活动，其中有一道题目是按指定的运算顺序，分别给“80×330＋1200÷60－20”这个综合算式添上括号，并算出结果。聪明的你快来写一写吧！ (1)加→减→乘→除：( )。 (2)减→除→加→乘：( )。 (3)除→减→加→乘：( )。 【答案】(1)80×（330＋1200）÷（60－20） (2)80×[330＋1200÷（60－20）] (3)80×[330＋（1200÷60－20）] 【思路引导】原算式中既有乘除又有加减，按四则混合运算的运算顺序，先同时算乘法和除法，再算加法，最后算减法。 （1）要先算加法就交给加法部分加上小括号，80×（330＋1200）÷60－20，此时的运算顺序是先算加法，再算乘法，再算除法，最后再减法。要想再算减法，就需要给减法部分加上小括号，80×（330＋1200）÷（60－20），此时的运算顺序就是：加→减→乘→除。 （2）要先算减法就交给减法部分加上小括号，80×330＋1200÷（60－20），此时的运算顺序是先算减法，再算同时算乘法、除法，之后再加法。要想再算除法、加法，就需要给加法、除法部分一起加上中括号，80×[330＋1200÷（60－20）]，此时的运算顺序就是：减→除→加→乘。 （3）要想算完除法之后再算减法，需要把除法和减法部分用小括号括起来，80×330＋（1200÷60－20），此时的运算顺序是先算除法，再算减法，再算乘法，最后算加法。要想算完除法、减法之后紧接着算加法，就要用中括号把加法部分和小括号里的内容括起来，80×[330＋（1200÷60－20）]，此时的运算顺序就是：除→减→加→乘。 【规范解答】（1）加→减→乘→除：80×（330＋1200）÷（60－20）。 （2）减→除→加→乘：80×[330＋1200÷（60－20）]。 （3）除→减→加→乘：80×[330＋（1200÷60－20）]。 8．（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知两个数的乘积是810，如果一个数不变，另一个数拆成10×9，那么这三个数的积是( )。 【答案】810 【思路引导】原来是两个数相乘，把另一个数拆成10×9之后变成了三个数相乘，根据乘法结合律，可知积不变。 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 【规范解答】例如：9×90 ＝9×10×9 ＝90×9 ＝810 已知两个数的乘积是810，如果一个数不变，另一个数拆成10×9，那么这三个数的积是（810）。 9．（24-25四年级下·天津河东·期末）56×（19＋21）和56×19＋21的运算顺序不同，但结果相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据运算顺序，有括号的，先计算括号内的，再计算括号外的。没有括号的，先计算乘除法，再计算加减法。分别计算两个算式的值，比较结果是否相等。 【规范解答】56×（19＋21）先算括号内的加法，再算括号外的乘法： 56×（19＋21） ＝56×40 ＝2240 56×19＋21先算乘法，再算加法： 56×19＋21 ＝1064＋21 ＝1085 2240≠1085 所以，56×（19＋21）和56×19＋21的运算顺序不同，结果也不相等。 原题说法错误。 故答案为：× 10．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）在横线上填上合适的数。 210÷ ＝12……6    （ ＋25）×9＝270 【答案】 17 5 【思路引导】在有余数的除法中，除数＝（被除数－余数）÷商； 一个数加上25的和乘9等于270，用270除以9，计算出这个数与25的和是多少，再减去25，即可算出这个数是多少。据此解答。 【规范解答】（210－6）÷12 ＝204÷12 ＝17 270÷9－25 ＝30－25 ＝5 210÷17＝12……6    （5＋25）×9＝270 11．（24-25四年级下·湖北十堰·期中）脱式计算。 85×[186－（42＋74）]          285－150÷5×9 （78×12＋114）÷35          1520－（1070＋28×2） 【答案】 5950；15 30；394 【思路引导】（1）先算小括号内的加法，再算中括号内的减法，最后算乘法； （2）先算除法和乘法（从左到右），再算减法； （3）先算括号内的乘法，再算括号内的加法，最后算除法； （4）先算括号内的乘法，再算括号内的加法，最后算减法。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 12．（24-25四年级下·四川德阳·期中）用简便方法计算下面各题。 24＋127＋476＋573         15×23＋15×78－15      1200÷25÷4 1462－369－631            125×32×25             76×99 【答案】1200；1500；12 462；100000；7524 【思路引导】（1）仔细观察算式及数据特点可知，利用加法交换律和加法结合律将原式转化为（24＋476）＋（127＋573）可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法分配律将原式转化为15×（23＋78－1）可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）将原式转化为1200÷（25×4）可使计算简便。 （4）仔细观察算式及数据特点可知，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）将原式转化为1462－（369＋631）可使计算简便。 （5）仔细观察算式及数据特点可知，先把32转化为8×4，然后再利用乘法结合律将原式转化为（125×8）×（4×25）可使计算简便。 （6）仔细观察算式及数据特点可知，先把99转化为100－1， 然后再利用乘法分配律将原式转化为76×100－76可使计算简便。 【规范解答】24＋127＋476＋573 ＝24＋476＋127＋573 ＝（24＋476）＋（127＋573） ＝500＋700 ＝1200 15×23＋15×78－15 ＝15×（23＋78－1） ＝15×（101－1） ＝15×100 ＝1500 1200÷25÷4 ＝1200÷（25×4） ＝1200÷100 ＝12 1462－369－631 ＝1462－（369＋631） ＝1462－1000 ＝462 125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 76×99 ＝76×（100－1） ＝76×100－76 ＝7600－76 ＝7524 13．（24-25四年级下·内蒙古通辽·期中）根据：△×□＝○（△、□和○均不为0），可得：○÷△＝□。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据乘、除法的意义以及各部分之间的关系，因数×因数＝积，积÷因数＝另一个因数，据此解答。 【规范解答】根据分析：已知△×□＝○，那么○÷□＝△，○÷△＝□，原题说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）如图是一块绿化地的示意图，这块地的面积是多少平方米？怎么计算最简便？ 【答案】1800平方米；采用乘法分配律进行计算最简便 【思路引导】 将这块绿化地进行分割，分成两个长方形，如图：，然后根据长方形的面积＝长×宽，据此计算出两个长方形的面积，然后相加，即可求出这块绿化地的面积；根据乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，观察算式中都有一个乘数30，考虑用乘法分配律进行简便计算。 【规范解答】 30×18＋30×42 ＝30×（18＋42） ＝30×60 ＝1800（平方米） 答：这块地的面积是1800平方米；采用乘法分配律进行计算最简便。 15．（23-24四年级上·湖北荆州·期中）你知道东东是怎么算的吗？请把她的算法写下来。 597＋598＋599＋600＋601＋602＋603 【答案】见详解 【思路引导】运用加法的交换律与结合律，将601、602与603分别拆出1、2、3，再将拆出的1、2、3分别与599、598、597结合计算，便可以将这些数均变为600，再用乘法计算即可。 【规范解答】597＋598＋599＋600＋601＋602＋603 ＝597＋598＋599＋600＋（600＋1）＋（600＋2）＋（600＋3） ＝（597＋3）＋（598＋2）＋（599＋1）＋600＋600＋600＋600 ＝600＋600＋600＋600＋600＋600＋600 ＝600×7 ＝4200 【考点剖析】本题的核心思想即是将接近整百的数进行凑整，合理运用拆分和运算律进行简算。 16．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）小马虎把80×（★＋4）错写成80×★＋4，这样得到的结果与正确结果相差多少？ 【答案】316 【思路引导】正确的算式是80×（★＋4），把正确的算式依据乘法分配律进行转换，转换成80×★＋80×4；据此观察转换后的正确的算式与错误的算式80×★＋4的差别，由此可求出错误的结果与正确结果相差多少。 【规范解答】根据分析： 80×（★＋4） ＝80×★＋80×4 ＝80×★＋320 观察80×★＋320与80×★＋4，前面部分80×★相同，所以它们的差为：320－4＝316。 答：这样得到的结果与正确结果相差316。 17．（20-21四年级下·全国·课后作业）数学家高斯在计算时，用以下方法又快又准确地算出了答案。 你会用这种方法计算吗？试试吧！      … 【答案】2550 【思路引导】观察题图发现，高斯计算时采用首尾相加法，即（第一个加数＋最后一个加数）×（加数的个数）。据此进行计算即可。 【规范解答】 【考点剖析】本题主要考查学生的分析和总结归纳能力。 18．（22-23四年级下·青海西宁·期末）实验小学四年级师生共250人去郊游。怎样租车最省钱？ 【答案】租5辆大巴车和2辆中巴车最省钱。 【思路引导】根据题意，计算出中巴每人的单价和大巴车每人的单价，大巴车的成本低，中巴车的成本高，所以尽量租大巴车，且保证尽量载满没有空座。用师生总人数除以每辆大巴车限乘人数，求出需要租大巴车数量，再结合余数进行调整，看是否需要租中巴车。分别求出可能的租车方案花费的钱数，再选择花费钱数最小的那种方案。 【规范解答】大巴车每人需要的钱数为：（元） 中巴车每人需要的钱数为：（元） 24＞20，大巴车的成本低，中巴车的成本高，所以尽量多租大巴车； （辆）……10（人）可以租6辆大巴车和1辆中巴车； 租6辆大巴车和1辆中巴车的费用： （元） 剩下的10人坐一辆中巴车剩座太多，可租5辆大巴车和2辆中巴车； 坐中巴车的人数： （人） （辆） 租5辆大巴车和2辆中巴车的费用： （元） 5400＞5200 答：租5辆大巴车和2辆中巴车最省钱。 19．（23-24四年级上·全国·课后作业）王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？ 【答案】15名；43张 【思路引导】根据题目可知，两种发放方法相差（32－2）张，而每人发的张数相差（5－3）张，那么用相差的总张数除以每人发的张数，可以计算出学生的人数；再用学生人数乘5张，再减去32张，计算出王老师一共有多少张图画纸；据此解答。 【规范解答】学生人数： （32－2）÷（5－3） ＝30÷2 ＝15（名） 图画纸： 15×5－32 ＝75－32 ＝43（张） 答：美术兴趣小组有15名同学，王老师一共有43张图画纸。 【考点剖析】解答这道题要弄清题目中的数量关系，弄清楚两种方法少的总数与每人少的张数之间的商，就是兴趣小组的人数，是解答本题的关键。 20．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）客、货两车同时从甲地开往乙地，客车每小时行驶112千米，货车每小时行驶78千米，客车到达乙地后立即返回，8小时后两车第一次相遇，甲、乙两地相距有多远？ 【答案】760千米 【思路引导】根据路程＝速度×时间，用客车每小时行驶的路程乘行驶的时间，求出客车行驶8小时的总路程，用货车每小时行驶的路程乘行驶的时间，求出货车8小时行驶的路程，再把客车行驶8小时的总路程加上货车8小时行驶的路程，求出两车行驶的总路程；客车到达乙地后立即返回，途中与货车相遇，即两车行驶的路程刚好是甲、乙两地距离的2倍，所以用两车行驶的总路程除以2，即可求出甲、乙两地相距有多远。 【规范解答】（112×8＋78×8）÷2 ＝（896＋78×8）÷2 ＝（896＋624）÷2 ＝1520÷2 ＝760（千米） 答：甲、乙两地相距有760千米。 $$（温故知新篇） 2025-2026学年人教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲练 （导图指引+知识梳理+14个考点讲练+拔尖训练 共62题） 专题01 四则运算与运算律 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：加、减法的意义和各部分间的关系 1.加、减法的意义 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 在加法中，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 在减法中，已知的和叫做被减数，减号后面的数叫做减数，减得的数叫做差。 （3）减法是加法的逆运算。 2.加、减法各部分间的关系 （1）加法各部分间的关系：和=加数+加数，加数=和一另一个加数。 （2）减法各部分间的关系：差=被减数一减数，减数=被减数-差，被减数=减数+差。 （3）由加、减法各部分间的关系，我们可以根据一个加法算式写出两个减法算式，也可以根据一个减法算式写出一个加法算式和一个减法算式。 知识点02：乘、除法的意义和各部分间的关系 1.乘、除法的意义 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 在乘法中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 （2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 在除法中，已知的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫做商。 （3）除法是乘法的逆运算。 2.乘、除法各部分间的关系 （1）乘法各部分间的关系：积=因数×因数 因数=积÷另一个因数 （2）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 3.有关0的运算 （1）一个数加上0，还得原数；一个数减去0，还得原数；被减数等于减数，差是0；一个数和0相乘，仍得0； 0除以一个非0的数，还得0。 （2）注意：0不能作除数。 知识点03：括号 1.四则运算 我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 2.有括号的混合运算的顺序 （1）一个算式里，有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 （2）一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 3.解决租车、租船等最省钱问题 解决此类问题时，可以先假设（如假设全租大船，或假设全租小船），然后再根据计算结果进行调整。 知识点04：加法运算定律 1.加法交换律 （1）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做加法交换律。 用字母表示：a+b=b+a。 （2）加法交换律中变化的只是两个加数的位置，不变的是这两个加数及它们的和。 2.加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫做加法结合律。 用字母表示；：（a+b）+c=a+（b+c）。 3.运用加法运算定律进行简便计算在计算几个数连加的算式时，可以利用加法交换律和加法结合律，使计算简便。 4.连减的简便计算 （1）一个数减去几个数的和，可以从这个数里依次减去各个加数。 用字母可表示：a-（b +c）=a-b-c。 （2）一个数连续减去几个数，可以先把所有的减数加起来，再从被减数里减去所有减数的和。用字母可表示：a -b-c=a-（b+c）。 知识点05：乘法交换律 1.乘法交换律 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。用字母表示：a×b=b×ag 2.乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。 3.乘法分配律（两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c 知识点06：乘法及连除的简便计算 1.同一道乘法算式的不同简算方法： 计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数折分成两个数的积，再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数折分成两个数的和，再运用乘法分配律来进行简算。 2.连除的简便计算 （1）一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。 用字母可表示为：a÷b÷c=a÷（b ×c）。（b‡0，c‡0） （2）一个数除以两个数的积，可以改为连续除以这两个数。 用字母可表示为：a÷（b×c）=a÷b÷c。（b‡0，c‡0） 易错点拨 易错点01：加法和减法的混淆 在验算加法时，孩子们可能会忘记使用减法来检查答案，即和减去一个加数是否等于另一个加数。 在进行减法运算时，可能会混淆被减数、减数和差的概念。 易错点02：乘法和除法的理解 在乘法运算中，孩子们可能会忘记0乘以任何数都得0，或者1乘以任何数都得原数。 在除法运算中，孩子们可能会忘记0不能做除数，或者混淆被除数、除数和商的关系。 易错点03：混合运算的优先级 在进行四则混合运算时，孩子们可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。 在有括号的算式里，孩子们可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。 易错点04：符号的误用 在运算过程中，孩子们可能会误用加号、减号、乘号和除号，导致运算结果错误。 易错点05：整数运算的进位和借位 在进行整数加法和减法时，孩子们可能会忘记进位或借位，导致计算错误。 易错点06：理解题目的不准确 在解决应用题时，孩子们可能会误解题目的意思，导致选择错误的运算方法。 易错点07：加法运算定律的易错点 加法交换律：学生可能会忘记加法的交换律，即两个数相加时，交换加数的位置，和不变。例如，学生可能会认为 5 + 3 不等于 3 + 5。 加法结合律：学生可能会在三个数相加时，错误地改变加数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将 (2 + 3) + 4 误算为 2 + (3 + 5)。 易错点08：乘法运算定律的易错点 乘法交换律：与加法类似，学生可能会忘记乘法的交换律，即两个数相乘时，交换因数的位置，积不变。例如，学生可能会认为 2 × 3 不等于 3 × 2。 乘法结合律：在三个数相乘时，学生可能会错误地改变因数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将 (2 × 3) × 4 误算为 2 × (3 × 5)。 乘法分配律：这是乘法运算定律中的一个重要部分，但学生常常会出现误解。乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。学生在应用这个定律时，可能会漏掉某个数与另一个数的相乘，或者错误地将某个数与和相乘。例如，学生可能会将 (2 + 3) × 4 误算为 2 × 4 + 3，或者 2 × 4 + 3 × 4 误算为 (2 + 3) × (4 + 4)。 易错点09：运算顺序的易错点 在进行四则运算时，学生可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。这会导致学生在计算时出错。 括号的使用也是学生容易出错的地方。在有括号的算式里，学生可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。 高频考点讲练01：加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（23-24四年级上·全国·单元测试）猴子们一起分桃子，如果每只猴子分得2个桃子，那么还剩下10个桃子；如果每只猴子分得4个桃子，就只剩下2个桃子，请问一共有多少只猴子？这堆桃子一共有多少个？ 【演练1】（24-25四年级下·安徽黄山·期中）( )减去185得1024；513加上( )得900。 【演练2】（23-24四年级下·江西上饶·期末）观察下边的竖式，验算的依据是： 。 高频考点讲练02：乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）654－( )＝500   ( )×46＝552  378÷( )＝14……14 【演练1】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）两个数相乘，如果第一个因数增加14，第二个因数不变，那么积增加70；如果第一个因数不变，第2个因数增加14，那么积增加532，原来的积是多少？ 【演练2】（19-20四年级下·全国·周测）△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 高频考点讲练03：带有小括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）在下面的算式中，a等于多少？请写出你的分析过程。 （19－a）×（14÷a）＝0 【演练1】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）近年来，我国的铁路运输飞速发展，客运列车的速度不断提高，现在速度最快的是高速列车（人们习惯称为“高铁”）。 普通列车：每小时行驶的路程比特快列车少50千米。 特快列车：每小时行驶120千米。 高速列车：每小时行驶的路程比特快列车的2倍多24千米。 （1）张林叔叔送8岁的小明坐高铁二等座去奶奶家，张叔叔单独做特快列车返程，来回一共需要花费多少钱？ （2）A、B两站相距1140千米，一列特快列车从A站出发，一列普通列车从B站出发，车同时相向而行，几小时后相遇？ 【演练2】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）周末，李老师带着6名老师和3名学生去游乐园玩耍。游乐园的门票价格规定如下：成人票每人40元，儿童票每人20元。不过还有一个团体票优惠政策，只要人数达到5人及5人以上，就可以按照每人25元购票。那么，李老师他们怎么买票才能花费最少呢？最少要花多少钱呢？ 高频考点讲练04：带有中括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）脱式计算。 440－540÷18×14           78×［（388－246）÷71］ 14×32＋351÷13          （800＋200÷50）×27 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是( )，结果是( )。 【演练2】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）水果店第一天卖出香蕉25千克，第二天卖出的比第一天的3倍多8千克，每千克香蕉5元，两天共收入多少元？ 高频考点讲练05：巧填算符 【典例精讲】（24-25四年级下·山东菏泽·阶段练习）在括号里填上适当的运算符号，使等式两边相等。 3( )3( )3( )3＝0    3( )3( )3( )3＝10 【演练1】．（19-20六年级上·湖南娄底·期末）用写出的四个连续数字添上“＋、－、×、÷、（    ）、[    ]”运算符号等于24。 如：4  5 6  7等式是4×（5＋7－6）＝24；    5 6 7 8等式是6×8÷（7－5）＝24 3  4  5  6等式是：           6 7 8  9等式是： 【演练2】（19-20四年级下·湖南娄底·期末）填上运算符号使等式成立。（友情提示：先算小括号内后算中括号内。） 6   2   4   3  ＝24        7    2    6    3  ＝18 高频考点讲练06：租船问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，实验小学志愿小队38名同学准备乘车前往老年公寓进行义工服务，怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【演练1】（24-25四年级下·天津和平·期末）学校准备做66套表演服装，要按整卷买布。大卷布，每卷400元，最多可以做8套表演服装：小卷布，每卷300元，最多可以做5套表演服装。学校制作这批表演服装，最少需要花( )元。 【演练2】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）林湾小学四年级参加浙江科技馆研学活动，出行教师共15人，学生200人，怎样租车合理？ 大车：限乘40人，租金800元 小车：限乘25人，租金550元 高频考点讲练07：购票问题 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）动物园推出“一日游”的活动价： （1）成人每人150元； （2）儿童每人60元； （3）团体5人以上（包括5人）每人90元。 现在有成人4人，儿童6人要去游玩，想一想怎样买票最省钱？ 【演练1】（24-25四年级下·重庆渝中·期中）重庆海洋世界门票有两种出售方案？ 方案一 成人每人100元，儿童半价。 方案二 团体5人以上（含5人）每人80元。 如果小丽（儿童）和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈一家去参观，选那种方案合算？ 【演练2】（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 高频考点讲练08：货物运输问题 【典例精讲】（24-25四年级下·河南南阳·期中）物流公司有46吨货物，要将这些货物从甲地运到乙地，大车每辆的载重量是5吨，运费是250元；小车每辆的载重量是3吨，运费是180元。请你设计一套优化方案来运送这批货物，需要多少元？ 【演练1】（24-25三年级上·浙江杭州·期中）物流公司要运走18吨货物，现用载质量4吨的小货车和载质量6吨的大货车来运。小货车每次的运费是140元，大货车每次的运费是180元，如果每辆货车都装满，那么怎样安排恰好能把货物运完，且用的运费最少？ 【演练2】（22-23四年级下·山东·期末）工程队有92吨沙子要运走，现有一辆大车和一辆小车。大车每次可运10吨，每次要80元；小车每次可运6吨，每次60元。怎样安排最省钱？ 高频考点讲练09：整数加法交换律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）46＋83＋54＝83＋（46＋54），这里运用了加法（    ）。 A．交换律 B．结合律 C．交换律和结合律 【演练1】（24-25四年级下·四川德阳·期中）春节期间，文文一家去旅游，各项开支如下： 门票费：476元 交通费：1380元 食宿费：1524元 文文家这次旅游一共花销了多少钱？ 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）巧算。 501＋502＋503＋497＋498＋499 1＋2＋3＋…98＋99＋100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 高频考点讲练10：整数加法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·黑龙江鸡西·期中）天天小学四年级42名学生和2名老师参加了学校组织的户外项目式研学活动。行走路线从入口处出发，先到奇石林，再到赏心湖后返回入口处。 大船限坐6人，每条30元； 小船限坐4人，每条25元。 路线 长度/米 入口处～奇石林 281 奇石林～赏心湖 379 赏心湖～入口处 421 （1）走完全程一共多少米？ （2）老师和同学们都到赏心湖参加乘船项目，该怎样租船最省钱？并算一算花多少钱？ 【演练1】（24-25四年级下·山东济南·期中）写出计算步骤。 【演练2】（24-25四年级下·云南保山·期中）“618”购物节，某商店一台扫地机器人降价218元，前100名消费者再减155元。小红家第一个参加了这个活动，以845元的价格买下了这台扫地机器人，这台扫地机器人原价是多少元？ 高频考点讲练11：整数减法的性质的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）某商场店庆期间，进行优惠酬宾活动，李阿姨持会员卡只需付多少元就能买到这部手机？ 【演练1】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）妈妈带600元钱去商场，买了一件羊毛衫用去248元，又买了一个皮包用去252元，应找回多少元？ 【演练2】（24-25四年级下·重庆大渡口·期中）为了准备花朝节，依依妈妈为依依挑选衣服，上衣98元，马面裙102元，妈妈带了1000元，买完还剩多少钱？ 高频考点讲练12：整数乘法交换律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄冈·期中）脱式计算，怎样简便就怎样计算。 360÷（70－4×16）     158－[（27＋54）÷9]     97－12×6＋43 688－534＋112    8×（29×125）         156×101－156 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）根据运算定律填空。 36×75＝（ × ）×9＝2700 125×（80－8）＝125×( )－125×( )＝9000 【演练2】（24-25四年级下·江西赣州·期中）认真阅读下面的资料并回答问题。 中国是世界上最早养蚕织绸的国家，桑蚕养殖历史悠久。桑蚕养殖每年五月初开始，十月末结束，一年可养10批蚕。在养蚕的过程中，桑叶是必不可少的食料。幼虫期的蚕平均成长周期是34天，在幼虫期，每条蚕每天需食用5克桑叶。蚕吐丝结茧后，蚕茧按品质分为特级茧（每千克售价85元）、一级茧（每千克售价50元）和二级茧（每千克售价30元）。今年该地区李爷爷家第一批收获特级茧80千克、一级茧120千克、二级茧200千克。 （1）如果某养殖场一批蚕有40条，幼虫期共需准备多少克桑叶？ （2）李爷爷家的这批蚕茧全部售出后，总收入是多少元？ 高频考点讲练13：整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）下面等式成立的是（    ）。 A．25×13＋4＝25×4＋13 B．50×807＝50×800×7 C．29×11＋11＝（29＋1）×11 D．32×5＝32×3＋2 【演练1】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）怎样算简便就怎样算。 168－52－48＋232          1800÷25÷4          356×27－17×356 36×99                101×38－38          125×48 【演练2】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）用简便方法计算。 25×16×125                    748－135＋152－65 99×36＋36                  72×98 高频考点讲练13：整数乘法结合律的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北黄石·期中）脱式计算。（能简便计算就简便计算） （1）997－58－897         （2）896＋397＋104－197        （3）1999×85 （4）125×88           （5）3300÷4÷25        （6）888×71＋666×72 【演练1】（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）下列选项中，（    ）没有运用乘法分配律。 A． B． C．45×101＝45×100＋45＝4545 D．25×32＝25×4＋25×8＝300 【演练2】（24-25四年级下·湖北十堰·期中）如果☆×△＝60，那么（☆×4）×（△×5）＝( )。如果A＋B＝8，那么125×A＋125×B＝( )。 高频考点讲练14：整数乘法分配率的计算与应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北孝感·期中）下列算式中，计算正确的是（    ）。 A．25×44×7＝25×4＋40×7 B．2100÷25÷4＝2100÷（25×4） C．18×16÷18×16＝（18×16）÷（18×16） 【演练1】（24-25四年级下·湖南长沙·期中）脱式计算，怎样简便就怎样算。 420÷[（205－198）×4]       148＋154＋52＋246         125×48    53×212－53×12           5400÷30÷20        5×125×4×2 【演练2】（24-25四年级下·湖北武汉·期中）脱式计算，能简算的要简算。 123＋349＋277＋151     892－（92＋145）         125×32×25 3700÷4÷25         16×[（720＋580）÷13]     57×68＋31×57＋57 1．（24-25四年级下·湖南长沙·期中）计算540÷[（3＋6）×2]时，最后一步算（    ）。 A．加法 B．乘法 C．除法 2．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）李老师和周老师买价格相同的铅笔，李老师买了28支，周老师买了32支，选择下面（    ）条件就能求出一支铅笔多少钱。 A．周老师比李老师多买了4支 B．周老师比李老师少花了36元 C．李老师和周老师一共花了180元 3．（24-25四年级下·四川德阳·期中）在一个减法算式里，被减数＋减数＋差＝648，差比减数小20，减数是（    ）。 A．314 B．172 C．152 4．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）下面运算顺序相同的一组算式是（    ）。 A． B． C． 5．（24-25四年级下·湖南长沙·期中）下面算式中与48×25结果不相等的是（    ）。 A．40×25＋8×25 B．12×（4×25） C．48×20＋5 6．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）小聪在计算一道乘法算式时，计算步骤如图，他计算的乘法算式是( )，他运用了( )律。 134×50＝6700 134×2＝268 6700＋268＝6968 7．（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）学校举办知识竞赛活动，其中有一道题目是按指定的运算顺序，分别给“80×330＋1200÷60－20”这个综合算式添上括号，并算出结果。聪明的你快来写一写吧！ (1)加→减→乘→除：( )。 (2)减→除→加→乘：( )。 (3)除→减→加→乘：( )。 8．（24-25四年级下·湖北省直辖县级单位·期中）已知两个数的乘积是810，如果一个数不变，另一个数拆成10×9，那么这三个数的积是( )。 9．（24-25四年级下·天津河东·期末）56×（19＋21）和56×19＋21的运算顺序不同，但结果相等。( )（判断对错） 10．（24-25四年级下·湖北孝感·期中）在横线上填上合适的数。 210÷ ＝12……6    （ ＋25）×9＝270 11．（24-25四年级下·湖北十堰·期中）脱式计算。 85×[186－（42＋74）]          285－150÷5×9 （78×12＋114）÷35          1520－（1070＋28×2） 12． （24-25四年级下·四川德阳·期中）用简便方法计算下面各题 24＋127＋476＋573         15×23＋15×78－15      1200÷25÷4 1462－369－631            125×32×25             76×99 13．（24-25四年级下·内蒙古通辽·期中）根据：△×□＝○（△、□和○均不为0），可得：○÷△＝□。( )（判断对错） 14．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）如图是一块绿化地的示意图，这块地的面积是多少平方米？怎么计算最简便？ 15．（23-24四年级上·湖北荆州·期中）你知道东东是怎么算的吗？请把她的算法写下来。 597＋598＋599＋600＋601＋602＋603 16．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）小马虎把80×（★＋4）错写成80×★＋4，这样得到的结果与正确结果相差多少？ 17．（20-21四年级下·全国·课后作业）数学家高斯在计算时，用以下方法又快又准确地算出了答案。 你会用这种方法计算吗？试试吧！      … 18．（22-23四年级下·青海西宁·期末）实验小学四年级师生共250人去郊游。怎样租车最省钱？ 19．（23-24四年级上·全国·课后作业）王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？ 20．（24-25四年级下·湖北黄石·期中）客、货两车同时从甲地开往乙地，客车每小时行驶112千米，货车每小时行驶78千米，客车到达乙地后立即返回，8小时后两车第一次相遇，甲、乙两地相距有多远？ $$