第六章 3.2 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

３．２　离散型随机变量的方差 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解离散型随机变量的方差及标准差的 概念 ２．掌握方差的性质以及两点分布的方差 ３．会用方差解决一些实际问题 １．通过学习离散型随机变量的方差、标准差,体 会数学抽象的素养 ２．借助方差的性质及两点分布的方差解题,提 高数学运算的素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环 境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两 个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件 次数的分布列分别为 X ０ １ ２ ３ P ０．３ ０．３ ０．２ ０．３ Y ０ １ ２ P ０．１ ０．５ ０．４ 你能评定这两个保护区的管理水平吗? [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的方差与标 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 准差 􀪋􀪋 １．定义:若离散型随机变量X 的分布列为 X x１ x２ 􀆺 xi 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pi 􀆺 pn 则(xi－EX)２ 描述了xi(i＝１,２,􀆺,n)相对 于均值EX 的　　　　　　,而DX＝E(X －EX)２＝∑ n i＝１ (xi－EX)２pi 为这些偏离程度 的　　　　　　,刻画了随机变量X 与其均 值EX 的　　　　　　　．我们称 DX 为随 机变量X 的方差,其算术平方根 DX 为随 机变量X 的标准差,记作σX． ２．意义:随机变量的方差DX 和标准差σX 都 反映了随机变量的取值偏离于均值的平均 程度．方差(标准差)越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度　　　　;反之,方差(标 准差)越大,则随机变量的取值越　　　　． ３．一个结论:DX＝∑ n i＝１ (xi－EX)２pi＝ ∑ n i＝１ x２ipi－(EX)２． ４．性质:D(X＋b)＝ 　 　 　 　,D(aX)＝ 　　　　,D(aX＋b)＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 离散型随机变量的方差和样本方差 之间有何关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　两点分布的方差 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 若随机变量X 服从参数为p 的两点分布, 则DX＝p(１－p)． [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)离散型随机变量的方差越大,随机变量 越稳定．(　　) (２)若a是常数,则Da＝０． (　　 ) (３)离散型随机变量 X 的方差DX 反映了 X 取值的平均水平． (　　) (４)离散型随机变量 X 的方差DX 反映了 X 取值的波动水平． (　　) ２．设随机变量ξ的方差Dξ＝１,则D(２ξ＋１)的 值为 (　　) A．２　　　B．３　　　C．４　　　D．５ ３．若某事件在一次试验中发生次数的方差等 于０．２５,则该事件在一次试验中发生的概率 为　　　　． ４．有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为 随机变量 X１,X２,已知EX１＝EX２,DX１＞ DX２,则自动包装机　　　　的质量较好． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　求离散型随机变量的方差 [例１]　从４名男生和２名女生中任选３人观 看第十四届国际泳联世界锦标赛,设随机变 量X 表示所选３人中女生的人数． (１)求X 的分布列; (２)求X 的均值与方差; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据概率定义求出分布列,然 后利用分布列与均值、方差等的关系求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求离散型随机变量X 的方差的一般步骤 确定X 的值 理解X 的意义,写出 X 的所有可能取值→ 求概率 ↓ 求X 取每个值的概率→ 写分布列 ↓ 写出X 的分布列→ 求均值 ↓ 由均值的定义求EX→ 算方差 ↓ 由方差的定义求DX→ 􀳀[变式训练] １．已知２件次品和３件正品混放在一起,现需 要通过检测将其区分,每次随机检测１件产 品,检测后不放回,直到检测出２件次品或 者检测出３件正品时检测结束． (１)求第一次检测出的是次品且第二次检测 出的是正品的概率; (２)已知每检测１件产品需要费用１００元, 设X 表示直到检测出２件次品或者检测出 ３件正品时所需要的检测费用(单位:元), 求X 的分布列、均值和方差． 　　　离散型随机变量方差的性质及应用 [例２]　已知η的分布列为 η ０ １０ ２０ ５０ ６０ P １３ ２ ５ １ １５ ２ １５ １ １５ (１)求η的方差及标准差; (２)设Y＝２η－Eη,求DY． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于变量间存在关系的方差,在求解过程 中应注意方差性质的应用,如D(aξ＋b)＝ a２Dξ,这样处理既避免了求随机变量η＝ aξ＋b的分布列,又避免了繁杂的计算,简 化了计算过程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７１􀅰 第六章　概　率 􀳀[变式训练] ２．离散型随机变量X 的分布为: X ０ １ ２ ４ ５ p q ０．３０．２０．２０．１ 若离散型随机变量Y 满足Y＝２X＋１,则下 列结果正确的为　　　　． ①E(X)＝２;②E(Y)＝４;③D(X)＝２．８; ④D(Y)＝１４． 　　　两点分布的方差 [例３]　已知离散型随机变量X 服从两点分 布,且P(X＝０)＝３－４P(X＝１),求随机变 量X 的方差． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　如果随机变量X 服从两点分布,那么其 方差DX＝p(１－p)(p为成功概率)． 􀳀[变式训练] ３．设一随机试验的结果只有A 和A,且P(A) ＝m,令随机变量ξ＝ １,A 发生, ０,A 不发生,{ 则ξ的 方差Dξ等于 (　　) A．m　　　　　　　　　B．２m(１－m) C．m(m－１) D．m(１－m) 　　　离散型随机变量方差的应用 [例４]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为 两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两 名射手在每次射击中射中的环数大于６环, 且甲射中１０,９,８,７环的概率分别为０．５, ３a,a,０．１,乙射中１０,９,８环的概率分别为 ０．３,０．３,０．２． (１)求ξ,η的分布列; (２)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙 的射击技术． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)按求随机变量分布列的 步骤求解;(２)按均值与方差定义求解,并 比较两射手射击技术． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用均值和方差的意义分析解决实际问题 的步骤 １．比较均值．离散型随机变量的均值反映 了离散型随机变量取值的平均水平,因 此,在实际决策问题中,需先计算均值, 看一下谁的平均水平高． ２．在均值相等的情况下计算方差．方差反 映了离散型随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度．通过计算方差, 分析一下谁的水平发挥相对稳定． ３．下结论．依据方差的几何意义做出结论． 􀳀[变式训练] ４．有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一 份数学试卷时,各自的成绩在８０分、９０分、 １００分的概率分布大致如下表所示: 甲: 分数X ８０ ９０ １００ 概率P ０．２ ０．６ ０．２ 乙: 分数Y ８０ ９０ １００ 概率P ０．４ ０．２ ０．４ 试分析两名学生的成绩水平． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各１０株的分 蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲 ＝１１, DX乙＝３．４．由此可以估计 (　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 ２．已知随机变量ξ满足P(ξ＝１)＝０．３,P(ξ＝ ２)＝０．７,则Eξ和Dξ的值分别为 (　　) A．０．６和０．７　　　　　B．１．７和０．０９ C．０．３和０．７ D．１．７和０．２１ ３．已知某随机变量X的分布列如下表(p,q∈R), 且X的均值EX＝１２ ,那么X 的方差DX＝ 　　　　． X １ －１ P p q ４．已知随机变量 X 的分布列为P(X＝k)＝ １ ３ ,k＝３,６,９．则DX 等于　　　　． ５．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在 每张卡片上写上０,１,２,现从中任意抽取一 张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一 张,其上数字记作y,令X＝x􀅰y． 求:(１)X 所取各值的概率; (２)随机变量X 的数学期望与方差． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §４　二项分布与超几何分布 ４．１　二项分布 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解n次独立重复试验的模型 ２．理解二项分布 ３．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决 一些简单的应用问题 １．通过学习n次独立重复试验及二项分 布,体会数学抽象的素养 ２．借助二项分布解题,提高数学运算的 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　种植n 粒棉花种子,每一粒种子可能出 苗,也可能不出苗,其中出苗率是６７％; 射击n次,每一次射击可能击中目标,也 可能击不中目标,而且当射击条件不变时,可 以认为每次击中目标的概率p是不变的． 这样的试验每次都仅有两种对立状态,且 每次试验相互独立完成．这就是瑞士数学家雅 􀅰伯努利在概率论上作出的重要贡献．那么n 次独立重复试验是什么? 如何求在n次试验 中,该事件恰好发生k次的概率? [知识梳理] [知识点一]　n重伯努利试验 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．伯努利试验:我们把只包含两个　　　　　 的试验叫做伯努利试验． ２．定义:在相同条件下重复做n次伯努利试 验,且每次实验的结果都不受其他实验结果 的影响,称这样的n次独立重复试验为n 重 伯努利试验． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７１􀅰 第六章　概　率 数学(BS)·选择性必修第一册 4解折：Ex=1×合+2x合+3×日-子 因为Y=aX+3,所以EY=aEX+3=号a+3=-2解得a =-3. 6 答案： -3 5,解：X可取的值为1,2,3， 2×3=3 则P(X=1)=5P(X=2)=5有0 则P(X=3)= 1 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 3 5 10 10 EX=1×号+2×+3x0- 3.2 离散型随机变量的方差 课前预习学案 知识梳理 知识点一1，偏离程度加权平均平均偏离程度2.越小 分散4.DX a'DXa'DX [思考] 1,[提示](1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是 一个常数，不随样本的变化面变化： (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的。 预习自测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.C[因为D(2+1)=4D=4×1=4.] 3.解析：事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分 布，则DX=p(1一p),所以p(1一p)=0.25,解得p=0.5. 答案：0.5 4.解析：因为EX,=EX:,DX>DX:,故乙包装机的质量 稳定 答案：乙 课堂互动学案 [例1门[解](1)X可能的取值为0,1,2. P(X=)-CC 6=0,1,2. .X分布列 0 1 P 1 3 6 (2)由(1)，X的均值与方差为： EX=0X号+1×号+2X 5 5 -=1, Dx=0-1x号+1-D×号+(2-1D×号=号 [例2】[解]1)E7-0X号+10×号+20×品+50×品 60×-16 Dy-0-16)×号+10-16y×号+(20-162×言 (60-162×号+(60-16×言=384. .D7=86. (2)Y=20E0 ,.DY=D(2m-E)=2Dm=4×384=1536. [例3]解：因为离散型随机变量X服从两点分布， 设P(X=0)=p:,所以P(X=1)=1一p1· 所以，代入P(X=0)=3-4P(X=1)有：p=3-4(1一p), 解得：A=子，PX=1D=1一A=号，国为离教型随机变量 X服从两点分布，所以DX=号×号=号 ·20 [例4][解](1)由题意得0.5十3a十a+0.1=1,解得a= 0.1. 因为乙射中10,9,8环的挑率分别为0.3,0.3,0.2， 所以乙射中7环的概率为1一(0.3十0.3+0.2)=0.2. 所以，刀的分布列分别为 10 9 P 0.5 0.3 0.1 0.1 9 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得 Ee=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2: E7=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7: D=(10-9.2)×0.5+(9-9.2)×0.3+(8-9.2)×0.1+(7 -9.2)°×0.1=0.96： Dm=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)×0.2+(7 -8.7)2×0.2=1.21. 由于E>E,DDn, 说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲 的射击技术比乙的好 变式训练 1.解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检刚出的是正 品为李件A图PA=品 A (2)X的可能取值为200,300,400. P(X=200)=A=1 A:+CCA3 A10 ,P(X=300)= A 10 PX400)=1-P(X=200)-P(X300)1--0 故X的分布列为 X 200 300 400 P 3 10 分 EX=200×0+300×品+400×号=350. 10 5 DX=(200-350)2× 0+(300-350)2×号+(400-350) 10 ×号=4500 2.解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，可得一1一0. 3-0.2-0.2-0.1=0.2, 则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1 =2, D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)°×0.3+(2-2)2×0.2+(4 -2)×0.2+(5-2)×0.1=2.8, 所以①③正确： 又由离散型随机变量Y满足Y=2X十1，所以 E(Y)=2E(X)+1=4+1=5, D(Y)=2D(X)=4×2.8=11.2所以②④错误. 答案：①③ 3.D[随机变量：的分布列为 0 1 P 1一m .E=0X(1-m)十1Xm=M. ,.D店=(0一m)2X(1一m)十(1一m)×m=m(1一m).] 4.解：甲同学成绩的均值与方差为： EX=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90. DX=(80-90)×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2× 0.2=40. 乙同学成绩的均值与方差为： EY=80×0.4十90×0.2+100×0.4=90， DY=(80-90)°×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2× 0.4=80. ,DX<DY,,甲同学成馈稳定，乙同学成绩波动大」 6 当堂达标 1.B[:DX,>DX2∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.] 2.D[E=1×0.3+2×0.7=1.7,DE=(1-1.7)2×0.3+(2 -1.7)×0.7=0.21.] 1p+q=1, 3 D= 3.解析：根据题意可得 1解得 p-q=2 故X的方 差DX=1-号)×+(-1-y× 3 4 答案： 4.解折：EX=3×+6×+9×=6， Dx=(8-6×号+(6-6y×号+(9-6×号=6 3 答案：6 5.解：(1)X的取值为0,1,2,4. P(X=0)=3×391 5 5 1十12 、P(X1D=1X-gP(X=2)3x亏 3×3 1 1 P(X=4)=3X3- (2)X的分布列如下： X 1 4 1 9 9 9 所以EX=0X号+1×。+2x号+4× 9 9 =1, 9 Dx=0-1D×号+1-10×号+(2-10×号+4 0 §4二项分布与超几何分布 4.1二项分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一1.可能结果 [思考] 1,[提示](1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率 不变； (2)各次试验结果互不影响： (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的 知识点二Cp(1一p)-X一B(n.p [思考] 2.[提示]判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于 它是否同时满足以下三个条件. (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居共一 (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A 发生的概率都是同一常数p. (3)X的取值从0到m,中间不间新. 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n一1 时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形 式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布， 知识点三npp(1一p) 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[来次抽奖活动中，参与者每次抽中美的概率均为号，现 甲参加3次抽奖，则甲拾好有一次中奖的概率为P=C× ())广-器 3B[国为随机交量XB(4,分)}片 所以EX=4X号=子] ·2 参考答案 4.解折：P(X=2)=C(-言)（兮）广=架 首案品 课堂互动学案 [例1门[解](1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多 2人同时上网的概率，即p=1-C%×(0.5)一C×(0.5)'× (a.5)-C×a.5×0.50r-是 (2)至少4人同时上网的概率为 C×(0.5)'×(0.5)2+C×(0.5)°×(0.5)'+C×(0.5) 至少5人同时上网的概率为 C×a.5×0.51+C×0.5)r-<0.3 至少5人同时上网的概率小于0,3. [例2][解]I)B(5,3)的分布列为 P=)=C(信)广（）》 ,k=0.1,2,3,4,5. (2))的分布列为P(刀=k)=P(前k个是绿灯，第k十1个是 红灯)= ()八 合k=01,2.3,4:P(7=5)=P6个均为 绿灯)=（号小 故刀的分布列为 0 谷 1 2 8 16 32 243 243 [例3][解](1)甲上学期间的三天中到校情况相互独立， 且年天7：30之前到校的概率均为号： 2 故XB(3,号)PX=0)=C(号)广（号）广=品 PX=-c(号)()- PX=2)=C(号)（号） -9 pX=3)=C(号)（号）广'=品 故X的分布列为 X 0 2 P 1 2 27 9 27 X的载学期望为EX=3×号-=2 (2)设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y,则Y ~B3,号) 由题意，M=(X=3,Y=1}U(X=2,Y=0}, 由事件的独立性和互斥性，得 P(MD=P{X=3,Y=1}+P(X=2,Y=0}= PX=3PY-1+PX=2Py=o)-品×号+号×动 变式训练 1.解：D甲浴好击中目标2次的概率为（合）广-是 (2)乙至少击中目标2次的概率为 c()(传)+c()-器 (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙拾好击中同 标2次且甲恰好击中目标0次为事件B,乙恰好击中目标3 次且甲恰好击中目标1次为事件B,则A=B十B,B,,B 为互斥事件