第三章 1 空间直角坐标系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

(２)设椭圆C１ 和双曲线C２ 的离心率分别为e１ 和e２,则e１＝ a２－b２ a ,e２＝ a２＋b２ a ． 因为e１􀅰e２＝ ３ ２ ,所以 a ４－b４ a２ ＝ ３ ２ ,即 b a( ) ４ ＝１４ ,所以b a ＝ ２ ２． 故双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝± ２ ２x ,即x± ２y＝０．] [答案]　(１)A　(２)x± ２y＝０ [例４]　[解]　(１)由题意知b＝１,ca ＝ ２ ２ ,且c２＝a２－b２,解 得a＝ ２,c＝１．故椭圆方程为x ２ ２＋y ２＝１． (２)∵F１(－１,０),∴直线BF１ 的方程为y＝－２x－２, 由 y＝－２x－２, x２ ２＋y ２＝１,{ 得９x２＋１６x＋６＝０． ∵Δ＝１６２－４×９×６＝４０＞０,∴直线与椭圆有两个公共点, 设为C(x１,y１),D(x２,y２),则 x１＋x２＝－ １６ ９ , x１x２＝ ２ ３． ì î í ïï ï ∴|CD|＝ １＋(－２)２|x１－x２| ＝ ５􀅰 (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ ５􀅰 －１６９( ) ２ －４×２３＝ １０ ９ ２． 又点F２ 到直线BF１ 的距离d＝ ４ ５ ５ ,故S△CDF２＝ １ ２|CD| 􀅰 d＝４９ １０． [例５]　[解]　(１)已知抛物线的焦点为(０,－ ２),故设椭圆 方程为y ２ a２ ＋ x ２ a２－２ ＝１． 将点A(１,２)代入方程,得２a２ ＋ １ a２－２ ＝１． 则a４－５a２＋４＝０,解得a２＝４或a２＝１(舍去), 故所求椭圆方程为y ２ ４＋ x２ ２＝１． (２)设直线BC的方程为y＝ ２x＋m, 设B(x１,y１),C(x２,y２), 代入椭圆方程并化简,得４x２＋２ ２mx＋m２－４＝０, 由Δ＝８m２－１６(m２－４)＝８(８－m２)＞０,可得m２＜８．(∗) 又x１＋x２＝－ ２ ２m ,x１x２＝ m２－４ ４ , 故|BC|＝ ３|x１－x２|＝ ３􀅰 １６－２m２ ２ ． 又点A 到BC 的距离为d＝|m| ３ , 故 S△ABC ＝ １ ２ |BC| 􀅰d＝ m ２(１６－２m２) ４ ≤ １ ４ ２ 􀅰 ２m２＋(１６－２m２) ２ ＝ ２ ,当且仅当２m２＝１６－２m２,即m＝±２ 时等号成立(满足(∗)式),S 取得最大值 ２,此时直线l的 方程为y＝ ２x±２． 第三章　空间向量与立体几何 §１　空间直角坐标系 课前预习学案 情境引入 提示:通过类比联想,容易知道需要三个数．要确定电灯的位 置,知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可． 这就是空间直角坐标系的建立问题． 知识梳理 知识点一２．(１)O　(２)x　y　z　(３)xOy　yOz　xOz ３．(１)右　大拇指　(２)x轴　(３)握拳　(４)大拇指 知识点二１．三元有序数组唯一　２．平面 [思考] 提示:平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的 特例:①在平面直角坐标系xOy中,已知两点A(x１,y１),B (x２,y２),则|AB|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２;②在x轴上的 两点A,B 对应的实数分别是x１,x２,则|AB|＝|x２－x１|． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√(４)×　(５)√ ２．A　[由空间直角坐标系的定义易知选 A．] ３．解析:|AB|＝ (１－２)２＋(０－１)２＋(１＋１)２ ＝ ６． 答案:６ ４．解析:由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知,点A 在yOz 平面内的射影的点的坐标是(０,２,－３)． 答案:(０,２,－３) 课堂互动学案 [例１]　[解]　如图,以 D 为坐标 原点,分别以DA,DC,DD１ 所在 直线为x 轴、y轴和z 轴建立空 间直角坐标系,E 点在平面xDy 中,且|EA|＝１２． ∴E 点的坐标为 １,１２ ,０( )． ∵B 点 和B１ 点 的 坐 标 分 别 为 (１,１,０)和(１,１,１),故F 点坐标 为 １,１,１２( )． 同理可得G 点坐标为 １,１２ ,１ ２( )． [例２]　[解]　点A 为原点．点B 为x 轴上坐标为２的点． 点C的竖坐标为０,因此点C 就是xOy 平面内横坐标为２、 纵坐标为３的点．点D 是y 轴上坐标为３的点．点A′是z 轴 上坐标为２的点．点B′是zOx 平面内横坐标为２、竖坐标也 为２的 点．要 作 出 点 C′(２,３, ２),只需过x 轴上坐标为２的 点B 作垂直 于x 轴 的 平 面α, 过y轴 上 坐 标 为 ３的 点 D 作 垂直于y 轴的平面β,根据几何 知识可以得出:这两个平面的 交线就是经过点C(２,３,０)且 与z轴平行的直线l．再过z轴 上坐标为２的点A′作垂直于z 轴的平面γ,那么直线l与平面 γ 的交点 也 是 三 个 平 面α,β,γ 的交点,就是点C′． 点D′是yOz 平面内纵坐标为３、竖坐标为２的点． 在同一空间直角坐标系中,画出以上各点,它们刚好是长方 体ABCDＧA′B′C′D′的八个顶点(如图)． [例３]　[解]　(１)由于点P 关于x 轴对称后,它在x轴的分 量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点 为P１(－２,－１,－４)． (２)由于点P 关于xOy 平面对称后,它在x 轴、y 轴的分量 不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为 P２ (－２,１,－４)． (３)设对称点为P３(x,y,z),则点 M 为线段PP３ 的中点．由 中点坐标公式,可得x＝２×２－(－２)＝６,y＝２×(－１)－１ ＝－３,z＝２×(－４)－４＝－１２,所以P３(６,－３,－１２)． [例４]　 [解]　 (１)由 空 间 两 点 间 距 离 公 式 得|AB|＝ (１－２)２＋(５－３)２＋(２－４)２＝３, |BC|＝ (２－３)２＋(３－１)２＋(４－５)２＝ ６, |AC|＝ (１－３)２＋(５－１)２＋(２－５)２＝ ２９, ∴△ABC中最短边是|BC|,其长度为 ６． (２)由中点坐标公式得,AC的中点坐标为 ２,３,７２( ) , ∴AC边上中线的长度为 (２－２)２＋(３－３)２＋ ４－７２( ) ２ ＝１２． 变式训练 １．解析:三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,侧面BB１C１C 是边长为２的 菱形,∠CBB１＝６０°, BC１ 交B１C于点O,AO⊥侧面BB１C１C,且△AB１C 为等腰 直角三角形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 OＧxyz, 过A１ 作 A１E⊥平面BCC１B１,垂 足是E,连接B１E,C１E, 则 B１E∥OC１,C１E∥OB１,A１E ∥AO, ∴点A１ 的坐标为 － ３,１,１( )． 答案:(－ ３,１,１) ２．解:如图所示． ３．解析:点P 关于zOx 平面对称后,它的纵坐标变为相反数, 其他不变,因此第一空应填(－３,－２,－１);点P 关于z轴对称 后,它的竖坐标不变,横、纵坐标变为相反数,因此第二空应填 (３,－２,－１);设点P 关于点 M(１,２,１)对称的点为(x,y,z),则 由中点坐标公式得－３＋x ２ ＝１ ,２＋y ２ ＝２ ,－１＋z ２ ＝１ ,解得x ＝５,y＝２,z＝３,因此第三空应填(５,２,３)． 答案:(－３,－２,－１)　(３,－２,－１)　(５,２,３) ４．C　[因为AB＝BC＝１,AA１＝２,由图可知,A(１,－１,－２), D(０,－１,－２), A 关于x 轴对称的点为A′(１,１,２), 所以(AP＋PD)min＝|A′D|＝ ２１．] 当堂达标 １．C　若m＝０,点(０,２,０)在y轴上;若 m≠０,点的横坐标为 ０,纵坐标大于０,竖坐标不为０,点(０,m２＋２,m)在yOz坐标 平面上．综 上 所 述,点 (０,m２ ＋２,m)一 定 在 yOz 坐 标 平 面上． ２．B　[由题图得A(０,０,０),B１(１,０,１),所以对角线的交点即 为AB１ 的中点,由中点坐标公式,可得对角 线 的 交 点 坐 标 为 １ ２ ,０,１２( )．] ３．解析:|AB|＝ t２＋(t－２)２＋１＝ ２(t－１)２＋３, ∴当t＝１时,|AB|的最小值为 ３． 答案:３ ４．解:根据坐标的定义可得B１(４,６,２),D１(０,０,２),C(０,６,０), C１(０,６,２)．由中点坐标公式,得E(２,３,２),F(０,６,１)． 则|FE|＝ (２－０)２＋(３－６)２＋(２－１)２ ＝ １４ , 即线段EF 的长为 １４． §２　空间向量与向量运算 ２．１　从平面向量到空间向量 ２．２　空间向量的(加减法与数乘)运算(一) 课前预习学案 知识梳理 知识点一１．大小　方向　２．大小　 知识点二０　１　１　１　相同　相等　相反　相等　平行　重 合　平行　平行　平行于　在　共面　 [思考] １．[提示]　球面． ２．[提示]　完全一致． 知识点四１．向量　相同　相反　 [思考] ３．[提示]　是,空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面 内,成为同一个平面的两个向量,因此一定是共面向量． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　　(５)√ ２．C　[CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝CB→－AB→＋AD→＝－a＋b＋c．] ３．D　[AE → ＝AA１ → ＋A１E → ＝AA１ → ＋１４ A１C１ → ＝AA１ → ＋１４ (AB → ＋ AD → )．所以x＝１,y＝１４ ． ] ４．解析:设G 是AC 的中点,则EF→＝EG→＋GF→＝１２BC →＋１２AD → ＝１２ (AD→＋BC→) 所以２EF→＝AD→＋BC→,从而EF→∥(AD→＋BC→)． 答案:平行 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)①正确;②正确,因为 AC→与A１C１→的大小和方 向 均 相 同;③|a| ＝|b|,不能确定其方向,所以a与b的方 向不能确 定;④中 只 有 当 四 边 形 ABCD 是平行四边形时,才有AB→＋AD→＝AC→．综 上可知,正确命题为①②． [答案]　①② [例２]　[解]　(１)因为P 是C１D１ 的中点． 所以AP → ＝AA１ → ＋A１D１ → ＋D１P → ＝a＋AD → ＋１２D１C１ → ＝a＋c＋１２AB → ＝a＋１２b＋c． (２)因为 N 是BC 的中点, 所以A１N → ＝A１A → ＋AB → ＋BN → ＝－a＋b＋１２BC → ＝－a＋b＋１２AD → ＝－a＋b＋１２c． (３)因为 M 是AA１ 的中点, 所以MP → ＝MA → ＋AP → ＝１２A１A → ＋AP → ＝－１２a＋ a＋ １ ２b＋c( )＝ １ ２a＋ １ ２b＋c． 又NC１ → ＝NC → ＋CC１ → ＝１２BC → ＋AA１ → ＝１２AD → ＋AA１ → ＝１２c＋a , 所以MP → ＋NC１ → ＝ １２a＋ １ ２b＋c( )＋ a＋ １ ２c( ) ＝３２a＋ １ ２b＋ ３ ２c． [例３]　[解析]　(１)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(e１＋ke２)＋(５e１ ＋４e２)＋(e１＋２e２)＝７e１＋(k＋６)e２． 设AD→＝λAB→,则７e１＋(k＋６)e２＝λ(e１＋ke２), 所以 λ＝７λk＝k＋６{ ,解得k＝１． [答案]　１ (２)设AB→＝a,AD→＝b,AA１→＝c, 则MO→＝MC→＋CO→＝１２AC →＋１３CA１ →＝１２(AB →＋AD→)＋ １ ３ (CA→＋AA１→) ＝１２AB →＋１２AD →＋１３(CB →＋CD→＋AA１→)＝１２AB →＋１２AD →－ １ ３AD →－１３AB →＋１３AA１ → ＝１６AB →＋１６AD →＋１３AA１ →＝１６a＋ １ ６b＋ １ ３c , MC１ →＝MC→＋CC１→＝ １２AC →＋AA１→＝ １２ (AB →＋AD→)＋AA１→＝ １ ２a＋ １ ２b＋c , ∴MC１ →＝３MO→,又直线 MC１ 与直线 MO 有公共点M, ∴C１,O,M 三点共线． [例４]　[证明]　分别连接PE,PF, PG,PH 并 延 长,交 对 边 于 点 M, N,Q,R,连接 MN,NQ,QR,RM． 因为点E,F,G,H 分 别 是 所 在 三 角形的重心,所以 M,N,Q,R 是所 在边的中点,且PE → ＝ ２３ PM → ,PF → ＝２３ PN → ,PG → ＝ ２３ PQ → ,PH → ＝ ２３ PR → ．易知四边形 MNQR 是平行四边形, 所以MQ → ＝MN → ＋MR → ＝(PN → －PM → )＋(PR → －PM → ) ＝３２ (PF → －PE → )＋３２ (PH → －PE → )＝３２ (EF → ＋EH → )． 又MQ → ＝PQ → －PM → ＝３２ PG → －３２ PE → ＝３２ EG → ,所以EG → ＝EF → ＋EH → ,由共面向量定理知,E,F,G,H 四点共面． 变式训练 １．解析:(１)根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向 量是相等向量,①正确;平行且模相等的两个向量可能是相 等向量,也可能是相反向量,②不正确;当a＝－b时,也有 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３２􀅰 参考答案 §１　空间直角坐标系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标 系,感受建立空间直角坐标系的必要性 ２．会求空间直角坐标系中点的坐标 ３．借助点在空间直角坐标系中的坐标,探索并得出 空间两点间的距离公式,并灵活运用 通过空间直角坐标系的建立、点在空间 直角坐标系中的坐标表示、空间两点间 的距离公式的学习与应用,达成数学抽 象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核 心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　 如 图,在 房 间(立 体 空 间)内如何确定电灯位置? 在学生思考讨论的基础 上,教师明确:确定点在直线 上,通过数轴需要一个数;确 定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个 数．那么,要确定点在空间内,应该需要几个 数呢? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　空间直角坐标系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．空间直角坐标系的概念 过空间任意一点O,作三条两两垂直的直 线,并以点O 为原点在三条直线上分别建 立数轴:x轴,y轴和z 轴,这样就建立了一 个空间直角坐标系O－xyz． ２．相关概念 (１)坐标原点:　　; (２)坐 标 轴:　 　 轴 (横 轴)、　　 轴 (纵 轴)、 　　轴(竖轴); (３)坐标平面:通过每两条坐标轴的平面叫作坐 标平面,分别称为　　　　平面、　　　　平 面、　　　　平面． ３．空间直角坐标系的建系原则———右手螺旋 法则: (１)伸出　　手,让四指与　　　　垂直; (２)四指先指向　　　　正方向; (３)让四指沿　　　　方向旋转９０°指向y轴 正方向; (４)　　　　的指向即为z轴正方向． [知识点二]空间直角坐标系中点的坐标 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．空间直角坐标系中任意一点P 的位置,可 用一个　　　　　　　　来刻画． 在空间直角坐标系中任意一点P与三元有序 数组(x,y,z)之间建立了一一对应关系:P← → (x,y,z)． 三元有序数组(x,y,z)叫作点P 在此空间 直角坐标系中点的坐标,记作P(x,y,z), 其中,x 叫作点P 的横坐标,y叫作点P 的 纵坐标,z叫作点P 的竖坐标． ２．对于空间中点P 坐标的确定方法是:过点P 作垂直于坐标轴的平　　,与三条坐标轴分 别交与点A,点B 和点C,设A,B,C的坐标 分别为 (x,０,０),(０,y,０),(０,０,z),则点P 的坐标为(x,y,z)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [知识点三]空间两点间的距离公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．空间任意一点P(x０,y０,z０)与原点的距离 |OP|＝ x２０＋y２０＋z２０． ２．空间两点A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２)间的 距离|AB|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２＋(z１－z２)２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间两点间的距离公式与平面两间点 的距离公式有何区别与联系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)点P(１,０,２)在空间直角坐标系中的xOy 坐标平面上． (　　) (２)空间直角坐标系中,y轴上的点的坐标为(０, y,０)． (　　) (３)在不同的空间直角坐标系中,同一点的坐 标可能不同． (　　) (４)空间两点间的距离公式与两点顺序有关． (　　) (５)点A(１,１,０)与点B(１,１,１)之间的距离是１． (　　) ２．在空间直角坐标系中,三条坐标轴 (　　) A．两两垂直,且相交于一点 B．两两平行 C．仅有两条不垂直 D．仅有两条垂直 ３．在空间直角坐标系中,点A(１,０,１)和点B(２, １,－１)间的距离为　　　　　． ４．在空间直角坐标系中,已知点A(－１,２,－３), 则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　求空间中点的坐标 [例１]　如图,棱长为１的正 方 体 ABCD ＧA１B１C１D１ 中,E 是AB 的中点,F 是 BB１ 的中点,G 是AB１ 的 中点,试建立适当的坐标 系,并确定E,F,G三点的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　以 DA,DC,DD１ 所在直线 为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系, 将各个点在坐标轴上的射影求出,即可写 出空间各点的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)空间中点的位置和点的坐标是相对的, 建立空间直角坐标系,要力争尽可能简 捷地将点的坐标表示出来．因此,要确 定各点到xDy面、yDz面、xDz面的距 离,同时中点坐标公式在空间直角坐标 系中仍然适用． (２)设 P１(x１,y１,z１),P２(x２,y２,z２),则 P１P２ 中点 P(x,y,z)坐标满足x＝ x１＋x２ ２ ,y＝ y１＋y２ ２ ,z＝ z１＋z２ ２ ． 􀳀[变式训练] １．如图三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,侧面BB１C１C 是边长为２菱形,∠CBB１＝６０°,BC１ 交B１C 于点O,AO⊥侧面BB１C１C,且△AB１C 为 等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系 OＧxyz,则点A１ 的坐标为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７􀅰 第三章　空间向量与立体几何 　　　由空间点的坐标画空间的点 [例２]　在空间直角坐标系OＧxyz 中,画出下 列各点:A(０,０,０),B(２,０,０),C(２,３,０), D(０,３,０),A′(０,０,２),B′(２,０,２),C′(２,３, ２),D′(０,３,２)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知点P 的坐标(x,y,z),作出点P,只需 分别过(x,０,０),(０,y,０)和(０,０,z)三点 作垂直于x轴、y轴和z轴的平面α、平面β 和平面γ,则平面α与平面β的交线l与平 面γ的交点就是点P． 􀳀[变式训练] ２．在 空 间 直 角 坐 标 系 OＧxyz 中,画 出 点P(－１,－２,－１)． 　　　空间中点的对称问题 [例３]　在空间直角坐标系中,点P(－２,１,４)． (１)求点P 关于x 轴的对称点的坐标; (２)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标; (３)求点P 关于点M(２,－１,－４)的对称点 的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求对称点的坐标,可以过该 点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使 得垂足为所作线段的中点,再根据有关性 质即可写出对称点的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求空间对称点的方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中 点的对称问题,要掌握对称点的变化规律, 才能准确求解．对称点的问题常常采用“关 于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这 个结论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ３．点P(－３,２,－１)关于zOx平面的对称点是　 　　　,关于z轴的对称点是　　　　,关于 点M(１,２,１)的对称点是　　　　． 　　　空间中两点间的距离问题 [例４]　已知△ABC 的三个顶点A(１,５,２), B(２,３,４),C(３,１,５)． (１)求△ABC中最短边的边长; (２)求AC边上中线的长度． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用两点间距离公式求 出三边长,再比较,求最短边的边长,(２)利 用中点坐标公式先求AC 的中点坐标,再 利用两点间距离公式求中线长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求空间两点间的距离问题就是把点的 坐标代入距离公式进行计算,其中确定 点的坐标或合理设出点的坐标是关键． (２)若所给题目中未建立坐标系,需结合已 知条件建立适当的坐标系,再利用空间 两点间的距离公式计算． 􀳀[变式训练] ４．笛卡尔是世界上著名的数学 家,他因将几何坐标体系公 式化而被认为是解析几何之 父．据说在他生病卧床时,突 然看见屋顶角上有一只蜘蛛 正在拉丝织网,受其启发建 立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空 间直角坐标系中,ABCDＧA１B１C１D１ 为长方 体,且AB＝BC＝１,AA１＝２,点P 是x 轴上 一动点,则AP＋PD 的最小值为 (　　) A．１９　　B．２ ５　　C．２１　　D．２ ６ [当堂达标] １．在空间直角坐标系OＧxyz中,对于点(０,m２＋ ２,m),一定有下列结论 (　　) A．在xOy坐标平面上 B．在xOz坐标平面上 C．在yOz坐标平面上 D．以上都不对 ２．以棱长为１的正方体ABＧ CDＧA１B１C１D１ 的 棱 AB, AD,AA１ 所在的直线为坐 标轴,建立空间直角坐标 系,如 图 所 示,则 正 方 形 AA１B１B 的对角线的交点坐标为 (　　) A．０,１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．１２ ,０,１２ æ è ç ö ø ÷ C．１２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ D．１２ ,１ ２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ ３．点A(１,t,０)和点B(１－t,２,１)的距离的最 小值为　　　． ４．如图,在空间直角坐标系 中,已知长方体ABCDＧ A１B１C１D１,|AB|＝６, |AD|＝４,|AA１|＝２,E,F 分别是B１D１, C１C的中点,求点 E,F 的坐标,并求线段 EF的长． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７􀅰 第三章　空间向量与立体几何