第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．２　椭圆的简单几何性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正 确地画出它的图形 ２．根据几何条件求出曲线方程,利用曲线的方 程研究它的性质,并能画出相应的曲线 １．通过椭圆性质的学习与应用,培养学生的数 学运算的核心素养 ２．借助离心率问题的求解,提升直观想象与逻 辑推理的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　与利用直线的方程、圆 的方程研究它们的几何性质 一样,我们利用椭圆的标准 方程研究椭圆的几何性质, 包括 椭 圆 的 范 围、形 状、大 小、对称性和特殊点等. 观察椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０)的形状, 你能从图上看出它的范围吗? 它具有怎样的 对称性? 椭圆上哪些点比较特殊? 观察图,我们发现,不同椭圆的扁平程度 不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能 用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? [知识梳理] [知识点一]　椭圆的简单几何性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 范围 　　　　　　 　　　　　　 对称性 对称轴为　　　　,对称中心为　　　　 顶点 A１(－a,０),A２(a,０), B１(０,－b),B２(０,b) A１(０,－a),A２(０,a), B１(－b,０),B２(b,０) 轴长 短轴长|B１B２|＝　　,长轴长|A１A２|＝　　 焦点 　　　　　　 　　　　　　 焦距 |F１F２|＝２c [知识点二]　离心率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆 的离心率,用e表示,即ca＝e． ２．性质: (１) (２)形象记忆:０＜e＜１,e越趋向于１越扁, 形如—;e越趋向于０越圆,形如○． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．离心率e能否用ba 表示? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的长轴长等于a． (　　) (２)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c． (　　) (３)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆． (　　) (４)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长 分别为１０,８,则椭圆的方程为x ２ ２５＋ y２ １６＝１． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 (５)设F 为椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个 焦点,M 为其上任一点,则|MF|的最大值 为a＋c(c为椭圆的半焦距)． (　　) ２．椭圆２５x２＋９y２＝２２５的长轴长、短轴长、离 心率依次是 (　　) A．５,３,０．８　　　　　B．１０,６,０．８ C．５,３,０．６ D．１０,６,０．６ ３．已知椭圆 x ２ １０－m＋ y２ m－２＝１ ,长轴在y 轴 上．若焦距为４,则m 等于 (　　) A．８　　　B．７　　　C．５　　　D．４ ４．椭圆中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为 １８,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 方程是　　　　　　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　椭圆的简单几何性质 [例１]　求椭圆９x２＋１６y２＝１４４的长轴长、短 轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由标准方程研究性质时的两点注意 (１)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标 准形式的先化成标准形式,再确定焦点 的位置,进而确定椭圆的类型． (２)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a 与b,正确利用a２＝b２＋c２ 求出焦点坐 标,再写出顶点坐标．同时要注意长轴 长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是 ２a,２b,２c． 􀳀[变式训练] １．已知椭圆C１: x２ １００＋ y２ ６４＝１ ,设椭圆C２ 与椭 圆C１ 的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆 C２ 的焦点在y轴上． (１)求椭圆C１ 的长半轴长、短半轴长、焦点 坐标及离心率; (２)写出椭圆C２ 的方程,并研究其性质． 　　　求椭圆的离心率 [例２]　已知F１,F２ 是椭圆的两个焦点,过F１ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两 点,若△ABF２ 是正三角形,则该椭圆的离心率 是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 △ABF２ 为 正 三 角 形 ⇒ ∠AF２F１＝３０°⇒ 把|AF１|,|AF２|用c 表示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第二章　圆锥曲线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求椭圆离心率及范围的两种方法 (１)直接法:若已知a,c可直接利用e＝ca 求解．若已知a,b或b,c可借助于a２＝ b２＋c２ 求出c或a,再代入公式e＝ca 求解． (２)方程法:若a,c的值不可求,则可根据 条件建立a,b,c的关系式,借助于a２＝ b２＋c２,转化为关于a,c的齐次方程或 不等式,再将方程或不等式两边同除以 a的最高次幂,得到关于e的方程或不 等式,即可求得e的值或范围． 􀳀[变式训练] ２．(１)椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个焦点为 F,该椭圆上有一点A,满足△OAF 是等边 三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是 (　　) A．３－１　　　　　　B．２－ ３ C．２－１ D．２－ ２ (２)若椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上存在一点 M,使∠F１MF２＝９０°(F１F２ 为椭圆的两焦 点),求椭圆的离心率的取值范围． 　　　由几何性质求椭圆的标准方程 [例３]　求适合下列条件的椭圆的标准方程: (１)椭圆过点(３,０),离心率e＝ ６３ ; (２)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的 连线互相垂直,且焦距为８; (３)求经过点 M(１,２),且与椭圆x ２ １２＋ y２ ６＝１ 有相同离心率的椭圆的标准方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)焦点位置不确定,分两种 情况求解． (２)利用直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半求解． (３)法一:先求离心率,根据离心率找到a 与b的关系．再用待定系数法求解． 法二:设与椭圆x ２ １２＋ y２ ６＝１ 有相同离心率 的椭圆方程为x ２ １２＋ y２ ６＝k１ (k１＞０)或y ２ １２＋ x２ ６ ＝k２(k２＞０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (１)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方 程时,通常采用待定系数法,其步骤是: ①确定焦点位置;②设出相应椭圆的标 准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可 能有两种标准方程);③根据已知条件 构造关于参数的关系式,利用方程(组) 求参数,列方程(组)时常用的关系式有 b２＝a２－c２,e＝ca 等． (２)在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心 率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依 据这些条件求所要确定的椭圆的标准 方程可能有两个． 􀳀[变式训练] ３．已知椭圆的长轴长是短轴长的３倍,且过点 A(３,０),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的 标准方程． [当堂达标] １．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１, ０),离心率等于１２ ,则C的方程是 (　　 ) A．x ２ ３＋ y２ ４＝１　　　　B． x２ ４＋ y２ ３ ＝１ C．x ２ ４＋ y２ ３＝１ D． x２ ４＋y ２＝１ ２．(多选)椭圆x ２ ９＋ y２ ４＋k＝１ 的离心率为４ ５ ,则k 的值为 (　　) A．－２１ B．－１９２９ C．１９２９ D．２１ ３．椭圆 x ２ m２＋１２ ＋ y ２ m２＋４ ＝１焦距为　　　　． ４．椭圆y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的两焦点为F１ (０,－c),F２(０,c)(c＞０),离心率e＝ ３ ２ ,焦 点到椭圆上点的最短距离为２－ ３,求椭圆 的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 第二章　圆锥曲线 (２－ ３)．∴S△F１PF２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|sin∠F１PF２＝ １ ２× １６(２－ ３)×１２＝８－４ ３． 答案:８－４ ３ ４．解:由题意,知点 M 在线段CQ 上,所以 |CQ|＝|MQ|＋|MC|． 因为点 M 在AQ 的垂直平分线上, 所以|MA|＝|MQ|．所以|MA|＋|MC| ＝|CQ|＝５． 因为A(１,０),C(－１,０) 所以点 M 的轨迹是以(１,０),(－１,０) 为焦点的椭圆,且２a＝５． 所以a＝５２ ,c＝１,b２＝a２－c２＝２５４－１＝ ２１ ４． 故点 M 的轨迹方程为x ２ ２５ ４ ＋y ２ ２１ ４ ＝１． 当堂达标 １．BC　[当焦点在x轴上时,a２＝m,b２＝４,c２＝m－４．又２c＝ ２,所以c＝１,所以m－４＝１,所以m＝５．当焦点在y轴上时, a２＝４,b２＝m,所以c２＝４－m＝１,所以m＝３．] ２．A　[由题意知c２＝５,可设椭圆方程为 x ２ λ＋５＋ y２ λ＝１ (λ＞０), 则 ９ λ＋５＋ ４ λ＝１ ,解得λ＝１０或λ＝－２(舍去), ∴所求椭圆的标准方程为x ２ １５＋ y２ １０＝１． ] ３．解析:由方程x ２ m＋ y２ ２m－１＝１ 表示椭圆,得 m＞０, ２m－１＞０, m≠２m－１,{ 解得 m＞１２ 且m≠１． 答案:m m＞１２ 且m≠１}{ ４．解:由椭圆方程,得a＝３,b＝２,c＝ ５．∵|PF１|＋|PF２|＝ ２a＝６且|PF１|∶|PF２|＝２∶１, ∴|PF１|＝４,|PF２|＝２,∴|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２, ∴△PF１F２ 是直角三角形,且∠F１PF２＝９０°,故△F１PF２ 的面 积为１ ２|PF１| 􀅰|PF２|＝ １ ２×２×４＝４ １．２　椭圆的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一　－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 坐标轴　原点　２b　２a　F１(－c,０),F２(c,０)　F１(０,－c),F２(０,c) [思考] １．[提示]　能．e２＝c ２ a２ ＝a ２－b２ a２ ＝１－ ba( ) ２ , 所以e＝ １－ ba( ) ２ ． ２．[提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)√ ２．B　[椭圆方程可化为x ２ ９＋ y２ ２５＝１ ,则a＝５,b＝３,c＝ ２５－９ ＝４,e＝ca ＝ ４ ５． ] ３．A　[由题意得 m－２＞１０－m 且１０－m＞０,于是６＜m＜ １０,再由(m－２)－(１０－m)＝２２,得m＝８．] ４．解析:∵２a＝１８,２c＝１３×２a＝６ , ∴a＝９,c＝３,b２＝８１－９＝７２．∴椭圆的方程为x ２ ８１＋ y２ ７２＝１． 答案:x ２ ８１ ＋ y２ ７２ ＝１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　把已知方程化成标准方程为x ２ １６＋ y２ ９＝１ ,所以 a＝４,b＝３,c＝ １６－９＝ ７,所以椭圆的长轴长和短轴长分 别是２a＝８和２b＝６;离心率e＝ca ＝ ７ ４ ;两个焦点坐标分别是 (－ ７,０),(７,０);四个顶点坐标分别是(－４,０),(４,０),(０, －３),(０,３)． [例２]　[解析]　不妨设椭圆的焦点在x 轴上,因 为 AB⊥F１F２,且 △ABF２ 为 正 三 角 形,所 以 在 Rt△AF１F２ 中, ∠AF２F１＝３０°,令|AF１|＝x,则|AF２| ＝ ２x, 所 以 | F１F２ | ＝ |AF２|２－|AF１|２ ＝ ３x＝２c,再由椭圆的定义, 可知|AF１|＋|AF２|＝２a＝３x, 所以e＝２c２a＝ ３x ３x＝ ３ ３． [答案]　 ３３ [例３]　[解]　(１)若焦点在x轴上,则a＝３, ∵e＝ca ＝ ６ ３ ,∴c＝ ６,∴b２＝a２－c２＝９－６＝３． ∴椭圆的方程为x ２ ９＋ y２ ３＝１． 若焦点在y轴上,则b＝３, ∵e＝ca ＝ １－ b２ a２ ＝ １－９a２ ＝ ６３ ,解得a２＝２７．∴椭圆的 方程为y ２ ２７＋ x２ ９＝１． ∴所求椭圆的方程为x ２ ９＋ y２ ３＝１ 或y ２ ２７＋ x２ ９＝１． (２)设椭圆方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． 如图所 示,△A１FA２ 为 等 腰 直 角 三 角 形,OF 为 斜 边A１A２ 的 中 线(高),且| OF|＝c,|A１A２|＝２b, ∴c＝b＝４,∴a２＝b２＋c２＝３２, 故所求椭圆的方程为x ２ ３２＋ y２ １６＝１． (３)法一:由题意知e２＝１－b ２ a２ ＝ １２ ,所 以b ２ a２ ＝１２ ,即a２＝２b２,设所求椭圆的方程为x ２ ２b２ ＋y ２ b２ ＝１或 y２ ２b２ ＋x ２ b２ ＝１．将点 M(１,２)代入椭圆方程得 １ ２b２ ＋ ４ b２ ＝１或 ４ ２b２ ＋１ b２ ＝１,解得b２＝９２ 或b２＝３． 故所求椭圆方程为x ２ ９＋ y２ ９ ２ ＝１或y ２ ６＋ x２ ３＝１． 法二:设所求椭圆方程为x ２ １２＋ y２ ６＝k１ (k１＞０)或y ２ １２＋ x２ ６＝k２ (k２＞０),将点 M 的坐标代入可得 １ １２＋ ４ ６＝k１ 或 ４ １２＋ １ ６＝ k２,解得k１＝ ３ ４ ,k２＝ １ ２ ,故x ２ １２＋ y２ ６＝ ３ ４ 或y ２ １２＋ x２ ６＝ １ ２ ,即 所求椭圆的标准方程为x ２ ９＋ y２ ９ ２ ＝１或y ２ ６＋ x２ ３＝１． 变式训练 １．解:(１)由椭圆C１: x２ １００＋ y２ ６４＝１ ,可得其长半轴长为１０,短半 轴长为８,焦点坐标为(６,０),(－６,０),离心率e＝３５． (２)椭圆C２:y ２ １００＋ x２ ６４＝１． 性质如下: ①范围:－８≤x≤８,－１０≤y≤１０;②对称性:关于x 轴、y 轴、原点对称;③顶点:长轴端点(０,１０),(０,－１０),短轴端点 (－８,０),(８,０);④焦点:(０,６),(０,－６);⑤离心率:e＝３５． ２．解析:(１)如图,设F(c,０),由于△OAF 是等边三角形,得A c ２ ,３c ２ æ è ç ö ø ÷,因为点 A 在椭圆上,所以有c ２ ４a２ ＋３c ２ ４b２ ＝１①,在 椭圆中有a２＝b２＋c２　②,联立①②,得 c２＝(４－２ ３)a２,即c＝(３－１)a,则其离 心率e＝ca ＝ ３－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 参考答案 (２)设点 M 的坐标是(x０,y０),则 x２０ a２ ＋ y２０ b２ ＝１ , x２０＋y２０＝c２． { 消去y０,得x２０＝ a２(c２－b２) c２ ．因为０≤x２０≤a２ 所以 a２(c２－b２) c２ ≥０ ,　　　　① a２(c２－b２) c２ ≤a ２．　　　　② ì î í ïï ï 由①,得c２≥b２,即c２≥a２＋c２,所以a２≤２c２,所以e２＝c ２ a２ ≥ １ ２． 又因为０＜e＜１,所以e∈ ２ ２ ,１[ öø÷, 由②,得c２－b２≤c２,此式恒成立． 综上所述,所求椭圆的离心率的取值范围是 ２ ２ ,１[ öø÷． ３．解:法一:若椭圆的焦点在x 轴上,则设椭圆的标准方程为 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)．由 题 意 得 ２a＝３􀅰２b, ９ a２ ＋ ０ b２ ＝１ ,{ 解 得 a＝３, b＝１．{ 所以椭圆的标准方程为 x２ ９＋y ２＝１． 若椭圆的焦点在y轴上,则设椭圆的标准方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)．由题意得 ２a＝３􀅰２b, ０ a２ ＋ ９ b２ ＝１ ,{ 解得 a＝９,b＝３．{ 所以椭圆的标准方程为y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 综上所述,椭圆的标准方程为x ２ ９＋y ２＝１或y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 法二:设椭圆方程为x ２ m＋ y２ n＝１ (m＞０,n＞０,m≠n), 则 由 题 意 得 ９ m＝１ , ２ m＝３􀅰２ n{ 或 ９ m＝１ , ２ n＝３􀅰２ m,{ 解 得 m＝９ n＝１{ 或 m＝９ n＝８１．{ 所以椭圆的标准方程为x ２ ９＋y ２＝１或y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 当堂达标 １．C　[依题意知,所求椭圆的焦点位于x轴上, 且c＝１,e＝ca ＝ １ ２ ,即a＝２,b２＝a２－c２＝３,因此椭圆的方 程是x ２ ４＋ y２ ３＝１． ] ２．BD　[①a２ ＝９,b２ ＝４＋k,则c＝ ５－k,则 ca ＝ ４ ５ ,即 ５－k ３ ＝ ４ ５ ,解 得k＝－１９２９ ,②a２ ＝４＋k,b２ ＝９,则c＝ k－５,则ca ＝ ４ ５ ,即 k－５ ４＋k ＝４５ ,解得k＝２１．] ３．解析:由题意,m２＋１２＞m２＋４,故椭圆的焦点在x轴上 ∴a２＝m２＋１２,b２＝m２＋４,c２＝m２＋１２－(m２＋４)＝８ 故焦距２c＝２×２ ２＝４ ２． 答案:４ ２ ４．解:由题意知 c a ＝ ３ ２ , a－c＝２－ ３, { 解得 a＝２,c＝ ３,{ 所以b２＝a２－c２＝１,所以所求椭圆的方程为y ２ ４＋x ２＝１． §２　双曲线 ２．１　双曲线及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　距离之差的绝对值　定点　距离 ||MF１|－|MF２||＝２a [思考] １．[提示]　当距离之差的绝对值等于|F１F２|时,动点的轨迹 是两条射线,端点分别是F１,F２,当距离之差的绝对值大于 |F１F２|时,动点的轨迹不存在． ２．[提示]　点 M 在双曲线的右支上． 知识点二　x ２ a２ －y ２ b２ ＝１　y ２ a２ －x ２ b２ ＝１　(－c,０)　(c,０) (０,－c)　(０,c)　a２＋b２ 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)× ２．D　[F１,F２ 是定点,且|F１F２|＝１０,所以满足条件|PF１|－ |PF２|＝１０的点P 的轨迹应为一条射线．] ３．B　[由题意知||PF２|－３|＝６,即|PF２|－３＝±６,解 得 |PF２|＝９或|PF２|＝－３(舍去)．] ４．解析:设双曲线的方程为mx２＋ny２＝１(m＜０,n＞０), 则 ９m＋２８n＝１,７２m＋４９n＝１,{ 解得 m＝－１７５ , n＝１２５ ,{ 故双曲线的标准方程为 y２ ２５－ x２ ７５＝１． 答案:y ２ ２５－ x２ ７５ ＝１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)当焦点在x 轴上时,设所求标准方程为x ２ １６ －y ２ b２ ＝１(b＞０),把 点 A 的 坐 标 代 入 方 程,得b２＝－１６１５× １６０ ９ ＜０ ,不符合题意;当焦点在y 轴上时,设所求标准方程 为y ２ １６－ x２ b２ ＝１(b＞０),把A 点的坐标代入方程,得b２＝９．故 所求双曲线的标准方程为y ２ １６－ x２ ９＝１． (２)法一:∵焦点相同, ∴设所求双曲线的标准方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０), ∴c２＝１６＋４＝２０,即a２＋b２＝２０．① ∵双曲线经过点(３ ２,２),∴１８ a２ －４ b２ ＝１．② 由①②得a２＝１２,b２＝８,∴双曲线的标准方程为x ２ １２－ y２ ８＝１． 法二:设所求双曲线的方程为 x ２ １６－λ－ y２ ４＋λ＝１ (－４＜λ＜１６)． ∵双曲线过点(３ ２,２),∴ １８１６－λ－ ４ ４＋λ＝１ , 解得λ＝４或λ＝－１４(舍去)．∴双曲线的标准方程为x ２ １２－ y２ ８＝１． (３)设双曲线的方程为Ax２＋By２＝１,AB＜０． ∵点P,Q 在双曲线上,∴ ９A＋２２５１６B＝１ , ２５６ ９A＋２５B＝１ ,{ 解得 A＝－１１６ , B＝１９． { ∴双曲线的标准方程为y ２ ９－ x２ １６＝１． [例２]　[解]　双曲线的标准方程为x ２ ９－ y２ １６＝１ ,故a＝３,b＝ ４,c＝ a２＋b２＝５． (１)由双曲线的定义得|MF１|－|MF２|＝２a＝６,又双曲线上 一点 M 到它的一个焦点的距离等于１６,假设点 M 到另一个 焦点的距离等于x,则|１６－x|＝６,解得x＝１０或x＝２２． 故点 M 到另一个焦点的距离为１０或２２． (２)将|PF２|－|PF１|＝２a＝６两边平方得|PF１|２＋|PF２|２ －２|PF１|􀅰|PF２|＝３６, 则|PF１|２＋|PF２|２＝３６＋２|PF１|􀅰|PF２|＝３６＋２×３２ ＝１００． 在△F１PF２ 中,由余弦定理得 cos∠F１PF２＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１|􀅰|PF２| ＝ １００－１００ ２×３２ ＝０ ,且∠F１PF２∈(０°,１８０°), 所以∠F１PF２＝９０°, 故S△F１PF２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|＝ １ ２×３２＝１６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册