第七章 2.1 相关系数&2.2 成对数据的线性相关性分析-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

２．D　[独立性检验的结论是一个数学统计量,它与实际问题 中的确定性是存在差异的．] ３．C　[因为χ ２＞６．６３５,所以有９９％以上的把握认为“喜欢乡 村音乐与性别有关系”．] ４．解析:根据２×２列联表可知,比值 aa＋b 与 c c＋d 相差越大,则 |ad－bc|就越大,那么两个分类变量有关系的可能性就越大． 答案:c c＋d ５．解:　将２×２列联表中的数据代入公式计算,得 χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ＝１００× (６０×１０－２０×１０)２ ７０×３０×８０×２０ ＝ １００ ２１≈４􀆰７６２． 因为４．７６２＞３􀆰８４１,所以有９５％的把握认为“南方学生和北 方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． 章末归纳提升 题型梳理􀅰素养聚焦 [例１]　[解]　(１)画出散点图如图所示: (２)由(１)中的散点图可知,各点大致 分布在一条直线附近,且由题中所给 表格及参考数据得: 􀭺x＝５２ ,􀭵y＝６９２ ,∑ ４ i＝１ xiyi＝４１８, ∑ ４ i＝１ (yi－􀭵y)≈３２．６６, ∑ ４ i＝１ x２i＝３０, ∑ ４ i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y)＝∑ ４ i＝１ xiyi－４􀭺x􀭵y＝ ４１８－４×５２× ６９ ２＝７３ , ∑ ４ i＝１ (xi－􀭺x)２＝ ∑ ４ i＝１ x２i－４􀭺x２＝ ３０－４×( ５ ２ )２＝ ５≈２．２４, r＝ ∑ ４ i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ ４ i＝１ (xi－􀭺x)２∑ ４ i＝１ (yi－􀭵y)２ ≈ ７３２．２４×３２．６６ ≈０．９９８． 因为Y 与X 的相关系数近似为０．９９８,说明Y 与X 的线性 相关程度相当高, 所以可以用线性回归模型拟合Y 与X 的关系． (３)由(２)知,̂b＝ ∑ ４ i＝１ xiyi－４􀭺x􀭵y ∑ ４ i＝１ x２i－４􀭺x２ ＝７３５ ,̂a＝􀭵y－̂b􀭺x＝６９２ － ７３ ５ × ５ ２＝－２ ,所以Y 关于X 的经验回归方程为Y＝７３５X－２． 当X＝５时,Y＝７３５×５－２＝７１ ,故预测第５年的销售量为 ７１万件． [例２]　[解]　(１)问卷调查结果为“了解”的学生人数为(０． ２５＋０．１５＋０．０２５)×２００＝８５, 又因为其中男生有５０人,所以其中女生有８５－５０＝３５人, 所以２×２列联表如下: 男 女 合计 了解 ５０ ３５ ８５ 不了解 ５０ ６５ １１５ 合计 １００１００ ２００ (２)零假设H０:对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关, 由(１)可得χ ２＝２００× (５０×６５－３５×５０)２ １００×１００×１１５×８５ ≈４．６０４＞３．８４１ , 根据独立性检验,我们推断 H０ 不成立, 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关,此推 断犯错误的概率不大于０．０５, 即有９５％的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与 性别有关． [例３]　[解]　(１)对Y＝aXb(a,b＞０),两边取自然对数得 lnY＝blnX＋lna, 令vi＝lnxi,ui＝lnyi,得U＝bV＋lna,̂b＝ ∑ n i＝１ viui－n􀭵v􀭵u ∑ n i＝１ v２i－n􀭵v２ ＝ ７５．３－６×２４．６６ × １８．３ ６ １０１．４－６× ２４．６６( ) ２ ＝ １ ２ ,lna＝􀭵u－b􀭵v＝１８．３６ － １ ２ × ２４．６ ６ ＝１ ,得a＝e,故所求回归方程为Y＝eX １ ２ ． (２)由yx ＝ ex １ ２ x ＝ e x １ ２ ∈ e９ ,e ７( ) ,解得４９＜x＜８１,x＝５８, ６８,７８,即优等品有３件． 记“恰好取得两件优等品”为事件A,从６件合格产品中选出 ３件的方法数为 C３６＝２０, 从６件合格产品取３件恰好２件为优等品的取法有 C１３C２３＝ ９种,则P(A)＝C １ ３C２３ C３６ ＝９２０． 变式训练 １．解:变量Y 与X 的相关系数r≈ ２８．３１５．６×１．９≈０．９５ , 变量Z 与X 的相关系数r′≈ ３５．４１５．６×２．３≈０．９９ ,可以看出 TC指标 值 与 BMI值,CLU 指 标 值 与 BMI值 都 是 高 度 正 相关． ２．解:由频率分布直方图可知,在抽取的１００名工人中,“２５周 岁以上组”中的生产能手６０×０􀆰２５＝１５(人),“２５周岁以下 组”中的生产能手４０×０􀆰３７５＝１５(人),据此可得２×２列联 表如下: 　　　　　是否“生产能手” 年龄组　　　　　 生产 能手 非生产 能手 总计 ２５周岁以上组 １５ ４５ ６０ ２５周岁以下组 １５ ２５ ４０ 总计 ３０ ７０ １００ 所以得χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ＝１００× (１５×２５－１５×４５)２ ６０×４０×３０×７０ ＝ ２５ １４≈１．７９． 因为１．７９＜２􀆰７０６,所以没有９０％的把握认为“生产能手与 工人所在的年龄组有关”． ３．解:(１)在Y＝cdX 两边取自然对数,令lnY＝Z, lnc＝a,lnd＝b,则Z＝a＋bX．由已知数据,得 X １ ２ ３ ４ ５ ６ Y ３９􀆰８ ３２􀆰２ ２５􀆰４ ２０􀆰３ １６􀆰２ １３􀆰３ Z ３􀆰６８４３􀆰４７２３􀆰２３５３􀆰０１１２􀆰７８５２􀆰５８８ 由公式得â≈３．９０５５,̂b≈－０．２２１９, 则线性回归方程为Z＝３􀆰９０５５－０􀆰２２１９X． 而lnc＝３􀆰９０５５,lnd＝－０􀆰２２１９,故c≈４９􀆰６７５,d≈０􀆰８０１, ∴c,d的估计值分别为４９􀆰６７５和０􀆰８０１． (２)当X＝１０时,由(１)所得公式可得Y≈５􀆰４(mg)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 §２　成对数据的线性相关性 ２．１　相关系数 ２．２　成对数据的线性相关性分析 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合具体实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相 关系数与标准化数据向量夹角的关系 ２．结合实例,会通过相关系数比较多组成对样本数据的相 关性 在学习样本相关系数等概念的 过程中,提升数学抽象、数学运 算、数据分析、数学建模的核心 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　据隆众资讯数据统计,２０１７~２０１９年截 止到１０月底的数据显示,聚丙烯期货价格及 现货价格二者相关系数为８８．７０％,其中２０１７ 年二者相关系数高达９０．８６％,２０１８年降至 ８３．９７％,２０１９年截止到１０月底二者相关系 数为６５．２３％． 问题:什么是相关系数,如何计算,它有什么 作用? [知识梳理] [知识点一]　相关系数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．相关系数r的计算 一般地,设随机变量 X,Y 的n 组观测值分 别为(x１,y１),(x２,y２),􀆺,(xn,yn),记 r＝ (x１－􀭵x)(y１－􀭵y)＋(x２－􀭵x)(y２－􀭵y)＋􀆺＋(xn－􀭵x)(yn－􀭵y) (x１－􀭵x)２＋(x２－􀭵x)２＋􀆺＋(xn－􀭵x)２ (y１－􀭵y)２＋(y２－􀭵y)２＋􀆺＋(yn－􀭵y)２ ＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２ ∑ n i＝１ (yi－􀭵y)２ , 称r为随机变量X 和Y 的样本(线性)相关 系数． 为了计算的方便,我们再给出如下式子: r＝ (x１y１＋x２y２＋􀆺＋xnyn)－n􀭺x􀭵y (x２１＋x２２＋􀆺＋x２n)－n􀭺x２ (y２１＋y２２＋􀆺＋y２n)－n􀭵y２ ． ２．相关系数r与线性相关程度的关系 ①r的取值范围为　　　　; ②|r|值越接近１,随机变量之间的线性相 关程度越强;|r|值越接近０,随机变量之间 的线性相关程度越弱． [知识点二]　相关性的分类 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．当　　　　时,两个随机变量的值总体上变 化趋势相同,此时称两个随机变量正相关; ２．当　　　　时,两个随机变量的值总体上变 化趋势相反,此时称两个随机变量负相关; ３．当 　 　 　 　 时,此时称两个随机变量不 相关; [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)样本(线性)相关系数r的取值范围是 (－１,１)． (　　) (２)两个变量的相关系数越大,它们的相关 程度越强． (　　) (３)r＜０时,两个随机变量负相关． (　　) (４)一般地,样本容量越大,用样本相关系数 估计两个变量的相关系数的效果越好． (　　) ２．已知两个变量负相关,且相关程度很强,则 它们的相关系数的大小可能是 (　　) A．－０．９５　　　　　　 B．－０．１３ C．０．１５ D．０．９６ ３．某相关变量 X,Y 的散点图如图所示,现对 这两个变量进行回归分析,方案一:根据图 中所有数据分析,可得到线性回归方程Y＝ b̂１X＋̂a１,样本相关系数为r１;方案二:剔除 点(１０,３２),根据剩下数据分析,可得到线性 回归方程Y＝̂b２X＋̂a２,样本相关系数为r２．则 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０２􀅰 第七章　统计案例 A．０＜r１＜r２＜１ B．０＜r２＜r１＜１ C．－１＜r１＜r２＜０ D．－１＜r２＜r１＜０ ４．某企业的某种产品产量与单位成本数据如 下表所示． 产量X/千件 ２ ３ ４ ３ ４ ５ 单位成本 Y/(元/件) ７３ ７２ ７１ ７３ ６９ ６８ 则相关系数r＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　相关系数的判定 [例１]　某统计部门对四组数据进行统计分 析后,获得如图所示的散点图,关于相关系 数的比较,其中正确的是 (　　) A．r４＜r２＜r１＜r３ B．r２＜r４＜r１＜r３ C．r２＜r４＜r３＜r１ D．r４＜r２＜r３＜r１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据散点图的特征,数据大 致呈增长趋势的是正相关,数据呈递减趋 势的是负相关;数据越集中在一条线附近, 说明相关性越强, 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两个随机变量的相关性可以通过成对样本 数据进行分析,而样本相关系数r可以反 映两个随机变量之间的线性相关程度:r 的符号反映了相关关系的正负性;|r|的大 小反映了两个变量线性相关的程度,根据 散点图可判断相关系数的正负和大小． 􀳀[变式训练] １．下面的散点图与相关系数r一定不符合的是 (　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 　　　利用相关系数判断相关性 [例２]　一般来说,一个人的身高越高,他的 手就越大,为调查这一问题,对某校１０名高 一男生的身高与右手长度进行测量得到如 下数据(单位:cm): 身高 １６８ １７０ １７１ １７２ １７４ １７６ １７８ １７８ １８０ １８１ 右手 长度 １９．０２０．０２１．０２１．５２１．０２２．０２３．０２４．０２２．５２３．０ (１)判断两者有无线性相关关系; (２)如果具有线性相关关系,判断相关性的 强弱． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　作出散点图,判断线性相关 性;根据公式求出相关系数,结论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 相关系数的关注点 (１)相关系数可以反映两个变量之间的线 性相关程度,即散点集中于一条直线的 程度,其 符 号 反 映 了 相 关 关 系 的 正 负性． (２)变量间是否具有线性相关关系,可通过 散点图或相关系数作出判断,散点图只 是粗略作出判断,用相关系数能够较准 确的判断相关的程度． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ２．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃 物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污 染性,所以需要无害化、减量化处理．某省为 调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的 方法抽取２０个县城进行了分析,得到样本 数据(xi,yi)(i＝１,２,􀆺,２０),其中xi 和yi 分别表示第i个县城的人口(单位:万人)和 该县年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得: ∑ ２０ i＝１ xi＝８０,∑ ２０ i＝１ yi＝４０００,∑ ２０ i＝１ (xi－􀭺x)２＝８０, ∑ ２０ i＝１ (yi－􀭵y)２＝８０００,∑ ２０ i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ＝７００． (１)求这２０个县年垃圾产生总量的平均值; (２)请用相关系数说明该组数据中Y 与X 之间的关系可用线性回归模型进行拟合． (当０．７５＜|r|≤１时,Y 与X 的相关关系较 强,否则相关关系较弱．) 参考公式:相关系数 r＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２∑ n i＝１ (yi－􀭵y)２ ． 　　　非线性相关性检验 [例３]　中药藿香产业 化种植已经成为某贫 困山区农民脱贫攻坚 的重要产业之一,藿香 在环境温度为１５~２８℃时生长旺盛,环境 温度高于２８℃或低于１５℃时生长缓慢或 停止．藿香的株高Y(单位:cm)与生长期内 环境温度１５＋X(单位:℃)中的X 有关,现 收集了１３组藿香生长期内环境温度中的xi 和株高yi(i＝１,２,􀆺,１３)观测数据,得到如 图所示的(xi,yi)散点图． 根据散点图判断,可以利用模型Y＝a＋ b X或Y＝c＋dX 建立Y 关于X 的回归方 程,令S＝ X,T＝１X ,统计处理得到一些数 据:(si,yi)的线性相关系数r１＝０．８８５８, (ti,yi)的线性相关系数r２＝－０．９９５３．􀭺x＝ １０．１５,􀭵y＝１０９．９４,􀭰s＝３．０４,􀭰t＝０．１６,∑ １３ i＝１ siyi －１３􀭰s􀭵y＝１３．９４,∑ １３ i＝１ tiyi－１３􀭰t􀭵y ＝－２．１０, ∑ １３ i＝１ s２i－１３􀭰s２＝１１．６７,∑ １３ i＝１ t２i－１３􀭰t２＝０．２１,∑ １３ i＝１ y２i －１３􀭵y２＝２１．２２．用线性相关系数说明上面 的两种模型哪种适宜作为Y 关于X 的回归 方程,并求这种模型的回归方程,由此预测 这种中药藿香在生长期内的环境温度为 ２０℃ 时的株高(株高精确到１)． 附:对于一组数据(ui,vi)(i＝１,２,３,􀆺,n), 其回归直线V＝̂α＋̂βU的斜率和截距的最小二 乘估计分别为̂β＝ ∑ １３ i＝１ uivi－n􀭵u􀭵v ∑ １３ i＝１ u２i－n􀭵u２ ,̂α＝􀭵v－̂β􀭵u． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０２􀅰 第七章　统计案例 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 非线性相关性检验的步骤: (１)通过相关系数,选取适合的函数模型, 通过换元法转化成线性回归模型并转 化数据 (２)求换元后的回归直线方程 (３)建立非线性回归模型 􀳀[变式训练] ３．某公司为了了解年研发资金投人量 X(单 位:亿元)对年销售额Y(单位:亿元)的影 响．对公司近１２年的年研发资金投入量xi 和年销售额yi 的数据,进行了对比分析,建 立了两个函数模型:①Y＝α＋βX ２,②Y＝ eλX＋t,其中α、β、λ、t均为常数,e为自然对数的 底数．并得到一些统计量的值．令ui＝x２i,vi＝ lnyi(i＝１,２,􀆺,１２),经计算得如下数据: 􀭺x 􀭵y 􀰑 １２ i＝１ (xi－􀭺x)２􀰑 １２ i＝１ (yi－􀭵y)２ 􀭵u 􀭵v ２０ ６６ ７７ ２ ４６０ ４．２０ 􀰑 １２ i＝１ (ui－􀭵u)２ 􀰑 １２ i＝１ (ui－􀭵u)(yi－􀭵y) 􀰑 １２ i＝１ (vi－􀭵v)２ 􀰑 １２ i＝１ (xi－􀭺x) (vi－􀭵v) ３１２５０ ２１５ ３．０８ １４ (１)请从相关系数的角度,分析哪一个模型 拟合程度更好? (２)①根据(１)的选择及表中数据,建立Y 关 于X 的线性回归方程; ②若下一年销售额Y 需达到９０亿元,预测 下一年的研发资金投入量X 是多少亿元? 附:相关系数:r＝ 􀰑 n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) 􀰑 n i＝１ (xi－􀭺x)２ 􀰑 n i＝１ (yi－􀭵y)２ , 回归直线Y＝̂a＋̂bX 中公式分别为:̂b＝ 􀰑 n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) 􀰑 n i＝１ (xi－􀭺x)２ ,̂a＝􀭵y－̂b􀭺x; 参考数据:３０８＝４×７７,９０≈９．４８６８,e４．４９９８ ≈９０． [当堂达标] １．对两个变量 X,Y 进行线性相关检验,得线 性相关系数r１＝０．７８５９,对两个变量U,V 进行线性相关检验,得线性相关系数r２＝ －０．９５６８,则下列判断正确的是 (　　) A．变量X 与Y 正相关,变量U 与V 负相 关,变量X 与Y 的线性相关性较强 B．变量 X 与Y 负相关,变量U 与V 正相 关,变量X 与Y 的线性相关性较强 C．变量 X 与Y 正相关,变量U 与V 负相 关,变量U 与V 的线性相关性较强 D．变量 X 与U 负相关,变量U 与V 正相 关,变量U 与V 的线性相关性较强 ２．如图１,２分别表示样本容量均为７的A、B 两组成对数据的散点图,已知 A 组成对数 据的样本相关系数为r１,B 组成对数据的样 本相关系数为r２,则r１ 与r２ 的大小关系为 (　　) A．r１＝r２ B．r１＜r２ C．r１＞r２ D．无法判断 ３．变量 X 与Y 相对应的一组数据为(１０,１), (１１．３,２),(１１．８,３),(１２．５,４),(１３,５);变量U 与V 相对应的一组数据为(１０,５),(１１．３,４), (１１．８,３),(１２．５,２),(１３,１)．r１ 表示变量Y 与 X之间的样本相关系数,r２ 表示变量V 与U 之间的样本相关系数,则 (　　) A．r２＜r１＜０　　　　　　B．０＜r２＜r１ C．r２＜０＜r１ D．r２＝r１ ４．某考察团对全国１０个城市进行职工人均工 资水平X(千元)与居民人均消费水平Y(千 元)统计调查,Y 与X 具有相关关系,回归 方程为Y＝０．６６X＋１．５６２,若某城市居民 人均消费水平为７􀆰６７５千元,试估计该城市 人均消费额占人均工资收入的百分比． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册