专题四 图形面积中的勾股关系（培优教程）-【牵手重高】2025-2026学年新教材八年级数学上册课件（浙教版2024）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 八年级®册 (浙教版) 皿宁波出版社 NINGBO PUBUSHING HOUSE 涌济文化 初中学段产品书目 YONG JI CULTURE 学习无忧 自在涌济 ●m 中 牵手重高 破中考 牵手重高 牵手名师 意牵手重离~培低无任、 玉轴题 易⑩ L 政的 培伏仿真模拟卷 保字 听梁图 n ⊙牵手重高 ⊙培优仿真模拟卷 ⊙牵手名师 培优拓展冲刺重高 强基真题试卷 同步学同步练巧学巧练 ⊙突破中考：易错题 ⊙牵手重高综合版 ⊙牵手重高•突破中考·压轴题 冲刺中考满分 专项突破考前总复习 全真题常考题压轴题 专题四 图形面积中的构股关系 牵手重高 年09e0●e9e99●●年0ee●9.0●00●0 知识梳理 8e。。0.8000。●年0e9●0.0●ee e040●00000●00900009000e000e9e0ee0000●000e00 年。年8。◆年9。◆中8。。。中年●中年。中。非。中。e中。年0年中中● 。。◆年。●中。0。。8中◆●。。●中8年0.99年年中中年年●年中 《几何原本》中介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在 两个直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.”例如，在一个直角三角形中，以其三边 长为边长向外作三个正方形、半圆或等边三角形，其中两个较小面积之和等于第三个较大 面积. 【例1】(1)如图1，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1,S2,S3 表示，请写出S1,S2,S3之间的关系.（不必证明） (2)如图2，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1,S2,S3表示， 请确定它们的关系并证明. (3)如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1,S2,S3表示， 请确定它们的关系并证明. S2 S2 S3 S S2 S3 A B A A B S1 S1 S 图1 图2 图3 (例1) 解：(1)S2+S3=S1. S2 由三个四边形都是正方形得S3=AC,S2=BC,S1=AB, S3 A B ,三角形ABC是直角三角形， S1 ∴.AC2+BC2=AB, S2 ∴.S2+S3=S1. 图1 B (2):S,=受AC,S,=BC,S,=8AB,三角形ABC是直角三角形， 8 SL 8 ∴.AC2+BC2=AB2, 图2 ∴.S2十S3=S1. C (3):S,=AB,S,=BC,S,=AC,三角形ABC是直角三角形， S2 S3 4 4 4 B ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.S2+S3=S1. 图3 【例2】如图是一棵美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和是49cm C d D B b a 7 cm (例2) 【例3】如图，在美丽的珊瑚礁图案中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形.所有正方形（包括最大的正方形）的面积之和为500c,则最大的正方形边长为 10 (例3) 【例4】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB,分别以DA, AB,BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3.请探究S1,S2,S3之间的关 系，并说明理由. 解：如图所示，S1,S2,S3之间的关系是S2=S1十S3 过点A作AE∥BC,交CD于点E, .AB∥CD,AE∥BC, B S S ∴.四边形ABCE是平行四边形， 12 ∴.AE=BC,CE=AB, E .'DC=2AB, ∴.∠ADC+∠1=90°， ∴.DE=AB, ∴.∠DAE=90°， .AE∥BC, 在Rt△EAD中，由勾股定理得DE=AD十AE, ..∠1=∠BCD, 即AB=AD+BC, 又.∠ADC+∠BCD=90°，∴.S2=S1+S3. 【例5】如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方 形，正方形A的边长为4，另外四个正方形中的数字4，x,y分别表示 A 该正方形的面积，则y与x的数量关系是x十y=12 (例5)