第二章 1.1 椭圆及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§１　椭　圆 １．１　椭圆及其标准方程 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程 ２．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 ３．理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准 方程解决相关问题 １．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有 关问题学习,培养学生的数学运算素养 ２．借助轨迹方程的学习,培养学生的逻辑 推理及直观想象核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　椭圆是圆锥曲线的一种,具有丰富的几何 性质,在科研生产和人类生活中具有广泛的应 用,那么椭圆到底有怎样的几何性质,我们该 如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研 究椭圆的几何性质奠定基础． [知识梳理] [知识点一]　椭圆的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 平面内到两个定点F１,F２ 的　　　 　　　　　(大于|F１F２|)的点的集 合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个　　F１,F２ 叫作椭圆的焦点 焦距 两焦点间的　　|F１F２|叫作椭圆的 焦距,焦距的一半称为半焦距 集合 语言 P＝{M|　　　　　　,２a＞|F１F２|} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　(１)椭圆定义中将“大于|F１F２|”改为 “等于|F１F２|”的常数,其他条件不变,点的轨 迹是什么? (２)椭圆定义中将“大于|F１F２|”改为“小于 |F１F２|”的常数,其他条件不变,动点的轨迹 是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　椭圆的标准方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) y２ a２ ＋x ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) 图形 焦点坐标 F１(－c,０), F２(c,０) F１(０,－c), F２(０,c) a,b,c的 关系 b ２＝a２－c２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)已知F１(－４,０),F２(４,０),平面内到F１, F２ 两点的距离之和等于８的点的轨迹是 椭圆． (　　) (２)已知F１(－４,０),F２(４,０),平面内到F１, F２ 两点的距离之和等于６的点的轨迹是 椭圆． (　　) (３)平面内到点F１(－４,０),F２(４,０)两点的距 离之和等于点 M(５,３)到F１,F２ 的距离之 和的点的轨迹是椭圆． (　　) (４)平面内到点F１(－４,０),F２(４,０)距离相等 的点的轨迹是椭圆． (　　) ２．设P 是椭圆x ２ １６＋ y２ ２５ ＝１ 上的点．若F１,F２ 是椭圆的两个焦点,点P 到焦点F１ 的距离 是３,则点P 到另一焦点F２ 的距离是 (　　) A．１０　　　　　　　B．８ C．７ D．５ ３．椭圆的两个焦点坐标分别为F１(０,－８),F２ (０,８),且椭圆上一点到两个焦点的距离之 和为２０,则此椭圆的标准方程为 (　　) A．x ２ １００＋ y２ ３６＝１　　　　B． y２ ４００＋ x２ ３３６＝１ C．y ２ １００＋ x２ ３６＝１ D． y２ ２０＋ x２ １２＝１ ４．已知椭圆中a＝５,c＝３,焦点在x轴上,则 椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　求椭圆的标准方程 [例１]　求满足下列条件的椭圆的标准方程: (１)两个焦点的坐标分别为F１(－４,０),F２ (４,０),并且椭圆上一点P 与两焦点的距离 的和等于１０; (２)焦点坐标分别为(０,－２),(０,２),经过点 (４,３ ２); (３)经过两点(２,－ ２),－１,１４２ æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)利用待定系数法求椭圆的标准方程 ①先确定焦点位置;②设出方程;③寻 求a,b,c的等量关系;④求a,b的值, 代入所设方程． (２)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为 mx２＋ny２＝１(m≠n,m＞０,n＞０)．因 为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点 在y轴上(m＞n)两类情况,所以可以避 免分类讨论,从而简化了运算． 􀳀[变式训练] １．根据下列条件,求出椭圆的标准方程: (１)两个焦点坐标分别是(０,５),(０,－５),椭 圆上一点P 到两焦点的距离和为２６; (２)经过点P １,３２ æ è ç ö ø ÷,两焦点间的距离为２, 焦点在x轴上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第二章　圆锥曲线 　　　椭圆标准方程的判定 [例２]　(１)若方程x２＋ky２＝２表示焦点在y 轴上的椭圆,求k的取值范围; (２)若方程 x ２ k－３＋ y２ ５－k＝１ 表示椭圆,求k 的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　　椭圆标准方程中,分母都 大于零且不相等．在解题时,不仅要注意分 母都大于零,还要注意分母相等时该方程 就变成了圆的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方程x ２ m＋ y２ n＝１ 表示椭圆的条件是m＞０, n＞０,m≠n; 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞０, n＞０,m＞n; 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m＞０, n＞０,m＜n． 􀳀[变式训练] ２．若方程 x ２ １６－m ＋ y２ m＋９＝１ 表示焦点在y轴 上的椭圆,则实数m 的取值范围是 (　　) A．(－９,１６) B．(－９,７２ ) C．(７２ ,１６) D．７２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 　　　椭圆中的焦点三角形问题 [例３]　(１)椭圆x ２ ９＋ y２ ２＝１ 的焦点为F１,F２,点 P在椭圆上,若|PF１|＝４,则∠F１PF２ 的大小 为　　　　． (２)已知椭圆x ２ ４＋ y２ ３＝１ 中,点P 是椭圆上 一点,F１,F２ 是椭圆的焦点,且∠PF１F２＝ １２０°,则△PF１F２ 的面积为　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)求|PF２|→ 求cos∠F１PF２ → 求∠F１PF２ 的大小 (２) 椭圆定义和 余弦定理 → 建立关于|PF１|, |PF２|的方程 → 联立求解|PF１|→ 求三角形 的面积 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF１|＋ |MF２|＝２a(２a＞|F１F２|),则点 M 的 轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为２a． (２)椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F１, F２ 构成的△PF１F２,称为焦点三角形． 在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可 结合椭圆的定义|MF１|＋|MF２|＝２a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦 定理、余弦定理、三角形面积公式等)来 求解． 􀳀[变式训练] ３．(１)(２０２３􀅰全国甲卷(理))已知椭圆x ２ ９＋ y２ ６ ＝１,F１、F２ 为两个焦点,O 为原点,P 为椭 圆上一点,cos∠F１PF２＝ ３ ５ ,则|PO|＝ (　　) A．２５　　B． ３０ ２ 　　C． ３ ５　　D． ３５ ２ (２)已知P 是椭圆y ２ ５＋ x２ ４＝１ 上的一点,F１, F２ 是椭圆的两个焦点,且∠F１PF２＝３０°,则 △F１PF２ 的面积是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　利用椭圆定义求轨迹方程 [例４]　如图,一动圆过定点 A(２,０),且与定圆B:x２＋４x ＋y２－３２＝０内切,求动圆圆 心 M 的轨迹方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据两圆内切的特点,得出 |MA|＋|MB|＝６＞|AB|＝４,所以点 M 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,进而求出 a２,b２ 即可得点 M 的轨迹方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 􀳀[变式训练] ４．在圆C:(x＋１)２＋y２＝２５内有一点A(１,０), Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线与C,Q 的连线交于点M,求点 M 的轨迹方程． [当堂达标] １．(多选)若椭圆x ２ m＋ y２ ４＝１ 的焦距是２,则m＝ (　　) A．１　　　　B．３　　　C．５　　　D．７ ２．过点A(３,－２)且与椭圆x ２ ９ ＋ y２ ４ ＝１ 有相 同焦点的椭圆的标准方程为 (　　) A．x ２ １５＋ y２ １０＝１　　　　B． x２ ２５＋ y２ ２０＝１ C．x ２ １０＋ y２ １５＝１　　　　D． x２ ２０＋ y２ １５＝１ ３．若方程x ２ m＋ y２ ２m－１＝１ 表示椭圆,则实数m 满足的条件是　　　　． ４．设F１,F２ 是椭圆 x２ ９＋ y２ ４＝１ 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF１|∶|PF２|＝２∶１,求 △F１PF２ 的面积． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第二章　圆锥曲线 设对称点 M′(a,b),则 ２×a＋２２ －３× b＋０ ２ ＋１＝０ , b－０ a－２× ２ ３＝－１ ,{ ,得 M′ ６１３,３０１３( )． 设直线m 与直线l的交点为N,则 由 ２x－３y＋１＝０,３x－２y－６＝０,{ 得N(４,３)．又m′经过点N(４,３), ∴由两点式得直线m′的方程为９x－４６y＋１０２＝０． (３)方法一　在l:２x－３y＋１＝０上任取两点, 如 M(１,１),N(４,３),则 M,N 关于点A(－１,－２)的对称点 M′,N′均在直线l′上, 易得 M′(－３,－５),N′(－６,－７), 再由两点式可得l′的方程为２x－３y－９＝０． 方法二:∵l∥l′, ∴设l′的方程为２x－３y＋C＝０(C≠１)． ∵点A(－１,－２)到两直线l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式,得 |－２＋６＋C| ２２＋(－３)２ ＝|－２＋６＋１| ２２＋(－３)２ ,解得C＝－９, ∴l′的方程为２x－３y－９＝０． 方法三:设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(－１,－２)的对称点为P′(－２－x,－４ －y)．∵点 P′在 直 线l 上,∴２(－２－x)－３(－４－y)＋ １＝０,即２x－３y－９＝０． [例７]　[解]　法一　设圆的方程是(x－a)２＋(y－b)２＝１０． 因为圆心在直线y＝２x上,所以b＝２a．① 由方程组 x－y＝０,(x－a)２＋(y－b)２＝１０,{ 得２x ２－２(a＋b)x＋a２ ＋b２－１０＝０,所以x１＋x２＝a＋b,x１􀅰x２＝ a２＋b２－１０ ２ ． 由弦长公式得 ２􀅰 (a＋b)２－２(a２＋b２－１０)＝４ ２,化 简 得 (a－b)２＝４．② 解①②组成的方程组,得a＝２,b＝４或a＝－２,b＝－４．故所 求圆的方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０或(x＋２)２＋(y＋４)２ ＝１０． 法二　设圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝１０,则圆心为(a, b),半径r＝ １０, 圆心(a,b)到直线x－y＝０的距离d＝|a－b| ２ ． 由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d２＋ ４ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝r２,即 (a－b)２ ２ ＋８＝１０ ,所以(a－b)２＝４． 又因为b＝２a,所以a＝２,b＝４或a＝－２,b＝－４． 故所求圆的方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０或(x＋２)２＋(y ＋４)２＝１０． [例８]　[解]　(１)圆心C(１,２),半径r＝２,当直线的斜率不 存在时,方程为x＝３．由圆心C(１,２)到直线x＝３的距离d ＝３－１＝２＝r知,此时,直线与圆相切．当直线的斜率存在 时,设方程为y－１＝k(x－３),即kx－y＋１－３k＝０． 由题意知|k－２＋１－３k| k２＋１ ＝２,解得k＝３４． ∴圆的切线方程为y－１＝３４ (x－３),即３x－４y－５＝０． 故过点 M 的圆的切线方程为x＝３或３x－４y－５＝０． (２)∵圆心到直线ax－y＋４＝０的距离为|a＋２| a２＋１ , ∴ |a＋２| a２＋１ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４,解得a＝－３４． [例９]　[解]　因为两圆的标准方程分别为(x－１)２＋(y－ ３)２＝１１,(x－５)２＋(y－６)２＝６１－m, 所以 两 圆 的 圆 心 分 别 为 (１,３),(５,６),半 径 分 别 为 １１, ６１－m, (１)当 两 圆 外 切 时,由 (５－１)２＋(６－３)２ ＝ １１＋ ６１－m,得m＝２５＋１０ １１． (２)当两圆内切时,因为定圆半径 １１小于两圆圆心之间的 距离５,所以 ６１－m－ １１＝５,解得m＝２５－１０ １１． (３)由(x２＋y２－２x－６y－１)－(x２＋y２－１０x－１２y＋４５)＝ ０,得两圆的公共弦所在直线的方程为４x＋３y－２３＝０． 故两圆的公共弦的长为２ １１－ |４＋３×３－２３| ４２＋３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２ ７． [例１０]　[解]　(１)因为圆C１ 的方程x２＋y２－６x＋５＝０可 化为(x－３)２＋y２＝４,所以圆心坐标为(３,０)． (２)设A(x１,y１),B(x２,y２)(x１≠x２),M(x０,y０), 则x０＝ x１＋x２ ２ ,y０＝ y１＋y２ ２ ． 由题意可知直线l的斜率必存在, 设直线l的方程为y＝tx． 将上述方程代入圆C１ 的方程, 化简得(１＋t２)x２－６x＋５＝０． 由题意,可得x１＋x２＝ ６ １＋t２ ,Δ＝３６－２０(１＋t２)＞０,(∗) 所以x０＝ ３ １＋t２ ,代入直线l的方程,得y０＝ ３t １＋t２ ． 因为 x２０ ＋y２０ ＝ ９ (１＋t２)２ ＋ ９t ２ (１＋t２)２ ＝９ (１＋t２) (１＋t２)２ ＝ ９ １＋t２ ＝ ３x０．所以 x０－ ３ ２( ) ２ ＋y２０＝ ９ ４． 由(∗)解得t２＜４５． 又t２≥０,所以５３＜x０≤３． 所以线段AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为 x－３２( ) ２ ＋y２ ＝９４ ５ ３＜x≤３( )． (３)存 在 实 数 k 满 足 条 件．由 (２)知,曲 线 C 是 在 区 间 ５ ３ ,３( ] 上的一段圆弧． 如图,D ５ ３ ,２ ５ ３ æ è ç ö ø ÷, E ５ ３ ,－２ ５３ æ è ç ö ø ÷,F(３,０), 直线L过定点G(４,０)． 联立直 线 L 的 方 程 与 曲 线C 的 方 程,消去y整理得(１＋k２)x２－(３＋ ８k２)x＋１６k２＝０．由Δ＝０,解得k＝ ±３４ ,由求根公式解得交点的横坐标为x＝１２５∈ ５ ３ ,３( ] , 由图可知要使直线L与曲线C 只有一个交点, 则k∈ －２ ５７ ,２ ５ ７[ ] ∪ － ３ ４ ,３ ４{ }． 故所求k的取值范围为 －２ ５７ ,２ ５ ７[ ] ∪ － ３ ４ ,３ ４{ }． [例１１]　[解]　(１)根据题意画出图形, 当P 与 C(或 D)重 合 时,直 线 BC (BD)与圆A 相切, 设直线BC解析式为y－１＝k(x－２), 即kx－y－２k＋１＝０, ∴圆心(０,１)到直线BC的距离d＝r,即 |－２k| k２＋１ ＝１,解得:k＝± ３３ , ∴－ ３３≤k≤ ３ ３ ,即－ ３３≤ y－１ x－２≤ ３ ３ , ∴y－１x－２ 的最大值与最小值分别为－ ３３ ,３ ３． (２)x２＋y２ 表示圆上的点到原点的距离的平方,先求出圆心 (０,１)到原点(０,０)的距离为１,则x２＋y２ 的最大值为(１＋ １)２＝４,最小值为０． 第二章　圆锥曲线 §１　椭　圆 １．１　椭圆及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　距离之和等于常数　定点　距离　|MF１|＋|MF２|＝２a [思考] [提示]　(１)点的轨迹是线段F１F２． (２)当距离之和小于|F１F２|时,动点的轨迹不存在． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)× ２．C　[∵椭圆的方程x ２ １６＋ y２ ２５＝１ ,∴椭圆的焦点在y轴上,a２ ＝２５且b２＝１６,可得a＝５且b＝４．∵点P 到椭圆的两个焦 点的距离之和为２a＝１０,∴根据椭圆的定义可得点P 到另 一个焦点的距离为１０－３＝７．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案 ３．C　[由题意知c＝８,２a＝２０,∴a＝１０,∴b２＝a２－c２＝３６,故 椭圆的方程为y ２ １００＋ x２ ３６＝１． ] ４．解析:由a２＝b２＋c２,得b２＝５２－３２＝４２＝１６,所以椭圆的标 准方程为x ２ ２５＋ y２ １６＝１． 答案:x ２ ２５ ＋ y２ １６ ＝１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)因为椭圆的焦点在x 轴上,且c＝４,２a＝ １０,所以a＝５,b＝ a２－c２ ＝ ２５－１６＝３,所以椭圆的标 准方程为x ２ ２５＋ y２ ９＝１． (２)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． 法 一:由 椭 圆 的 定 义 知 ２a＝ (４－０)２＋(３ ２＋２)２ ＋ (４－０)２＋(３ ２－２)２＝１２, 解得a＝６．又c＝２,所以b＝ a２－c２＝４ ２． 所以椭圆的标准方程为y ２ ３６＋ x２ ３２＝１． 法二:因为所求椭圆过点(４,３ ２),所以１８ a２ ＋１６ b２ ＝１． 又c２＝a２－b２＝４,可解得a２＝３６,b２＝３２． 所以椭圆的标准方程为y ２ ３６＋ x２ ３２＝１． (３)法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)． 由已知条件得 ４ a２ ＋ ２ b２ ＝１ , １ a２ ＋ １４ ４b２＝１ , ì î í ïï ï 解得 a ２＝８, b２＝４．{ 所以所求椭圆的标准方程为x ２ ８＋ y２ ４＝１． 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． 由已知条件得 ４ b２ ＋ ２ a２ ＝１ , １ b２ ＋ １４ ４a２＝１ , ì î í ïï ï 解得 b ２＝８, a２＝４．{ 则a２＜b２,与a＞b＞０矛盾,舍去． 综上可知,所求椭圆的标准方程为x ２ ８＋ y２ ４＝１． 法二:设椭圆的一般方程为Ax２＋By２＝１(A＞０,B＞０,A≠ B)．分别将两点的坐标(２,－ ２), －１, １４２ æ è ç ö ø ÷ 代入椭圆的 一般方程, 得 ４A＋２B＝１, A＋１４４B＝１ ,{ 解得 A＝１８ , B＝１４ ,{ 所以所求椭圆的标准方程为x ２ ８＋ y２ ４＝１． [例２]　[解]　(１)原方程可化为x ２ ２ ＋ y２ ２ k ＝１．因为方程表示 焦点在y轴上的椭圆,所以 k＞０ ２ k＞２{ , 解得０＜k＜１．故k的取值范围是(０,１)． (２)依题意,得 k－３＞０ ５－k＞０ k－３≠５－k{ ,解得３＜k＜５,且k≠４． 故k的取值范围是(３,４)∪(４,５)． [例３]　[解析]　(１)由x ２ ９＋ y２ ２＝１ ,知a＝３,b＝ ２,∴c＝ ７． ∴|PF２|＝２a－|PF１|＝２, ∴cos∠F１PF２＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１|􀅰|PF２| ＝－１２ , ∴∠F１PF２＝１２０°． (２)由x ２ ４＋ y２ ３＝１ ,可知a＝２,b＝ ３,所以c＝ a２－b２＝１, 从而|F１F２|＝２c＝２．在△PF１F２ 中,由余弦定理得|PF２|２ ＝|PF１|２＋|F１F２|２－２|PF１||F１F２|cos∠PF１F２,即|PF２|２＝ |PF１|２＋４＋２|PF１|．　① 由椭圆定义得|PF１|＋|PF２|＝２a＝４．　② 由①②联立可得|PF１|＝ ６ ５． 所以S△PF１F２＝ １ ２|PF１||F１F２|sin∠PF１F２＝ １ ２× ６ ５×２× ３ ２＝ ３ ３ ５ ． [答案]　(１)１２０°　(２)３ ３５ [例４]　[解]　设|MA|＝r．圆B 方程化为(x＋２)２＋y２＝３６, 则B(－２,０)． ∵圆 M 与圆B 内切, ∴|MB|＝６－r,即|MB|＋|MA|＝６(大于|AB|＝４)． ∴点 M 轨迹是以A,B 为焦点的椭圆． ∴２a＝６,２c＝４．∴b２＝a２－c２＝９－４＝５． ∴圆心 M 的轨迹方程是x ２ ９＋ y２ ５＝１． 变式训练 １．解:(１)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为y ２ a２ ＋ x２ b２ ＝１(a＞b＞０)． ∵２a＝２６,∴a＝１３．又c＝５,∴b２＝a２－c２＝１４４． ∴所求椭圆方程为y ２ １６９＋ x２ １４４＝１． (２)方法一　设椭圆的标准方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． ∵焦点在x轴上,２c＝２,∴a２＝b２＋１． 又椭圆经过点P １,３２( ) ,∴ １ b２＋１ ＋ ９ ４ b２ ＝１,解得b２＝３． ∴a２＝４．∴椭圆的标准方程为x ２ ４＋ y２ ３＝１． 方法二　∵焦距为２,焦点在x轴上, ∴焦点坐标为(－１,０),(１,０)．又点P １,３２( ) 在椭圆上, ∴２a＝ (１＋１)２＋ ３２( ) ２ ＋ (１－１)２＋ ３２( ) ２ ＝４, ∴a＝２,b２＝a２－c２＝３,∴椭圆的标准方程为x ２ ４＋ y２ ３＝１． ２．C　[依题意可得 １６－m＞０, m＋９＞０, m＋９＞１６－m,{ 解得 ７ ２ ＜m＜１６ ,即实数 m 的取值范围为 ７２ ,１６( )．] ３．(１)B　[设∠F１PF２＝２θ,０＜θ＜ π ２ ,所以S△PF２F１ ＝b２tan∠F１PF２２ ＝b ２tanθ, 由cos∠F１PF２＝cos２θ＝ cos２θ－sin２θ cos２θ＋sin２θ ＝１－tan ２θ １＋tan２θ ＝３５ ,解得:tanθ＝１２ , 由椭圆方程可知,a２＝９,b２＝６,c２＝a２－b２＝３, 所以,S△PF１F２＝ １ ２×|F１F２|×|yP|＝ １ ２×２ ３× |yP|＝６× １ ２ ,解得:y２P＝３,即x２P＝９× １－ ３ ６( ) ＝ ９ ２ ,因此 |OP|＝ x２P＋y２P＝ ３＋ ９ ２＝ ３０ ２ ． ] (２)解析:由椭圆的标准方程,知a＝ ５,b＝２, ∴c＝ a２－b２ ＝１,∴|F１F２|＝２．又 由 椭 圆 的 定 义,知 |PF１|＋|PF２|＝２a＝２ ５． 在△F１PF２ 中,由余弦定理得|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２ －２|PF１|􀅰|PF２|􀅰cos∠F１PF２,即４＝(|PF１|＋|PF２|)２ －２|PF１|􀅰|PF２|－２|PF１|􀅰|PF２|cos３０°, 即４＝２０－(２＋ ３)|PF１|􀅰|PF２|,∴|PF１|􀅰|PF２|＝１６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 (２－ ３)．∴S△F１PF２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|sin∠F１PF２＝ １ ２× １６(２－ ３)×１２＝８－４ ３． 答案:８－４ ３ ４．解:由题意,知点 M 在线段CQ 上,所以 |CQ|＝|MQ|＋|MC|． 因为点 M 在AQ 的垂直平分线上, 所以|MA|＝|MQ|．所以|MA|＋|MC| ＝|CQ|＝５． 因为A(１,０),C(－１,０) 所以点 M 的轨迹是以(１,０),(－１,０) 为焦点的椭圆,且２a＝５． 所以a＝５２ ,c＝１,b２＝a２－c２＝２５４－１＝ ２１ ４． 故点 M 的轨迹方程为x ２ ２５ ４ ＋y ２ ２１ ４ ＝１． 当堂达标 １．BC　[当焦点在x轴上时,a２＝m,b２＝４,c２＝m－４．又２c＝ ２,所以c＝１,所以m－４＝１,所以m＝５．当焦点在y轴上时, a２＝４,b２＝m,所以c２＝４－m＝１,所以m＝３．] ２．A　[由题意知c２＝５,可设椭圆方程为 x ２ λ＋５＋ y２ λ＝１ (λ＞０), 则 ９ λ＋５＋ ４ λ＝１ ,解得λ＝１０或λ＝－２(舍去), ∴所求椭圆的标准方程为x ２ １５＋ y２ １０＝１． ] ３．解析:由方程x ２ m＋ y２ ２m－１＝１ 表示椭圆,得 m＞０, ２m－１＞０, m≠２m－１,{ 解得 m＞１２ 且m≠１． 答案:m m＞１２ 且m≠１}{ ４．解:由椭圆方程,得a＝３,b＝２,c＝ ５．∵|PF１|＋|PF２|＝ ２a＝６且|PF１|∶|PF２|＝２∶１, ∴|PF１|＝４,|PF２|＝２,∴|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２, ∴△PF１F２ 是直角三角形,且∠F１PF２＝９０°,故△F１PF２ 的面 积为１ ２|PF１| 􀅰|PF２|＝ １ ２×２×４＝４ １．２　椭圆的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一　－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 坐标轴　原点　２b　２a　F１(－c,０),F２(c,０)　F１(０,－c),F２(０,c) [思考] １．[提示]　能．e２＝c ２ a２ ＝a ２－b２ a２ ＝１－ ba( ) ２ , 所以e＝ １－ ba( ) ２ ． ２．[提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)√ ２．B　[椭圆方程可化为x ２ ９＋ y２ ２５＝１ ,则a＝５,b＝３,c＝ ２５－９ ＝４,e＝ca ＝ ４ ５． ] ３．A　[由题意得 m－２＞１０－m 且１０－m＞０,于是６＜m＜ １０,再由(m－２)－(１０－m)＝２２,得m＝８．] ４．解析:∵２a＝１８,２c＝１３×２a＝６ , ∴a＝９,c＝３,b２＝８１－９＝７２．∴椭圆的方程为x ２ ８１＋ y２ ７２＝１． 答案:x ２ ８１ ＋ y２ ７２ ＝１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　把已知方程化成标准方程为x ２ １６＋ y２ ９＝１ ,所以 a＝４,b＝３,c＝ １６－９＝ ７,所以椭圆的长轴长和短轴长分 别是２a＝８和２b＝６;离心率e＝ca ＝ ７ ４ ;两个焦点坐标分别是 (－ ７,０),(７,０);四个顶点坐标分别是(－４,０),(４,０),(０, －３),(０,３)． [例２]　[解析]　不妨设椭圆的焦点在x 轴上,因 为 AB⊥F１F２,且 △ABF２ 为 正 三 角 形,所 以 在 Rt△AF１F２ 中, ∠AF２F１＝３０°,令|AF１|＝x,则|AF２| ＝ ２x, 所 以 | F１F２ | ＝ |AF２|２－|AF１|２ ＝ ３x＝２c,再由椭圆的定义, 可知|AF１|＋|AF２|＝２a＝３x, 所以e＝２c２a＝ ３x ３x＝ ３ ３． [答案]　 ３３ [例３]　[解]　(１)若焦点在x轴上,则a＝３, ∵e＝ca ＝ ６ ３ ,∴c＝ ６,∴b２＝a２－c２＝９－６＝３． ∴椭圆的方程为x ２ ９＋ y２ ３＝１． 若焦点在y轴上,则b＝３, ∵e＝ca ＝ １－ b２ a２ ＝ １－９a２ ＝ ６３ ,解得a２＝２７．∴椭圆的 方程为y ２ ２７＋ x２ ９＝１． ∴所求椭圆的方程为x ２ ９＋ y２ ３＝１ 或y ２ ２７＋ x２ ９＝１． (２)设椭圆方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． 如图所 示,△A１FA２ 为 等 腰 直 角 三 角 形,OF 为 斜 边A１A２ 的 中 线(高),且| OF|＝c,|A１A２|＝２b, ∴c＝b＝４,∴a２＝b２＋c２＝３２, 故所求椭圆的方程为x ２ ３２＋ y２ １６＝１． (３)法一:由题意知e２＝１－b ２ a２ ＝ １２ ,所 以b ２ a２ ＝１２ ,即a２＝２b２,设所求椭圆的方程为x ２ ２b２ ＋y ２ b２ ＝１或 y２ ２b２ ＋x ２ b２ ＝１．将点 M(１,２)代入椭圆方程得 １ ２b２ ＋ ４ b２ ＝１或 ４ ２b２ ＋１ b２ ＝１,解得b２＝９２ 或b２＝３． 故所求椭圆方程为x ２ ９＋ y２ ９ ２ ＝１或y ２ ６＋ x２ ３＝１． 法二:设所求椭圆方程为x ２ １２＋ y２ ６＝k１ (k１＞０)或y ２ １２＋ x２ ６＝k２ (k２＞０),将点 M 的坐标代入可得 １ １２＋ ４ ６＝k１ 或 ４ １２＋ １ ６＝ k２,解得k１＝ ３ ４ ,k２＝ １ ２ ,故x ２ １２＋ y２ ６＝ ３ ４ 或y ２ １２＋ x２ ６＝ １ ２ ,即 所求椭圆的标准方程为x ２ ９＋ y２ ９ ２ ＝１或y ２ ６＋ x２ ３＝１． 变式训练 １．解:(１)由椭圆C１: x２ １００＋ y２ ６４＝１ ,可得其长半轴长为１０,短半 轴长为８,焦点坐标为(６,０),(－６,０),离心率e＝３５． (２)椭圆C２:y ２ １００＋ x２ ６４＝１． 性质如下: ①范围:－８≤x≤８,－１０≤y≤１０;②对称性:关于x 轴、y 轴、原点对称;③顶点:长轴端点(０,１０),(０,－１０),短轴端点 (－８,０),(８,０);④焦点:(０,６),(０,－６);⑤离心率:e＝３５． ２．解析:(１)如图,设F(c,０),由于△OAF 是等边三角形,得A c ２ ,３c ２ æ è ç ö ø ÷,因为点 A 在椭圆上,所以有c ２ ４a２ ＋３c ２ ４b２ ＝１①,在 椭圆中有a２＝b２＋c２　②,联立①②,得 c２＝(４－２ ３)a２,即c＝(３－１)a,则其离 心率e＝ca ＝ ３－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 参考答案