数学活动&第2章 有理数的运算综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学课时通(人教版2024)

数学活动 活动1整理家庭收支账目 1.(2024·山东临沂沂水期中)小明在家庭的熏 陶和学校的教育下，养成了好习惯.他把家里 可回收物积攒起来拿到废品收购站回收换钱， 这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零 花钱.下表是他国庆节期间的部分收支情况 (单位：元). 收入(+)或 日期 结余 备注 支出（一） 1日 6.5 19.5 卖可回收物 买书，不足部分由 5日 -21 -1.5 妈妈代付 下列说法正确的是( A.国庆节这天卖可回收物收人19.5元 B.买书花了6.5元 C.买书时妈妈代付1.5元 D.买书的钱与妈妈代付的钱数之和是21元 2.应用意识◆萌萌帮家庭记录6个月的生活收支 账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支 出，单位：万元). 时间1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入0.51 0.30 0.38 0.45 0.33 0.25 支出-0.55-0.35 -0.26-0.22 -0.24-0.18 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少 万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 一七年级·上位数学刘 1(答案P10) 辑活动2填幻方 3.(2024·河北秦皇岛昌黎月 考)请你找找规律，利用发现 的规律将3,5，一7,1,7，一3， 9,一5，一1这九个数字分别填 入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所 有三个数的和相等，则填人中间一格的数 是() A.1 B.-1 C.3 D.9 4.创新意识教材再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图①所示的图案，它叫 作幻方，其中9个格中的点数分别是1,2,3,4， 5,6,7,8,9.每一横行、每一竖列以及两条斜对 角线上的点数的和都相同.如果火星上有智慧 生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到 地球上也有智能生物（人）. (1)如图①所示，每一横行、每一竖列以及两条 斜对角线上的点数的和都是 (2)请将-6，一3,0,3,6,9,12,15,18填入图 ②，使其构成一个幻方. 拓展延伸： (3)如图③所示，在一个由6个圆圈组成的三 角形里，把一7到一2这6个连续整数分别填 入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的 和S都相等，请直接写出S的最大值. :田： 因·时 C 48 本章综合提升（答案P1) 本章知识园纳 同号两致相加、取相同的符号，并把绝对值 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值 的加数的待号 有理数加法法则并用较大的绝对值减去较小的鲍对值：互为和反数的两个数 相加得 一个致与0相加，仍得这个数 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的 两数相乘，同号得正，异号得，并把绝对位相乘；任何 有理数来法法则 数与0和乘，都得 运算法则 除以一个不等于0的鼓，等于乘这个数的 有理数徐法法则 两数相除，同号得，异号得负，并把绝对值相乘；除以 任何一个不等于 的数，都得0 负数的奇次振是 数，负数的偶次 派是正数；正数的任何次暴都是 有理数的乘方 的任何正装数次张都是 科学记数法与近似数 先兼方，再 ,最后加减 有理敏的运算 运算顺序 同级运算，从 到 进行 若有括号，先做 内的运算 交换律 加法交换徐：a+b 乘法交换律：ab= 加法结合律：a+)+c= 运算律 结合律 乘法结合律：(a- 分配律 a(6+c日 思想方法川纳 运算转化为已知运算等，都是转化思想的 体现 1.转化思想 将所要研究和解决的问题转化为另一个较 【例1】(2024·江苏南通启东月考)(1)对于 容易解决的问题或已经解决的问题，或把“新知 任意非零有理数a,b,定义运算如下：a*b=(a一 识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把 b)÷(a十b),求(-3)*5的值 “复杂”转化为“简单”等，这种思想称为转化思 (2)规定符号“*”的意义是a*b=ab a十6如 想，也叫化归思想。 中2，求2*（一3）*4的值. 1×2 裤接本章… 102= 在本章中，把减法转化为加法，把除法 转化为乘法，把乘方转化为乘法，把新定义 49 优学棒课的温 【变式训练1】运算能力(2024·河北石家 庄长安区模拟)琪琪准备完成题目：计算： (一9)×兮一☐)一3.发现题中有一个数字■” 被墨水污染了 (1)琪琪猎测被污染的数字“■是号，请计 算(-9)×(2)-3 (2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等 于一9，请通过计算求出被污染的数字“■”. 2.分类讨论思想 链接亦童 本章在研究有理数加法法则、乘法法 则、确定幂的正负时，都是把有理数分成正 数、负数、0三类分别研究的. 【例2】(2024·河北石家庄桥西区一模)若 ab≠0，那么a+h的取值不可能是( b A.-2 B.0 C.1 D.2 【变式训练2】(2024·河南洛阳洛宁期中)已 知m=4,n=6,且m十n=m十n,求m一n 的值 一七年级·上量数学刘 通模拟一 1.(2024·河北唐山模拟)在下列算式中，与有理 数一2号相等的是( 2 A.(-2)× &-2x引 c-2+号 D-+引 2.(2024·天津模拟)代数式53×5×5×5× 5×5可表示为( ) A.6×5 B.53+6 C.(53) D.(5×6)3 3.推理能力)(2024·北京东城区模拟)已知a< b<c,b十c=0,则下列结论错误的是( A.a+c<0 B.a-b<0 C.ab<0 D.<0 4.(2024·河北石家庄新华区模拟)2024年第一 季度甲工厂共生产5.6×10个零件，乙工厂共 生产5.5×10个零件，求甲工厂比乙工厂多生 产多少个零件，结果用科学记数法表示 为( A.0.1×10 B.0.1×10" C.1×10 D.1×10 5.(2024·山东济宁模拟)定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n十1： ②当n为偶数时，F(n)= ”(其中大是使F (n)为奇数的正整数)，两种运算交替重复进 行.例如：取n=24,则： 若n=13,则第2024次“F”运算的结果是( A.1 B.4 C.2024 D.432 6.(2024·辽宁鞍山模拟)计算：（一2）÷(-5)× 6 50 7.(2024·北京海淀区开学)已知m,n互为相反 数，a,b互为倒数，x的绝对值等于3，则x3 (1+m十n-ab)x2o24十(m+n）x221+ (-ab)223的值为 8.(2024·山东菏泽东明模拟)现定义一种新运 算：a8b=ab+a一b,如1⑧3=1×3十1-3= 1.则[2☒5]☒(-4)= 9.(2024·北京东城区模拟)甲、乙两人分别在 A,B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、 乙均是每天最少可以加工2个A零件.当连续 生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续 加工一天，加工的零件数比前一天少2个：乙 第一天能加工8个A零件，每连续加工一天， 加工的零件数比前一天少1个，在B生产线， 甲每天加工？个B零件，乙每天加工8个B零 件.在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线 上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天 时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新 计算.根据题意，得： (1)甲在A生产线连续工作3天最多能加工A 零件 个 (2)若一个A零件、一个B零件组成一套产品， 则14天最多能加工 套产品 10.运算能万(2024·山东聊城东阿期末)计算： D1.53x0.75-0.53×←)÷(-3 (2(-1m+(-3)×-号-4÷(-2. 11.(2024·河北沧州任丘模拟)小明在解一道有 理数混合运算时，一个有理数m被污染了， 计算：3÷2十m×(-1D. 3 1若m=2.i计算：8+2+2X(-1D 3 (2)若3÷2+m×(-1)=3,求m的值。 12.(2024·浙江金华二模)对于有理数a,b,定义 新运算“△”，规则如下：a△b=ab一a一b十4， 如3△5=3×5-3-5+4=11. (1)3△(-4)的值为 (2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立？ 并说明理由 13.(2023·河南三门峡峡州区期中)阅读下面的 解题过程，并解决问题 计算：53.27-(-18)+(-21)+46.73 (十15)+21. 解：原式=53.27+18-21+46.73-15+ 21① =(53.27+46.73)+(21-21)+(18-15)② =100+0+3③ =103. (1)第①步经历了哪些转变： 体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第 ②步应用了哪些运算律： 优种学秦说的进 2 (2)根据以上解题技巧进行计算：一21 3-(-)-(+: 14.应用意识(2024·山东烟台牟平区期末)一 出租车司机元旦这天上午营运时是在南山公 园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如 果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接 送8位乘客的行车里程（单位：km)如下：一3， +7,-2,+1,-6,十4，+9，-6. (1)将最后一位乘客送到目的地时，该司机在 什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，该司机离南 山公园门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为0.3m3km,这天 上午该司机接送乘客，出租车共消耗天然气 多少立方米？ (4)若出租车起步价为9元，起步里程为3km (包括3km),超过部分按每千米1.8元计费， 问该司机这天上午共得车费多少元？ 通中考 15.(2023·辽宁盘锦中考)|一3|的倒数 是( A.-3B.-3 1 C.3 0.g 16.(2023·青海西宁中考)算式一3☐1的值最小 时，☐中填入的运算符号是( A.十 B.- C.× D.÷ 一七年望上量数学刘 17.(2023·过宁营口中考)有下列四个算式： ①(-5)+(+3)=-8：②-(-2)3=6： ®(++（←）=子：④-3÷（←》=9，其 中，正确的有( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 18.(2023·内蒙古中考)定义新运算“☒”，规定： a⑧b=a2-|b.则(-2)⑧(-1)的运算结果 为() A.-5B.-3 C.5 D.3 19.(2023·河北中考)光年是天文学上的一种距 离单位，一光年是指光在一年内走过的路程， 约等于9.46×102km,下列选项正确的 是() A.9.46×1012-10=9.46×101" B.9.46×102-0.46=9×10 C.9.46×1012是一个12位数 D.9.46×1012是一个13位数 20.几何直观》(2023·浙江杭州中考)已知数轴 上的点A,B分别表示数a,b,其中一1<a< 0,0<b<1.若a×b=c,数c在数轴上用点C 表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能 是() A B C AC8 A B C D 21.(2023·安徽中考)据统计，2023年第一季度 安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中 74.5亿用科学记数法表示为 22.(2023·湖北随州中考)计算：（一2）2+ (-2)×2= 23.(2023·广西中考)计算：（一1）×(-4)+ 22÷(7-5). 52一3+3=0. 5解：[(-)+()++]是高 (2)原式=[(-2024)+2023+(-2022)+ 202+[-号)++（号）+] =(-2+(←) 9 = 4 6.解：(1)1-1 2nn十可 原式=1-+-+ 十…十 8 1 -10 =10 1 a原式-专×（最+是6十最。+80+D是） 2 2 ×(+++日品+品》 × =24 7:原式-(）×号-×号×- 64 (2)原式=-28+×4=-28+3=-25， 8解：1)原式=(-元)×(-6)=-42+=-41 (2)原式=999× [u8音+(）-18g】=9×10 99900. 9.解：原式=2×子 3 6 X…× 20 6 2035 21 (层×号)×（受×）×（名×）×…×（器×） 1×1×1×…×1=1. 2.3.2科学记数法 1.B2.C3.B4.B 5.-5.8×10 6.C 7.9 8.解：26×10'=260000=2.6×10°， 9.解：(1)(9.6×10)×(1.5×10) =(9.6×1.5)×(10°×10) =1.44×10:(吨). 答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1,44× 102吨煤. (2)(1.44×10)×(8×103) =(1.44×8)×(10×102) =1.152×10“(千瓦·时). 答：问题(1)中的煤大约可以发出1.152×1千瓦·时电， 2.3.3近似数 1.D2.D3.C4.C5.3.8×106.C7.C8.B 9.B解析：图为12.38≈12,12.66≈13,11.99≈12,12.42 12,所以不可能是12的真值的是选项B. 10.3.14211.千 12.解：(1)0.70.(2)0.48.(3)0.003.(4)4.90×10. 13.解：(1)车间工人把2.60m看成了2.6m,近似数2.6m的 要求是精确到0,1m:而近似数2.60m的要求是精确到 0.01m,所以原轴的范围是2.595m≤x<2.605m. (2)由(1)知原轴的范围是2.595m≤x<2.605m,故小王加 工的轴不合格 数学活动 LC 2.解：(1)一月份支出最大， (2)总收人为0.51+0.30+0.38+0.45+0.33+0.25=2.22（万 元)， 总支出为：-0.55+(-0.35)+(-0.26)+(-0.22)+(-0.24)+ (-0.18)■一1.8（万元）. (3)平均支出：一1.8÷6=一0.3（万元）. 3.A解析：如图所示， -1 5 则填入中间一格的数是1. 4.解：(1)15 (2)(-6-3+0+3+6+9+12+15+18)÷3=18, 即幻方中，每行、每列，每条对角线上的三个数之和都等 于18. 根据幻方的特点可知：在从小到大排列的9个数中，居于中间 位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的 数与最小的数必在一起， 即构成幻方如下： 9 12 -3 -6 18 0 (答案不唯一) (3)-12. 具体如下：将一2、一3、一4填入三角形的三个顶点处， 一2与一3之间填-7， 一2与-4之间填一6， 一3与-4之间填一5. 如图所示， -2 6-6 ③©9 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，-2-3一7=-2-4-6=-3-4-5=-12， 所以S的最大值为一12. 本章综合提升 【本章知识归纳】 相加较大0相反数负0倒数正0负正数0 乘除左右括号b十abaa十(b十c)a(bc) ab++ac 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：(1)套用公式a*h=(a一b)÷(a十b),列出算 式(-3)￥5=（一3一5）÷(-3十5)，再计算即可求解： (2)两次套用公式先后计算即可求解. 解：(1)由题意，得(-3)”5=（一3一5）÷（一3十5）=一8÷ 2=-4. @)原式-二副4=64-￥-昌 6+45 【变式训练】解：1)原式=-9×（←岩）-27-多-27 -5 2 2②2-(-9+8)(-9] =号-[(-9+27÷(-90 =2-[18÷(-9] 。1 =-(-2 -2 【例2】思路分析：由ab≠0，可得：①a>0,b>0,②a<0,b<0, ③a>0,b<0,④a<0,b>0,分别计算即可. C解析：因为ab≠0， 所以有四种情况：①u>0,b>0,@u<0,b<0,③a>0,b<0, ④a<0,b>0. ①当a>0,b>0时， la+lh=1+1=2: ②当u<0,b<0时， la+1b1=-1-1=-2: b ③当a>0.b<0时： +1b=1-1=0: a b ④当a<0.b>0时， la+lbl=-1+1=0. b 蜂上所送，日+1公纳位为士2或心 【变式训练2】解：因为m■4，n-6, 所以m=土4，力=士6. 因为m十n=m十n, 所以m十n≥0， 所以m=士4，n=6. 当n=4,n=6时，m一n=一2： 当m=一4，n=6时，m一n=一10. 综上所述，m一n=一2或一10. 【通模拟】 1.D2.C3.C4.C 5.A解析：若m=13, 第1次结果为：3m+1=40, 第2次路果是：碧=5 第3次结果为：3n十1=16， 第1次格果为兰-1小 第5次结果为：4， 第6次结果为：1，…， 可以看出，从第4次开始，结果就只是1,4两个数轮流出现， 且当次数为偶数时，结果是1：次数是奇数时，结果是4， 而2024是偶数，周此最后结果是1. 2 6.5 7.26或一28解析：图为m,n互为相反数，，b互为倒数，x的 笼对值等于3， 所以m十n=0,ah=1,.x=士3. 当T=3时， 原式=3-(1+0-1)X32+0×321+(-1)2m =27-0+0+(-1) =26: 当x=一3时， 原式=(-3)2-(1+0-1)×(-3)2m4十0×(-3)221+ (-1)2 =-27-0+0+(-1) =-28. 综上所述，x3一(1十m十n一ab)x2m4+(m十n)x2+ (-ab)2的值为26或一28. 8.一17解析：由题意可知， 285 =2×5+2-5 =10+2-5 =7, 则[285]8(-4) =7@(一1) =7×(-4)十7-(-4) =-28+7+4 =-17. 9.(1)24(2)106解析：(1)由题盘得，甲在A生产线连续工 作3天最多能加工A零件为10+10一2+10一2×2= 24(个). (2)因为一个A零件、一个B零件组成一套产品， 所以14天A,B两种家件同时生产数量最多. 因为甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个， 甲在B生产线连续工作3天最多能加工B零件21个， 乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件8十7十6= 21(个)，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件8X 3=24(个)， 所以每3天甲、乙轮流生产可使A,B零件的数量相同，最后 两天甲生产A零件18件，乙生产B零件16件， 所以14天最多能加工24+21+24十21+16=106（套）产品. 1m解：1[-153×075-08×(】÷(-3 =(-1.53×是+0.58x）÷9 =(-1.53+0.53)× 3 ÷9 3、1 12 (2)(-1)2+(-3)× 2 -4÷(-2) 1 =-1+(-30x号-64÷(-20 -1-号+32 =0 11.解：(1)把=2代入，得 原式=3÷2+2×(-0 =2-2 =0. (2m=3-3÷2）(-D =(3-2)÷(-1) =1÷(-1) =-1. 12.解：(1)-7 (2)交换律在“△”运算中成立。 理由如下： 因为a△b=ab-a-b+4. b△a=ba-b-a+4=ab-a-b十4， 所以a△b=b△a,即交换律在“△"运算中成立. 13.解：(1)去括号，省酪加号加法交换律，结合律 2)-21号+3-()-(+) -21号+3+号- -(1+号)+片》 =-21+3 =-18. 14.解：(1)一3+7-2+1-6+4十9一6=4(km), 答：将最后一位乘客送到目的地时，该司机在南山公园门口 东边4km处. (2)-3|=3(km), |-3+71=4(km), 1-3+7-21=2(km), 1-3+7-2+1=3(km). 1-3+7-2+1一6|=3(km). -3+7-2+1-6+4=1(km). 1-3+7-2+1-6+4+9|=10(km), 1-3+7-2+1-6+4+9-61=4(km), 10>4=4>3=3=3>2>1. 答：将第7位乘客送到日的地时，该司机离南山公园门口 最远。 (3)(-3}+1+71+-2+|+11+-61+1+4|+ 十9十1-6)×0.3=11.4（立方米）. 答：这天上午该司机接送乘客，出租车共消耗天然气11,4立 方米. (4)[(7+6+4+9+6)-3×5]×1.8+8×9=102.6(元). 答：若出租车起步价为9元，起步里程为3km(包括3km) 超过部分按每千米1.8元计费，该司机这天上午共得车费 102.6元. 【通中考】 15.D16.B17.C18.D19.D 20.B解析：因为一1<a<0,0<b<1, 所以一1<aXb<0, p-1<c<0, 那么，点C应在一1和0之间， 刷速项A,C,D不符合题意，速项B符合题意 21.7.45×109 22.0解析：（一2）°+(-2)×2 =4+(-4) =0. 23.解：原式=（一1）×(-4)十4÷2 =4+2 =6. 综合与实践 1.A解析：由题意可得， 桃形文字记数7《777，表示十进制的数为：1×60+ 10×60+3=1×3600+600+3=3600+600十3=4203. 2.21解析：由题意，得 10101=1×2+0×23+1×2+0×21+1=21. 3.(1)131118(2)1解析：(1)因为15=11×8+ 5=13, 所以15a=13m 周为98÷92=1…17,17÷91=1…8， 所以98o,=118· (2)2x,=2×9+r=25, 25÷8=3…1. 所以y=1, 4.解：(1)(1010) (2)设这个二进制数为x, 因为十进制数3对应的二进制数为11. 所以11十x=111, 所以x=100. 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 第〡课时代数式的意义 1.A2.C3.A 4.练习木每本0,6元，某人买了a本，共付款0,6a元，（答案不 唯一) 14 54解析：①13r=3x,不符合要求：②2·3应为2X3,不 特合要求：③20%r,符合要求：①。一6÷C=口-么，不特合要 求：m十”，特合要求：⑥（一5）千克，不特合要求 6.A7.打八折后再让利20元 8.1)20(23x(3)-mm(4)号 9.解：(1)一个棱长为a米的正方体钢块的体积是a立方米： (2)某款价格为x元的钢笔在加价10%后的售价是(1+ 10%)x元： (3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克