第二章 2.2 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

２．２　双曲线的简单几何性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握双曲线的简单几何性质 ２．理解双曲线的渐近线及离心率 的意义 １．通过学习双曲线的几何性质,培养学生的直观想象、数学 运算核心素养 ２．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应 用,提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　类比椭圆几何性质的研究,你认为应该研 究双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的哪些几何 性质,如何研究这些性质? [知识梳理] [知识点一]　双曲线的简单几何性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 x２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) y２ a２ －x ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) 图形 范围 　　　　　　 　　　　 对称性 对称轴:　　　　,对称中心(双曲线 的中心):　　　　 顶点 A１ 　　　　, A２ 　　　　 A１ 　　　　, A２ 　　　　 轴长 实轴长|A１A２|＝　　,虚轴长|B１B２| ＝　　; a和b分别表示双曲线的实半轴长和 虚半轴长． 焦点 F１(－c,０),F２(c,０) F１(０,－c),F２ (０,c) [知识点二]双曲线的离心率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:把ca 叫作双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的离心率,用e表示,e＝ca＞１． ２．性质:ba 越大,e越大,双曲线的开口越大． 离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． [知识点三]　双曲线的渐近线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１的两支在向外无限延伸 时与直线y＝bax 和y＝－bax 无限逼近． 一般地,直线y＝bax 和y＝－bax 称为双曲 线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１的渐近线． 同样,双曲线y ２ a２ －x ２ b２ ＝１的渐近线为y＝±abx． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．渐近线相同的双曲线是同一条双 曲线吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的 关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点四]　等轴双曲线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 其离心率e＝ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１与y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０) 的形状相同． (　　 ) (２)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１与y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０) 的渐近线相同． (　　 ) (３)双曲线方程x ２ m２ －y ２ n２ ＝λ(m＞０,n＞０,λ≠０)的 渐近线方程是x ２ m２ －y ２ n２ ＝０, (　　 ) (４)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是 k＝± e２＋１． (　　 ) (５)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实 轴及虚轴的交点． (　　 ) ２．双曲线y２－x２＝２的渐近线方程是 (　　) A．y＝±x B．y＝± ２x C．y＝± ３x D．y＝±２x ３．若双曲线y ２ １６－ x２ m ＝１ 的离心率e＝２,则m ＝　　　　． ４．双曲线x ２ ４＋ y２ k＝１ 的离心率e∈(１,２),则实 数k的取值范围是　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　根据双曲线方程研究几何性质 [例１]　求双曲线９y２－４x２＝－３６的顶点坐 标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐 近线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (１)把双曲线方程化为标准形式; (２)由标准方程确定焦点位置,确定a,b 的值; (３)由c２＝a２＋b２ 求出c值,从而写出双曲 线的几何性质． 提醒:求性质时一定要注意焦点的位置． 􀳀[变式训练] １．求双曲线９y２－１６x２＝１４４的实半轴长和虚 半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 　　　利用几何性质求双曲线方程 [例２]　(１)已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０) 的右焦点为F,点A 在双曲线的渐近线上, △OAF是边长为２的等边三角形(O 为原 点),则双曲线的方程为 (　　 ) A．x ２ ４－ y２ １２＝１　　　　B． x２ １２－ y２ ４＝１ C．x ２ ３－y ２＝１ D．x２－y ２ ３＝１ (２)渐 近 线 方 程 为 y＝ ±１２x ,且 经 过 点 A(２,－３)的双曲线方程为 　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)△OAF 是边长为２的等 边三角形⇒求c和点A 的坐标⇒渐近线的 斜率⇒求a,b． (２)法一:分焦点在x轴和y 轴上两种情况 求解．法二:待定系数法求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　圆锥曲线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)由双曲线的几何性质求双曲线的方程 的常用方法: 一是设法确定基本量a,b,c,从而求出 双曲线方程;二是采用待定系数法．首 先依据焦点的位置设出标准方程的形 式,再由题目条件确定参数的值．当焦 点位置不确定时,方程可能有两种形 式,此时应注意分类讨论,防止漏解．为 了避免讨论,也可设方程为 mx２－ny２ ＝１(mn＞０),从而直接求解． (２)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y＝±nmx 的双曲线方程可设 为x ２ m２ －y ２ n２ ＝λ(λ≠０,m＞０,n＞０);如果 两条渐近线的方程为Ax±By＝０,那么 双曲线的方程可设为 A２x２－B２y２＝m (m≠０,A＞０,B＞０)． ②与双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１或y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞ ０,b＞０)共渐近线的双曲线方程可设为 x２ a２ －y ２ b２ ＝λ或y ２ a２ －x ２ b２ ＝λ(λ≠０)． ③与双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)离心率 相等的双曲线系方程可设为x ２ a２ －y ２ b２ ＝λ (λ＞０)或y ２ a２ －x ２ b２ ＝λ(λ＞０),这是因为离 心率不能确定焦点位置． 􀳀[变式训练] ２．求满足下列条件的双曲线的标准方程: (１)以直线２x±３y＝０为渐近线,过点(１,２); (２)与双曲线y ２ ４－ x２ ３＝１ 具有相同的渐近 线,且过点 M(３,－２); (３)过点(２,０),与双曲线y ２ ６４－ x２ １６＝１ 离心率 相等． 　　　求双曲线的离心率 [例３]　已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点, 点 M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶 角为１２０°,则E 的离心率为 (　　) A．５ B．２ C．３ D．２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由已知条件画图⇒点 M 的 坐标⇒代入双曲线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求双曲线离心率的方法 (１)若可求得a,c,则直接利用e＝ca 得解． (２)若已知a,b,可直接利用e＝ １＋ ba æ è ç ö ø ÷ ２ 得解． (３)若得到的是关于a,c的齐次方程pc２＋ qac＋ra２＝０(p,q,r为常数,且p≠０),则 转化为关于e的方程pe２＋qe＋r＝０求解． 􀳀[变式训练] ３．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F１A → ⊥F１B → ,F２A → ＝ －２３F２B → ,则C的离心率为　　　　． ４．(２０２１􀅰全国甲卷)已知F１,F２ 是双曲线C的 两个焦点,P 为C 上一点,且∠F１PF２＝６０°, |PF１|＝３|PF２|,则C的离心率为 (　　) A．７２　　B． １３ ２ 　　C．７　　D．１３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　双曲线的离心率与渐近线 [例４]　(１)已知中心在原点,焦点在y 轴上 的双曲线的离心率为 ５,则它的渐近线方 程为 (　　 ) A．y＝±２x B．y＝± ５２x C．y＝±１２x D．y＝± ６x (２)已知双曲线x ２ a２ －y ２ ２ ＝１ (a＞ ２)的两条 渐近线的夹角为π ３ ,则双曲线的离心率为 　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的渐近 线的斜率k与离心率e的关系:|k|＝ba ＝ c２－a２ a ＝ c２ a２－１ ＝ e２－１． (２)求双曲线渐近线的方法 求双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)或y ２ a２ － x２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的渐近线方程的方法是 令右边的常数等于０,即令x ２ a２ －y ２ b２ ＝０,得y ＝±bax ;或令y ２ a２ －x ２ b２ ＝０,得y＝±abx． 反 之,已知渐近线方程为y＝±bax ,可设双 曲线方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝λ(a＞０,b＞０,λ≠０)． 􀳀[变式训练] ５．(１)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０) 的离心率为 ２,则点(４,０)到C 的渐近线的 距离为 (　　) A．２ B．２ C．３ ２２ D．２ ２ (２)已知双曲线的渐近线方程为２x±３y＝ ０,则该双曲线的离心率为　　　　． [当堂达标] １．下列双曲线中,渐近线方程为y＝±２x的是 (　　) A．x２－y ２ ４ ＝１　　　　　B． x２ ４ －y ２＝１ C．x２－y ２ ２ ＝１ D． x２ ２ －y ２＝１ ２．双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心 率为２,焦点到渐近线的距离为 ３ ,则双曲 线C的焦距等于 (　　) A．２ B．２ ２ C．４ D．４ ２ ３．关于双曲线x ２ ９－ y２ １６＝－１ ,有以下说法: ①实轴长为６;　②双曲线的离心率是５４ ;　 ③焦点坐标为(±５,０);　④渐近线方程是 y＝±４３x ; ⑤焦点到渐近线的距离等于３． 正确的说法是　　　　　．(把所有正确说 法的序号都填上) ４．求中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,经过点 (３,－２),且一条渐近线的倾斜角为π６ 的双曲 线的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第二章　圆锥曲线 [例３]　[解析]　(１)根据题意,若方程 x ２ k＋４＋ y２ k－１＝１ 表示 双曲线,则有(k＋４)(k－１)＜０,解得－４＜k＜１． (２)３＜m＜５ 时,m－５＜０,m２ －m－６＞０,方 程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示焦点在y轴上的双曲线; 若方程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示双曲线,则(m－５)(m２－ m－６)＜０,所以３＜m＜５或m＜－２, 所以３＜m＜５是方程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示双曲线的 充分不必要条件． [答案]　(１)C　(２)A [例４]　[解]　以AB 边所在的直线为 x轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立 平面直角坐标系,如图所示,则A(－ ２ ２,０),B(２ ２,０)．由正弦定理,得 sinA＝|BC|２R ,sinB＝|AC|２R ,sinC＝ |AB| ２R (R 为△ABC的外接圆半径)． ∵２sinA＋sinC＝２sinB,∴２|BC|＋|AB|＝２|AC|,即 |AC|－|BC|＝|AB|２ ＝２ ２＜|AB|． 由双曲线的定义知,点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意,设所求轨迹方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(x＞a), ∵a＝ ２,c＝２ ２,∴b２＝c２－a２＝６．即所求轨迹方程为x ２ ２－ y２ ６＝１ (x＞ ２)． 变式训练 １．解:(１)依 题 意,得 双 曲 线 的 焦 点 在x 轴 上,且a＝ ３,c＝ ２ ２,所以b２＝c２－a２＝５． 所以双曲线的标准方程为x ２ ３－ y２ ５＝１． (２)因为焦点在x轴上,且c＝ ６,所以设双曲线的标准方程 为x ２ a２ － y ２ ６－a２ ＝１,０＜a２＜６． 又因为过点(－５,２),所以２５ a２ － ４ ６－a２ ＝１,解得a２＝５或a２ ＝３０(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x ２ ５－y ２＝１． ２．解析:不妨设点P 在双曲线的右支上, 因为PF１⊥PF２,所以|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２＝(２ ２)２, 又|PF１|－|PF２|＝２,所以(|PF１|－|PF２|)２＝４, 可得２|PF１|􀅰|PF２|＝４,则(|PF１|＋|PF２|)２＝|PF１|２＋ |PF２|２＋２|PF１|􀅰|PF２|＝１２, 所以|PF１|＋|PF２|＝２ ３． 答案:２ ３ ３．C　[原方程化为 y ２ k２－１ － x ２ k＋１＝１．∵k＞１ ,∴k２－１＞０,k＋ １＞０． ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．] ４．解:圆F１:(x＋５)２＋y２＝１,圆心F１(－５,０),半径r１＝１．圆 F２:(x－５)２＋y２＝４２,圆心F２(５,０),半径r２＝４． 设动圆 M 的半径为R,则有|MF１|＝R＋１,|MF２|＝R＋４, ∴|MF２|－|MF１|＝３＜１０＝|F１F２|． ∴点 M 的轨迹是以F１,F２ 为焦点的双曲线的左支,且a＝ ３ ２ ,c＝５,于是b２＝c２－a２＝９１４．∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程 为x ２ ９ ４ －y ２ ９１ ４ ＝１ x≤－３２( )． 当堂达标 １．D　[由已知|PM|－|PN|＝２＝|MN|,所以点P 的轨迹是 一条以N 为端点的射线．] ２．AD　[因为a２＝２５,所以a＝５．由双曲线的定义可得||PF１| －|PF２||＝１０．由题意知|PF１|＝１２,所以|PF１|－|PF２| ＝±１０,所以|PF２|＝２２或２．] ３．A　[将８kx２－ky２＝８化为标准方程,得x ２ １ k －y ２ ８ k ＝１．∵焦点在 y轴上,∴８k＜０ ,即k＜０,∴c２＝－ ９k( )＝９,∴k＝－１．] ４．解:∵ ||PF１|－|PF２||＝８, |PF１|２＋|PF２|２－２|PF１|􀅰|PF２|􀅰cos π ３＝１００ ,{ ∴|PF１|􀅰|PF２|＝３６,∴S△PF１F２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|􀅰sin π ３ ＝９ ３．] ２．２　双曲线的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一　x≤－a或x≥a　y≤－a或y≥a　x轴、y轴　 (０,０)　(－a,０)　(a,０)　(０,－a)　(０,a)　２a　２b　 [思考] １．[提示]　渐近线相同的双曲线有无数条,但它们实轴的长与 虚轴的长的比值相同． ２．[提示]　e２＝c ２ a２ ＝１＋b ２ a２ ,b a 是渐近线的斜率或其倒数． 预习自测 １．(１)√　(２)×　 (３)√　 (４)×　(５)× ２．A　[由题意知y ２ ２－ x２ ２＝１ ,则渐近线方程为y＝±x．] ３．解析:由题意知a２＝１６,即a＝４．又e＝２,所以c＝２a＝８,则 m＝c２－a２＝４８． 答案:４８ ４．解析:双曲线方程可变形为x ２ ４－ y２ －k＝１ , 则a２＝４,b２＝－k,c２＝４－k,e＝ca ＝ ４－k ２ ． 又因为e∈(１,２),即１＜ ４－k２ ＜２ ,解得－１２＜k＜０． 答案:(－１２,０) 课堂互动学案 [例１]　[解]　双曲线的方程化为标准形式是x ２ ９－ y２ ４＝１ , ∴a２＝９,b２＝４,∴a＝３,b＝２,c＝ １３．又双曲线的焦点在x 轴上,∴顶点坐标为(－３,０),(３,０), 焦点坐标为(－ １３,０),( １３,０),实轴长２a＝６,虚轴长２b ＝４,离心率e＝ca ＝ １３ ３ ,渐近线方程为y＝±２３x． [例２]　[解析]　(１)不妨设点A 在第一象限,由题意可知c＝ ２,点A 的坐标为(１,３),所以ba ＝ ３ ,又c２＝a２＋b２,所以 a２＝１,b２＝３,故所求双曲线的方程为x２－y ２ ３＝１． (２)法一:因为双曲线的渐近线方程为y＝±１２x , 若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０),则ba ＝ １ ２．① 因为点 A(２,－３)在双曲线上, 所以４ a２ －９ b２ ＝１．②联立①②,无解． 若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为 y２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),则ab ＝ １ ２．③ 因为点A(２,－３)在双曲线上,所以９ a２ －４ b２ ＝１．④ 联立③④,解得a２＝８,b２＝３２． 故所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． 法二:由双曲线的渐近线方程为y＝±１２x ,可设双曲线的方程 为x ２ ２２ －y２＝λ(λ≠０)．因为点A(２,－３)在双曲线上,所以２ ２ ２２ － (－３)２＝λ,即λ＝－８．故所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． [答案]　(１)D　(２)y ２ ８－ x２ ３２＝１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３２􀅰 参考答案 [例３]　[解析]　设双曲线方程为 x２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),不妨设 点 M 在 双 曲 线 的 右 支 上,如 图, AB＝BM＝２a,∠MBA＝１２０°,作 MH⊥x轴于H,则∠MBH＝６０°, |BH|＝a,|MH|＝ ３a,所 以 M (２a,３a)．将点 M 的坐标代入双 曲线方程x ２ a２ －y ２ b２ ＝１,得a＝b,所以e＝ ２． [答案]　D [例４]　[解析]　(１)C　[设双曲线的方程为y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞ ０,b＞０),∵e＝ ca ＝ ５ ,c＝ a２＋b２,∴ a ２＋b２ a２ ＝ １＋ ba( ) ２ ＝ ５,∴ba ＝２ ,∴双曲线的渐近线方程为y＝ ±abx＝± １ ２x． ] (２)∵a＞ ２,∴ ２a＜１ , ∴y＝ ２ax 的倾斜角小于 π ４ , ∴ ２a＝tan π ６＝ ３ ３ , ∴a＝ ６,c＝ a２＋b２＝２ ２,∴e＝ca ＝ ２ ２ ６ ＝２ ３３ ． [答案]　(１)y＝± ３x　(２)２ ３３ 变式训练 １．解:把方程９y２－１６x２＝１４４化为标准方程为y ２ ４２ －x ２ ３２ ＝１．由 此可知,实半轴长a＝４,虚半轴长b＝３; c＝ a２＋b２＝ ４２＋３２＝５,焦点坐标是(０,－５),(０,５);离心 率e＝ca ＝ ５ ４ ;渐近线方程为y＝±４３x． ２．解:(１)由题意可设所求双曲线方程为４x２－９y２＝λ(λ≠０), 将点(１,２)的坐标代入方程解得λ＝－３２． 因此所求双曲线的标准方程为y ２ ３２ ９ －x ２ ８＝１． (２)设所求双曲线方程为y ２ ４－ x２ ３＝λ (λ≠０)． 由点 M(３,－２)在双曲线上得４４－ ９ ３＝λ ,得λ＝－２． 故所求双曲线的标准方程为x ２ ６－ y２ ８＝１． (３)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为x ２ ６４－ y２ １６ ＝λ(λ＞０),将点(２,０)的坐标代入方程得λ＝ １１６ ,故所求双 曲线的标准方程为x ２ ４－y ２＝１; 当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为y ２ ６４－ x２ １６＝λ (λ＞０),将点(２,０)的坐标代入方程得λ＝－１４＜０ (舍去)． 综上可知,所求双曲线的标准方程为x ２ ４－y ２＝１． ３．解析:由F２A → ＝－２３F２B →,得 |F２A → | |F２B → | ＝２３ , 设|F２A → |＝２x,|F２B → |＝３x, 由对称性可得|F１B → |＝３x,由定义可 得,|AF１ → |＝２x＋２a, |AB → |＝５x,设∠F１AF２＝θ,则sinθ ＝３x５x＝ ３ ５ ⇒cosθ＝ ４ ５＝ ２x＋２a ５x ,解 得x＝a,所以|AF１ → |＝４a,|AF２ → |＝２a, 在△AF１F２ 中,由余弦定理可得cosθ＝ １６a２＋４a２－４c２ １６a２ ＝ ４ ５ ,即５c２＝９a２,可得e＝３ ５５ ． 答案:３ ５ ５ ４．A　[由题意,得|PF１|＝３|PF２|,|PF１|－|PF２|＝２a得|PF２| ＝a,|PF１|＝３a,在△F１PF２ 中,有|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２ －２|PF１|􀅰|PF２|cos∠F１PF２,得(２c)２＝(３a)２＋a２－２×３a×a ×cos６０°,即e＝ca ＝ ７ ２． ] ５．解析:(１)∵e２＝c ２ a２ ＝a ２＋b２ a２ ＝１＋b ２ a２ ＝２,∴b ２ a２ ＝１,∴ba ＝ １,∴渐近线方程为x±y＝０,则点(４,０)到渐近线的距离d ＝|４±０| ２ ＝２ ２． (２)当焦点在x 轴上时,ba ＝ ２ ３ ,即c ２－a２ a２ ＝４９ ,∴e２＝１３９ , 解得e＝ １３３ ;当焦点在y轴上时,ba ＝ ３ ２ ,即c ２－a２ a２ ＝９４ , ∴e２＝１３４ ,解得e＝ １３２ ． 故双曲线的离心率为 １３ ２ 或 １３ ３ ． 答案:(１)D　(２) １３２ 或 １３ ３ 当堂达标 １．A　[在 A项中,双曲线方程为x２－y ２ ４＝１ ,即a＝１,b＝２, ∴渐近线方程为y＝±２x．] ２．C　[由已知得e＝ca ＝２ ,所以a＝ １２c ,故b＝ c２－a２ ＝ ３ ２c ,从而双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝± ３x． 由焦 点到渐近线的距离为 ３,得 ３２c＝ ３ ,解得c＝２,故２c＝４．] ３．解析:∵双曲线x ２ ９－ y２ １６＝－１ ,即y ２ １６－ x２ ９＝１ ,∴a＝４,b＝３,c＝ ９＋１６＝５, ∴①实轴长为２a＝８,故①错误;②双曲线的离心率是e＝ca ＝５４ ,故②正确; ③焦点坐标为F(０,±５),故③错误;④渐近线方程是y＝± ４ ３x ,故④正确; ⑤焦点到渐近线的距离为d＝|０＋１５| ９＋１６ ＝３,故⑤正确． 答案:②④⑤ ４．解:渐近线方程为y＝± ３３x ,设双曲线方程为x２－３y２＝λ． 将(３,－２)代入求得λ＝－３,所以双曲线方程为y２－x ２ ３＝１． §３　抛物线 ３．１　抛物线及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　相等　定点F　定直线l　|MF|＝d [思考] １．[提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点二　y２＝２px　(p＞０)　F p２ ,０( ) 　x＝－p２ 　y ２＝ －２px　(p＞０)　x＝p２ 　x ２＝２py　(p＞０)　F(０,p２ )　y ＝－p２　x ２＝－２py　(p＞０)　F(０,－p２ )　y＝p２ [思考] ２．[提示]　(１)p的几何意义是焦点到准线的距离． (２)根据抛物线方程中一次式±２px,±２py 来确定焦点位 置,“x,y”表示焦点在x轴或y 轴上,系数“±２p”的正负确 定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册