第一章 2.3 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

２．３　直线与圆的位置关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离 ２．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 ３．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过研究直线与圆的位置关系,提 升逻辑推理、数学运算、直观想象的 数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　“海 上 生 明 月,天 涯 共此 时．”表 达 了 诗 人 望 月怀人的深厚情谊．在海 天交于一线的天际,一轮 明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋, 然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越 来越高,展现着迷人的风采． 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线 看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与 圆的三种位置关系:相交、相切和相离． 在平面几何中,我们研究过直线与圆这两 类图形的位置关系,前面我们学习了直线的方 程,圆的方程,已经用方程研究两条直线的位 置关系,下面我们根据用方程研究两条直线位 置关系的方法,利用直线和圆的方程通过定量 计算研究直线与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　直线与圆有三种位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 位置关系 交点个数 相交 有　　公共点 相切 只有　　公共点 相离 　　公共点 [知识点二]　直线与圆的位置关系的判定方法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 直线l:Ax＋By＋C＝０(A,B 不同时为０) 与圆C:(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０)的位 置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　　个 　　个 　　个 续表 判 定 方 法 几何法:设圆心到直 线的距离 d＝|Aa＋Bb＋C| A２＋B２ d　　rd　　rd　　r 代数 法:由 Ax＋By＋ C＝０, (x－a)２＋ (y－b)２＝r２ ì î í ï ï ï ï 消元得到一元二次方 程的判别式Δ Δ　　０Δ　　０Δ　　０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用“代数法”与“几何法”判断直线与 圆的位置关系各有什么特点? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交． (　　) (２)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线 和圆相交或相切． (　　) (３)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与 圆的方程联立消元后得到的一元二次方程 无解． (　　) (４)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　) ２．直线３x＋４y－５＝０与圆x２＋y２＝１的位置 关系是 (　　) A．相交　B．相切　C．相离　D．无法判断 ３．若直线y＝kx＋２与圆(x－２)２＋(y－３)２＝１ 有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 (　　) A．０,３４ æ è ç ö ø ÷ B．０,３４ é ë êê ù û úú C．０,４３ æ è ç ö ø ÷ D．０,４３ é ë êê ù û úú ４．直线x＋２y＝０被圆C:x２＋y２－６x－２y－ １５＝０所截得的弦长等于　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第一章　直线与圆 　　　直线与圆的位置关系的判断 [例１]　已知直线方程mx－y－m－１＝０,圆 的方程x２＋y２－４x－２y＋１＝０． 当m 为何值时,直线与圆 (１)有两个公共点; (２)只有一个公共点; (３)没有公共点? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　可联立方程组,由方程组解 的个数判断,也可求出圆心到直线的距离, 通过与半径比较大小判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面: 一是点到直线的距离与半径大小的关系; 二是直线与圆的公共点的个数; 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此,若给出图形,可根据公共点的个数判 断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何 法或代数法,几何法计算量小,代数法可一 同求出交点．解题时可根据条件作出恰当 的选择． 􀳀[变式训练] １．已知圆C:x２＋y２＋２x－４y＝０,直线l:２x－y－ １＝０,则圆C与直线l (　　) A．相交　　　B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 　　　圆的切线方程 [例２]　(１)求过圆x２＋y２－２x－４y＝０上一 点P(３,３)的切线方程． (２)求过点P(２,３)且与圆(x－１)２＋(y－ ２)２＝１相切的直线的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)点在圆上时 求过圆上一点(x０,y０)的圆的切线方 程:先求切点与圆心连线的斜率k,再 由垂直关系得切线的斜率为－１k ,由点 斜式可得切线方程．如果斜率为零或不 存在,则由图形可直接得切线方程y＝ y０ 或x＝x０． (２)点在圆外时 ①几何法:设切线方程为y－y０＝k(x －x０)．由圆心到直线的距离等于半径, 可求得k,也就得切线方程． ②代数法:设切线方程为y－y０＝k(x －x０),与圆的方程联立,消去y后得到 关于x 的一元二次方程,由Δ＝０求出 k,可得切线方程． 注意:切线的斜率不存在的情况,不要 漏解． 􀳀[变式训练] ２．(１)已知直线l:ax＋by－３＝０与圆 M:x２＋ y２＋４x－１＝０相切于点P(－１,２),则直线 l的方程为　　　　　　　　　　　　． (２)由直线y＝x＋１上任一点向圆(x－３)２ ＋y２＝１引切线,则该切线长的最小值为 (　　) A．１　　　B．２ ２　　　C．７　　　D．３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　直线与圆的相交问题 [例３]　求直线l:３x＋y－６＝０被圆C:x２＋ y２－２y－４＝０截得的弦长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　方法一求出直线与圆的交点 坐标,方法二利用弦长公式,方法三利用几 何法作出直角三角形,三种方法都可求得 弦长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (１)几何法:如图①,直线l 与圆C 交于A,B 两点, 设弦心距为d,圆的半径 为r,弦长为|AB|,则有 |AB| ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋d２＝r２,即 |AB|＝２ r２－d２．求解直线与圆相交 的弦长问题常用几何法． (２)代数法:如图②所示,将直 线方程与圆的方程联立, 设直线与圆的两交点分别 是A(x１,y１),B(x２,y２), 则|AB|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２＝ １＋k２|x１－x２|＝ １＋ １ k２ |y１－y２|,其 中k为直线l的斜率． 􀳀[变式训练] ３．(１)直线y＝x＋２被圆 M:x２＋y２－４x－４y －１＝０所截得的弦长为　　　　． (２)过点(－４,０)作直线l与圆x２＋y２＋２x －４y－２０＝０交于A,B 两点,且|AB|＝８, 求直线l的方程． [当堂达标] １．(多选)在同一直角坐标系中,直线y＝ax＋ a２ 与圆(x＋a)２＋y２＝a２ 的位置不可能为 (　　) ２．直线m:x＋y－１＝０被圆 M:x２＋y２－２x－ ４y＝０截得的弦长为 (　　) A．４　　　B．２ ３　　　C．１２　　　D． １ ３ ３．若点P(１,２)在以坐标原点为圆心的圆上, 则该圆在点P 处的切线方程为　　　　　 　　　　　　　　　　　． ４．已知圆 M:(x－１)２＋(y－１)２＝４,直线l过 点P(２,３)且与圆 M 交于A,B 两点,|AB| ＝２ ３,求直线l的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第一章　直线与圆 数学(BS)·选择性必修第一册 动点C的轨迹是以D(1,0)为国心，以2为半径的国（由于 A,B,C三，点不共线，所以应除去与x轴的交点)，所以直角商 顶，点C的轨迹方程为(x一1)十y=4(x≠3且x≠一1). (2)设点M(x,y),点C(xy).因为B(3,0),M是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x=西十3（工≠3且r≠1），y 2 十0 2,于是有=2x-3,%=2. 由(1)知，点C在周(x一1)3十y=4(x≠3且x≠一1)上运 动.将xy代入该方程得(2x一4)+(2y)=4,即（工一2）9 十y=1.因此动，点M的轨迹方程为(x一2)十y=1(x≠3 且x≠1). 变式训练 1.解：(1)据题意知D十E一4F=(2m)2十（一2）2一4(m2十 5m)>0,即4mi+4-4m-20m>0,解得m<号，故m的取 1 值范国为（一0，方 (2)将方程x十y+2mx-2y+m2+3m=0 写成标准方程为(x+m)+(y一1)产=1一5m, 故圆心坐标为（一m,1),半径r=/1一5m. 2解：周也C(号号)-调心在症线计一1=0上。 -D-g-1=0.即D+E=-2.0 22 又”*径长r=D+E12 =2 2 ,.D十E=20.② 由0©可得但2B2 又国心在第二象限-吕<0，即D>0,则B-2 1E=-4. 故圆的一般方程为x十y2十2x一4y十3=0. 3.解：以直线AB为x轴，AB的中垂线 为y轴建立坐标系（如图），则 A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC 中点D(o%. 2 ① A 0 2 :1AD=3,.(x十2)十=9.②，将①代入②，整理得(.x +6)2+y=36.,点C不能在x轴上，.y≠0. 综上，顶点C的轨证是以（一6,0）为圈心，6为半径的圆，去掉 (一12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x十6)十y一36(y≠0). 当堂达标 1.A[方程2.x+2y2-4.x十8y+10=0,可化为，x°+y2-2x +4y+5=0,即(x-1)+(y+2)=0,.方程2x+2y2 4x十8y+10=0表示点(1，-2).] 2.AB[2+y-x+y+m=0可化为x-合)+(+合) =-m,剥一m>0,解释m< 因为点(1，一1)在圆外，所以1十1一1一1十m>0,即m>0, 所以0m< 2,对照选择项，知AB可能.] 3.解析：设动点M的坐标为(xy),则MA=2MB, 即/(x十4)2+y=2/(-2)2+y, 整理，得x+y一8.x=0.故所求动点M的轨迹方程为x y-8.x=0. 答案：x2十y一8.x=0 4.解：设國的方程为x十y十Dx十Ey十F=0(D十E十4F>0), 2 由题意知 =一2 解得D=E=一4，F=一2， 2-D+E+F=0, 10+3D-E+F=0, 即所求圆的一般方程是x十y2一4x一4y一2=0. 2.3直线与圆的位置关集 课前预习学案 知识梳理 知识点一 知识点二 两个一设有 >>= ·2 [思考] 〔提示]“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是 从不同的方面，不同的思路来判断的，“几何法”更多地侧重 于“形”，更多地结合了图形的几何性质：“代戴法”则侧重于 “数”，它倾向于“坐标与“方程” 预习自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.B[圆心(0,0)到直线3.x十4y-5=0的距离d= 1-5 /3+4 =1.d=r,∴.直线与圆相切.选B.] 3.C[由题意得23t2<1,解得0<<子] /k2+1 4.解析：由已知圆心C(3,1),半径r=5.又圈心C到直线1的 距离d=13+2=5,剥弦长1=2P-=45. 答案：45 课堂互动学案 [例1][解]（方法1）将直线m.x一y一m一1=0代入圆的方 程，化简、整理，得(1十m2).x2一2(m2+2m十2)x++4m 十4=0. ,△=4m(3m十4)，(1)当△>0，即m>0或m 时直 线与国相交，即直线与回有两个公共，点： (2)当△=0，即m=0或m= 一音时，直线与圆相切，即直线 与圆只有一个公共点： (3)当△<0，即 了<m<0时，直线与周相离，即直线与国 没有公共点 (方法2)已知圆的方程可化为(x一2)十(y一1)尸=4，即圆 心为(2,1)，半径r=2.圆心(2,1)到直线m.x一y一m一1=0 的距离4=2m-1一m-1=m-2 1十m 1+ （)当d2,即m>0或m<-号时，直线与国相交，脚直线 与同有两个公共，点： (2)当d=2,即m=0或m=一号时，直线与国相切，即直线 与圆只有一个公共点： (3)当d>2,即<m<0时，直线与國相离，即直线与圆 没有公共点 [例2][解](1)x2十y一2x-4y=0的國心为C(1,2), =2切线的斜率k=一2. ,切线方程为：y一3=一2(x一3)，即2x十y一9=0. (2)P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外， 过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两 条，当斜率存在时，设切线的斜率为k, 则切线方程为y一3=k(x一2)，即kx-y十3一2k=0, 6-2汁3二2%-1k=0切线方程为y=3, /k2+1 当斜率不存在时，切线方程为x一2. 综上，所求的切线方程为x=2或y=3. [例3][解]方法-由3r十y,-6=0. {x十-2y二4=0.得交点 A(1.3),B(2,0),故弦AB的长为IAB1= /(2-1)+(0-3)=/10. 方法三由义0=0.消去y得r-+2=0 设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y),B(:·）, 则由根与系数的关系，得x十x=3,工1·x=2. 故|AB=√(-x+(一y) =√(2-x)+[-3十6-(-3x,+6)] =√(1+3)(-1)=√10[(x1+x2)-4x1xJ /10×(3-4×2)=√10，即孩AB的长为/10. 方法三圆C:x2十y一2y一4=0可化为x2十(y-1)=5。 其回心坐标(0,1)，半径r=5,点(0,1)到直线1的距离为d =3X0+1二6=，所以半孩长为AB=√P- /32+1 2 -0 所以弦长|AB引=√10. 2 2 241 变式训练 1.B[由x2十y2十2x-4y=0可得(x+1)°+(y-2)=5,故 圓心C(-1,2),半径r=√5， 则圃心到直线l:2x一y一1=0的距离 1-2-2-1 d= √22+1 =5=“ 5 故直线与同C相切.门 2.解析：(1)根据题意，國M:x2十y2十4x一1=0， 即(x+2)十y=5,其回心M(一2.0)， 直线1：ax+by一3=0与圆M:x2十y2十4x-1=0相切于点 P(一1,2)，则P在直线1上且MP与直线1垂直. k=2一0。=2，则有一方=一2，则有b=2· 又由P在直线1上，则有一a十2b一3=0，可解得a=1,b=2, 则直线1的方程为x十2y一3=0. (2)周心C(3,0)到y=r+1的距离d=3-0+1山=2W2. 2 所以切线长的最小值1=√d一r=√7. 答案：(1).x+2y-3=0(2)C 3.(1)解析：x2+y一4.x一4y-1=0可变为(x一2)十(y-2) =9,故国心坐标为(2,2)，半径为3.圆心到直线x一y十2=0 的距离是2=2，故孩长的一半是√9-2=7，所以孩长为 27. 答案：27 (2)解：将圈的方程配方得(x十1)十(y一2)=25， 由圆的性质可得，国心到直线！的距离 1历)-()=3. ①当直线1的林章不存在时，x=一4满足题意： ②当直线1的斜率存在时，设/的方程为y=k(x十4)，即kx 一y十4k=0. 由点到直线的距离公式，得3=一一2十 1+ 5 解得=一是，所以直线1的方程为5x十12y十20=0， 综上所述，直线1的方程为x+4=0或5.x十12y+20=0. 当堂达标 1.ABD[由题意.可得a>0,直线y=ax+a”显然过点(0， a),故ABD均不可能.门 2.B[x+3y-2x-4y=0,.(x-1)2十(y-2)=5, .圆M的圆心坐标为(1.2)，半径为√5，又，点(1.2)到直线x +y-1=0的距离d=1X1+1X2-1山-2，直线m被同 /1+1 M载得的弦长等于 2W(5)-(w2)=23.」 3解析：由题意，得心-二8-2，则孩围在点P处的切线的 斜率为一名所以所求切线方程为y一2=一号(x一1D,即x +2y-5=0. 答案：x十2y-5=0 4,解：(1)当直线1的斜率存在时，设直线/的 方程为y-3=k(x一2)，即kx一y十3一2h =0.如图所示，作MC⊥AB于C, 在直角三角形MBC中， BCI=3:MB=2. MCI=IMBT-BCT=1, 由点到直线的距离公式得点M(1,1)到直 线1的距离为-1十3二2=1，解得k=3 k2+1 所以直线1的方程为3.x一4y十6=0. (2)当直线的斜率不存在时，其方程为x=2, 圆心到此直线的距离也是1，所以适合题意， 综上，直线1的方程为3x一4y十6=0或x=2. 4圆与圆的位置关巢 课前预习学案 知识梳理 知识点一 2.相交外切内切外离内含 [思考 [提示]两國相减得一直线方程，它经过两圆的公共点.经 过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线， ·2 参考答案 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B[圆O的圈心坐标为(1,0)，半径长1=1：圆O的圆心 坐标为(0,2)，半径长2=2：1=一r,<0O|=5<片+ r2■3，即两图相交.] D[联立任牛8解释8x x5 ,故公 5 共等()+（信）-4] 4.解析：(x-1)+(y-3)=20化为一般式为：x2十y-2.x 6y-10=0,① 又间x2十y=10,即x+y2-10=0,@ ①一②得：x十3y=0,即为直线AB的方程」 答案：x+3y=0 课堂互动学案 [例1门[解]将两闻的一般方程化为标准方程， C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 回C的圈心为C(一2,3)，半径长r1=1: 间C的圆心为C(1,7),半径长n=√50一k(k<0), 从而|CC:=√(-2-1)+(3-7)F=5. 当1十/50一k=5,即k=34时，两闻外切. 当√50一k一1=5，即√50一k=6,即k=14时，两圈内切 当√50一k一1|<5<1十√50一k,即14<k<34时，两圆 相交. |√/50一k+1<5,即34<<50时，两圆外离. [例2][解析](1)设所求国的半径为r,则√3+（一4） 8一r,所以r=3或r=13,故所求园的方程为(x-3)°+(y +4)=9或(x-3)+(y+4)=169. (2)C(m,-2)n1=3,C(-1.m),r2=2.由题意得1CC =5,即(m十1)+(m十2)=25，解得m=2或m=-5. [答案](1)(x-3)十(y十4)°=9或(.x-3)十(y十4)2= 169(2)2或-5 [例3][解](1)设两圆交点为A(x1,1),B(x,y),则A, B两点坐标是方程组 1x+y+6.x-4=0, {x2+y+6y-28=0 的解 ② ①-②，得x-y十4=0. ,'A,B两点坐标都满足此方程，'，x一y十4=0即为两圈公 共弦所在直线的方程， 又圆C的圈心（一3,0），r=√/13， C到直线AB的距离为4=一3+4L-2】 2 21 AB=2P-d=2,3-三=5E,即两国的公共孩 长为52 (2)方法一 解方程组工十y十6r-4=0. x2+y+6y-28=0, 得两国的交点A(-1,3),B(一6，一2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x一y一4=0上，故 b=a-4. 则有√(a+1)+(a-4-3) =√(a+6)'+(a-4+2)F. 解得a-之故国心为（合一） 89 故国的方程为（一）广+（叶）广- ,即x2+y2-x+ 2 7y-32=0. 方法二：：国x2+y2+6y-28=0的圆心(0，-3)不在直线 r一y-4=0上， .可设所求圆的方程为x2+y十6x-4十入(x十y+6y 28)=0(≠-1)， 其国心为()代入一y一4仁0，求得=-7 3 故所求圆的方程为x2+y2一x+7y一32=0. 变式训练 1.B[国C,的半径r=2,圆心C(一1，一1)，圆C的半径r =2,间心C,(2,1),lCC,1=3.由于|5-r<1CC2 <r1十广2，故两圆相交，因而公切线有2条.门 5·