专题七 曲折展平路径问题（培优教程）-【牵手重高】2025-2026学年新教材八年级数学上册课件（浙教版2024）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 八年级®册 (浙教版) 宁波出版社 INGBO PUBLISHING HOUSE 涌济文化 初中学段产品书目 YONG JI CULTURE 学习无忧自在涌济 C● m 牵手重高 破中考 牵手重高 牵手名师 。牵手面离：馆优无忧、 玉轴题 易0 数学 培优仿真模拟卷 孕 幻 听误国 ⊙牵手重高 ⊙培优仿真模拟卷 。牵手名师 培优拓展冲刺重高 强基真题试卷 同步学同步练巧学巧练 ⊙突破中考·易错题 ⊙牵手重高·综合版 ⊙牵手重高突破中考·压轴题 冲刺中考满分 专项突破考前总复习 全真题常考题压轴题 专题七曲折展平路径问题 牵手重高 00g0p年0e090009009单000g000 知识梳理 0000年0000年009000000900 0●●●◆●0●●000e◆◆●0.400e00●00●0000年0000e00000.4 0。。中0年0.0。年。。9。中9。e中年0年年年专年。年年880.8中中 年8●中。中。0中。8年9年年4。。中。●9●。。0e年。中0非。用 平面展开一一 最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点 之间的最短路径.一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题. 关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理，它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是从实际问题中抽象出数学模型： 【例1】一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这 个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬， (1)如果D是棱的中点，蜘蛛沿ADB的路线爬行，它从点A爬到点B所走的路程为 多少？ (2)你认为ADB是最短路线吗？如果不是，请计算出最短的路程， 解：(1)从点A爬到点B所走的路程为AD+BD=√4+32+√2+32=5+ B /13. (2)不是，分三种情况讨论： 6 cm ①将下面和右面展到一个平面内，AB=√/(4十6)2+22=/104=2√26(cm); ②将前面与右面展到一个平面内，AB=√(4十6)+22=√72=6√2(cm); 2 cm A 4 cm E ③将前面与上面展到一个平面内，AB=√/(6十2)2+4=4√5(cm), (例1) ∴.蜘蛛从点A爬到点B所走的最短路程为6√2cm 【例2】如图，一个圆柱的高为10cm,底面周长为24cm,动点P从点A出发，沿着圆柱侧面 移动到BC的中点S,求移动的最短距离. 解：如图所示，沿着S所在的母线展开，连结AS, 则AB=7×24=12,BS=7BC=5, 在Rt△ABS中，根据勾股定理得 (P) 1k- B AB2+BS2=AS2,即122+52=AS2, (例2) 解得AS=13, B .A,S两点之间线段AS最短， ∴.点A到点S移动的最短距离为AS=13cm. 【例3】如图，圆锥的轴截面是边长为6c的正三角形ABC,P是母线AC的中点.求在圆锥 的侧面上从点B到点P的最短路线的长 解：如图所示，圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧 长是l=6π， 设展开后的圆心角是n,则”6=6， 180 B 解得n=180,则∠BAC=号×180°=90°，AP= 2AC=3,AB=6, (例3) 则在圆锥的侧面上从点B到点P的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得BP=√AB2十AP2=√62+32=3√5(cm). 答：在圆锥的侧面上从点B到点P的最短路线的长是3√5c. 【例4】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为5dm,3dm和1dm,点A处有 一只蚂蚁，想到点B处去吃食物，请计算这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程 解：如图所示，将台阶展开， AC=3×3+1×3=12,BC=5, ∴.AB2=AC2十BC2=169, B .∴.AB=13(dm), (例4) 所以蚂蚁爬行的最短路程为13dm. 答：蚂蚁爬行的最短路程为13dm. 【例5】如图为长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深为AE= 40cm,在水面上紧贴内壁点G处有一鱼饵，点G在水面线EF上，且EG=60cm,一小 虫想从鱼缸外的点A沿壁爬进鱼缸内点G处吃鱼饵，求这只小虫爬行的最短距离.（鱼 缸厚度忽略不计) 【例5】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A', B 连结AG交BC于点Q,小虫沿着AQG的路线爬行时路程最短. 在Rt△A'EG中，A'E=80,EG=60, E ..AQ+QG=AQ+QG=AG=VAE2+EG2=100(cm). ,.最短距离为100cm. A (例5) B E 【例6】如图，一透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在 容器内壁离容器底部3c的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离 容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13 cm. 蚂蚁A B (例6)