第六章 3.1 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

[当堂达标] １．某人进行射击,共有５发子弹,击中目标或 子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则{ξ＝ ５}表示的试验结果是 (　　) A．第５次击中目标 B．第５次未击中目标 C．前４次均未击中目标 D．第４次击中目标 ２．已知随机变量X 的分布列如表所示(其中a 为常数): X ０ １ ２ ３ ４ P ０．１ ０．２ ０．４ ０．２ a 则下列计算结果正确的是 (　　) A．P(X＜２)＝０．７ B．P(X≥２)＝０．６ C．P(X≥３)＝０．３ D．P(X≤１)＝０．２ ３．设某项试验成功的概率是失败概率的 ２ 倍,记 Y＝ ０,试验失败, １,试验成功,{ 则P(Y＝０)＝ (　　) A．０　　　B．１２　　　C． １ ３　　　D． ２ ３ ４．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定: 每题回答正确得１００分,回答不正确得－ １００分,则一名同学回答这三个问题的总得 分ξ的所有可能取值是　　　　． ５．从装有６个白球,４个黑球和２个黄球的箱 中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球 赢２元,而每取出一个白球输１元,取出黄 球无输赢,以X 表示赢得的钱数,随机变量 X 可以取哪些值呢? 求X 的分布列． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §３　离散型随机变量的均值与方差 ３．１　离散型随机变量的均值 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散 型随机变量的分布列求出均值 ２．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值 ３．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 １．通过学习离散型随机变量的均 值,体会数学抽象的素养 ２．借助数学期望公式解决问题, 提升数学运算的素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　 某 人 从 家 乘 汽 车 到 单位,途中有三个交通岗 亭,假设在各交通岗遇红 灯的事件是相互独立的, 且概率都为０．４,你能求出此人上班途中遇红 灯次数的期望值吗? [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的均值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:设离散型随机变量 X 的分布列如下 表所示, X x１ x２ 􀆺 xi 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pi 􀆺 pn 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 则称EX＝　　　　　　　　为随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望)． ２．意义:均值EX 刻画的是X 取值的“　　　 位置”,反映了离散型随机变量 X 取值的 　　　　,是随机变量X 的一个重要特征． ３．性质:若X 为(离散型)随机变量,则Y＝aX ＋b(其中a,b为常数,且a≠０)也是随机变 量,且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi),i＝１,２, ３,􀆺,n．EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 随机变量的均值与样本的平均值有什 么区别和联系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　两点分布的均值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 若随机变量 X 服从参数为p 的两点分布, 则EX＝　　． [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)随机变量X 的均值EX 是个变量,其随 X 的变化而变化． (　　) (２)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　) (３)若随机变量X 的均值EX＝２,则E(２X) ＝４． (　　) ２．已知离散型随机变量X 的分布列为 X １ ２ ３ P ３５ ３ １０ １ １０ 则X 的均值EX＝ (　　) A．３２　　　B．２　　　C． ５ ２ 　　　D．３ ３．已知离散型随机变量X 的分布列为 X －１ ０ １ P １２ １ ６ a 设Y＝６X＋１,则Y 的均值EY＝　　　　． ４．一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标 有数字０,两个面上标有数字１,一个面上标 有数字２．将这个小正方体抛掷２次,则向 上的数之积X 的均值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　离散型随机变量的均值 [例１]　(１)在甲、乙等６个单位参加的一次 “唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集 中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定 各单位的演出顺序(序号为１,２,􀆺,６),求: ①甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇 数的概率; ②甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分 布列与均值． (２)某地最近出台一项机动车驾照考试规 定:每位考试者一年之内最多有４次参加考 试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾 照,不再参加以后的考试,否则就一直考到 第４次为止．如果李明决定参加驾照考试, 设他各次参加考试通过的概率依次为０􀆰６, ０􀆰７,０􀆰８,０􀆰９,求在一年内李明参加驾照考 试次数X 的分布列和X 的均值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　①可先求“甲乙两单位的演 出序号至少有一个为奇数”的对立事件的 概率; ②先求出ξ的取值及每个取值的概率,然 后求其分布列和均值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７１􀅰 第六章　概　率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求离散型随机变量X 的均值的步骤 (１)根据 X 的实际意义,写出 X 的全部 取值; (２)求出X 取每个值的概率; (３)写出X 的分布列; (４)利用定义求出均值． 其中第(１)、(２)两条是解答此类题目的关 键,在求解过程中应注重分析概率的相关 知识． 􀳀[变式训练] １．某学校为了给运动会选拔志愿者,组委会举 办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答 三个问题,其中两个是判断题,另一个是有三 个选项的单项选择题,设ξ为回答正确的题 数,则随机变量ξ的数学期望Eξ＝　　　　． 　　　两点分布的均值 [例２]　(多选)已知甲盒中有２个红球、１个 黄球,乙盒中有１个红球、２个黄球．从甲、乙 两个盒中各取１个球放入原来为空的丙盒中． 现从甲、乙、丙三个盒子中分别取１个球,记红 球的个数为Xi(i＝１,２,３)(甲、乙、丙三个盒子 取出的分别对应i＝１,２,３),则 (　　) A．X１,X２,X３ 的所有取值分别为０,１ B．X１,X２,X３ 服从两点分布 C．EX１＜EX３＜EX２ D．EX１＞EX３＞EX２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先判断是否服从两点分布再 直接利用公式求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如果随机变量服从两点分布,则直接利用 两点分布的均值公式计算． 􀳀[变式训练] ２．在篮球比赛中,罚球命中１次得１分,不中 得０分,如果某运动员罚球命中的概率为 ０．８,那么他罚球１次的得分 X 的均值是 多少? 　　　离散型随机变量均值公式及性质的应用 [例３]　已知随机变量X 的分布列为 X －２ －１ ０ １ ２ P １４ １ ３ １ ５ m １ ２０ 则EX＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与离散型随机变量均值的性质有关问题的 解题思路 若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b(a,b为常数),一般思路是先求出EX, 再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求Eξ．也 可以利用X 的分布列得到ξ的分布列,关 键由X 的取值计算ξ的取值,对应的概率 相等,再由定义法求得Eξ． 􀳀[变式训练] ３．本例条件不变,若Y＝２X－３,求EY． ４．离散型随机变量X 的可能取值为１,２,３,４, P(X＝k)＝ak＋b(k＝１,２,３,４),EX＝３,则 a＋b等于　　　　． 　　　离散型随机变量均值的应用 [例４]　某中药种植基地有两处种植区的药 材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地 员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于 下雨 会 影 响 药 材 品 质,基 地 收 益 情 况 如 下表: 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 ２０万元 １５万元 １０万元７．５万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全 部采摘任务,无雨时收益为２０万元;有雨时 收益为１０万元．额外聘请工人的成本为 a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相 同,两天是否下雨互不影响,基地收益为 ２０万元的概率为０．３６． (１)若不额外聘请工人,写出基地收益X 的 分布列及基地的预期收益; (２)该基地是否应该外聘工人,请说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)列出基地收益X 的取值 及求出相应概率,按求随机变量均值的步 骤求解;(２)求出外聘工人时的预期收益, 与不外聘工人的预期收益比较,通过讨论 外聘工人的成本解决问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋１．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用,如 对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程 方案的预测,产品合格率的预测,投资收 益的预测等方面,都可以通过随机变量 的均值来进行估计． ２．概率模型的三个解答步骤 (１)审题,确定实际问题是哪一种概率模 型,可能用到的事件类型,所用的公式 有哪些． (２)确定随机变量的分布列,计算随机变量 的均值． (３)对照实际意义,回答概率、均值等所表 示的结论． 􀳀[变式训练] ５．随机抽取某厂的某种产品２００件,经质检, 其中一等品１２６件,二等品５０件,三等品２０ 件,次品４件．已知生产１件一、二、三等品 获得的利润分别为６万元、２万元、１万元, 而１件次品亏损２万元,设１件产品的利润 (单位:万元)为X． (１)求X 的分布列; (２)求１件产品的平均利润(即X 的均值); (３)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但 次品率降为１％,一等品率提高为７０％,如 果此时要求１件产品的平均利润不小于４． ７３万元,则三等品率最多是多少? [当堂达标] １．抛掷一枚硬币,规定正面向上得１分,反面 向上得－１分,则得分X 的均值为 (　　) A．０　　　B．１２　　　C．１　　　D．－１ ２．已知随机变量X 的分布列为 X １ ２ ３ P ０􀆰２ ０􀆰５ m 则X 的均值是 (　　) A．２ B．２．１ C．２．３ D．随m 的变化而变化 ３．现有一个项目,对该项目每投资１０万元,一 年后利润是１．２万元、１．１８万元、１．１７万元 的概率分别为１ ６ ,１ ２ ,１ ３． 随机变量 X 表示 对此项目投资１０万元一年后的利润,则 X 的均值为 (　　) A．１．１８ B．３．５５ C．１．２３ D．２．３８ ４．已知随机变量X 的分布列为 X １ ２ ３ P １２ １ ３ １ ６ 且Y＝aX＋３,若EY＝－２,则EX＝　　　　, a＝　　　　． ５．盒中装有５节同牌号的五号电池,其中混有 两节废电池．现在无放回地每次取一节电池 检验,直到取到好电池为止,求抽取次数 X 的分布列及数学期望． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７１􀅰 第六章　概　率 数学(BS)·选择性必修第一册 [例4][解](1)从袋中一次随机抽取3个球，样本点总数n =C=20,取出的3个球的颜色都不相同包含的样本，点的个 数为CCC=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的批率 (2)由题意知X=0,1,2,3. C P(X=0)= 1 =0 ,P(X=1)= 9 C 0 P(X-2)-Cc 9 P(X=3)=C 1 =20· 所以X的分布列为 0 2 9 9 20 20 20 变式训练 1.解：(1)只要取出一张，使有一个号码，因此被取出的卡片号 数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白 球：2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球：3个黑球，即 其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义， (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30们内的一切 值，无法一一列举，不是离散型随机变量 (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离 散型随机变量， 2.解：)由0+品0+a+0十6=1，得a= 13 1 5· 2)PX24)=PX=4)+PX=5)=0+号 P2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+PX=40=是+号 +品 3.A[因为X的分布列服从两点分布，所以 P(X=0)+P(X=1)=1. 又P(X=0)=2-5P(X=1)=4,所以P(X=0)=2-5[1 P(X=0)], 所以P(X=0)=子，所以a=是.] 4.解：1)由题意得，PA)=CC+C=⊥ 3 所以事件A发生的概率为宁 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)-C+C+Ci_4 C。 151 P(X=1)= cc+cc- C 15 X=2--言 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 7 1 15 当堂达标 1.C[{=5}表示前4次均来击中，而第5次可能击中，也可 能未击中.门 2.C[易得a=0.1,P(X≥3)=0.3.] 3.C[由题意知，可设P(Y=1)=p, P(Y=0)=1-p,又p=2(1-p),解得p=号，故P0 0=3. 4.解析：若答对0个问题得分一300：若答对1个问题得分 一100：若答对2个问题得分100：若问题全答对得分300. 答案：-300，-100,100,300 ·2 5.解：从箱中取两个球的情形有以下6种： {2白}，{1白1黄}，(1白1黑}，{2黄}，(1黑1黄}，{2黑}. 当取到2白时，结果输2元，随机变量X=一2： 当取到1白1黄时，榆1元，随机变量X=一1： 同理，当取到1白1黑时，X=1: 当取到2黄时，X=0: 当取到1黑1黄时，X=2: 当取到2黑时，X=4, 则X的可能取值为一2，一1,0,1,2,4. P(X=-2)=C=5 C=22,P(X=-1)=2=2. Ci: C P(X=0)= 66P(X-1)= 4 C P(X=2)= 1 C P(X=4)= 从而得到X的分布列： X -2 -1 0 1 2 P 4 22 11 66 33 §3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 课前预习学案 知识梳理 知识点一1.x1p,十xp:十…十xp,2.中心平均水平 [思考] 「提示]随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随 机变量，它随样本的不同而变化.对于箭单随机样本，随着样 本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值， 知识点二 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/ 2.A[EX=1× 3+2×10 3 1 3,解析：由已知得号十日十a=1,解得a=子 1 1 1 对EX=(-1)X2+0×6+1×3=。 6 EY=6EX+1=6×()）+1=0. 答案：0 4.解析：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X=0)=至，P(X D=P(X=2)=寸PX=40=元，周光EX=1X号 14 答案：9 4 课堂互动学案 L例1门[解](1)只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组 合计算基本事件数. ①设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表 示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计 4 第公式得PA)1-PA)=1-是1片=行 C ②的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P(=0)= 3P(=1)= 44 P(=2) 3 1 P(=4)= C 后从而知的分布列为 0 1 2 3 P 2 15 15 所以E=0X号+1X +2x+3×+4×= 4 3 64 (2)X的取值分别为1,2,3,4， X=1,表明李明第一次参加驾照考试就道过了，故P(X=1) =0.6. X=2,表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. X=3,表明李明在第一、二次考试未通过，第三次道过了， 故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. X=4,袁明李明第一，二、三次考试都未通过， 故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1一0.8)=0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 0.60.280.0960.024 所以X的均值为EX=1×0.6十2×0.28十3×0.096十4× 0.024=1.544. [例2][解析]依题意，X,的所有取值为0,1，其中P(X= 吉×1+号×=号，所以 3 随机变量X,的分布列为： X1 0 1 P 2 3 3 2 X,服从两点分布，所以EX=三，同理，X,的所有取植为 01.PX=1)=号×=P(X,=0)=号×+号 3 1=号，所以随机变量X的分布利为： X 0 1 2 1 3 3 X服从两点分有，所以EX=了X的所有取值为01… P(X=0)= (×号+×)×+号×号×1= 3 2 P(X=1)= 1 所以随机变量X,的分布列为： 0 1 2 X,服从两点分布，所以EX,=2所以EX>EX>EX, [答案]ABD [例3】[解析]由随机支量分有列的性度，得片十子+ 3 5 十m+0-=1,解得m=名EX=(一2)×寸+（一DX号 1 17 [例4们[解](1)设下周一无雨的概率为P,由题意知，p 0.36,p-0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， 则P(X=20)=0.36.P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24 P(X=7.5)=0.16. 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.240.240.16 基地的预期收蓝EX=20×0.36+15×0.24十10×0.24+ 7.5×0.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益 EY=20×0.6+10×0.4-a=16-a. EY-EX=1.6-a. 综上，当颜外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人： 成本低于1.6万元时，外聘工人：成本恰为1.6万元时，是否 外聘工人均可以. ·2 参考答案 变式训练 1.解析：由已知得的可能取值为0,123.P(g=0)=合×司 1 1上1 ×=：P=》=×号×号=立所以E=0x 14 最+1×是+2×意+3×吉台 2 4 1 4 答案：3 2.解：由已知，X展从两点分布，且 P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2 所以EX=0.8. 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 3.解：方法一：由公式E(aX十b)=aEX十b及[倒2]的结论得 EY=B2X-3)=2EX-3=2X(-品 -3=-62 5 方法二：由于Y=2X一3，所以Y的分布列为 -7 -5 -3 -1 5 20 所以EY=(-7)X号+(-5)×号+(-3)×号+(-1)× 3 15 4.解析：易知EX=1×(a+b)十2×(2a+b)+3×(3a+b)+4 ×(4u+b)=3,即30a十10b=3. 由分布列的性质，得(a+b)+(2a+b)+(3a十b)+(4a+b) =1,即10a十4h=1. ② 由①@，得a=0b=0.所以a+b=0 1 若案： 5.解：(1)X的所有可能取值为6,2,1，一2. P(X=6)=26 =0.63,P(X=2)=200 50 200 =0.25, P(X=1)=200 20 =0.1.P(X=-2)-200=0.02. 故X的分布列为 X 6 1 -2 0.630.250.10.02 (2)EX=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02= 4.34. 故1件产品的平均利涧为4.34万元 (3)设技术苹新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均 利涧为EX=6×0.7十2×(1一0.7一0.01-x)十1×x十( 2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).依题意，EX≥4.73，即 4.76一x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 当堂达标 1.A[国为P0X=1D=子，P0X=-1)=号所以由均值的定 义是EX=1X号+(-1Dx-=0.] 2.B[由0.2十0.5十m=1得m=0.3,∴.EX=1×0.2十2× 0.5+3×0.3=2.1.1 3.A[图为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X=1. 2=P(x=1.18- ,P(X=1.17)= 3,所以X的分 布列为 X 1.2 1.181.17 1 6 2 3 EBx=1.2x+1.18x号+117x号 6 =1.18. 5 数学(BS)·选择性必修第一册 4解折：Ex=1×合+2x合+3×日-子 因为Y=aX+3,所以EY=aEX+3=号a+3=-2解得a =-3. 6 答案： -3 5,解：X可取的值为1,2,3， 2×3=3 则P(X=1)=5P(X=2)=5有0 则P(X=3)= 1 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 3 5 10 10 EX=1×号+2×+3x0- 3.2 离散型随机变量的方差 课前预习学案 知识梳理 知识点一1，偏离程度加权平均平均偏离程度2.越小 分散4.DX a'DXa'DX [思考] 1,[提示](1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是 一个常数，不随样本的变化面变化： (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的。 预习自测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.C[因为D(2+1)=4D=4×1=4.] 3.解析：事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分 布，则DX=p(1一p),所以p(1一p)=0.25,解得p=0.5. 答案：0.5 4.解析：因为EX,=EX:,DX>DX:,故乙包装机的质量 稳定 答案：乙 课堂互动学案 [例1门[解](1)X可能的取值为0,1,2. P(X=)-CC 6=0,1,2. .X分布列 0 1 P 1 3 6 (2)由(1)，X的均值与方差为： EX=0X号+1×号+2X 5 5 -=1, Dx=0-1x号+1-D×号+(2-1D×号=号 [例2】[解]1)E7-0X号+10×号+20×品+50×品 60×-16 Dy-0-16)×号+10-16y×号+(20-162×言 (60-162×号+(60-16×言=384. .D7=86. (2)Y=20E0 ,.DY=D(2m-E)=2Dm=4×384=1536. [例3]解：因为离散型随机变量X服从两点分布， 设P(X=0)=p:,所以P(X=1)=1一p1· 所以，代入P(X=0)=3-4P(X=1)有：p=3-4(1一p), 解得：A=子，PX=1D=1一A=号，国为离教型随机变量 X服从两点分布，所以DX=号×号=号 ·20 [例4][解](1)由题意得0.5十3a十a+0.1=1,解得a= 0.1. 因为乙射中10,9,8环的挑率分别为0.3,0.3,0.2， 所以乙射中7环的概率为1一(0.3十0.3+0.2)=0.2. 所以，刀的分布列分别为 10 9 P 0.5 0.3 0.1 0.1 9 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得 Ee=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2: E7=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7: D=(10-9.2)×0.5+(9-9.2)×0.3+(8-9.2)×0.1+(7 -9.2)°×0.1=0.96： Dm=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)×0.2+(7 -8.7)2×0.2=1.21. 由于E>E,DDn, 说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲 的射击技术比乙的好 变式训练 1.解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检刚出的是正 品为李件A图PA=品 A (2)X的可能取值为200,300,400. P(X=200)=A=1 A:+CCA3 A10 ,P(X=300)= A 10 PX400)=1-P(X=200)-P(X300)1--0 故X的分布列为 X 200 300 400 P 3 10 分 EX=200×0+300×品+400×号=350. 10 5 DX=(200-350)2× 0+(300-350)2×号+(400-350) 10 ×号=4500 2.解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，可得一1一0. 3-0.2-0.2-0.1=0.2, 则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1 =2, D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)°×0.3+(2-2)2×0.2+(4 -2)×0.2+(5-2)×0.1=2.8, 所以①③正确： 又由离散型随机变量Y满足Y=2X十1，所以 E(Y)=2E(X)+1=4+1=5, D(Y)=2D(X)=4×2.8=11.2所以②④错误. 答案：①③ 3.D[随机变量：的分布列为 0 1 P 1一m .E=0X(1-m)十1Xm=M. ,.D店=(0一m)2X(1一m)十(1一m)×m=m(1一m).] 4.解：甲同学成绩的均值与方差为： EX=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90. DX=(80-90)×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2× 0.2=40. 乙同学成绩的均值与方差为： EY=80×0.4十90×0.2+100×0.4=90， DY=(80-90)°×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2× 0.4=80. ,DX<DY,,甲同学成馈稳定，乙同学成绩波动大」 6