第12讲 导数的运算与几何意义（知识清单+易错+4必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第12讲 导数的运算与几何意义 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 题型方法 题型一 导数的计算 题型二 切线的方程 题型三 公切线问题 题型四 多切线问题 知识清单 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.′＝(f(x)≠0) 易错分析 【易错点一】混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 【例1】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 【举一反三】【变式1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法 【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【答案】或 【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 当点P为切点时，则切线的斜率为， 所以所求切线方程为，即； 当P点不为切点时，设切点坐标为， 切线的斜率为， 则切线方程为， 因为切线过点，且， 所以， 整理，得，解得或1（舍去）， 则， 所以切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 所以所求切线的方程为或或． 故答案为：或． 【变式3】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数. (1)求曲线过点的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解，设切点为，对函数求导后可得切线的斜率为，然后利用点斜式求出切线方程，再将代入切线方程可求出，从而可求出切线方程； （2）由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）设切点为，则，得， 则切线的斜率， 所以切线方程为，即， 因为切线过点，所以，化简得， 解得， 所以切线方程为，即； （2）由，得， 令，则 ， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以， 即的取值范围为. 题型方法 【题型一】导数的计算 【例1】（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】计算的导数，得到，代值即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：D. 解题技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 【举一反三】【变式1】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求出切点的横坐标，进而可求得切点的纵坐标，将切点的坐标代入切线方程，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】对函数求导得， 直线的斜率为，由，可得， 显然，解得， 若切点横坐标为，则， 则切点在直线上， 可得，解得； 若切点横坐标为，， 则切点在直线上， 可得，无解. 综上所述，. 故答案为：. 【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，． (1)求的值; (2)求在上的零点个数． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）求导，利用可解； （2）设，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数. 【详解】（1）由 则 又，所以即； （2）由（1）可知 设 则， 则当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，， 又，， 所以在上无零点，在上有一个零点； 从而在上有1个零点. 【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有： （1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号； （2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键； （3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩． 【题型二】切线的方程 【例2】（2020·全国I卷·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 解题技巧 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【举一反三】【变式1】（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程. 【详解】，当时，切线的斜率，， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【分析】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【详解】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【题型三】公切线问题 【例3】（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B 解题技巧 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【举一反三】【变式1】（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 【变式2】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案. 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2024·山东聊城·三模）已知函数. (1)若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数的值； (2)设函数，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）先利用导数的几何意义求出函数的切线，再与抛物线联立，判别式法求解参数； （2）求导函数，根据、、分类讨论，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为， 由已知得，解得， 所以公切线方程为，即， 由得， 由已知得，解得. （2）由已知，则， 当时，，令，得，令得， 这时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，令，得，令得， 这时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，， ①当时，，这时在上单调递减； ②当时，，令，得， 令得或， 这时，在和上单调递减，在上单调递增； ③当时，，令，得， 令得或， 这时，在和上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【题型四】多切线问题 【例4】（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【举一反三】【变式1】（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可. 【详解】由， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且 若，则恒成立，不符合题意，可排除A项； 所以，此时易知单调递增， 要满足题意则需. 故选：D 【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 【答案】 【分析】由导数法得过的切线方程为，由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根，令，由导数法讨论单调性与极值，由数形结合得出范围即可. 【详解】，则过的切线为，即. 由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根. 令，，由得或. 当或，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为. 要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2025·山东威海·三模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，通过和讨论函数单调性，即可求解； （2）设切点为，求的切线方程，代入，问题转换成方程有三个根，构造函数，则有3个零点，进而求解即可； （3）不妨设，通过或时，或，三种情况分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以在上单调递增，所以无极值； 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以的极大值为， 综上可知，当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）设切点为，因为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 因为曲线有三条过点的切线， 所以关于的方程有3个解， 令，则有3个零点， 因为， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以，可得， 所以 （3）不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边， 当时，左边，右边，所以左边=右边， 当时， 因为s，t为正实数，，所以， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即， 综上可知， 好题必刷 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质可知，函数的定义域关于轴对称，求得，进而通过导数公式计算可得结果. 【详解】易知的定义域为． 因为函数为奇函数，所以，显然是奇函数，满足题意， 所以，故， 故选:A． 2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，进而求，即切线方程为即可求解. 【详解】由题意有， 所以切线方程为，即， 故选：C. 3．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】点不在函数的图象上， 则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为只有一个零点，且， 令，可得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使仅有一个零点， 或 故选：B 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 5．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 7．（2025·河北保定·一模）已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义可得. 【详解】选项A：联立和2，得， 所以直线与曲线相切，故A正确； 选项B：由，得，由，得，故B错误； 选项C：由，得，令，得， 则，所以切线方程为，即，则， 令，得，则， 所以切线方程为，即，则， 所以，故C正确； 选项D：当时，，令， 则，设过原点的直线与曲线切于点， 则切线方程为， 将原点代入得，整理得， 则，解得或，故D正确. 故选：ACD. 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为，即可表示出切线方程，再将代入方程，即可得到关于的方程，解得，从而求出切线的斜率，再一一判断即可. 【详解】，则， 设切点坐标为，则，所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，故，解得或， 所以直线的斜率为或， 对于A：直线的斜率为，符合题意，故A正确； 对于B：直线的斜率为，不符合题意，故B错误； 对于C：直线的斜率为，不符合题意，故C错误； 对于D：直线的斜率为，符合题意，故D正确； 故选：AD 三、填空题 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 10．（2025·山西忻州·模拟预测）记函数的导函数为，若，则 ． 【答案】/ 【分析】首先求函数的导数，再代入自变量，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故答案为： 11．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】求导得，则，又， 所以切线方程为，整理得. 故答案为： 四、解答题 12．（2025·重庆·二模）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调性； (2)已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减； (2)2 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出，进而求出函数的单调性. （2）设出切点坐标，求出切线方程，由经过的点确定解的个数即可. 【详解】（1）函数，求导得，由在时取得极值， 得，解得，， 当或时，；当时，，则为的极值点， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，，设切点为， 则切线方程，而切线过点， 由，整理得，解得或， 所以过点且与曲线相切的切线有2条. 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求曲线在点处的切线方程，进而求得另一条切线方程； （2）令，即当时，即可，利用导数研究单调性，验证即可求解. 【详解】（1）两条切线方程可以是，（答案不唯一）． 理由如下：当时，函数的定义域为，， 令，，，曲线在点处的切线方程为； 由题意，另一切线与直线垂直，则其斜率为-1， 令，解得，， 曲线在点处的切线方程为，整理得． （2）令，由题意，当时，． ，由，得或， 若，则，当时，，单调递增， ，不合题意； 若，则，单调递减，，不合题意； 若，则，当时，，单调递减，此时只需，解得，满足题意． 综上，的取值范围为． 14．（2025·河北·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，可得，进而分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由， 则， 当时，， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，不满足题意； 当时，令，等价于， 解得或， 当，即时，， 此时函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值，满足题意. 综上所述，a的取值范围为． 15．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）当时，则，通过求导判断函数的单调性，即可求解； （2）根据导数的几何意义，分别求出与在点处得切线方程，即可证明. 【详解】（1）若，则，得， 令，解得， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有最大值，， 当时，，当时，， 故在上的值域为． （2）证明：由，得，则， 又，故在点处的切线方程为． 同理，由，得，则， 又，故在点处的切线方程为， 所以与在处存在公切线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 导数的运算与几何意义 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 题型方法 题型一 导数的计算 题型二 切线的方程 题型三 公切线问题 题型四 多切线问题 知识清单 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 . f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝______ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝_____ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ； [f(x)g(x)]′＝ ； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ ． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.′＝(f(x)≠0) 易错分析 【易错点一】混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 【例1】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【变式3】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数. (1)求曲线过点的切线方程； (2)若，求的取值范围. 题型方法 【题型一】导数的计算 【例1】（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 【举一反三】【变式1】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，． (1)求的值; (2)求在上的零点个数． 【题型二】切线的方程 【例2】（2020·全国I卷·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【举一反三】【变式1】（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 【变式3】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【题型三】公切线问题 【例3】（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【举一反三】【变式1】（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【变式2】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【变式3】（2024·山东聊城·三模）已知函数. (1)若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数的值； (2)设函数，讨论的单调性. 【题型四】多切线问题 【例4】（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【举一反三】【变式1】（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 【变式3】（2025·山东威海·三模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． 好题必刷 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河北保定·一模）已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 10．（2025·山西忻州·模拟预测）记函数的导函数为，若，则 ． 11．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 四、解答题 12．（2025·重庆·二模）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调性； (2)已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 14．（2025·河北·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求a的取值范围． 15．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$