（温故知新篇）专题02 长方体和正方体的表面积和体积（导图+技巧点拨+14个高频考点+真题强化 共62题）-2025年北师大版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（原卷版+解析版）

五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 北师大版 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共62题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 解题技巧点拨（实际问题） 技巧点拨1：包装问题 明确是否需要覆盖所有面（如无盖纸盒需减去一个面）。 结合表面积公式，计算所需材料面积。 技巧点拨2：切割与拼接问题 切割一次增加2个面，拼接一次减少2个面。 结合表面积变化，计算新增或减少的面积。 技巧点拨3：排水法求不规则物体体积 记录物体放入前后水位变化，计算上升部分水的体积。 公式：V=S×Δh 技巧点拨4：最大最小问题 通过画图、分步计算，明确题目中的限制条件。 结合表面积或体积公式，求解最优解。 高频考点讲练01：长方体有关棱长的的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图所示，捆扎一个包装盒，绳子接头处需要20厘米，共需要绳子 厘米。 【答案】96 【思路引导】观察图形可知，捆扎一个这样的礼盒至少用绳子的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋接头处用绳子的长度，据此解答。 【规范解答】20×2＋8×2＋5×4＋20 ＝40＋16＋20＋20 ＝56＋20＋20 ＝76＋20 ＝96（厘米） 捆扎一个包装盒，绳子接头处需要20厘米，共需要绳子96厘米。 【演练1】（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图是笑笑给妈妈准备的母亲节礼物，若接头处的彩带长18厘米，则捆绑该礼盒至少用（    ）分米的彩带。 A．15.2 B．17 C．33.2 D．25 【答案】B 【思路引导】观察图形可知，捆绑该礼盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【规范解答】18厘米＝1.8分米 2×2＋2×2＋1.8×4＋1.8 ＝4＋4＋7.2＋1.8 ＝17（分米） 则捆绑该礼盒至少用17分米的彩带。 故答案为：B 【演练2】（（24-25五年级下·陕西渭南·期中）王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（    ）米的角铁。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【思路引导】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。从题意可知：长方体的长是1米，宽是0.4米，高是0.6米。继续焊完这个框架，还需3条长、3条宽、3条高，即还需角铁的长度＝（长＋宽＋高）×3，代入数据计算即可。 【规范解答】（1＋0.4＋0.6）×3 ＝2×3 ＝6（米） 还需6米的角铁。 故答案为：B 高频考点讲练02：正方体有关棱长的的应用 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）即将毕业了，圆圆想给自己的好朋友们做一个正方体的纪念品，需要在棱长为3厘米的正方体纪念品的框架上粘上彩色手工绳，圆圆有2.5米长的手工绳，最多可以粘（    ）个正方体纪念品。（接头处长度忽略不计） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】先根据“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出一个正方体纪念品的框架需要彩色手工绳的长度，可以粘正方体纪念品的数量＝彩色手工绳的总长度÷一个正方体纪念品的框架需要彩色手工绳的长度，余下的彩色手工绳不够粘一个正方体纪念品的框架时直接舍去，结果用“去尾法”取整数，据此解答。 【规范解答】2.5米＝250厘米 3×12＝36（厘米） 250÷36≈6（个） 所以，最多可以粘6个正方体纪念品。 故答案为：A 【演练1】（22-23五年级下·广东揭阳·期末）有三种长度为15cm、10cm、8cm的小棒各若干根，下面（    ）种搭法无法搭出长方体或正方体。 A．三种各4根 B．12根15cm C．8根10cm和4根8cm D．10cm和8cm各6根 【答案】D 【思路引导】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；正方体有12条棱，每条棱长度都相等，根据长方体、正方体的特征作答即可。 【规范解答】A．根据长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱，可以用15cm、10cm、8cm长的小棒各4根，搭出一个长、宽、高分别是15cm、10cm、8cm的长方体； B．根据正方体的特征，可以用12根15cm长的小棒搭出一个棱长是15cm的正方体； C．根据长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱，可以用10cm长的小棒8根，8cm长的小棒4根，搭出一个长、宽、高分别是10cm、10cm、8cm的长方体； D．根据长方体、正方体的特征，10cm和8cm各6根无法搭出长方体或正方体。 故答案为：D 【考点剖析】此题主要考查了长方体、正方体的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确长方体、正方体的特征。 【演练2】（19-20五年级下·浙江金华·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长为6cm的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成一个长6cm、宽4cm的长方体框架，那么它的高应是多少？ 【答案】8厘米 【思路引导】正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度，也就是长方体的棱长总和，再除以4求出长、宽、高之和，减去长和宽，即可。 【规范解答】6×12÷4－6－4 ＝72÷4－6－4 ＝18－6－4 ＝8（厘米） 答：长方体的高是8厘米。 【考点剖析】此题考查了有关长方体、正方体棱长的应用，要学会灵活运用其公式。 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·山西吕梁·期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【答案】736平方厘米 【思路引导】分析题目，按照第一种切法表面积增加的160平方厘米，正好是长方体的左、右两个面的面积；按照第二种切法表面积增加的256平方厘米，正好是长方体前、后两个面的面积；按照第三种切法表面积增加的320平方厘米，正好是长方体上、下两个面的面积；把它们相加即可求出原来长方体彩砖的表面积，据此解答。 【规范解答】160＋256＋320 ＝416＋320 ＝736（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 【演练1】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）如图。（单位：） （1）图①和图②分别是什么图形？ （2）下面分别是图①和图②的展开图，请根据原图涂上颜色并标出每个面的长和宽。 （3）图①的棱长总和是多少？图②的表面积是多少？ 【答案】（1）正方体；长方体 （2）见详解 （3）120厘米；760平方厘米 【思路引导】（1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 （2）根据长方体和正方体都有三组相对的面完全相同，且对面不相邻，涂上颜色并标出每个面的长和宽即可。 （3）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据计算即可。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）答：图①是正方体，图②分别是长方体。 （2）如图： （3）10×12＝120（厘米） （20×10＋20×6＋10×6）×2 ＝（200＋120＋60）×2 ＝380×2 ＝760（平方厘米） 答：图①的棱长总和是120厘米，图②的表面积是760平方厘米。 【演练2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）山西大院文化是中国民居建筑的典范，向有“北在山西，南在安徽”之说。其中乔家大院是晋商文化的典型代表。大红灯笼高高挂，晋商大院年味长。淘气和笑笑打算自己制作红灯笼。淘气从4根长为3cm和10根长为6厘米的小棒中，选取2根( )cm和1根( )cm的小棒可以组成一个三角形；笑笑打算选取其中12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架每个面都糊红纸，至少需要红纸( )cm2。 【答案】 6 3 144 【思路引导】根据三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，选取2根6cm的小棒和1根3cm的小棒即可组成一个三角形。根据长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为长、宽、高三组，每一组有4条棱，选取4根3cm的小棒和8根6cm的小棒，即可。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出至少需要红纸的面积。 【规范解答】3＋6＞6 选取2根6cm和1根3cm的小棒可以组成一个三角形。 （3×6＋3×6＋6×6）×2 ＝（18＋18＋36）×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 给这个长方体框架每个面都糊红纸，至少需要红纸144cm2 高频考点讲练04：长方体表面积的计算的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）某自然保护区内有一间护林房，长6米，宽5米，高4米，门窗面积是7.5平方米，将房间的墙壁和房顶都刷上墙漆，如果每平方米刷漆需要10元，刷漆费用是多少元？ 【答案】1105元 【思路引导】刷漆的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，刷漆的面积×每平方米钱数＝刷漆费用，据此列式解答。 【规范解答】6×5＋6×4×2＋5×4×2－7.5 ＝30＋48＋40－7.5 ＝110.5（平方米） 110.5×10＝1105（元） 答：刷漆费用是1105元。 【演练1】（24-25五年级下·陕西渭南·期中）张老师为了让同学们通过手工活动，发挥想象力，创造出独一无二的作品，举办了以“创意无限，乐趣无穷”的手工活动。如图是明明用硬纸板制作的一个长方体抽纸盒，上面有一个面积是12平方厘米的抽口，制作这个抽纸盒至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头、耗损忽略不计） 【答案】868平方厘米 【思路引导】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出完整长方体的表面积，再减去抽口的面积即可。 【规范解答】（20×10＋20×8＋10×8）×2－12 ＝（200＋160＋80）×2－12 ＝440×2－12 ＝880－12 ＝868（平方厘米） 答：制作这个抽纸盒至少需要硬纸板868平方厘米。 【演练2】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积是24平方米，如果每平方米用涂料2千克，粉刷这间教室共需涂料多少千克？ 【答案】272千克 【思路引导】粉刷的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－除去门窗和黑板的面积，代入数据求出粉刷的面积。再用它乘每平方米用涂料重量，可求出粉刷这间教室共需涂料多少千克。 【规范解答】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） 160－24＝136（平方米） 136×2＝272（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料272千克。 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）用5个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是440平方厘米，原来一个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】120 【思路引导】一个正方体有6个面，5个正方体有6×5＝30个面；5个完全相同的正方体拼成一个长方体，减少了8个面；用30－8＝22个，求出正方体的面的个数，再用440÷22，求出一个正方体一个面的面积，再乘6，即可求出一个正方体的表面积，据此解答。 【规范解答】6×5－8 ＝30－8 ＝22（个） 440÷22×6 ＝20×6 ＝120（平方厘米） 用5个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是440平方厘米，原来一个正方体的表面积是120平方厘米。 【演练1】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【答案】3000平方厘米；不相等 【思路引导】已知正方体的棱长是10厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出1个正方体的表面积，再乘5，即是5个正方体的表面积之和； 长方体是由5个棱长是10厘米的正方体拼成，有8个面重合，所以长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和减少了8个面，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘8，即是减少的表面积； 用5个正方体的表面积之和减去减少的表面积，即是拼成的长方体的表面积。 【规范解答】5个正方体的表面积之和： 10×10×6×5 ＝100×6×5 ＝600×5 ＝3000（平方厘米） 长方体的表面积： 3000－10×10×8 ＝3000－800 ＝2200（平方厘米） 3000≠2200 答：5个正方体的表面积之和是3000平方厘米，与长方体的表面积不相等。 【演练2】（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了 平方分米。 【答案】24 【思路引导】锯成4个一样的正方体，需要锯3次，每锯1次就增加两个切面的面积，也就是正方形的面，所以一共增加6个面；增加的一个面的面积是（8÷4）×（8÷4），由此即可解答 【规范解答】（8÷4）×（8÷4）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方分米） 把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了24平方分米。 高频考点讲练06：正方体表面积的计算的实际应用 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假设正方体的棱长为1厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为1×2＝2厘米，同样计算出变化后的正方体的表面积，最后用变化后的表面积除以变化前的表面积计算出表面积扩大的倍数。 【规范解答】1×1×6＝6（平方厘米） 1×2＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 24÷6＝4 所以表面积扩大到原来的4倍，而非2倍。 故答案为：× 【演练1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的表面积是294平方厘米，要给这个正方体的上、下面喷漆，喷漆的面积是（    ）平方厘米。 A．147 B．49 C．196 D．98 【答案】D 【思路引导】已知正方体的表面积是294平方厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，可知正方体一个面的面积＝正方体的表面积÷6； 要给这个正方体的上、下面喷漆，即喷漆的面积是正方体2个面的面积，用正方体一个面的面积乘2即可求解。 【规范解答】一个面的面积：294÷6＝49（平方厘米） 上、下面的面积：49×2＝98（平方厘米） 喷漆的面积是98平方厘米。 故答案为：D 【演练2】（21-22五年级下·陕西西安·期末）用一根长为48分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的表面积是64平方分米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由题意可知，因为要焊成的是一个正方体，即每条棱长都相等，则铁丝的总长度等于正方体的棱长和，求出棱长后，算出正方体其中一个面的面积，乘6即可。 【规范解答】48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×6＝96（平方分米） 故答案为：× 【考点剖析】解题的关键，是不要被题目中的“最大”两个字迷惑，因为焊的是正方体，所有棱长都相等，那么最大的，就是把提供的铁丝完全用完的情况，直接转化为提供的铁丝的长度就是焊成正方体棱长和的长度即可。 高频考点讲练07：立体图形的切拼（长方体与正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）如图，李叔叔用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，棱长之和减少了，这两个小正方体原来的棱长总和是（    ）dm。 A．3 B．18 C．36 D．72 【答案】D 【思路引导】用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，少了2个面和8个棱长，即8个棱长的和是24dm，每条棱长是3dm，根据正方体的棱长和＝棱长×12，再乘2即可得出这两个小正方体原来的棱长总和。 【规范解答】24÷8＝3（dm） 3×12×2＝72（dm） 则这两个小正方体原来的棱长总和是72dm。 故答案为：D 【演练1】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】原来大正方体的表面积需要计算小长方体上面、正面、右面的面积，挖掉小长方体后剩下物体的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面的面积，其余部分面积不变，小长方体相对的面完全相同，则表面积不变；据此选择。 【规范解答】由分析可得：在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，不变。 故答案为：C 【演练2】（2020·广东茂名·小升初真题）一个长方体高为36cm，其底面为正方形，边长为6cm，现把它都切割成棱长为6cm的正方体，表面积将（ ）。 A．增加360cm2 B．减少360cm2 C．减少216cm2 D．增加216cm2 【答案】A 【思路引导】根据题意，把长方体都切割成棱长为6cm的正方体，应沿着水平方向横切，可以切割成36÷6＝6（个）正方体，需要切5次。每切割1次增加两个正方形面，切割5次增加了5×2＝10个正方形面，则表面积增加了6×6×10＝360（平方厘米）。 【规范解答】36÷6－1＝5（次） 6×6×（5×2） ＝36×10 ＝360（平方厘米） 把长方体都切割成棱长为6cm的正方体，表面积将增加360平方厘米。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查立体图形的切割。理解“切割的次数比切割成的正方体个数少1”和“每切割1次增加两个正方形面的面积”是解题的关键。 高频考点讲练08：立体图形的切拼（长方体与正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）6个棱长都是20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】13个；5200平方厘米 【思路引导】观察图形可知，从正面看露在外面的正方形有4个，从右面看露在外面的正方形有4个，从上面看露在外面的正方形有5个，所以露在外面的正方形共有4＋4＋5＝13个。根据正方形的面积＝边长×边长，据此求出正方形的面积；最后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可。 【规范解答】4＋4＋5＝13（个） 20×20×13 ＝400×13 ＝5200（平方厘米） 答：露出13个面，露在外面的面积是5200平方厘米。 【演练1】（23-24六年级下·广东惠州·期末）用5个正方体搭成一个立体图形，如图。 （1）分别画出从正面、右面、上面看到的立体图形的形状。 （2）将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有（    ）个，四个面涂上红色的正方体有（    ）个，五面涂上红色的正方体有（    ）个。 【答案】（1）见详解 （2）1；1；3 【思路引导】（1）从不同的方向观察立体图形，从正面可以看到上下两行，第一行三个小正方体，第二行一个小正方体，左对齐；从右面可以看到上下两行，第一行两个小正方体，第二行一个小正方体，右对齐；从上面可以看到上下两行，第一行一个小正方体，第二行三个小正方体，左对齐；据此作图； （2）把这个立体图形表面涂上红色，就是把上下左右前后的面涂上红色，再观察立体图形中每个小正方体几个面是露在外面的，由此即可解答。 【规范解答】（1）由分析可作图： （2）可以给每个正方体标上序号⑤号是④号下方被挡住的正方体。 只有三个面涂上红色的正方体是⑤，四个面涂上红色的正方体有②，五个面涂上红色的正方体有①、③、④。 所以，将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有1个，四个面涂上红色的正方体有1个，五面涂上红色的正方体有3个。 【演练2】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 【答案】（1）18；8；2；（2）42平方厘米 【思路引导】（1）由图可知，图形是由上、下两层组成，各9个；小正方体涂色橙色的面数与露出面有关，所以有两面涂上橙色的小正方体分别在图形的前、后、左、右面中间的2个，一共8个；只有一面涂上橙色的小正方体分别在图形的上、下面中间的位置，只有2个； （2）涂橙色的面积也就图形的表面积，图形是一个长3厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体，根据面积计算公式：长方体的面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算。 【规范解答】（1）9×2＝18（个） 所以，图形是由18个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有8个，只有一面涂上橙色的小正方体有2个。 （2）（3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 答：涂上橙色的面积一共是42平方厘米。 【考点剖析】此题考查了学生对涂色部分表面积的探讨以及长方体的表面积计算，需要学生具备空间想象能力。 高频考点讲练09：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最小的是第( )种摆法，占地面积是( )平方米。 (2)露在外面的面积最大的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )平方米。 【答案】(1) 三 3 (2) 一 17 【思路引导】棱长为1米的正方体每个面的面积为1平方米。 （1）数出每个图形与地面接触的正方体的个数，即可知道它的占地面积； （2）数出每个图形各有多少个面露在外面，露出面的数量×1平方米，即可解答。 【规范解答】（1）第一种与地面接触的正方体是8个，即占地面积是8个正方形的面积，8×1＝8（平方米）； 第二种与地面接触的正方体是4个，即占地面积是4个正方形的面积，4×1＝4（平方米）； 第三种与地面接触的正方体是3个，即占地面积是3个正方形的面积，3×1＝3（平方米）； 第四种与地面接触的正方体是6个，即占地面积是6个正方形的面积，6×1＝6（平方米）； 3＜4＜6＜8 所以，占地面积最小的是第三种摆法，占地面积是3平方米。 （2）第一种面露在外面的小正方形共有：8＋8＋1＝17（个），露在外面的面积：17×1＝17（平方米）； 第二种面露在外面的小正方形共有：4×3＋2×2＝16（个），露在外面的面积：16×1＝16（平方米）； 第三种面露在外面的小正方形共有：2×3＋8＝14（个），露在外面的面积：14×1＝14（平方米）； 第四种面露在外面的小正方形共有：2×5＋6＝16（个），露在外面的面积：16×1＝16（平方米）； 14＜16＝16＜17 所以，露在外面的面积最大的是第一种摆法，这种摆法露在外面的面积是17平方米。 【演练1】（23-24五年级下·四川成都·期末）想象计算与推理。 若干个棱长1的正方体，一个一个如图拼起来。 探索：1个正方体，表面积是( )；2个正方体，表面积是( )；3个正方体，表面积是( )；4个正方体，表面积是( )。 推想：当正方体个数是a时，所拼成的图形表面积是( )。 【答案】 6 10 14 18 4a＋2 【思路引导】根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；一个正方面积：1×1＝1cm2。 正方体个数是1个时：有6个面，表面积：1×6＝6cm2；可以写成：4×1＋2； 正方体个数是2个时：有10个面，表面积：1×10＝10cm2；可以写成：4×2＋2； 正方体个数是3个时：有14个面，表面积：1×14＝14cm2；可以写成：4×3＋2； 正方体个数是4个时：有18个面，表面积：1×18＝18cm2；可以写成：4×4＋2； …… 正方体个数是a个时：表面积：（4a＋2）cm2，据此解答。 【规范解答】 根据分析可知，1个正方体，表面积6；2个正方体，表面积10；3个正方体，表面积是14；4个正方体，表面积是18。 当正方体个数是a时，所拼成的图形表面积是（4a＋2）。 【演练2】（21-22五年级下·河南驻马店·期中）计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】134cm2 【思路引导】认真观察此图形，可以将图形理解为上边一个小长方体，下边一个大长方体。把上边小长方体的上面下移到大长方体的上面，由此我们就可以分析出组合图形的表面积为一个长宽高分别为5cm、（4＋1）cm、3cm大长方体的表面积与一个长宽高分别为5cm、1cm、2cm的小长方体前后、左右四个面的面积之和。 【规范解答】4＋1＝5（cm） （5×5＋5×3＋5×3）×2＋5×2×2＋2×1×2 ＝（25＋15＋15）×2＋10×2＋2×2 ＝55×2＋20＋4 ＝110＋20＋4 ＝134（cm2） 高频考点讲练10：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）学校新建了一个长25米、宽12米、深1.6米的游泳池。 （1）游泳池的四壁和底部都贴上了瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）游泳池中的水深1.4米，池中的水有多少立方米？ 【答案】（1）418.4平方米 （2）420立方米 【思路引导】（1）由于是底部和四壁贴上了瓷砖，那么可根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出贴瓷砖的面积； （2）长方体体积＝底面积×高，据此求出池中水的体积。 【规范解答】（1）25×12＋25×1.6×2＋12×1.6×2 ＝300＋80＋38.4 ＝418.4（平方米） 答：贴瓷砖的面积是418.4平方米。 （2）25×12×1.4＝420（立方米） 答：池中的水有420立方米。 【演练1】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 从前面看：从上面看： 【答案】 32 12 【思路引导】从前面看到的是长方形的长和高，从上面看到的是长方形的长和宽，由此可知，长方形的长是3cm，宽是2cm，高是2cm，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】长是3cm，宽是2cm，高是2cm。 （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝（12＋4）×2 ＝16×2 ＝32（cm2） 3×2×2 ＝6×2 ＝12（cm3） 这个长方体的表面积是32cm2，体积是12cm3。 【演练2】（21-22五年级下·广东湛江·期末）有一个长方体，表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【思路引导】根据题意，要求长方体的体积，必须要知道长方体的长、宽和高，用表面积减去上下两个底面面积，可求出剩下的四个侧面面积：分别为长乘高的两个面和宽乘高的两个面，则侧面积表示为：S＝2ah＋2bh，底面周长可以表示为：（a＋b）×2，将侧面积公式变形为：S＝2h（a＋b），用四个面的面积除以底面周长可以求出长方体的高，再根据体积公式：V＝Sh求出长方体体积即可。 【规范解答】四个侧面面积为： 184－20×2 ＝184－40 ＝144（平方厘米） 长方体高为：144÷18＝8（厘米） 长方体体积为：20×8＝160（立方厘米） 答：该长方体体积为160立方厘米。 【考点剖析】本题考查了长方体表面积和体积的计算，难度较大，主要是通过分析能求出长方体的高是解题的关键。 高频考点讲练11：长方体的体积计算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东清远·期中）用24厘米长的铁丝做成一个正方体框架，然后给这个正方体框架贴上一层卡纸，至少需要( )平方厘米卡纸，它的体积是( )立方厘米。 【答案】 24 8 【思路引导】先根据正方体的棱长＝棱长总和÷12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6代入数据求出需要的卡纸的面积，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长代入数据求出体积即可。 【规范解答】24÷12＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 用24厘米长的铁丝做成一个正方体框架，然后给这个正方体框架贴上一层卡纸，至少需要24平方厘米卡纸，它的体积是8立方厘米。 【演练1】（23-24五年级下·广东深圳·期末）从两个棱长为5厘米的正方体木块上，分别锯掉长5厘米、宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲、乙两种形状的木块，如下图所示。下面关于甲、乙两个木块，描述正确的是（    ）。 A．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 B．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 C．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 D．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 【答案】B 【思路引导】两个正方体木块的体积相等，两个小长方体木块的体积也相等，甲、乙两个木块的体积都是正方体木块的体积减去小长方体体积，也就是甲、乙两个木块的体积相等。根据图形中的切割特点，甲切割后的表面积比切割前减少了2个边长为1厘米的小正方形的面积。乙切割后的表面积比切割前增加了长为5厘米，宽为1厘米的两个长方形的面的面积，减少了2个边长为1厘米的小正方形的面积。那么甲的表面积应小于乙的表面积。据此解答。 【规范解答】由分析得： 甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积。 故答案为：B 【演练2】（19-20五年级下·广东佛山·期末）一个长是，宽是的长方体木块，体积是。 （1）这个长方体的高是（    ）。 （2）如果从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，正方体的体积是原长方体体积的几分之几？ （3）这个长方体木块最多能截取（    ）个像上面（2）题中一样的正方体，截完后原来长方体剩余木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）3；（2）；（3）2；122平方厘米 【思路引导】（1）长方体的高＝体积÷底面积 （2）因为正方体的棱长都是相等的，所以如果这个长方体木块中截取一个最大的正方体，则正方体的棱长＝长方体最短的棱长，用求出的正方体的体积÷长方体的体积即可。 （3）用8÷3＝2（个）……2（厘米），可以算出一行可以剪2个，同理算出可以剪1行和1层，再把结果相乘即可求得剪出的个数； （4）根据题意可知，剩下图形的面积只是比原来图形少了2个长为6厘米、宽为3厘米的长方形面积，据此解答即可。 【规范解答】（1）120÷（8×5） ＝120÷40 ＝3（cm） （2）3×3×3＝27（立方厘米） 27÷120＝＝ 答：正方体的体积是原长方体体积的。 （3）8÷3＝2（个）……2（厘米） 5÷3＝1（个）……2（厘米） 3÷3＝（1个） 1×1×2＝2（个） （8×5＋5×3＋8×3）×2－6×3×2 ＝（40＋15＋24）×2－36 ＝158－36 ＝122（平方厘米） 答：最多能截取2个，截完后原来长方体剩余木块的表面积是122平方厘米。 【考点剖析】1、长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；2、图形剪切前后注意表面积的变化，弄清楚哪些面是没有变化的，哪些面是增加多少或是减少多少。 高频考点讲练12：正方体的体积计算 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（    ）厘米。 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路引导】根据题意，把一个实心正方体铁块熔化后做成一个实心长方体，那么铁块的体积不变；根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块儿的体积； 已知实心长方体的长和宽，根据长方体的高h＝V÷a÷b，代入数据计算，即可求出长方体的高。 【规范解答】铁块的体积： 10×10×10＝1000（立方厘米） 长方体的高： 1000÷25÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 这个实心长方体的高是4厘米。 故答案为：A 【演练1】（23-24五年级下·陕西宝鸡·期末）修路队用沙子铺路。铺的路宽2米，厚3厘米，把216立方米的沙子均匀铺在路上，能铺多少米？ 【答案】3600米 【思路引导】根据题意，可把铺的路看做长方体，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用体积除以宽再除以厚度，代入数据计算，即可解答。注意单位要统一。 【规范解答】3厘米＝0.03米 216÷2÷0.03 ＝108÷0.03 ＝3600（米） 答：能铺3600米。 【演练2】（2022·广东揭阳·小升初真题）一个密封长方体容器长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米（如图）。现在把这个容器的左侧面放在桌面上，这时水深( )厘米。 【答案】32 【思路引导】先利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出水的体积，再根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出水的深度，据此解答。 【规范解答】4分米＝40厘米 1分米＝10厘米 2分米＝20厘米 40×10×16 ＝400×16 ＝6400（立方厘米） 6400÷（10×20） ＝6400÷200 ＝32（厘米） 【考点剖析】理解水的体积不变并熟练掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 高频考点讲练13：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图在墙角摆放小正方体，露在外面的面有 个，小正方体的棱长是3cm，露在外面的面积是 cm2，至少再加上 个这样的小正方体，就能摆成一个更大的正方体。 【答案】 11 99 22 【思路引导】通过数数可知，露在外面的面有11个，每个面都是正方形，根据“正方形面积＝边长×边长”求出1个面的面积，再乘11求出露在外面的面的面积和。能摆成的更大的正方体，每条棱至少有3个小正方体，一共有（3×3×3）个小正方体。将小正方体的数量减去现有的，求出至少再加上几个这样的小正方体。 【规范解答】3×3×11 ＝9×11 ＝99（cm2） 3×3×3－5 ＝27－5 ＝22（个） 所以，露在外面的面有11个，小正方体的棱长是3cm，露在外面的面积是99cm2，至少再加上22个这样的小正方体，就能摆成一个更大的正方体。 【演练1】（19-20五年级下·陕西西安·期中）下图都是用棱长1cm的小正方体搭成的，它们的体积依次是( )，( )，( )。 【答案】 4 10 20 【思路引导】小正方体的棱长是1cm，所以每个小正方体的体积是13＝1cm3。分别数出这三个图形中小正方体的个数，即可求出它们的体积。 【规范解答】棱长是1cm的小正方体的体积是：13＝1cm3 第一个图形中小正方体的个数是：3＋1＝4，所以体积是4cm3 第二个图形中小正方体的个数是：6＋3＋1＝10，所以体积是10cm3 第三个图形中小正方体的个数是：10＋6＋3＋1＝20，所以体积是20cm3 【考点剖析】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 【演练2】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）如图所示的长方体，如果高增加2cm，则变成一个正方体，表面积就比原来增加了32cm2，原来这个长方体的体积是（    ）cm3。 A．96 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【思路引导】分析题目，长方体如果高增加2cm，则变成一个正方体，说明长方体的长和宽是相等的，表面积增加的32cm2是4个长等于长方体的长、宽等于2cm的长方形的面积之和，据此用32除以4求出一个面的面积，再除以2即可求出长方体的长，再用长方体的长减去2即可得到长方体的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出体积即可。 【规范解答】32÷4＝8（cm2） 8÷2＝4（cm） 4－2＝2（cm） 4×4×2 ＝16×2 ＝32（cm3） 如图所示的长方体，如果高增加2cm，则变成一个正方体，表面积就比原来增加了32cm2，原来这个长方体的体积是32cm3。 故答案为：C 高频考点讲练14：立体图形的拼切(长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如下图），水面上升了( )dm。 【答案】0.6/ 【思路引导】石块的体积就是水面上升的体积，石块的体积÷容器底面积＝水面上升的高度，据此列式计算。 【规范解答】2.4÷（2×2） ＝2.4÷4 ＝0.6（dm） 水面上升了0.6dm。 【演练1】（23-24五年级下·陕西西安·期末）一个正方体容器，从里面量，棱长是50厘米，其中水深30厘米。另有一个长、宽、高分别为35厘米、20厘米、20厘米的长方体铁块。 ①把铁块横着放入水中，被完全淹没，此时水位将升高多少分米？ ②把铁块竖着放入水中，此时铁块有一部分露在水外，这时的水深是多少？ 【答案】①0.56分米 ②厘米 【思路引导】①铁块的体积就是水位上升的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＝水位上升的高度，根据1分米＝10厘米，统一单位； ②设这时的水深是x厘米，则水面上升了（x－30）厘米，根据容器底面积×水面上升的高度＝竖放时铁块底面积×水深，列出方程解答即可。 【规范解答】①35×20×20÷（50×50） ＝14000÷2500 ＝5.6（厘米） 5.6厘米＝0.56分米 答：此时水位将升高0.56分米。 ②解：设这时的水深是x厘米。 50×50×（x－30）＝20×20×x 2500×（x－30）＝400x 2500x－75000＝400x 2500x－75000＋75000－400x ＝400x＋75000－400x 2100x＝75000 2100x÷2100＝75000÷2100 x＝ x＝ 答：这时的水深是厘米。 【演练2】（24-25五年级下·广东深圳·期中）科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如下图。则大铁球的体积是( )cm3，小铁球的体积是( )cm3。 【答案】 8 1 【思路引导】从图中可知，放入1个大铁球和1个小铁球，溢出水的体积是9cm3；放入1个大铁球和3个小铁球，溢出水的体积是11cm3；也就是多放了（3－1）个小铁球，溢出水的体积多了（11－9）cm3，据此用除法求出1个小铁球的体积；再用9cm3减去1个小铁球的体积，求出1个大铁球的体积。 【规范解答】小铁球的体积： （11－9）÷（3－1） ＝2÷2 ＝1（cm3） 大铁球的体积： 9－1＝8（cm3） 则大铁球的体积是（8）cm3，小铁球的体积是（1）cm3。 1．（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种长方体盒子的长8cm，宽5cm，高4cm（如图）。将4个这样的盒子包成一包，下面4种包装，（    ）最节省包装纸。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先分别计算出4种包装中的大长方体的长、宽、高；再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”分别计算出4种包装所用包装纸的面积；最后比较4种包装纸的面积的大小。 【规范解答】A．高：4×4＝16（厘米） （8×16＋5×16＋5×8）×2 ＝（128＋80＋40）×2 ＝（208＋40）×2 ＝248×2 ＝496（平方厘米） B．高：4×2＝8（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） （8×8＋10×8＋10×8）×2 ＝（64＋80＋80）×2 ＝（144＋80）×2 ＝224×2 ＝448（平方厘米） C．高：4×2＝8（厘米） 长：8×2＝16（厘米） （16×8＋8×5＋16×5）×2 ＝（128＋40＋80）×2 ＝（168＋80）×2 ＝248×2 ＝496（平方厘米） D．宽：5×4＝20厘米 （8×20＋8×4＋20×4）×2 ＝（160＋32＋80）×2 ＝（192＋80）×2 ＝272×2 ＝544（平方厘米） 448＜496＜544 包装最省包装纸。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图，上、下两个面盖住的点数的和是（    ）。 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【思路引导】根据正方体展开图知识，两点与六点相对，三点与四点相对，所以上、下两个面盖住的点数是1点和5点，据此结合题意分析解答即可。 【规范解答】由分析可得：上、下两个面盖住的点数是1点和5点。 1＋5＝6 所以上、下两个面盖住的点数的和是6。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·安徽淮南·期末）将8.4L水倒入一个长5dm、宽4dm的空的长方体容器里，容器里的水面高（    ）dm。 A．0.42 B．1.68 C．4.2 【答案】A 【思路引导】先根据进率“1L＝1dm3”把8.4L化为8.4dm3，再根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算求出容器里水面的高度。 【规范解答】8.4L＝8.4dm3 8.4÷（5×4）     ＝8.4÷20 ＝0.42（dm） 所以容器里的水面高0.42dm。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·广东深圳·期中）正方体的顶点处被挖去一个小长方体（如图），它的体积将（    ），表面积（    ）。 A．变大；不变 B．不变；变小 C．变小；不变 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】从图中可知，正方体的顶点处被挖去一个小长方体，露出了3个面，这3个面可以向外平移，正好补齐缺口，补成一个完整的正方体，所以图形的表面积仍等于正方体的表面积。 用正方体的体积减去小长方体的体积，即是图形的体积，据此可知图形的体积变小。 【规范解答】图形的表面积＝正方体的表面积，表面积不变； 图形的体积＝正方体的体积－小长方体的体积，所以图形的体积＜正方体的体积； 正方体的顶点处被挖去一个小长方体（如图），它的体积将（变小），表面积（不变）。 故答案为：C 5．（18-19五年级下·天津·期中）如图1所示（单位：厘米），从这个长方体木块上截去尽可能多的棱长为3厘米的小正方体木块，能截去( )个这样的小正方体，剩下的木块如图2所示，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 120 1504 【思路引导】（1）要求取得尽可能多，就看沿着长方体木块长、宽、高分别切取多少个，即看30cm、14cm、10cm分别包含了多少个3cm； （2）结合剩下的L形木块的表面积和切取的长方体的高是9cm、长是12cm、宽还是30cm，所以比原来减少的表面积仅仅是两个9×12的长方形的面的面积；然后用原来长方体的表面积减去这两个9×12的长方形的面的面积即是剩下的L形木块的表面积。 【规范解答】（1）（30÷3）×（14÷3）×（10÷3） ≈10×4×3 ＝120（块） （2）14÷3≈4（个），4×3＝12（厘米）； 10÷3≈3（个），3×3＝9（厘米）； （30×14＋30×10＋14×10）×2－9×12×2 ＝（420＋300＋140）×2－216 ＝1720－216 ＝1504（平方厘米） 【考点剖析】（1）本题因为长方体木块的长、宽、高不全是3的倍数，所以求被切掉的小正方体有多少块，不能用长方体的体积除以一个小正方体的体积； （2）不要单独的求剩下的L形木块的表面积，那样计算比较麻烦，要认真分析增加的和减少的面的面积之间的关系。 6．（17-18五年级下·四川成都·期末）一个正方体的表面积为 24 平方厘米，那么这个正方体的体积是( )立方厘米． 【答案】8 7．（22-23六年级下·辽宁·课前预习）长方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点。( )的( )个面完全相同，( )的4条棱长相等。正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，( )的面完全相同，( )的棱长相等。 【答案】 6 12 8 相对 2 互相平行 6 12 8 所有 所有 【规范解答】依据长方体和正方体的特征：.长方体有6个面，8个顶点，12条棱。长方体每个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形，长方体最多有6个面是长方形，长方形的12条棱可以分成4组，相对的棱的长度相等；相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的 长、宽、高。正方体可以看成是 长、宽、高都相等的长方体。正方体是由正方形围成的立体图形，长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，每条棱长度相等；相邻的两条棱互相垂直。由此可知：长方体有6个面，12条棱，8个顶点。相对的2个面完全相同，互相平行的4条棱长相等。正方体有6个面，12条棱，8个顶点，所有的面完全相同，所有的棱长相等。 8．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。 (2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。 【答案】(1) 一 8 (2) 三 12 【思路引导】（1）占地面积即为底面积，边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法的底面为8个正方形 ，那么占地面积为8平方米；第二种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第三种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第四种摆法的底面为6个正方形 ，那么占地面积为6平方米；据此解答。 （2）因为边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法把它整体看成一个大长方体，上面有8个面露在外面，前面有8个面露在外面，右面有1个面露在外面，即2×8＋1＝17（平方米）；第二种摆法：把它整体看成一个大长方体，上面有4个正方形露在外面，前面有8个正方形露在外面，右面有2个正方形露在外面，即4＋8＋2＝14（平方米）；第三种摆法：把它整体看成一个大正方体，上面、前面、右面各有4个面露在外面，即3×4＝12（平方米）；第四种摆法：这个图形上面有6个正方形露在外面，前面有5个正方形露在外面，右面有5个正方形露在外面，即5×2＋6＝16（平方米）；再比较大小即可求解。 【规范解答】（1）8×1＝8（平方米） 4×1＝4（平方米） 4×1＝4（平方米） 6×1＝6（平方米） 因为8＞6＞4，所以占地面积最大的是第一种摆法，占地面积是8。 （2）2×8＋1 ＝16＋1 ＝17（平方米） 4＋8＋2 ＝12＋2 ＝14（平方米） 3×4＝12（平方米） 5×2＋6 ＝10＋6 ＝16（平方米） 因为12＜14＜16＜17，所以露在外面的面积最小的是第三种摆法，这种摆法露在外面的面积是12。 【考点剖析】本题考查正方体露在外面的面的面积计算，学生需熟练掌握。 9．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】已知正方体的棱长之和是12厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出它的表面积。 【规范解答】12÷12＝1（厘米） 1×1×6＝6（平方厘米） 若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）小淘要将一块棱长为6cm正方体橡皮泥，捏成一个长为9cm，宽为3cm的长方体，则高为8cm。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高。因为橡皮泥的体积不变，所以先求出正方体橡皮泥的体积，再用这个体积除以长方体的底面积（长×宽）就能得到长方体的高，最后判断题目中给出的高是否正确。 【规范解答】6×6×6÷（9×3） ＝36×6÷27 ＝216÷27 ＝8（cm） 所以小淘要将一块棱长为6cm正方体橡皮泥，捏成一个长为9cm，宽为3cm的长方体，则高为8cm。 原题说法正确。 故答案为：√ 11．（23-24五年级下·广东揭阳·期中）一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】250mL换算成L为单位是0.25L，一瓶可乐2L倒在容积为250mL的杯子里，要求可以倒满多少杯，也就是求2里面有多少个0.25，用（2÷0.25）计算，据此判断。 【规范解答】250mL＝0.25L 2÷0.25＝8 2里面有8个0.25，因此一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 12．（24-25五年级下·福建泉州·期中）计算下面立体图形的表面积和体积。（从棱长5cm的正方体中挖出一个棱长为3cm的正方体） 【答案】表面积：150cm2；体积：98cm3 【思路引导】从图中可知，大正方体的右上角挖去一个小正方体，露出3个面，这3个面可以向外平移，正好补齐缺口，所以这个立体图形的表面积＝大正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算，求出立体图形的表面积。 立体图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出立体图形的体积。 【规范解答】表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2）     体积： 5×5×5－3×3×3 ＝125－27 ＝98（cm3） 立体图形的表面积是150cm2，体积是98cm3。 13．（22-23五年级下·广东揭阳·期中）下图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。（单位：分米）    【答案】142平方分米 【思路引导】（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长方体的表面积，由此列式解题。 【规范解答】长方体的长： （20－2×3）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（分米） （5×3＋5×7＋7×3）×2 ＝（15＋35＋21）×2 ＝71×2 ＝142（平方分米） 所以，这个长方体的表面积是142平方分米。 14．（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图是从长方体纸盒上撕下的两个相邻的面示意图。（由于不小心，有部分撕坏了） （1）请根据如图，画出长方体的另外四个面。 （2）计算出完整的长方体纸盒的表面积。 【答案】（1）见详解 （2）1900平方厘米 【思路引导】根据题目给出的两个相邻面（前面和右面）的信息： （1）前面：长20厘米、高30厘米→确定长方体的长为20厘米，高为30厘米 右面：宽7厘米、高30厘米→确定长方体的宽为7厘米 由此得出长方体三组面的大小： 前后两面：20厘米×30厘米 左右两面：7厘米×30厘米 上下两面：20厘米×7厘米 （2）已知长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积公式：S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数值代入公式计算出结果即可。 【规范解答】（1）长方体后面： 长方体左面； 长方体上面和下面： （2）S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ＝（20×7＋20×30＋7×30）×2 ＝（140＋600＋210）×2 ＝950×2 ＝1900（平方厘米） 答：长方体纸盒的表面积为1900平方厘米。 15．（2024五年级下·安徽淮南·专题练习）某工厂要加工一批长方体空调机罩（没有底面）。已知每台空调长50厘米、宽40厘米、高160厘米，做一个这样的空调机罩至少要用多少平方米的布？ 【答案】3.08平方米 【思路引导】求做一个这样的空调机罩至少要用多少平方米的布，也就是求这个长方体空调机罩5个面的面积之和，因为没有底面，因此这5个面的面积之和＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入相应数值计算，据此解答。 【规范解答】50厘米＝0.5米，40厘米＝0.4米，160厘米＝1.6米 （0.5×1.6＋0.4×1.6）×2＋0.5×0.4 ＝（0.8＋0.64）×2＋0.2 ＝1.44×2＋0.2 ＝2.88＋0.2 ＝3.08（平方米） 答：做一个这样的空调机罩至少要用3.08平方米的布。 16．（24-25五年级下·广东惠州·期末）王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）260厘米； （2）2250平方厘米； （3）900立方厘米 【思路引导】（1）求彩灯条长度即是求长方体的棱长总和，根据公式：长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出至少需要买多少厘米的彩灯条； （2）求制作这个鱼缸所需玻璃面积，由于鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即一个底面和四个侧面的面积。根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出至少需要多少平方厘米的玻璃。 （3）求假山石的体积，根据放入假山石后水面上升的体积就是假山石的体积，利用长方体体积＝长×宽×高来计算。 【规范解答】（1）（30＋15＋20）×4 ＝65×4 ＝260（厘米） 答：至少需要买260厘米的彩灯条。 （2）30×15＋30×20×2＋15×20×2 ＝450＋1200＋600 ＝2250（平方厘米） 答：王爷爷制作这样的鱼缸至少需要2250平方厘米的玻璃。 （3）30×15×（17.5－15.5） ＝30×15×2 ＝900（立方厘米） 答：这块假山石的体积是900立方厘米。 17．（24-25五年级下·四川成都·期中）玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 【答案】芒果大；100立方厘米 【思路引导】根据图2可知，水面上升部分的体积就是苹果的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出苹果的体积；根据图3，由图2到图3，水面上升部分的体积等于芒果的体积，据此求出芒果的体积，再比较苹果和芒果的体积，再用体积大的减去体积小，进而解答。 【规范解答】苹果体积： 20×10×（10.9－10） ＝20×10×0.9 ＝200×0.9 ＝180（立方厘米） 芒果体积： 20×10×（12.3－10.9） ＝20×10×1.4 ＝200×1.4 ＝280（立方厘米） 280＞180，芒果的体积大。 280－180＝100（立方厘米） 答：芒果的体积大，大了100立方厘米。 18．（20-21五年级下·辽宁·期末）一种桃汁，大瓶装（1200mL）售价8元，小瓶装（400mL）售价3元。两家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案： 购买12升这种桃汁，要想省钱到哪个店购买？为什么？ 【答案】甲店，见详解 【思路引导】本题可根据要购买的桃汁的瓶数及每个商店的优惠方案分别计算在各个商店购买桃汁需要的钱数，然后选择花钱最少的一家去购买。 【规范解答】8÷1200≈0.0067元/ml，3÷400＝0.0075元/ml， 所以购买大盒较合算。 12L＝12000mL， 甲店：12000÷1200＝10盒，即先购买7大盒，可获送7小盒， 又知1200÷400＝3（小盒）， 故6盒相当于2大盒，还多1小盒， 这时是9大盒，1小盒，再买2小盒即可， 需花8×7＋3×2＝62元； 乙店购买需花：8×10×90%＝72（元）； 丙店需花：8×10×85%＝68（元）； 62元＜68元＜72元， 所以去甲店最省钱。 【考点剖析】根据购买的数量及三家商店不同的优惠方案分别进行计算是完成本题的关键。 19．（19-20五年级下·河南新乡·期末）一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     【答案】40升 【思路引导】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 【规范解答】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 【考点剖析】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．（20-21五年级下·陕西西安·期中）如图是一个棱长4分米的正方体，在上面正中向下挖去一个棱长是2分米的正方体，接着在这个正方体的下底面正中再向下挖去一个棱长1分米的正方体。最后得到的立体图形的表面积是多少平方分米？ 【答案】116平方分米 【思路引导】求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4分米的正方体的表面积与棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米的正方体4个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长2×6”求出棱长为4分米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米的正方体4个侧面的面积，然后相加即可。 【规范解答】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方分米） 答：最后得到的立体图形的表面积是116平方分米。 【考点剖析】解答此题的关键是明确：最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4分米的正方体的表面积与棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米正方体的4个侧面的面积之和。 $$五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 北师大版 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共62题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 解题技巧点拨（实际问题） 技巧点拨1：包装问题 明确是否需要覆盖所有面（如无盖纸盒需减去一个面）。 结合表面积公式，计算所需材料面积。 技巧点拨2：切割与拼接问题 切割一次增加2个面，拼接一次减少2个面。 结合表面积变化，计算新增或减少的面积。 技巧点拨3：排水法求不规则物体体积 记录物体放入前后水位变化，计算上升部分水的体积。 公式：V=S×Δh 技巧点拨4：最大最小问题 通过画图、分步计算，明确题目中的限制条件。 结合表面积或体积公式，求解最优解。 高频考点讲练01：长方体有关棱长的的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图所示，捆扎一个包装盒，绳子接头处需要20厘米，共需要绳子 厘米。 【演练1】（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图是笑笑给妈妈准备的母亲节礼物，若接头处的彩带长18厘米，则捆绑该礼盒至少用（    ）分米的彩带。 A．15.2 B．17 C．33.2 D．25 【演练2】（（24-25五年级下·陕西渭南·期中）王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（    ）米的角铁。 A．4 B．6 C．8 D．10 高频考点讲练02：正方体有关棱长的的应用 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）即将毕业了，圆圆想给自己的好朋友们做一个正方体的纪念品，需要在棱长为3厘米的正方体纪念品的框架上粘上彩色手工绳，圆圆有2.5米长的手工绳，最多可以粘（    ）个正方体纪念品。（接头处长度忽略不计） A．6 B．7 C．8 D．9 【演练1】（22-23五年级下·广东揭阳·期末）有三种长度为15cm、10cm、8cm的小棒各若干根，下面（    ）种搭法无法搭出长方体或正方体。 A．三种各4根 B．12根15cm C．8根10cm和4根8cm D．10cm和8cm各6根 【演练2】（19-20五年级下·浙江金华·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长为6cm的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成一个长6cm、宽4cm的长方体框架，那么它的高应是多少？ 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·山西吕梁·期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【演练1】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）如图。（单位：） （1）图①和图②分别是什么图形？ （2）下面分别是图①和图②的展开图，请根据原图涂上颜色并标出每个面的长和宽。 （3）图①的棱长总和是多少？图②的表面积是多少？ 【演练2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）山西大院文化是中国民居建筑的典范，向有“北在山西，南在安徽”之说。其中乔家大院是晋商文化的典型代表。大红灯笼高高挂，晋商大院年味长。淘气和笑笑打算自己制作红灯笼。淘气从4根长为3cm和10根长为6厘米的小棒中，选取2根( )cm和1根( )cm的小棒可以组成一个三角形；笑笑打算选取其中12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架每个面都糊红纸，至少需要红纸( )cm2。 高频考点讲练04：长方体表面积的计算的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）某自然保护区内有一间护林房，长6米，宽5米，高4米，门窗面积是7.5平方米，将房间的墙壁和房顶都刷上墙漆，如果每平方米刷漆需要10元，刷漆费用是多少元？ 【演练1】（24-25五年级下·陕西渭南·期中）张老师为了让同学们通过手工活动，发挥想象力，创造出独一无二的作品，举办了以“创意无限，乐趣无穷”的手工活动。如图是明明用硬纸板制作的一个长方体抽纸盒，上面有一个面积是12平方厘米的抽口，制作这个抽纸盒至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头、耗损忽略不计） 【演练2】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积是24平方米，如果每平方米用涂料2千克，粉刷这间教室共需涂料多少千克？ 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）用5个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是440平方厘米，原来一个正方体的表面积是( )平方厘米。 【演练1】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【演练2】（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了 平方分米。 高频考点讲练06：正方体表面积的计算的实际应用 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。( )（判断对错） 【演练1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）一个正方体的表面积是294平方厘米，要给这个正方体的上、下面喷漆，喷漆的面积是（    ）平方厘米。 A．147 B．49 C．196 D．98 【演练2】（21-22五年级下·陕西西安·期末）用一根长为48分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的表面积是64平方分米。( )（判断对错） 高频考点讲练07：立体图形的切拼（长方体与正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）如图，李叔叔用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，棱长之和减少了，这两个小正方体原来的棱长总和是（    ）dm。 A．3 B．18 C．36 D．72 【演练1】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 【演练2】（2020·广东茂名·小升初真题）一个长方体高为36cm，其底面为正方形，边长为6cm，现把它都切割成棱长为6cm的正方体，表面积将（ ）。 A．增加360cm2 B．减少360cm2 C．减少216cm2 D．增加216cm2 高频考点讲练08：立体图形的切拼（长方体与正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁·课后作业）6个棱长都是20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【演练1】（23-24六年级下·广东惠州·期末）用5个正方体搭成一个立体图形，如图。 （1）分别画出从正面、右面、上面看到的立体图形的形状。 （2）将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有（    ）个，四个面涂上红色的正方体有（    ）个，五面涂上红色的正方体有（    ）个。 【演练2】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 高频考点讲练09：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最小的是第( )种摆法，占地面积是( )平方米。 (2)露在外面的面积最大的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )平方米。 【演练1】（23-24五年级下·四川成都·期末）想象计算与推理。 若干个棱长1的正方体，一个一个如图拼起来。 探索：1个正方体，表面积是( )；2个正方体，表面积是( )；3个正方体，表面积是( )；4个正方体，表面积是( )。 推想：当正方体个数是a时，所拼成的图形表面积是( )。 【演练2】（21-22五年级下·河南驻马店·期中）计算下面图形的表面积。（单位：cm） 高频考点讲练10：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）学校新建了一个长25米、宽12米、深1.6米的游泳池。 （1）游泳池的四壁和底部都贴上了瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）游泳池中的水深1.4米，池中的水有多少立方米？ 【演练1】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 从前面看：从上面看： 【演练2】（21-22五年级下·广东湛江·期末）有一个长方体，表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 高频考点讲练11：长方体的体积计算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东清远·期中）用24厘米长的铁丝做成一个正方体框架，然后给这个正方体框架贴上一层卡纸，至少需要( )平方厘米卡纸，它的体积是( )立方厘米。 【演练1】（23-24五年级下·广东深圳·期末）从两个棱长为5厘米的正方体木块上，分别锯掉长5厘米、宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲、乙两种形状的木块，如下图所示。下面关于甲、乙两个木块，描述正确的是（    ）。 A．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 B．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 C．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 D．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 【演练2】（19-20五年级下·广东佛山·期末）一个长是，宽是的长方体木块，体积是。 （1）这个长方体的高是（    ）。 （2）如果从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，正方体的体积是原长方体体积的几分之几？ （3）这个长方体木块最多能截取（    ）个像上面（2）题中一样的正方体，截完后原来长方体剩余木块的表面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练12：正方体的体积计算 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（    ）厘米。 A．4 B．6 C．7 D．8 【演练1】（23-24五年级下·陕西宝鸡·期末）修路队用沙子铺路。铺的路宽2米，厚3厘米，把216立方米的沙子均匀铺在路上，能铺多少米？ 【演练2】（2022·广东揭阳·小升初真题）一个密封长方体容器长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米（如图）。现在把这个容器的左侧面放在桌面上，这时水深( )厘米。 高频考点讲练13：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图在墙角摆放小正方体，露在外面的面有 个，小正方体的棱长是3cm，露在外面的面积是 cm2，至少再加上 个这样的小正方体，就能摆成一个更大的正方体。 【演练1】（19-20五年级下·陕西西安·期中）下图都是用棱长1cm的小正方体搭成的，它们的体积依次是( )，( )，( )。 【演练2】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）如图所示的长方体，如果高增加2cm，则变成一个正方体，表面积就比原来增加了32cm2，原来这个长方体的体积是（    ）cm3。 A．96 B．64 C．32 D．16 高频考点讲练14：立体图形的拼切(长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如下图），水面上升了( )dm。 【演练1】（23-24五年级下·陕西西安·期末）一个正方体容器，从里面量，棱长是50厘米，其中水深30厘米。另有一个长、宽、高分别为35厘米、20厘米、20厘米的长方体铁块。 ①把铁块横着放入水中，被完全淹没，此时水位将升高多少分米？ ②把铁块竖着放入水中，此时铁块有一部分露在水外，这时的水深是多少？ 【演练2】（24-25五年级下·广东深圳·期中）科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如下图。则大铁球的体积是( )cm3，小铁球的体积是( )cm3。 1．（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种长方体盒子的长8cm，宽5cm，高4cm（如图）。将4个这样的盒子包成一包，下面4种包装，（    ）最节省包装纸。 A． B． C． D． 2．（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图，上、下两个面盖住的点数的和是（    ）。 A．8 B．7 C．6 D．5 3．（23-24五年级下·安徽淮南·期末）将8.4L水倒入一个长5dm、宽4dm的空的长方体容器里，容器里的水面高（    ）dm。 A．0.42 B．1.68 C．4.2 4．（24-25五年级下·广东深圳·期中）正方体的顶点处被挖去一个小长方体（如图），它的体积将（    ），表面积（    ）。 A．变大；不变 B．不变；变小 C．变小；不变 D．无法判断 5．（18-19五年级下·天津·期中）如图1所示（单位：厘米），从这个长方体木块上截去尽可能多的棱长为3厘米的小正方体木块，能截去( )个这样的小正方体，剩下的木块如图2所示，它的表面积是( )平方厘米。 6．（17-18五年级下·四川成都·期末）一个正方体的表面积为 24 平方厘米，那么这个正方体的体积是( )立方厘米． 7．（22-23六年级下·辽宁·课前预习）长方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点。( )的( )个面完全相同，( )的4条棱长相等。正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，( )的面完全相同，( )的棱长相等。 8．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。 (2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。 9．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( )（判断对错） 10．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）小淘要将一块棱长为6cm正方体橡皮泥，捏成一个长为9cm，宽为3cm的长方体，则高为8cm。( )（判断对错） 11．（23-24五年级下·广东揭阳·期中）一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·福建泉州·期中）计算下面立体图形的表面积和体积。（从棱长5cm的正方体中挖出一个棱长为3cm的正方体） 13．（22-23五年级下·广东揭阳·期中）下图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。（单位：分米）    14．（23-24五年级下·福建泉州·期末）如图是从长方体纸盒上撕下的两个相邻的面示意图。（由于不小心，有部分撕坏了） （1）请根据如图，画出长方体的另外四个面。 （2）计算出完整的长方体纸盒的表面积。 15．（2024五年级下·安徽淮南·专题练习）某工厂要加工一批长方体空调机罩（没有底面）。已知每台空调长50厘米、宽40厘米、高160厘米，做一个这样的空调机罩至少要用多少平方米的布？ 16．（24-25五年级下·广东惠州·期末）王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 17．（24-25五年级下·四川成都·期中）玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 18．（20-21五年级下·辽宁·期末）一种桃汁，大瓶装（1200mL）售价8元，小瓶装（400mL）售价3元。两家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案： 购买12升这种桃汁，要想省钱到哪个店购买？为什么？ 19．（19-20五年级下·河南新乡·期末）一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     20．（20-21五年级下·陕西西安·期中）如图是一个棱长4分米的正方体，在上面正中向下挖去一个棱长是2分米的正方体，接着在这个正方体的下底面正中再向下挖去一个棱长1分米的正方体。最后得到的立体图形的表面积是多少平方分米？ $$