第六章 4.1 二项分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

当堂达标 １．B　[∵DX甲 ＞DX乙 ,∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．] ２．D　[Eξ＝１×０．３＋２×０．７＝１．７,Dξ＝(１－１．７) ２×０．３＋(２ －１．７)２×０．７＝０．２１．] ３．解析:根据题意可得 p＋q＝１, p－q＝１２ ,{ 解得 p＝３４ , q＝１４ , ì î í ïï ï 故 X 的方 差DX＝(１－１２ )２×３４ ＋ (－１－１２ )２×１４ ＝ ３ ４ ． 答案:３ ４ ４．解析:EX＝３×１３＋６× １ ３＋９× １ ３＝６ , DX＝(３－６)２×１３＋ (６－６)２×１３＋ (９－６)２×１３＝６． 答案:６ ５．解:(１)X 的取值为０,１,２,４． P(X＝０)＝ ５３×３＝ ５ ９ ; P(X＝１)＝１×１３×３＝ １ ９ ;P(X＝２)＝１＋１３×３＝ ２ ９ ; P(X＝４)＝ １３×３＝ １ ９． (２)X 的分布列如下: X ０ １ ２ ４ P ５９ １ ９ ２ ９ １ ９ 所以EX＝０×５９＋１× １ ９＋２× ２ ９＋４× １ ９＝１ , DX＝(０－１)２× ５９ ＋ (１－１)２× １９ ＋ (２－１)２× ２９ ＋ (４－ １)２×１９＝ １６ ９． §４　二项分布与超几何分布 ４．１　二项分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一１．可能结果　 [思考] １．[提示]　(１)每次试验的条件完全相同,相同事件的概率 不变; (２)各次试验结果互不影响; (３)每次试验结果只有两种,这两种结果是对立的． 知识点二　Cknpk(１－p)n－k　X~B(n,p)　 [思考] ２．[提示]　判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于 它是否同时满足以下三个条件． (１)对立性:在一次试验中,事件A 发生与否必居其一． (２)重复性:试验可以独立重复地进行,且每次试验事件 A 发生的概率都是同一常数p． (３)X 的取值从０到n,中间不间断． 由上可以发现 ,两点分布是一种特殊的二项分布,即n＝１ 时的二项分布,所以二项分布可以看成是两点分布的一般形 式,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． 知识点三　np　np(１－p)　 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．C　[某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为 ２５ ,现 甲参加３次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P＝C１３× ２ ５( ) ３ ５( ) ２ ＝５４１２５． ] ３．B　[因为随机变量X~B ４,１３( ) , 所以EX＝４×１３＝ ４ ３． ] ４．解析:P(X＝２)＝C２６ １－ １ ３( ) ４ １ ３( ) ２ ＝８０２４３． 答案:８０ ２４３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)至少３人同时上网的概率等于１减去至多 ２人同时上网的概率,即p＝１－C０６×(０．５)６－C１６×(０􀆰５)１× (０􀆰５)５－C２６×(０􀆰５)２×(０􀆰５)４＝ ２１ ３２． (２)至少４人同时上网的概率为 C４６×(０􀆰５)４×(０􀆰５)２＋C５６×(０􀆰５)５×(０􀆰５)１＋C６６×(０􀆰５)６ ＝１１３２＞０􀆰３． 至少５人同时上网的概率为 C５６×(０􀆰５)５×(０􀆰５)１＋C６６×(０􀆰５)６＝ ７ ６４＜０􀆰３． ∴至少５人同时上网的概率小于０．３． [例２]　[解]　(１)ξ~B ５, １ ３( ) ,ξ的分布列为 P(ξ＝k)＝C k ５ １ ３( ) k ２ ３( ) ５－k ,k＝０,１,２,３,４,５． (２)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯,第k＋１个是 红灯)＝ ２３( ) k 􀅰１ ３ ,k＝０,１,２,３,４;P(η＝５)＝P(５个均为 绿灯)＝ ２３( ) ５ ． 故η的分布列为 η ０ １ ２ ３ ４ ５ P １３ ２ ９ ４ ２７ ８ ８１ １６ ２４３ ３２ ２４３ [例３]　[解]　(１)甲上学期间的三天中到校情况相互独立, 且每天７:３０之前到校的概率均为２３ , 故X~B ３,２３( )．P(X＝０)＝C ０ ３ ２ ３( ) ０ １ ３( ) ３ ＝１２７ , P(X＝１)＝C１３ ２ ３( ) １ １ ３( ) ２ ＝２９ , P(X＝２)＝C２３ ２ ３( ) ２ １ ３( ) １ ＝４９ , P(X＝３)＝C３３ ２ ３( ) ３ １ ３( ) ０ ＝８２７． 故X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P １２７ ２ ９ ４ ９ ８ ２７ X 的数学期望为EX＝３×２３＝２． (２)设乙同学上学期间的三天中７:３０到校的天数为Y,则Y ~B ３,２３( ) , 由题意,M＝{X＝３,Y＝１}∪{X＝２,Y＝０}, 由事件的独立性和互斥性,得 P(M)＝P{X＝３,Y＝１}＋P{X＝２,Y＝０}＝ P{X＝３}P{Y＝１}＋P{X＝２}P{Y＝０}＝８２７× ２ ９＋ ４ ９× １ ２７ ＝２０２４３． 变式训练 １．解:(１)甲恰好击中目标２次的概率为C２３ １ ２( ) ３ ＝３８． (２)乙至少击中目标２次的概率为 C２３ ２ ３( ) ２ １ ３( )＋C ３ ３ ２ ３( ) ３ ＝２０２７． (３)设乙恰好比甲多击中目标２次为事件A,乙恰好击中目 标２次且甲恰好击中目标０次为事件B１,乙恰好击中目标３ 次且甲恰好击中目标１次为事件B２,则A＝B１＋B２,B１,B２ 为互斥事件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６２􀅰 参考答案 P(A)＝P(B１)＋P(B２)＝C２３ ２ ３( ) ２ 􀅰１ ３C ０ ３ １ ２( ) ３ ＋ C３３ ２ ３( ) ３ 􀅰C１３ １ ２( ) ３ ＝１１８＋ １ ９＝ １ ６． ２．解:(１)设 事 件 A:“张 同 学 所 取 的３道 题 至 少 有１道 乙 类 题”,则有A:“张同学所取的３道题都是甲类题”． 因为P(A)＝C ３ ６ C３１０ ＝１６ , 所以P(A)＝１－P(A)＝５６． (２)X 所有可能的取值为０,１,２,３． P(X＝０)＝C０２× ３ ５( ) ０ × ２５( ) ２ ×１５＝ ４ １２５ , P(X＝１)＝C１２× ３ ５( ) １ × ２５( ) １ ×１５＋C ０ ２ ３ ５( ) ０ × ２５( ) ２ ×４５＝ ２８ １２５ , P(X＝２)＝C２２× ３ ５( ) ２ × ２５( ) ０ ×１５＋C １ ２ ３ ５( ) １ × ２５( ) １ ×４５＝ ５７ １２５ , P(X＝３)＝C２２× ３ ５( ) ２ × ２５( ) ０ 􀅰４ ５＝ ３６ １２５． 所以X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ４１２５ ２８ １２５ ５７ １２５ ３６ １２５ ３．解:(１)由频率分布直方图可知,抽取的产品为合格品的频率 为(０．７５＋０．６５＋０．２)×０．５＝０．８,即抽取１个产品为合格 品的概率为４ ５ , 从产品中随机抽取４个,合格品的个数ξ的所有可能取值为 ０,１,２,３,４,则P(ξ＝０)＝ １ ５( ) ４ ＝ １６２５ , P(ξ＝１)＝C １ ４× ４ ５ × １ ５( ) ３ ＝１６６２５ ,P(ξ＝２)＝C ２ ４× ４ ５( ) ２ × １５( ) ２ ＝９６６２５ ,P(ξ＝３)＝C ３ ４× ４ ５( ) ３ ×１５ ＝ ２５６ ６２５ , P(ξ＝４)＝ ４ ５( ) ４ ＝２５６６２５． 所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ ４ P １６２５ １６ ６２５ ９６ ６２５ ２５６ ６２５ ２５６ ６２５ ξ的均值Eξ＝４× ４ ５＝ １６ ５． (２)从 产 品 中 随 机 抽 取n 个 产 品,全 是 合 格 品 的 概 率 为 ４ ５( ) n ,依题意得 ４ ５( ) n ≥０．３,故n的最大值为５． (３)设按A 方案进行试验后,随机抽取１个产品是不合格品 的概率是a,则 随 机 抽 取 １５ 个 产 品,不 合 格 品 个 数 X~ B(１５,a);设按B 方案进行试验后,随机抽取１个产品是不 合格品的概率是b,则 随 机 抽 取２５个 产 品,不 合 格 品 个 数 Y~B(２５,b)． 依题意得EX＝１５a＝２,EY＝２５b＝４,所以a＝２１５ ,b＝４２５ ． 因为２ １５ ＜ ４ ２５ ,所以应选择A 方案． 当堂达标 １．B　[播下３粒种子恰有２粒发芽的概率为 C２３ ４ ５( ) ２ × １－４５( )＝ ４８ １２５． ] ２．C　[事件 A“正面向上”发生的次数ξ~B ５, １ ２( ) ,由题设 Ck５ １ ２( ) ５ ＝Ck＋１５ 􀅰 １ ２( ) ５ ,所以k＋k＋１＝５,所以k＝２．] ３．A　[事件A 在一次试验中发生的概率为p,由题意得１－ C０４p０(１－p)４＝ ６５ ８１ ,所以１－p＝２３ ,p＝１３ ． ] ４．解析:因为是有放回地取产品,所以每次取产品(试验)取得 次品(成功)的概率为１ ４ , 从中取３次(做３次试验),X 为取得次品(成功)的次数,则 X~B ３,１４( ) , ∴P(X≥２)＝P(X＝２)＋P(X＝３)＝ C２３× １ ４( ) ２ ×３４＋C ３ ３ １ ４( ) ３ ＝５３２． 答案:５ ３２ ５．解:(１)记“甲射击３次,至少有１次未击中目标”为事件A１, 由题意,射击３次,相当于３次独立重复试验． 故P(A１)＝１－P(A１)＝１－ ２ ３( ) ３ ＝１９２７． (２)记“甲射击２次,恰有２次击中目标”为事件A２,“乙射击 ２次,恰有１次击中目标”为事件B２,则 P(A２ )＝C２２ × ２ ３( ) ２ ＝ ４９ ,P (B２ )＝C１２ × ３ ４( ) １ × １－３４( )＝ ３ ８． 由于甲、乙射击相互独立,故P(A２B２)＝ ４ ９× ３ ８＝ １ ６． ４．２　超几何分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一　０　 知识点二　nMN [思考] [提示]　因为公式中都是组合数,用组合数公式展开后,要 先约分再进行运算,这样可以简化运算的过程． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．A　[根据超几何分布概率模型知 N＝１０,M＝４,n＝６．] ３．B　[P＝C ３ ７􀅰C０３ C３１０ ＝７２４． ] ４．解析:X＝１表示的结果是抽取的２台彩电有甲型和乙型彩 电各一台,故所求概率P(X＝１)＝C １ ３C１２ C２５ ＝３５． 答案:３ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)(２)中样本没有分类,不是超几何分布问 题,是重复试验问题． (３)(４)符合超几何分布的特征,样本都分为两类．随机变量 X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件数,是超几何 分布． (５)中没有给出不合格产品数,无法计算 X 的概率公布,所 以不属于超几何分布问题． [例２]　[解]　(１)从袋中任取４个球的情况为:１红３黑,２ 红２黑,３红１黑,４红,共四种情况,得分分别为５分,６分, ７分,８分,故X 的可能取值为５,６,７,８． P(X＝５)＝C １ ４C３３ C４７ ＝４３５ ,P(X＝６)＝C ２ ４C２３ C４７ ＝１８３５ , P(X＝７)＝C ３ ４C１３ C４７ ＝１２３５ ,P(X＝８)＝C ４ ４ C４７ ＝１３５． 故所求分布列为 X ５ ６ ７ ８ P ４３５ １８ ３５ １２ ３５ １ ３５ (２)根据 随 机 变 量 的 分 布 列 可 以 得 到 大 于 ６ 分 的 概 率 为 P(X＞６)＝P(X＝７)＋P(X＝８)＝１２３５＋ １ ３５＝ １３ ３５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各１０株的分 蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲 ＝１１, DX乙＝３．４．由此可以估计 (　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 ２．已知随机变量ξ满足P(ξ＝１)＝０．３,P(ξ＝ ２)＝０．７,则Eξ和Dξ的值分别为 (　　) A．０．６和０．７　　　　　B．１．７和０．０９ C．０．３和０．７ D．１．７和０．２１ ３．已知某随机变量X的分布列如下表(p,q∈R), 且X的均值EX＝１２ ,那么X 的方差DX＝ 　　　　． X １ －１ P p q ４．已知随机变量 X 的分布列为P(X＝k)＝ １ ３ ,k＝３,６,９．则DX 等于　　　　． ５．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在 每张卡片上写上０,１,２,现从中任意抽取一 张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一 张,其上数字记作y,令X＝x􀅰y． 求:(１)X 所取各值的概率; (２)随机变量X 的数学期望与方差． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §４　二项分布与超几何分布 ４．１　二项分布 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解n次独立重复试验的模型 ２．理解二项分布 ３．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决 一些简单的应用问题 １．通过学习n次独立重复试验及二项分 布,体会数学抽象的素养 ２．借助二项分布解题,提高数学运算的 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　种植n 粒棉花种子,每一粒种子可能出 苗,也可能不出苗,其中出苗率是６７％; 射击n次,每一次射击可能击中目标,也 可能击不中目标,而且当射击条件不变时,可 以认为每次击中目标的概率p是不变的． 这样的试验每次都仅有两种对立状态,且 每次试验相互独立完成．这就是瑞士数学家雅 􀅰伯努利在概率论上作出的重要贡献．那么n 次独立重复试验是什么? 如何求在n次试验 中,该事件恰好发生k次的概率? [知识梳理] [知识点一]　n重伯努利试验 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．伯努利试验:我们把只包含两个　　　　　 的试验叫做伯努利试验． ２．定义:在相同条件下重复做n次伯努利试 验,且每次实验的结果都不受其他实验结果 的影响,称这样的n次独立重复试验为n 重 伯努利试验． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７１􀅰 第六章　概　率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．n 重伯努利试验．必须具备哪些 条件? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　二项分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验 中,用X 表示这n 次试验中成功的次数,且 每次成功的概率均为p,则X 的分布列可以 表示为P(X＝k)＝　　　　　　　　,k＝ ０,１,２,􀆺,n． 若一个随机变量 X 的分布列如上所述,则 称X 服从参数为n,p 的二项分布,简记为 　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．判断一个随机变量是否服从二项 分布的关键是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点三]　二项分布的均值与方差 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX＝ 　　　　,DX＝　　　　． 特殊地,若随机变量 X 服从参数为p 的两 点分布,则EX＝p,DX＝p(１－p)． [预习自测] １．判断正误(对的打“√”,错的打“×”)． (１)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数１ 出现２次的试验是４重伯努利试验．(　　) (２)若随机变量X~B(n,p),则X＝１,２􀆺,n． (　　) (３)若随机变量X~B(n,p),则P(X＝k)＝ Ckn(１－p)k􀅰pk． (　　) (４)某福彩的中奖概率为p,某人一次买了８ 张,中奖张数 X 是一个随机变量,且 X~ B(８,p)． (　　) ２．某次抽奖活动中,参与者每次抽到中奖的概 率均为２ ５ ,现甲参加３次抽奖,则甲恰好有 一次中奖的概率为 (　　) A．２５　　B． １８ １２５　　C． ５４ １２５　　D． ９ ２５ ３．已知随机变量X~B ４,１３ æ è ç ö ø ÷,那么随机变量 X 的均值EX＝ (　　) A．８９ B． ４ ３ C．２ D． ８ ３ ４．已 知 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布,X ~ B ６,１３ æ è ç ö ø ÷ ,则P(X＝２)等于　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用二项分布求概率 [例１]　某单位６个员工借助互联网开展工 作,每 个 员 工 上 网 的 概 率 是 ０．５(相 互 独立)． (１)求至少３人同时上网的概率; (２)至少几人同时上网的概率小于０􀆰３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．独立重复试验的判断 要判断n次独立重复试验中A 发生的 次数X 是否服从二项分布,关键是看试 验是否为独立重复试验,独立重复试验 的特点为: (１)每次试验是在相同的条件下进行的． (２)每次试验的结果不会受其他试验的影 响,即每次试验是相互独立的． (３)基本事件的概率可知,且每次试验保持 不变． (４)每次试验只有两种结果,要么发生,要么 不发生． ２．利用二项分布求概率的三个步骤 (１)判断:依据n次独立重复试验的特征, 判断所给试验是否为独立重复试验． (２)分拆:判断所求事件是否需要分拆． (３)计算:就每个事件依据n次独立重复试 验的概率公式求解,最后利用互斥事 件概率加法公式计算． 􀳀[变式训练] １．甲、乙两人各进行３次射击,甲每次击中目 标的概率为１ ２ ,乙每次击中目标的概率为 ２ ３ ,求: (１)甲恰好击中目标２次的概率; (２)乙至少击中目标２次的概率; (３)乙恰好比甲多击中目标２次的概率． 　　　二项分布的分布列 [例２]　一名学生每天骑自行车上学,从家到 学校的途中有５个交通岗,假设他在各交通 岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率 都是１ ３ ． (１)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的 分布列; (２)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的 地停车前经过的路口数η的分布列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．解决二项分布问题的两个关注点 (１)对于公式P(X＝k)＝ Cknpk(１－p)n－k(k＝０,１,２,􀆺,n)必须 在满足“独立重复试验”时才能运用,否 则不能应用该公式． (２)判断一个随机变量是否服从二项分布, 关键有两点:一是对立性,即一次试验 中,事件发生与否两者必有其一;二是 重复性,即试验是独立重复地进行了 n次． ２．求二项分布的分布列的一般步骤 (１)判断所述问题是否是相互独立试验． (２)建立二项分布模型． (３)求出相应概率． (４)写出分布列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８１􀅰 第六章　概　率 􀳀[变式训练] ２．现有１０道题,其中６道甲类题、４道乙类 题,张同学从中任取３道题解答． (１)求张同学至少取到１道乙类题的概率; (２)已知所取的３道题中有２道甲类题、１道乙 类题．设张同学答对每道甲类题的概率是 ３ ５ ,答对每道乙类题的概率是４ ５ ,且各题答 对与否相互独立,用 X 表示张同学答对题 的个数,求X 的分布列． 　　　二项分布的应用 [例３]　设甲、乙两位同学上学期间,每天７: ３０之前到校的概率均为２３ ,假定甲、乙两位 同学到校情况互不影响,且任一同学每天到 校情况相互独立． (１)用X 表示甲同学上学期间的三天中７: ３０之前到校的天数,求随机变量X 的期望; (２)设M 的事件“上学期间的三天中,甲同学在 ７:３０之前到校的天数比乙同学在７:３０之前到 校的天数恰好多２”,求事件M 发生的概率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据定义判断是否符合二 项分布．利用二项分布的公式求出概率, 列分布列,然后利用公式求期望值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于二项分布的应用 １．若随机变量符合二项分布,则可直接利 用公式求均值和方差; ２．在一些综合性的问题中,二项分布模型 要与其他的概率知识,如独立事件同时 发生,抽样等知识相结合应用．解题过程 中要分清随机变量取值的实际意义,利 用相关的概率知识解题． 􀳀[变式训练] ３．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零 件的情况,现从产品中随机抽取了８０个零 件进行测量,根据测量的数据作出如图所示 的频率分布直方图． 注:尺寸数据在[６３．０,６４．５)内的零件为合 格品,频率作为概率． (１)从产品中随机抽取４个,记合格品的个 数为ξ,求ξ的分布列与均值; (２)从产品中随机抽取n个,全是合格品的 概率不小于０．３,求n的最大值; (３)为了提高产品合格率,现提出A,B 两种 不同的改进方案进行试验．若按 A 方案进 行试验后,随机抽取１５个产品,不合格品个 数X 的均值是２;若按B 方案进行试验后, 随机抽取２５个产品,不合格品个数Y 的均 值是４．你会选择哪种改进方案? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．某一批花生种子,如果每１粒发芽的概率为 ４ ５ ,那么播下３粒种子恰有２粒发芽的概 率是 (　　) A．１２１２５　　B． ４８ １２５　　C． １６ １２５　　D． ９６ １２５ ２．将一枚硬币连掷５次,如果出现k次正面的 概率等于出现k＋１次正面的概率,那么k 的值是 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ３．在４次独立重复试验中,事件A 发生的概 率相同,若事件A 至少发生１次的概率为 ６５ ８１ ,则事件A 在１次试验中发生的概率为 (　　) A．１３ B． ２ ５ C． ５ ６ D． ３ ４ ４．有一批产品,其中有１２件正品和４件次品, 从中有放回地任取３次,若 X 表示取到次 品的次数,则P(X≥２)＝　　　　． ５．甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分 别是２ ３ 和３ ４ ,假设每次射击是否击中目标, 相互之间没有影响． (１)求甲射击３次,至少１次未击中目标的 概率; (２)求两人各射击２次,甲恰好击中目标２ 次且乙恰好击中目标１次的概率． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．２　超几何分布 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解超几何分布的概念 ２．理解超几何分布与二项分布的关系 ３．会用超几何分布解决一些简单的实际问题 １．通过学习超几何分布,体会数学抽 象的素养 ２．借助超几何分布解题,提高数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在新型肺炎期间,上海市招募的１００名医 学服务志愿者中,男同志有４５人,现要选派 ２０人去市南区协助做好社区人员排查登记, 其中男同志不少于１０人的概率是多少? [知识梳理] [知识点一]　超几何分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义:一般地,设有N 件产品,其中有 M(M ≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品,用 X 表示取出的n 件产品中次品的件数,那么 P(X＝k)＝ CkMCn－kN－M CnN ,max{０,n－(N－M)} ≤k≤min{n,M}．其中n≤N,M≤N,n,M, N∈N＋． 公式中的k可以取的最小值为 max{０,n－ (N－M)},而不一定是　　． 若一个随机变量 X 的分布列由上式确定, 则称随机变量X 服从参数为N,M,n的超 几何分布． [知识点二]服从超几何分布的随机变量的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 均值 􀪋􀪋 一般地,当随机变量X 服从参数为N,M,n 的超几何分布时,其均值为EX＝　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８１􀅰 第六章　概　率