第六章 4.2 超几何分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

[当堂达标] １．某一批花生种子,如果每１粒发芽的概率为 ４ ５ ,那么播下３粒种子恰有２粒发芽的概 率是 (　　) A．１２１２５　　B． ４８ １２５　　C． １６ １２５　　D． ９６ １２５ ２．将一枚硬币连掷５次,如果出现k次正面的 概率等于出现k＋１次正面的概率,那么k 的值是 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ３．在４次独立重复试验中,事件A 发生的概 率相同,若事件A 至少发生１次的概率为 ６５ ８１ ,则事件A 在１次试验中发生的概率为 (　　) A．１３ B． ２ ５ C． ５ ６ D． ３ ４ ４．有一批产品,其中有１２件正品和４件次品, 从中有放回地任取３次,若 X 表示取到次 品的次数,则P(X≥２)＝　　　　． ５．甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分 别是２ ３ 和３ ４ ,假设每次射击是否击中目标, 相互之间没有影响． (１)求甲射击３次,至少１次未击中目标的 概率; (２)求两人各射击２次,甲恰好击中目标２ 次且乙恰好击中目标１次的概率． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．２　超几何分布 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解超几何分布的概念 ２．理解超几何分布与二项分布的关系 ３．会用超几何分布解决一些简单的实际问题 １．通过学习超几何分布,体会数学抽 象的素养 ２．借助超几何分布解题,提高数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在新型肺炎期间,上海市招募的１００名医 学服务志愿者中,男同志有４５人,现要选派 ２０人去市南区协助做好社区人员排查登记, 其中男同志不少于１０人的概率是多少? [知识梳理] [知识点一]　超几何分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义:一般地,设有N 件产品,其中有 M(M ≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品,用 X 表示取出的n 件产品中次品的件数,那么 P(X＝k)＝ CkMCn－kN－M CnN ,max{０,n－(N－M)} ≤k≤min{n,M}．其中n≤N,M≤N,n,M, N∈N＋． 公式中的k可以取的最小值为 max{０,n－ (N－M)},而不一定是　　． 若一个随机变量 X 的分布列由上式确定, 则称随机变量X 服从参数为N,M,n的超 几何分布． [知识点二]服从超几何分布的随机变量的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 均值 􀪋􀪋 一般地,当随机变量X 服从参数为N,M,n 的超几何分布时,其均值为EX＝　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８１􀅰 第六章　概　率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　 利用超几何分布公式计算概率时有 什么规律? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(对的打“√”,错的打“×”)． (１)将一枚硬币连抛３次,正面向上的次数 X 服从超几何分布． (　　) (２)盒中有４个白球和３个黑球,有放回地 摸取 ３ 个球,黑球的个数 X 服从超几何 分布． (　　) (３)某射手的命中率为０．８,现对目标射击３ 次,命中目标的次数X 服从超几何分布． (　　) (４)在超几何分布中,只要知道 N,M 和n, 就可以根据公式,求出X 取不同值m 时的概 率P(X＝m)． (　　) ２．在１０个村庄中,有４个村庄交通不方便,若 用随机变量X 表示任选６个村庄中交通不 方便的村庄的个数,则X 服从超几何分布, 其参数为 (　　) A．N＝１０,M＝４,n＝６ B．N＝１０,M＝６,n＝４ C．N＝１４,M＝１０,n＝４ D．N＝１４,M＝４,n＝１０ ３．袋中有１０个球,其中７个是红球,３个是白 球,任意取出３个,这３个都是红球的概 率是 (　　) A．１１２０ B． ７ ２４ C．７１０ D． ３ ７ ４．从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任取２ 台,若设 X 表示所取的２台彩电中甲型彩 电的台数,则P(X＝１)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　超几何分布问题的判定 [例１]　下列问题中,哪些属于超几何分布问 题,说明理由． (１)抛掷三枚骰子,所得向上的数是６的骰 子的个数记为X,求X 的概率分布; (２)有一批种子的发芽率为７０％,任取１０ 颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的 个数记为X,求X 的概率分布; (３)盒子中有红球３只,黄球４只,蓝球５ 只．任取３只球,把不是红色的球的个数记 为X,求X 的概率分布; (４)某班级有男生２５人,女生２０人．选派４ 名学生参加学校组织的活动,班长必须参 加,其 中 女 生 人 数 记 为 X,求 X 的 概 率 分布; (５)现有１００台 MP３播放器未经验测,抽取 １０台送检,把检验结果为不合格的 MP３播 放器的个数记为X,求X 的概率分布． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据超几何分布的定义判 断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应 看三点: １．总体是否可分为两类明确的对象; ２．是否为不放回抽样; ３．随机变量是否为样本中其中一类个体的 个数． 􀳀[变式训练] １．(多选)下列随机变量X 不服从超几何分布 的是 (　　) A．X 表示n 次重复抛掷１枚骰子出现点数 是３的倍数的次数 B．X 表示连续抛掷２枚骰子,所得的２个骰 子的点数之和 C．有一批产品共有 N 件,其中次品有 M 件 (N＞M＞０),采用有放回抽取方法抽取 n次(n＞N),抽出的次品件数为X D．有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次 品,采用不放回抽取方法抽n件,出现次 品的件数为X(N－M＞n＞０) 　　　利用超几何分布求概率及超几何分布列 [例２]袋中有４个红球,３个黑球,这些球除 颜色外完全相同,从袋中随机抽取球,设取 到一个红球得２分,取到一个黑球得１分, 从袋中任取４个球． (１)求得分X 的分布列; (２)求得分大于６分的概率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 　 写出X 的 可能值 → 求出每个X 对应的概率 → 写出分 布列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 超几何分布的求解步骤 (１)辨模型:结合实际情景分析所求概率分 布问题是否具有明显的两部分组成,如 “男生、女生”,“正品、次品”,“优劣”等, 或可转化为明显的两部分．具有该特征 的概率模型为超几何分布模型． (２)算概率:可以直接借助公式P(X＝k) ＝ CkMCn－kN－M CnN 求解,也可以利用排列组合 及概率的知识求解,需注意借助公式求 解时应理解参数N,M,n,k的含义． (３)列分布表:把求得的概率值通过表格表示 出来． 􀳀[变式训练] ２．袋中有８个球,其中５个黑球,３个红球,从 袋中任取３个球,求取出的红球数 X 的分 布列,并求至少有一个红球的概率． 　　　超几何分布的均值 [例３]　在５件产品中含有２件次品,从这５ 件产品中选出３件所含的次品数设为X,则 X 的均值为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] 明确N,M,n的值各是什么,代入均值公 式计算．． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于超几何分布的均值求法 首先明确随机变量是否服从超几何分布, 把握等可能,不放回两个特点;其次是明确 公式中的参数,即 N,M,n的值各是什么; 最后代入公式计算均值． 􀳀[变式训练] ３．设１０件产品有３件次品,从中抽取２件进 行检查,则查得次品的均值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８１􀅰 第六章　概　率 　　　超几何分布与二项分布的区别 [例４]　某食品厂为了检查一条自动包装流 水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 ４０件产品作为样本称出它们的质量(单位: 克),质量的分组区间为(４９０,４９５],(４９５, ５００],􀆺,(５１０,５１５]．由此得到样本的频率 分布直方图如图． (１)根据频率分布直方图,求质量超过５０５ 克的产品数量; (２)在上述抽取的４０件产品中任取２件,设 X 为质量超过５０５克的产品数量,求 X 的 分布列; (３)从该流水线上任取２件产品,设Y 为质 量超过５０５克的产品数量,求Y 的分布列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)结合频率分布直方图 求解; (２)结合超几何分布及古典概型求X 的分 布列; (３)先分析Y 服从什么分布,再选择相应公 式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布 二项分布 区别 超几何分布是不放 回抽样,取出一个则 总体中就少一个,因 此每次取到某物的 概率是不同的． 二项分布是有放回 抽样,每次抽取时的 总体没有改变,因此 每次抽到某事物的 概率都是相同的,可 以看成是独立重复 试验． 联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机 抽取的n件产品中次品数的分布规律,二 者的均值相同． 对于不放回抽样,当n远远小于N 时,每 抽取一次后,对 N 的影响很小,此时超几 何分布可以用二项分布近似． 􀳀[变式训练] ４．老师要从１０篇课文中随机抽３篇让学生背 诵,某同学只能背诵其中的６篇． (１)求抽到他能背诵的 课 文 的 数 量 的 分 布列; (２)若老师从１０篇课文中有放回抽取３篇, 求抽到他能背诵的课文的数量的分布列． [当堂达标] １．从有５名团员的１０人中任选４人参加某种 活动,用X 表示４人中的团员人数,则P(X ＝３)＝ (　　) A．４２１　　 B． ３ ７　　 C． ８ ２１　　 D． ５ ２１ ２．盒子里共有７个除了颜色外完全相同的球, 其中有４个红球３个白球,从盒子中任取３ 个球,则恰好取到２个红球１个白球的概率 为 (　　) A．２４３５ B． １８ ３５ C． １２ ３５ D． ６ ３５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ３．设袋中有８０个红球,２０个白球,若从袋中 任取１０个球,则其中恰有６ 个红球的概 率为 (　　) A． C４８０C６１０ C１０１００ B． C６８０C４１０ C１０１００ C． C４８０C６２０ C１０１００ D． C６８０C４２０ C１０１００ ４．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民 中抽取２０人参加宣传活动,这２０人中年 龄低于３０岁的有５人．现从这２０人中随 机选取２人各赠送一部手机,记 X 为选 取的年龄低于３０岁的人数,则P(X＝１) ＝　　　　． ５．在一次英语口语考试中,有备选的１０道试 题,已知某考生能答对其中的８道试题,规 定每次考试都从备选题中任选３道试题进 行测试,至少答对２道试题才算及格,求该 考生答对试题数 X 的分布列,并求该考生 及格的概率． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §５　正态分布 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义 ２．了解变量落在区间 (μ－σ,μ＋σ),(μ－２σ,μ＋２σ), (μ－３σ,μ＋３σ)的概率大小 ３．会用正态分布去解决实际问题 １．通过学习正态分布和标准正态 分布,体会数学抽象与直观想 象的素养 ２．借助正态分布中的“３σ原则”解 题及标准正态分布提升数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　某钢铁加工厂生产内径为２５．４０mm 的 钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任 取１００件检测,测得它们的实际尺寸如下: ２５．３９２５．３６２５．３４２５．４２２５．４５２５．３８２５．３９ ２５．４２２５．４７２５．３５２５．４１２５．４３２５．４４２５．４８ ２５．４５２５．４３２５．４６２５．４０２５．５１２５．４５２５．４０ ２５．３９２５．４１２５．３６２５．３８２５．３１２５．５６２５．４３ ２５．４０２５．３８２５．３７２５．４４２５．３３２５．４６２５．４０ ２５．４９２５．３４２５．４２２５．５０２５．３７２５．３５２５．３２ ２５．４５２５．４０２５．２７２５．４３２５．５４２５．３９２５．４５ ２５．４３２５．４０２５．４３２５．４４２５．４１２５．５３２５．３７ ２５．３８２５．２４２５．４４２５．４０２５．３６２５．４２２５．３９ ２５．４６２５．３８２５．３５２５．３１２５．３４２５．４０２５．３６ ２５．４１２５．３２２５．３８２５．４２２５．４０２５．３３２５．３７ ２５．４１２５．４９２５．３５２５．４７２５．３４２５．３０２５．３９ ２５．３５２５．４６２５．２９２５．４０２５．３７２５．３３２５．４０ ２５．３５２５．４１２５．３７２５．４７２５．３９２５．４２２５．４７ 　２５．３８２５．３９ 把这批产品的内径尺寸看作一个总体,那么这 １００件产品的实际尺寸就是一个容量为１００ 的样本;可得到这组样本数据的频率分布直 方图 当样本容量n越来越大时,分组越来越细,那 么,频率直方图将如何变化? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８１􀅰 第六章　概　率 P(A)＝P(B１)＋P(B２)＝C２３ ２ ３( ) ２ 􀅰１ ３C ０ ３ １ ２( ) ３ ＋ C３３ ２ ３( ) ３ 􀅰C１３ １ ２( ) ３ ＝１１８＋ １ ９＝ １ ６． ２．解:(１)设 事 件 A:“张 同 学 所 取 的３道 题 至 少 有１道 乙 类 题”,则有A:“张同学所取的３道题都是甲类题”． 因为P(A)＝C ３ ６ C３１０ ＝１６ , 所以P(A)＝１－P(A)＝５６． (２)X 所有可能的取值为０,１,２,３． P(X＝０)＝C０２× ３ ５( ) ０ × ２５( ) ２ ×１５＝ ４ １２５ , P(X＝１)＝C１２× ３ ５( ) １ × ２５( ) １ ×１５＋C ０ ２ ３ ５( ) ０ × ２５( ) ２ ×４５＝ ２８ １２５ , P(X＝２)＝C２２× ３ ５( ) ２ × ２５( ) ０ ×１５＋C １ ２ ３ ５( ) １ × ２５( ) １ ×４５＝ ５７ １２５ , P(X＝３)＝C２２× ３ ５( ) ２ × ２５( ) ０ 􀅰４ ５＝ ３６ １２５． 所以X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ４１２５ ２８ １２５ ５７ １２５ ３６ １２５ ３．解:(１)由频率分布直方图可知,抽取的产品为合格品的频率 为(０．７５＋０．６５＋０．２)×０．５＝０．８,即抽取１个产品为合格 品的概率为４ ５ , 从产品中随机抽取４个,合格品的个数ξ的所有可能取值为 ０,１,２,３,４,则P(ξ＝０)＝ １ ５( ) ４ ＝ １６２５ , P(ξ＝１)＝C １ ４× ４ ５ × １ ５( ) ３ ＝１６６２５ ,P(ξ＝２)＝C ２ ４× ４ ５( ) ２ × １５( ) ２ ＝９６６２５ ,P(ξ＝３)＝C ３ ４× ４ ５( ) ３ ×１５ ＝ ２５６ ６２５ , P(ξ＝４)＝ ４ ５( ) ４ ＝２５６６２５． 所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ ４ P １６２５ １６ ６２５ ９６ ６２５ ２５６ ６２５ ２５６ ６２５ ξ的均值Eξ＝４× ４ ５＝ １６ ５． (２)从 产 品 中 随 机 抽 取n 个 产 品,全 是 合 格 品 的 概 率 为 ４ ５( ) n ,依题意得 ４ ５( ) n ≥０．３,故n的最大值为５． (３)设按A 方案进行试验后,随机抽取１个产品是不合格品 的概率是a,则 随 机 抽 取 １５ 个 产 品,不 合 格 品 个 数 X~ B(１５,a);设按B 方案进行试验后,随机抽取１个产品是不 合格品的概率是b,则 随 机 抽 取２５个 产 品,不 合 格 品 个 数 Y~B(２５,b)． 依题意得EX＝１５a＝２,EY＝２５b＝４,所以a＝２１５ ,b＝４２５ ． 因为２ １５ ＜ ４ ２５ ,所以应选择A 方案． 当堂达标 １．B　[播下３粒种子恰有２粒发芽的概率为 C２３ ４ ５( ) ２ × １－４５( )＝ ４８ １２５． ] ２．C　[事件 A“正面向上”发生的次数ξ~B ５, １ ２( ) ,由题设 Ck５ １ ２( ) ５ ＝Ck＋１５ 􀅰 １ ２( ) ５ ,所以k＋k＋１＝５,所以k＝２．] ３．A　[事件A 在一次试验中发生的概率为p,由题意得１－ C０４p０(１－p)４＝ ６５ ８１ ,所以１－p＝２３ ,p＝１３ ． ] ４．解析:因为是有放回地取产品,所以每次取产品(试验)取得 次品(成功)的概率为１ ４ , 从中取３次(做３次试验),X 为取得次品(成功)的次数,则 X~B ３,１４( ) , ∴P(X≥２)＝P(X＝２)＋P(X＝３)＝ C２３× １ ４( ) ２ ×３４＋C ３ ３ １ ４( ) ３ ＝５３２． 答案:５ ３２ ５．解:(１)记“甲射击３次,至少有１次未击中目标”为事件A１, 由题意,射击３次,相当于３次独立重复试验． 故P(A１)＝１－P(A１)＝１－ ２ ３( ) ３ ＝１９２７． (２)记“甲射击２次,恰有２次击中目标”为事件A２,“乙射击 ２次,恰有１次击中目标”为事件B２,则 P(A２ )＝C２２ × ２ ３( ) ２ ＝ ４９ ,P (B２ )＝C１２ × ３ ４( ) １ × １－３４( )＝ ３ ８． 由于甲、乙射击相互独立,故P(A２B２)＝ ４ ９× ３ ８＝ １ ６． ４．２　超几何分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一　０　 知识点二　nMN [思考] [提示]　因为公式中都是组合数,用组合数公式展开后,要 先约分再进行运算,这样可以简化运算的过程． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．A　[根据超几何分布概率模型知 N＝１０,M＝４,n＝６．] ３．B　[P＝C ３ ７􀅰C０３ C３１０ ＝７２４． ] ４．解析:X＝１表示的结果是抽取的２台彩电有甲型和乙型彩 电各一台,故所求概率P(X＝１)＝C １ ３C１２ C２５ ＝３５． 答案:３ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)(２)中样本没有分类,不是超几何分布问 题,是重复试验问题． (３)(４)符合超几何分布的特征,样本都分为两类．随机变量 X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件数,是超几何 分布． (５)中没有给出不合格产品数,无法计算 X 的概率公布,所 以不属于超几何分布问题． [例２]　[解]　(１)从袋中任取４个球的情况为:１红３黑,２ 红２黑,３红１黑,４红,共四种情况,得分分别为５分,６分, ７分,８分,故X 的可能取值为５,６,７,８． P(X＝５)＝C １ ４C３３ C４７ ＝４３５ ,P(X＝６)＝C ２ ４C２３ C４７ ＝１８３５ , P(X＝７)＝C ３ ４C１３ C４７ ＝１２３５ ,P(X＝８)＝C ４ ４ C４７ ＝１３５． 故所求分布列为 X ５ ６ ７ ８ P ４３５ １８ ３５ １２ ３５ １ ３５ (２)根据 随 机 变 量 的 分 布 列 可 以 得 到 大 于 ６ 分 的 概 率 为 P(X＞６)＝P(X＝７)＋P(X＝８)＝１２３５＋ １ ３５＝ １３ ３５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [例３]　[解析]　法一:X 可能取的值是０,１,２． P(X＝０)＝C ０ ２C３３ C３５ ＝１１０ ,P(X＝１)＝C １ ２C２３ C３５ ＝６１０ , P(X＝２)＝C ２ ２C１３ C３５ ＝３１０． 所以X 的分布列为 X ０ １ ２ P １１０ ６ １０ ３ １０ 所以EX＝０×１１０＋１× ６ １０＋２× ３ １０＝ ６ ５． 法二:由题意,N＝５,M＝２,n＝３,故EX＝nMN ＝ ２×３ ５ ＝ ６ ５． [答案]　６５ [例４]　[解]　(１)质量超过５０５克的产品的频率为５×０．０５ ＋５×０．０１＝０．３, 所以质量超过５０５克的产品数量为４０×０．３＝１２(件)． (２)重量超过５０５克的产品数量为１２件,则重量未超过５０５ 克的产品数量为２８件,且X~H(４０,２,１２)． ∴P(X＝０)＝C ２ ２８ C２４０ ＝６３１３０ ,P(X＝１)＝C １ １２C１２８ C２４０ ＝２８６５ , P(X＝２)＝C ２ １２ C２４０ ＝１１１３０ , ∴X 的分布列为 X ０ １ ２ P ６３１３０ ２８ ６５ １１ １３０ (３)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超 过５０５克的概率为１２４０＝ ３ １０． 从流水线上任取２件产品互不影响,该问题可看成２次独立 重复试验,质量超过５０５克的件数Y 的可能取值为０,１,２, 且Y~B ２,３１０( ) , P(Y＝k)＝Ck２ １－ ３ １０( ) ２－k ３ １０( ) k , 所以P(Y＝０)＝C０２􀅰 ７ １０( ) ２ ＝４９１００ , P(Y＝１)＝C１２􀅰 ３ １０ 􀅰７ １０＝ ２１ ５０ , P(Y＝２)＝C２２􀅰 ３ １０( ) ２ ＝ ９１００． ∴Y 的分布列为 Y ０ １ ２ P ４９１００ ２１ ５０ ９ １００ 变式训练 １．ABC　[对于 A,设事件E 为“抛掷一枚骰子出现的点数是３ 的倍数”,则 P(E)＝１３． 而在n次独立重复试验中事件E 恰好发生了k 次(k＝０,１, ２,􀆺,n)的概率P(ξ＝k)＝C k n １ ３( ) k ２ ３( ) n－k ,符合二项分 布的定义,不是超几何分布,故 A正确; 对于B,X 的取值是２,３,􀆺,１２, 且P(X＝２)＝１６× １ ６＝ １ ３６ ,P(X＝３)＝２× １６× １ ６＝ １ １８ , 􀆺,显然不符合超几何分布的定义,因此 X 不服从超几何分 布,故B正确． C和D的区别:C是“有放回”抽取,而D是“无放回”抽取,显 然 D中n次试验是不独立的,因此 D服从超几何分布,对于 C有X~B n,MN( ) 服从二项分布,故 C正确,D错误．] ２．解:由已知可得X 的取值为０,１,２,３, X＝０表示取出的３个球全是黑球,P(X＝０)＝C ３ ５ C３８ ＝１０５６ ＝ ５ ２８ ,同理P(X＝１)＝C １ ３􀅰C２５ C３８ ＝３０５６＝ １５ ２８ , P(X＝２)＝C ２ ３􀅰C１５ C３８ ＝１５５６ ,P(X＝３)＝C ３ ３ C３８ ＝１５６． ∴X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ５２８ １５ ２８ １５ ５６ １ ５６ 至少有一个红球的概率为P(X≥１)＝１－５２８＝ ２３ ２８． ３．解析:设查得次品数为X,由题意知X 服从超几何分布且N ＝１０,M＝３,n＝２,∴EX＝n􀅰MN ＝２× ３ １０＝ ３ ５． 答案:３ ５ ４．解:(１)设抽到他能背诵的课文的数量为 X,则 X 服从超几 何分布, P(X＝k)＝C k ６C３－k４ C３１０ ,k＝０,１,２,３． X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P １３０ ３ １０ １ ２ １ ６ (２)老师抽取一篇抽到该生能背诵的概率为p＝６１０ ＝ ３ ５ ,设 抽到他能背诵的课文的数量为X,则X~B ３,３５( ) , P(X＝k)＝Ck３× ３ ５( ) k × ２５( ) ３－k ,k＝０,１,２． 故X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ８１２５ ３６ １２５ ５４ １２５ ２７ １２５ 当堂达标 １．D　[P(X＝３)＝C ３ ５C１５ C４１０ ＝５２１ ． ] ２．B　[由题意得所求概率为P＝C ２ ４􀅰C１３ C３７ ＝６×３３５ ＝ １８ ３５． ] ３．D　[设 X 表示任取１０个球中红球的个数,则 X 服从参数 为N＝１００,M＝８０,n＝１０的超几何分布,取到的１０个球中 恰有６个红球,即X＝６,P(X＝６)＝C ６ ８０C４２０ C１０１００ ．] ４．解析:易知P(X＝１)＝C １ ５C１１５ C２２０ ＝１５３８． 答案:１５ ３８ ５．解:因为X＝１,２,３,P(X＝１)＝C １ ８C２２ C３１０ ＝１１５ ; P(X＝２)＝C ２ ８C１２ C３１０ ＝７１５ ; P(X＝３)＝C ３ ８C０２ C３１０ ＝７１５． 所以X 的分布列为 X １ ２ ３ P １１５ ７ １５ ７ １５ 该考生及格的概率为 P(X≥２)＝P(X＝２)＋P(X＝３)＝７１５＋ ７ １５＝ １４ １５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６２􀅰 参考答案