第二章 3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)×　(６)√ ２．A　[抛物线x２＝－４y开口向下,焦点为(０,－１)．] ３．C　[由x＝４y２ 得y２＝１４x ,故准线方程为x＝－１１６． ] ４．解析:由条 件 可 知,抛 物 线 的 焦 点 在y 轴 正 半 轴 上,且 p２ ＝２, 即p＝４,所以它的标准方程为x２＝８y． 答案:x２＝８y 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵抛物线的准线交y轴于正半轴,且p２＝ ２ ３ ,即p＝４３ ,∴所求抛物线的标准方程为x２＝－８３y． (２)根据点(－３,２)在第二象限,设抛物线方程为y２＝－２px 或x２＝２py(p＞０), 将点(－３,２)代入方程得２p＝４３ 或２p＝９２ , 故抛物线方程为y２＝－４３x 或x２＝９２y． (３)①令x＝０,由方程x－２y－４＝０,得y＝－２, ∴抛物线的焦点坐标为(０,－２)． 设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),则由p２＝２ ,得２p＝８, ∴所求抛物线的标准方程为x２＝－８y． ②令y＝０,由x－２y－４＝０,得x＝４, ∴抛物线的焦点坐标为(４,０)． 设抛物线方程为y２＝２px(p＞０),则由p２＝４ ,得２p＝１６, ∴所求抛物线的标准方程为y２＝１６x． 故所求抛物线的标准方程为y２＝１６x或x２＝－８y． (４)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x２＝２my(m≠ ０),由焦点到准线的距离为５,知|m|＝５,即m＝±５,∴满足 条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x２＝１０y 和 x２＝－１０y． [例２]　[解]　(１)设所求抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),由p２ ＋３＝５得p＝４,因此抛物线方程为x２＝－８y,其准线方程为y ＝２,由m２＝２４得m＝±２ ６． (２)设动圆圆心为 M(x,y),半径为r,则由题意可得 M 到圆 心C(０,－３)的距离与直线y＝３的距离相等． 由抛物线的定义可知:动圆圆心 M 的轨迹是以C(０,－３)为 焦点,以y＝３为准线的一条抛物线,其方程为x２＝－１２y． [例３]　[解]　如图,作PN⊥l于点N (l为准线),作AB⊥l于点B, 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN| ≥|AB|, 当且仅当P 为AB 与抛物线的交点 时,等号成立． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝４＋１ ＝５． 此时yP＝２,代入抛物线方程,得xP＝１,∴P(１,２)． 变式训练 １．解:(１)因为点(－３,－１)在第三象限,所以设所求抛物线的 标准方程为y２＝－２px(p＞０)或x２＝－２py(p＞０)． 若抛物线的标准方程为y２＝－２px(p＞０),则由(－１)２＝ －２p×(－３),解得p＝１６ ; 若抛物线的标准方程为x２＝－２py(p＞０),则由(－３)２＝ －２p×(－１),解得p＝９２． 故所求抛物线的标准方程为y２＝－１３x 或x２＝－９y． (２)对于直线方程３x－４y－１２＝０,令x＝０,得y＝－３;令y ＝０,得x＝４, ∴抛物线的焦点为(０,－３)或(４,０)． 当焦点为(０,－３)时,p２＝３ ,∴p＝６,此时抛物线的标准方 程为x２＝－１２y; 当焦点为(４,０)时,p２＝４ ,∴p＝８,此时抛物线的标准方程 为y２＝１６x． ∴所求抛物线的标准方程为x２＝－１２y或y２＝１６x． ２．解析:依题意,得|PM|＝|y|＋１２ ,即 x２＋ y－１２( ) ２ ＝|y|＋１２① ,则 x２＋ y－１２( ) ２ － １２＝|y| ,两边平方得 x２ ＋ y－１２( ) ２ － x２＋ y－１２( ) ２ ＋ １４ ＝y ２,则 x２ － y－１２( ) ＝ x ２＋ y－１２( ) ２ ②,两 边 平 方 得 x４ － ２ y－１２( )x ２＋ y－１２( ) ２ ＝x２＋ y－１２( ) ２ ,整理得x４－２y 􀅰x２＝０,即x２(x２－２y)＝０,可得y＝x ２ ２ 或x＝０．当x＝０ 时,②转化为 y－１２ ＝－ y－ １ ２( ) ,所以y－ １ ２ ≤０ ,此时 ①转化为 y－１２ ＝ １ ２－y＝|y|＋ １ ２ ,|y|＝－y,所以y≤０, 所以点P 的轨迹C 的方程为y＝x ２ ２ 或x＝０(y≤０)． 答案:|y|＋１２　y＝ x２ ２ 或x＝０(y≤０) ３．解析:以O 为原点,OB,OP 方向分别为x,y轴正向,建立如 图所示的直角坐标系: 由题意AB＝３０m,OP＝５m,所以B(１５,０),P(０,５), 又抛物线开口向下,所以设y＝－ax２＋５,将点B(１５,０)的 坐标代入０＝－２２５a＋５, 解得a＝１４５ ,所以抛物线方程为y＝－１４５x ２＋５, 又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑,由图可知 AB 有１４个空格, 因此每一个空格的长度为３０ １４＝ １５ ７ m ,所以OA１＝ ３０ ７ m ,所 以设点B１ ３０ ７ ,b( ) , 又因为点B１ 在抛物线上,所以将其坐标代入抛物线方程得 b＝－１４５× ３０ ７( ) ２ ＋５＝２２５４９≈４．５９． 答案:４．５９ 当堂达标 １．A　[动点P 的条件满足抛物线的定义．] ２．BC　[由y＝４x２,得x２＝１４y ,所以该抛物线开口向上,焦点 坐标为 ０,１１６( ) ,准线方程为y＝－ １ １６． ] ３．解析:如图,抛物线y２＝４x的准 线l的方程为x＝－１,焦点F(１, ０),过点A 作AA′⊥l,A′为垂足, AA′与 抛 物 线 的 交 点 P,|PF| ＝|PA′|, ∴|PF|＋|PA|的 最 小 值 为| AA′|＝６． 答案:６ ４．解:设动点 M(x,y),☉M 与直 线l:x＝－３的切点为 N,则|MA|＝|MN|, 即动点 M 到定点A 和定直线l:x＝－３的距离相等, ∴点 M 的轨迹是抛物线,且以A(３,０)为焦点,以直线l:x＝ －３为准线, ∴p２＝３ ,∴p＝６,故动圆圆心 M 的轨迹方程是y２＝１２x． ３．２　抛物线的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．提示:焦点到准线的距离均为p． ２．提示:过抛物线y２ ＝２px 的焦点且垂直于对称轴的弦长 是２p． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３２􀅰 参考答案 预习自测 １．(１)×　(２)√　 (３)√　(４)× ２．D　[顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x２＝ －２py,x２＝２py(p＞０)．由顶点到准线的距离为４知p＝８, 故所求抛物线方程为x２＝１６y,x２＝－１６y．] ３．D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为３, ∴p２＝３ ,即p＝６．又抛物线上的点到准线的距离的最小值 为p ２ , ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[３,＋∞)．] ４．解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反 射后与x轴平行及直线y＝－２平行于x轴知A(２,０)为焦 点,故准线方程为x＝－２． 答案:x＝－２ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵 坐标为± ３,交 点 横 坐 标 为 ±１,则 抛 物 线 过 点 (１,３)或 (－１,３),设抛物线方程为 y２＝２px或y２＝－２px(p＞０), 则２p＝３,从而抛物线方程为y２＝３x或y２＝－３x． [答案]　y２＝３x或y２＝－３x (２)[解]　由已知得ca ＝２ ,所以a ２＋b２ a２ ＝４,解得ba ＝ ３ , 即渐近线方程为y＝± ３x．而抛物线准线方程为x＝－p２ , 于是A －p２ ,－ ３p２ æ è ç ö ø ÷,B －p２ ,３p ２ æ è ç ö ø ÷, 从而△AOB 的面积为１２ 􀅰 ３p􀅰p２＝ ３ ,可得p＝２．因为抛 物线开口向右,所以其标准方程为y２＝４x． [例２]　[解]　抛物线的焦点为F p２ ,０( )． ∵抛物线关于x轴对称,|OA|＝|OB|,∴△ABO 为等腰三 角形, 且A,B 两点关于x 轴对称． 设A(x０,y０),则B(x０,－y０)．∵△ABO 的垂心恰为抛物线 的焦点,∴BF⊥OA． 则kBF􀅰kOA＝－１,即 －y０－０ x０－p２ 􀅰y０ x０ ＝－１． 又y２０＝２px０,∴x０＝ ５ ２p．∴ 直线AB 的方程为x＝５p２． [例３]　[解]　如图,建立坐标系,设拱桥 抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),由题 意,将B(４,－５)代入方程得p＝ ８５ ,∴ 抛物线方程为x２＝－１６５y． ∵ 当 船 的 两 侧 和 拱 桥 接 触 时 船 不 能 通航． 设此时船面宽为AA′,则A(２,yA),由２２＝－ １６ ５yA ,得yA＝ －５４． 又知船露出水面上部分为 ３ ４ 米,设水面与抛物线拱顶相距 为h,则h＝|yA|＋ ３ ４＝２ (米),即水面上涨到距抛物线拱顶 ２米时,小船不能通航． 变式训练 １．C　[设抛物线方程为y２＝ax(a≠０)．又A ± ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ (取点 A在x轴上方),则有１４＝± ３ ２a ,解得a＝± ３６ ,所以抛物线 方程为y２＝± ３６x． ] ２．解析:由题意可知点A,B 一定关于x 轴对称,且AF,BF 与 x 轴 夹 角 均 为 ３０°．由 于 y２ ＝４x 的 焦 点 为 (１,０),由 y＝ ３３ (x－１), y２＝４x, { 化简得y２－４ ３y－４＝０,解得y１＝２ ３＋ ４,y２＝２ ３－４,所以△AFB 的边长为８＋４ ３或８－４ ３． 答案:８＋４ ３或８－４ ３ ３．解:以拱顶O 为原点,拱高OD 所在直 线为 y 轴,建 立 直 角 坐 标 系,如 图 所示． 设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０)． ∵AB 是OD 的４倍,∴点B 的坐标为 a ２ ,－a４( )．由 点 B 在 抛 物 线 上,得 a ２( ) ２ ＝－２p􀅰 －a４( ) , ∴p＝a２．∴ 抛物线方程为x２＝－ay． 设点E(０􀆰８,y０)为抛物线上一点,代入方程x２＝－ay,得０􀆰８２＝ －ay０,∴y０＝－ ０．６４ a ,∴点E 到拱底AB 的距离h＝a４－|y０| ＝a４－ ０．６４ a ,令h＞３,则a４－ ０．６４ a ＞３ ,解得a＞６＋２ ２４１５ 或a ＜６－２ ２４１５ (舍去)．∴a的最小整数值为１３． 当堂达标 １．B　[由y＝ax２,变形得x２＝１ay＝２× １ ２ay ,∴p＝ １２a ． 又 抛物线的准线方程是y＝１,∴－１４a＝１ ,解得a＝－１４． ] ２．A　[线段AB 所在的直线方程为x＝１,抛物线的焦点坐标 为 １ ２ ,０( ) ,则焦点到直线AB 的距离为１－１２＝ １ ２． ] ３．解析:设正三角形边长为x．由题意,得３６ ３＝１２x ２sin６０°, ∴x＝１２． 当a＞０时,将(６ ３,６)代入y２＝ax,得a＝２ ３; 当a＜０时,将(－６ ３,６)代入y２＝ax,得a＝－２ ３．故a＝ ±２ ３． 答案:±２ ３ ４．解:椭圆的方程可化为x ２ ４＋ y２ ９＝１ ,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y２＝２px 或y２＝－２px(p＞０)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为３,即p２＝３ ,∴p＝６． ∴抛物线的标准方程为y２＝１２x或y２＝－１２x,相应的准线 方程为x＝－３或x＝３． §４　直线与圆锥曲线的位置关系 ４．１　直线与圆锥曲线的交点 课前预习学案 知识梳理 [思考] 提示:直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种 情况:一是相切;二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物 线的对称轴平行． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)√　(５)√ ２．C　[由 y＝x＋１, x２＋y ２ ２＝１ ,{ 消去y,得３x２＋２x－１＝０,Δ＝２２＋１２ ＝１６＞０,∴直线与椭圆相交．] ３．B　[当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有１条; 当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有２条．] ４．解析:由 y＝kx＋２ , x２－y２＝６{ 得(１－k ２)x２－４kx－１０＝０①, 直线y＝kx＋２与双曲线x２－y２＝６的右支相交于不同两 点,即 方 程 ① 有 两 个 不 同 的 正 实 数 解,所 以 Δ＝１６k２＋４０(１－k２)＞０, ４k １－k２＞０ , － １０ １－k２＞０ , ì î í ï ï ï ï 解得－ １５３ ＜k＜－１． 答案: － １５３ ,－１ æ è ç ö ø ÷ 课堂互动学案 [例１]　 [解]　 由 y＝x＋m, x２ １６＋ y２ ９＝１ ,{ 消 去 y,得 ２５x２ ＋３２mx＋ １６m２－１４４＝０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．若动点P 到定点F(－４,０)的距离与到直线 x＝４的距离相等,则P 点的轨迹是 (　　 ) A．抛物线　B．线段　C．直线　D．射线 ２．(多选)对抛物线y＝４x２,下列描述正确 的是 (　　 ) A．焦点坐标为(０,１) B．焦点坐标为 ０,１１６ æ è ç ö ø ÷ C．准线方程为y＝－１１６ D．准线方程为y＝－１ ３．若点P 在抛物线y２＝４x 上,点A(５,３),F 为抛物线的焦点,则|PA|＋|PF|的最小值 为　　　． ４．已知动圆 M 经过点A(３,０),且与直线l:x ＝－３相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．２　抛物线的简单几何性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解抛物线的简单几何性质 ２．能利用性质解决与抛物线有关的问题 ３．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题 通过抛物线的简单几何性质的运用,进一 步培养直观想象、数学抽象、逻辑推理和数 学运算的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的 过程与方法探究方程为y２＝２px(p＞０)的抛 物线, 你认为应研究抛物线的哪些几何性质,如何研 究这些性质? [知识梳理] [知识点]　抛物线的几何性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 图象 标准方程 y ２＝２px (p＞０) y２＝－２px (p＞０) x２＝２py (p＞０) x２＝－２py (p＞０) 性 质 焦点 坐标 p ２ ,０( ) －p２ ,０( ) ０, p ２( ) ０,－ p ２( ) 准线 方程 x＝－p２ x＝ p ２ y＝－ p ２ y＝ p ２ 范围 x≥０,y∈R x≤０,y∈R y≥０,x∈R y≤０,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 　(０,０)　 离心率 e＝１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．焦点到准线的距离是多少? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．过抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点且垂直 于对称轴的弦长是多少? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)抛物线关于顶点对称． (　　 ) (２)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称 中心． (　　 ) (３)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其 离心率都相同． (　　 ) (４)抛物线y＝－１８x ２ 的准线方程为x＝１３２． (　　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第二章　圆锥曲线 ２．顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的 距离为４的抛物线方程是 (　　 ) A．x２＝１６y　　　　B．x２＝８y C．x２＝±８y D．x２＝±１６y ３．设抛物线的焦点到顶点的距离为３,则抛物线 上的点到准线的距离的取值范围是 (　　) A．(６,＋∞) B．[６,＋∞) C．(３,＋∞) D．[３,＋∞) ４．沿直线y＝－２发出的光线经抛物线y２＝ ax反射后,与x轴相交于点A(２,０),则抛 物线的准线方程为　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　由抛物线几何性质求抛物线的方程 [例１]　(１)已知抛物线的顶点在坐标原点,对 称轴为x轴且与圆x２＋y２＝４相交的公共弦 长等于２ ３,则抛物线的方程为　　　　　　． (２)已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的两 条渐近线与抛物线y２＝２px(p＞０)的准线 分别交于A,B 两点,O 为坐标原点．若双曲 线的离心率为２,△AOB 的面积为 ３,求抛 物线的标准方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是 抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称 轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于 顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到 准线的距离为p ２． 􀳀[变式训练] １．边长为１的等边三角形AOB,O 为坐标原 点,AB⊥x 轴,以O 为顶点且过A,B 的抛 物线方程是 (　　 ) A．y２＝ ３６x　　　　　B．y ２＝－ ３３x C．y２＝± ３６x D．y ２＝± ３３x 　　　抛物线几何性质的应用 [例２]　已知A,B 是抛物线y２＝２px(p＞０) 上两点,O为坐标原点,若|OA|＝|OB|,且 △ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F,求 直线AB 的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由抛物线的对称性设出A, B 两点的坐标,再利用垂直和点A,B 在抛 物线上求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用抛物线的性质可以解决的问题 (１)对 称 性:解 决 抛 物 线 的 内 接 三 角 形 问题． (２)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关 的问题． (３)范围:解决与抛物线有关的最值问题． (４)焦点:解决焦点弦问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ２．已知F是抛物线y２＝４x的焦点,A,B 是抛 物线上两点,若△AFB 是等边三角形,则 △AFB 的边长为　　　　． 　　　抛物线的实际应用 [例３]　河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 ５米时,水面宽为８米,一小船宽４米,高２ 米,载货后船露出水面上的部分高３ ４ 米,问 水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小 船开始不能通航? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 建系 → 设方程 → 解方程 → 求出相关量 → 解决问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求抛物线实际应用的五个步骤 (１)建立适当的坐标系． (２)设出合适的抛物线标准方程． (３)通过计算求出抛物线的标准方程． (４)求出需要求出的量． (５)还 原 到 实 际 问 题 中,从 而 解 决 实 际 问题． 􀳀[变式训练] ３．一辆卡车高３m,宽１􀆰６m,欲 通过断面为抛物线形的隧道, 如图所示,已知拱口宽AB 恰好是拱高OD 的４倍．若拱口宽为am,求能使卡车通过 的a的最小整数值． [当堂达标] １．抛物线y＝ax２ 的准线方程是y＝１,则a的 值为 (　　) A．１４ B．－ １ ４ C．４ D．－４ ２．若抛物线y２＝２x 上有两点A、B 且AB 垂 直于x 轴,若|AB|＝２ ２,则抛物线的焦点 到直线AB 的距离为 (　　 ) A．１２ B． １ ４ C． １ ６ D． １ ８ ３．一个正三角形的两个顶点在抛物线y２＝ax 上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角 形的面积为３６ ３,则a＝　　　　　． ４．抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 ９x２＋４y２＝３６短轴所在的直线,抛物线的 焦点到顶点的距离为３,求抛物线的方程及 抛物线的准线方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 第二章　圆锥曲线