第13讲 利用导数研究函数的单调性极值最值（知识清单+易错+6必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第13讲 利用导数研究函数的单调性极值最值 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视检验满足极值的参数 题型方法 题型一 讨论函数的单调性（区间） 题型二 已知函数单调性求参数（范围） 题型三 求函数的极值（点） 题型四 已知函数极值情况求参数（范围） 题型五 求函数的最值 题型六 已知函数最值情况求参数（范围） 知识清单 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是________ 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f′(x)的 ； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解 3．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ． 4．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件 易错分析 【易错点一】忽视检验满足极值的参数 【例1】已知函数在处取得极值10，则 A．或 B．或 C． D． 【举一反三】【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【变式2】（2022·新疆·三模）若函数在处有极值10，则（    ） A．6 B． C．或15 D．6或 【变式3】（2022·宁夏银川·一模）已知函数，若时，取得极值0，则 . 题型方法 【题型一】讨论函数的单调性（区间） 【例1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 解题技巧 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点 【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【变式3】（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 【题型二】已知函数单调性求参数（范围） 【例2】（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集 【举一反三】【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【变式3】（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 【题型三】求函数的极值（点） 【例3】（2024·江西新余·模拟预测）函数在其定义域内的极小值点为（     ）. A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 . 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 【题型四】已知函数极值情况求参数（范围） 【例4】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． 【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ． 【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【题型五】求函数的最值 【例5】（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 【举一反三】【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·四川资阳·模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【题型六】已知函数最值情况求参数（范围） 【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【举一反三】【变式1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【变式3】（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 7．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则下列结论正确的为（    ） A． 有最大值 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 有最小值 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．有四个单调区间 B．存在最小值 C．有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列 D．有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列 三、填空题 9．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 四、解答题 11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 12．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 13．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 利用导数研究函数的单调性极值最值 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视检验满足极值的参数 题型方法 题型一 讨论函数的单调性（区间） 题型二 已知函数单调性求参数（范围） 题型三 求函数的极值（点） 题型四 已知函数极值情况求参数（范围） 题型五 求函数的最值 题型六 已知函数最值情况求参数（范围） 知识清单 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解 3．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 4．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件 易错分析 【易错点一】忽视检验满足极值的参数 【例1】已知函数在处取得极值10，则 A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可. 【详解】函数在处取得极值10， 所以， 且， 解得或， 当时，， 根据极值的定义知道，此时函数无极值； 当时，， 令得或，符合题意； 所以， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 【举一反三】【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【答案】A 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可. 【详解】， 若函数在处有极值8， 则 且，即 ， 解得：或 ， 当时，，此时不是极值点，故舍去， 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故， 故选：A 【变式2】（2022·新疆·三模）若函数在处有极值10，则（    ） A．6 B． C．或15 D．6或 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出 【详解】 ， 又 时 有极值10 ，解得 或 当 时， 此时 在 处无极值，不符合题意 经检验， 时满足题意 故选：B 【变式3】（2022·宁夏银川·一模）已知函数，若时，取得极值0，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，列方程组可求出，然后再检验时，函数是否能取得极值，即可得答案 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，， 解得或， 当时，，此时函数在在处取不到极值， 经检验时，函数在处取得极值， 所以，所以. 故答案为：18 题型方法 【题型一】讨论函数的单调性（区间） 【例1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【详解】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 解题技巧 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点 【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】命题转化为，通过构造函数得，再判定命题的条件关系即可. 【详解】设命题，命题， 对于命题p，因为，所以，， 构造函数，易知在上为增函数，所以； 对于命题q，因为，所以； 所以为真命题，为假命题； 所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【变式3】（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对于求导，根据切线与直线平行，求出，代入进行求解单调区间； （2）由，恒成立，转化为，构造函数，转化为对恒成立，从而求解范围. 【详解】（1）的导数为， 可得的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得， 即，， 由，可得，由，可得， 则在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，若，由， 即恒成立，设， 所以在为增函数， 即对恒成立， 可得在恒成立， 由的导数为， 当，可得，在单调递减，在单调递增， 即在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 则实数的取值范围是． 【题型二】已知函数单调性求参数（范围） 【例2】（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对原函数进行求导，根据题意导数小于0，然后根据正弦函数的性质确定其最值即可求出的取值范围. 【详解】由题意得在上恒成立， 则. 因为， 要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 解题技巧 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集 【举一反三】【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）法一：参变分离得到在上恒成立，构造函数求最值即可；法二：构造函数，通过分类讨论求最值即可求解； 【详解】（1）当时，， 所以，，， ∴曲线在处的切线方程为， 整理得，， ∴曲线在处的切线方程为. （2），， 是增函数，即在上恒成立， 方法一：即在上恒成立，所以， 设，，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值，也是最大值， ∵，∴的取值范围是. 方法二：即在上恒成立，所以， 设，，则，， ①若，则，在上单调递增， 当趋近于0时，趋近于，即不恒成立， 所以在上不单调递增，与题意不符，舍去. ②若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，取得极小值，也是最小值， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【题型三】求函数的极值（点） 【例3】（2024·江西新余·模拟预测）函数在其定义域内的极小值点为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式的互化关系变形函数，换元构造函数，利用函数与的单调性相同，再求出的极小值点即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 令，则，令， 函数是增函数，则函数与的单调性相同，， 当时，；当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，由，得， 所以函数在其定义域内的极小值点为. 故选：A 【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，分析可得在区间上单调递增，又，即可得到在区间 上单调递减，从而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 当 时，，故 ， 所以， 当 时，，故 ， 所以， 综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增， 又因为，， 即，所以的图象关于直线对称， 故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 . 故答案为： 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【详解】（1）当时，定义域为，且， 令，解得或（舍去），即， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个； 当时，令，，可得， 易知， 故解关于的方程得，（舍去），， 即，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 【题型四】已知函数极值情况求参数（范围） 【例4】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案. 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 解题技巧 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． 【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在区间上恰有3个极值点转化为在上有三个极值点的问题，再数形结合即可得解. 【详解】，，， 令，则，， 作出的图象， 要使函数在区间上有三个极值点，则， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ． 【答案】1或2 【分析】对函数求导，结合求参数值，注意验证处是否取得极小值即可. 【详解】由题设，则， 所以或， 当，则，， 若，则，此时，即在上单调递减， 若，令，则， 对于且，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，故在上恒成立， 综上，在上恒成立，即， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 当，则， 同上分析，易知在上单调递减， 若，令，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 综上，或. 故答案为：或 【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解及，从而可得函数在点处的切线方程； （2）当，不满足题意，当时，单调递增，结合，，可得在区间上有唯一的零点，满足题意，进而可得结论． 【详解】（1）当时，，可得， 则， 又， 所以函数在点处的切线方程为：； （2）由于， 则， 若，当时，则，所以， 则在区间上单调递增，没有极值点，舍去； 若，设，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上有唯一的零点， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【题型五】求函数的最值 【例5】（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 解题技巧 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 【举一反三】【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 【变式2】（2023·四川资阳·模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】从，，及进行分析求解. 【详解】注意到，当时，， 由于，，显然，没有最小值； 当时，且无限接近，为增函数， 则，， ，， 此时没有最小值； 当时，为减函数，则，， ，由于增长变化速度远大于减少速度， 此时，由于函数定义域为R,函数连续不断，所以存在最小值． 故答案为： 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数的值； （2）在时，对求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得的最大值. 【详解】（1）的定义域为，则． ，则． 所以曲线在点处的切线方程为． 依题意，将点代入切线方程，解得． （2）当时，，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 故存在，使得，即，所以，即， 当时，故在上单调递增， 当时，故在上单调递减， 所以， 故的最大值为4． 【题型六】已知函数最值情况求参数（范围） 【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 【举一反三】【变式1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 【变式3】（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】令，构造，应用导数及分类讨论研究函数的最值，结合已知最小值求参数即可. 【详解】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A 3．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【详解】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求的最大值，即求直线斜率的最大值. 【详解】， 令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 根据题意，存在2个整数解使得， 则函数与直线的图象有2个横坐标为整数的交点，直线必过点， 函数在处的导数，则切线方程为且经过点， 即此时直线与相切，此时，又因为， 分析图象可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大， 即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得. 故选：C. 5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 二、多选题 6．（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可和得有两个根，令，可导可得在单调递增，在单调递减，进而可得. 【详解】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 7．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则下列结论正确的为（    ） A． 有最大值 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 有最小值 【答案】BD 【分析】本题可先根据已知条件得出关于的表达式，再分别分析和的最值情况. 【详解】由条件 或 . 选项： 时， ，故 没有最大值； 当 时， ； 当 时， ， ； 当 时， ； 故 有最小值 0，当 时取得. A 错误： B 正确. C、D 选项： ， 当 时有最小值 ，C错误，D正确. 故选：BD 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．有四个单调区间 B．存在最小值 C．有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列 D．有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列 【答案】ABD 【分析】利用二次求导分析得导函数的单调性和零点，得出其大致图象，从而可得函数的单调区间、极值点、最值，可判断AB；通过计算发现，可得出极值点的关系式，从而判断CD. 【详解】求导得，令函数， 则，令，解得. 当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，其大致图象如下， ，使， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 有四个单调区间，且存在最小值，故AB正确； 又函数存在三个零点，其中， 且因为， 所以由，可得，即，则成等比数列.故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得. 【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根. 即存在唯一变号根，设，， 函数在上单减；在上单增，在上单减； 当时，；当时，；则实数a的取值范围为. 故答案为：. 10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 四、解答题 11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【详解】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 12．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分和来讨论单调性； （2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为，令，研究函数的单调性来求解即可． 【详解】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 13．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果； （2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果. 【详解】（1）由函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点为， 则所求切线方程为． （2）由（1）得，当时，可得． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 而， 所以函数的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$