第一章 2.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

交点,联立方程组 ２x－y＝０,３x－y－２＝０,{ 得 x＝２, y＝４．{ 设圆心为C,所 以圆心坐标为C(２,４)．又半径r＝|CA|＝ １０,则所求圆的 方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０． 方法三　设圆心为C,∵圆心在直线３x－y－２＝０上,故可 设圆心C的坐标为(a,３a－２)． 又|CA|＝|CB|, 故 (a－３)２＋(３a－２－１)２ ＝ (a＋１)２＋(３a－２－３)２, 解得a＝２,∴圆心为(２,４),半径r＝|CA|＝ １０． 故所求圆的方程为(x－２)２＋(y－４)２＝１０． [例２]　[解析]　(１)因为(m２)２＋５２＝m４＋２５＞２４,所以点P 在圆外． (２)由题意知 a≥０ , (５ a＋１－１)２＋(a)２＜２６,{ 解得０≤a＜１． [答案]　(１)B　(２)[０,１) [例３]　[解]　(１)原点到圆心C(－１,０)的距离d＝１,圆的半 径为１ ２ ,故圆上的点到坐标原点的最大距离为１＋１２＝ ３ ２ , 最小距离为１－１２＝ １ ２． (２)由题意知x２＋y２ 表示圆上的点到坐标原点距离的平方, 显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时, 其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(０,０)到圆心C (－１,０)的距离d＝１,故圆上的点到坐标原点的最大距离为 １＋１２＝ ３ ２ ,最小距离为１－１２＝ １ ２． 因此x２＋y２ 的最大值 和最小值分别为９ ４ 和１ ４． 变式训练 １．解:(１)r２＝(２－４)２＋(２－０)２＝８,∴圆的标准方程为(x－ ４)２＋y２＝８． (２)设圆心为C(０,b),则(３－０)２＋(－４－b)２＝５２, ∴b＝０或b＝－８,∴圆心为(０,０)或(０,－８),又r＝５, ∴圆的标准方程为x２＋y２＝２５或x２＋(y＋８)２＝２５． (３)∵圆心在y＝－２x上,设圆心为(a,－２a), 设圆心到直线x－y－１＝０的距离为r． ∴r＝|a＋２a－１| ２ ,　① 又圆过点P(２,－１),∴r２＝(２－a)２＋(－１＋２a)２,② 由①②得 a＝１ , r＝ ２{ ,或 a＝９, r＝１３ ２,{ ∴圆的标准方程为(x－１) ２ ＋(y＋２)２＝２或(x－９)２＋(y＋１８)２＝３３８． ２．C　[∵１２＋０２＜４,１２＋２２＞４,∴点A 在圆O 内,点B 在圆 O 外．] ３．解:(１)P(x,y)是圆C 上的任意一 点,而圆C 的半径为２,圆心C(３, ０),圆心C到直线x－y＋１＝０的 距离d＝ |３－０＋１| １２＋(－１)２ ＝２ ２,所以 点P到直线x－y＋１＝０的距离的 最大值为２ ２＋２,最小值为２ ２ －２． (２)因为点P(x,y)是圆x２＋(y＋４)２＝ ４上的任意一点,圆心C(０,－４),半 径r＝２, 因此 (x＋１)２＋(y＋１)２ 表 示 点 A (－１,－１)与该圆上点的距离． 因为|AC|２ ＝(－１)２ ＋(－１＋４)２ ＞４, 所以点 A(－１,－１)在 圆 外．如 图 所示． 而|AC|＝ (０＋１)２＋(－４＋１)２＝ １０,所以 (x＋１)２＋(y＋１)２的最大值为|AC|＋r＝ １０ ＋２, 最小值为|AC|－r＝ １０－２． 当堂达标 １．D　[∵AB 为直径,∴AB 的中点(１,２)为圆心,１２|AB|＝ １ ２ (５＋３)２＋(５＋１)２＝５为半径,∴该圆的标准方程为(x －１)２＋(y－２)２＝２５．] ２．AD　[因为(１－a)２＋(１＋a)２＜４,所 以２a２＋２＜４,所 以 a２＜１,所以－１＜a＜１．] ３．解析:因 为 圆 心 为 (１,１)且 过 原 点,所 以 该 圆 的 半 径r＝ １２＋１２＝ ２,则该圆的方程为(x－１)２＋(y－１)２＝２． 答案:(x－１)２＋(y－１)２＝２ ４．解:由已知条件及圆的性质可知,圆心 M 在直径PQ 的中点 处,∴圆心 M 的坐标为(０,１), 半径r＝１２|QP|＝ １ ２× (－５－５)２＋(６＋４)２＝５ ２． ∴圆的标准方程为x２＋(y－１)２＝５０． ∵|MA|＝ (２－０)２＋(２－１)２＝ ５＜r,∴点A 在圆内． ∵|MB|＝ (１－０)２＋(８－１)２＝ ５０＝r,∴点B 在圆上． ∵|MC|＝ (６－０)２＋(５－１)２＝ ５２＞r,∴点C在圆外． ２．２　圆的一般方程 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．[提示]　不是,只有当D２＋E２－４F＞０时才表示圆． ２．[提示]　A＝B≠０,C＝０且D２＋E２－４AF＞０． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)√　(４)√ ２．D　[－D２＝２ ,－E２＝－３ ,∴圆心坐标是(２,－３)．] ３．B　[由题意得(－４)２＋２２－４×５k＞０,即k＜１．] ４．解析:因(x＋１)２＋(y－２)２＝５－m,∴r＝ ５－m＝３２ ,∴m ＝１１４． 答案:１１ ４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(方法１)由方程x２＋y２－４mx＋２my＋２０m－２０ ＝０ 可知D＝－４m,E＝２m,F＝２０m－２０,∴D２＋E２ －４F＝ １６m２＋４m２－８０m＋８０＝２０(m－２)２． 因此,当m＝２时,它表示一个点; 当m≠２时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(２m,－m),半 径为r＝１２ D ２＋E２－４F＝ ５|m－２|． (方法２)原方程可化为(x－２m)２＋(y＋m)２＝５(m－２)２, 因此,当 m＝２ 时,它 表 示 一 个 点;当 m≠２ 时,原 方 程 表 示圆, 此时,圆的圆心为(２m,－m),半径为r＝ ５|m－２|． [例２]　[解]　法一:设△ABC 的外接圆方程为x２＋y２＋Dx ＋Ey＋F＝０(D２＋E２－４F＞０), ∵A,B,C在圆上, ∴ １＋１６＋D＋４E＋F＝０, ４＋９－２D＋３E＋F＝０, １６＋２５＋４D－５E＋F＝０,{ ∴ D＝－２, E＝２, F＝－２３,{ ∴△ABC的外接圆方程为x２＋y２－２x＋２y－２３＝０,即(x－ １)２＋(y＋１)２＝２５．∴圆 心 坐 标 为(１,－１),外 接 圆 半 径 为５． 法二:∵kAB ＝ ４－３ １＋２＝ １ ３ ,kAC ＝ ４＋５ １－４＝－３ ,∴kAB 􀅰kAC ＝ －１,∴AB⊥AC．∴△ABC是以角A 为直角的直角三角形, ∴圆心是线段BC的中点,坐标为(１,－１),r＝１２|BC|＝５． ∴外接圆方程为(x－１)２＋(y＋１)２＝２５． [例３]　[解]　(１)方法一:设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且 A,B,C三点不共线,所以x≠３且x≠－１． 又kAC＝ yx＋１ ,kBC＝ yx－３ ,且kAC􀅰kBC＝－１, 所以 y x＋１ 􀅰 y x－３＝－１ ,化简得x２＋y２－２x－３＝０． 因此,直角顶点C的轨迹方程为(x－１)２＋y２＝４(x≠３且x ≠－１)． 方法二:同方法一得x≠３且x≠－１． 由勾股定理得|AC|２＋|BC|２＝|AB|２, 即(x＋１)２＋y２＋(x－３)２＋y２＝１６,化简得x２＋y２－２x－３＝０． 因此,直角顶点C的轨迹方程为x２＋y２－２x－３＝０(x≠３ 且x≠－１)． 方法三:设 AB 的中点为D,由中点坐标公式得D(１,０),由 直角三角形的性质知,|CD|＝１２|AB|＝２ ,由圆的定义知, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２２􀅰 参考答案 动点C的轨迹是以D(１,０)为圆心,以２为半径的圆(由于 A,B,C三点不共线,所以应除去与x 轴的交点)．所以直角 顶点C的轨迹方程为(x－１)２＋y２＝４(x≠３且x≠－１)． (２)设点 M(x,y),点C(x０,y０)．因为B(３,０),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x＝x０＋３２ (x≠３且x≠１),y＝ y０＋０ ２ ,于是有x０＝２x－３,y０＝２y． 由(１)知,点C在圆(x－１)２＋y２＝４(x≠３且x≠－１)上运 动,将x０,y０ 代入该方程得(２x－４)２＋(２y)２＝４,即(x－２)２ ＋y２＝１．因此动点 M 的轨迹方程为(x－２)２＋y２＝１(x≠３ 且x≠１)． 变式训练 １．解:(１)据题意知 D２＋E２－４F＝(２m)２＋(－２)２－４(m２＋ ５m)＞０,即４m２＋４－４m２－２０m＞０,解得m＜１５ ,故m 的取 值范围为(－∞,１５ )． (２)将方程x２＋y２＋２mx－２y＋m２＋５m＝０ 写成标准方程为(x＋m)２＋(y－１)２＝１－５m, 故圆心坐标为(－m,１),半径r＝ １－５m． ２．解:圆心C －D２ ,－E２( ) ,∵圆心在直线x＋y－１＝０上, ∴－D２－ E ２－１＝０ ,即D＋E＝－２．① 又∵半径长r＝ D ２＋E２－１２ ２ ＝ ２ , ∴D２＋E２＝２０．② 由①②可得 D＝２,E＝－４{ 或 D＝－４, E＝２．{ 又∵圆心在第二象限,∴－D２＜０ ,即D＞０．则 D＝２,E＝－４．{ 故圆的一般方程为x２＋y２＋２x－４y＋３＝０． ３．解:以直线AB 为x 轴,AB 的中垂线 为y 轴 建 立 坐 标 系 (如 图 ),则 A(－２,０),B(２,０),设 C(x,y),BC 中点D(x０,y０)． ∴ ２＋x ２ ＝x０ , ０＋y ２ ＝y０． { ① ∵|AD|＝３,∴(x０＋２)２＋y２０＝９．②,将①代入②,整理得(x ＋６)２＋y２＝３６．∵点C不能在x 轴上,∴y≠０． 综上,顶点C的轨迹是以(－６,０)为圆心,６为半径的圆,去掉 (－１２,０)和(０,０)两点．轨迹方程为(x＋６)２＋y２＝３６(y≠０)． 当堂达标 １．A　[方程２x２＋２y２－４x＋８y＋１０＝０,可化为x２＋y２－２x ＋４y＋５＝０,即(x－１)２＋(y＋２)２＝０,∴方程２x２＋２y２－ ４x＋８y＋１０＝０表示点(１,－２)．] ２．AB　[x２＋y２－x＋y＋m＝０可化为(x－１２ )２＋(y＋１２ )２ ＝１２－m ,则１ ２－m＞０ ,解得m＜１２． 因为点(１,－１)在圆外,所以１＋１－１－１＋m＞０,即 m＞０, 所以０＜m＜１２． 对照选择项,知 AB可能．] ３．解析:设动点M 的坐标为(x,y),则|MA|＝２|MB|, 即 (x＋４)２＋y２＝２ (x－２)２＋y２, 整理,得x２＋y２－８x＝０．故所求动点 M 的轨迹方程为x２＋ y２－８x＝０． 答案:x２＋y２－８x＝０ ４．解:设圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２＋E２＋４F＞０), 则圆心是 －D２ ,－E２( ) , 由题意知 －D２＝－ E ２ , ２－D＋E＋F＝０, １０＋３D－E＋F＝０, { 解得D＝E＝－４,F＝－２, 即所求圆的一般方程是x２＋y２－４x－４y－２＝０． ２．３　直线与圆的位置关系 课前预习学案 知识梳理 知识点一　两个　一个　没有　 知识点二　两　一　零　＜　＝　＞　＞　＝　＜ [思考] [提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系,是 从不同的方面,不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重 于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于 “数”,它倾向于“坐标”与“方程”． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)√ ２．B　[圆心(０,０)到直线３x＋４y－５＝０的距离d＝ |－５| ３２＋４２ ＝１．∵d＝r,∴直线与圆相切．选B．] ３．C　[由题意得|２k－３＋２| k２＋１ ＜１,解得０＜k＜４３． ] ４．解析:由已知圆心C(３,１),半径r＝５．又圆心C 到直线l的 距离d＝|３＋２| ５ ＝ ５,则弦长l＝２ r２－d２＝４ ５． 答案:４ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(方法１)将直线mx－y－m－１＝０代入圆的方 程,化简、整理,得(１＋m２)x２－２(m２＋２m＋２)x＋m２＋４m ＋４＝０． ∵Δ＝４m(３m＋４),(１)当Δ＞０,即 m＞０或 m＜－４３ 时,直 线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; (２)当Δ＝０,即m＝０或m＝－４３ 时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; (３)当Δ＜０,即－４３＜m＜０ 时,直线与圆相离,即直线与圆 没有公共点． (方法２)已知圆的方程可化为(x－２)２＋(y－１)２＝４,即圆 心为(２,１),半径r＝２．圆心(２,１)到直线 mx－y－m－１＝０ 的距离d＝|２m－１－m－１| １＋m２ ＝|m－２| １＋m２ ． (１)当d＜２,即m＞０或m＜－４３ 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; (２)当d＝２,即m＝０或m＝－４３ 时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; (３)当d＞２,即－４３＜m＜０ 时,直线与圆相离,即直线与圆 没有公共点． [例２]　[解]　(１)x２＋y２－２x－４y＝０的圆心为C(１,２), kPC＝ １ ２ ,∴切线的斜率k＝－２, ∴切线方程为:y－３＝－２(x－３),即２x＋y－９＝０． (２)P(２,３)在圆(x－１)２＋(y－２)２＝１外, ∴过点P(２,３)与圆(x－１)２＋(y－２)２＝１相切的直线有两 条．当斜率存在时,设切线的斜率为k, 则切线方程为y－３＝k(x－２),即kx－y＋３－２k＝０, ∴|k－２＋３－２k| k２＋１ ＝１,∴k＝０,∴切线方程为y＝３, 当斜率不存在时,切线方程为x＝２． 综上,所求的切线方程为x＝２或y＝３． [例 ３]　 [解]　 方 法 一 　 由 ３x＋y－６＝０ , x２＋y２－２y－４＝０,{ 得 交 点 A(１,３),B (２,０), 故 弦 AB 的 长 为 | AB | ＝ (２－１)２＋(０－３)２＝ １０． 方法二　由 ３x＋y－６＝０ , x２＋y２－２y－４＝０,{ 消去y,得x ２－３x＋２＝０． 设两交点A,B 的坐标分别为A(x１,y１),B(x２,y２), 则由根与系数的关系,得x１＋x２＝３,x１􀅰x２＝２． 故|AB|＝ (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x２－x１)２＋[－３x２＋６－(－３x１＋６)]２ ＝ (１＋３２)(x２－x１)２ ＝ １０[(x１＋x２)２－４x１x２] ＝ １０×(３２－４×２)＝ １０,即弦AB 的长为 １０． 方法三　圆C:x２＋y２－２y－４＝０可化为x２＋(y－１)２＝５, 其圆心坐标(０,１),半径r＝ ５,点(０,１)到直线l的距离为d ＝|３×０＋１－６| ３２＋１２ ＝ １０２ ,所以半弦长为|AB| ２ ＝ r ２－d２＝ (５)２－ １０ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １０２ ,所以弦长|AB|＝ １０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．２　圆的一般方程 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正确理解圆的方程的形式及特点,会由一 般式求圆心和半径 ２．会在不同条件下求圆的一般式方程 １．通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数 学运算的数学素养 ２．通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运 算的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－ a)２＋(y－b)２＝r２,现将其展开可得:x２＋y２－ ２ax－２by＋a２＋b２－r２＝０．可见,任何一个圆 的方程都可以变形x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０ 的形式． 请大家思考一下,形如x２＋y２＋Dx＋Ey＋F ＝０的方程表示的曲线是不是圆? 下面我们 来探讨这一方面的问题． [知识梳理] [知识点一]　圆的一般方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(１)圆的一般方程的概念: 当D２＋E２－４F＞０时,方程x２＋y２＋Dx＋ Ey＋F＝０表示一个圆． 称x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(其中D２＋E２ －４F＞０)为圆的一般方程． (２)圆的一般方程对应的圆心和半径: 圆的一般方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０ (D２＋E２ －４F＞０)表 示 的 圆 的 圆 心 为 －D２ ,－E２ æ è ç ö ø ÷,半径长为１ ２ D ２＋E２－４F． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．所有形如x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０ 的二元二次方程都表示圆吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．对方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０的讨论 ①D２＋E２－４F＞０时表示圆． ②D２＋E２－４F＝０时表示点 －D２ ,－E２ æ è ç ö ø ÷． ③D２＋E２－４F＜０时,不表示任何图形． [知识点二]　二元二次方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 Ax２＋Cxy＋By２＋Dx＋Ey＋F＝０表示圆 时其在代数结构上的典型特征:(１)x２,y２ 的系数相同,且不等于０,即A＝B≠０,(２) 不含xy这样的二次项,即C＝０． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表 示圆的必要条件,但不是充分条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．方程Ax２＋Cxy＋By２＋Dx＋Ey＋ F＝０表示圆的充要条件是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)圆的一般方程可以化为圆的标准方程． (　　) (２)二元二次方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０ 一定是某个圆的方程． (　　) (３)若方程x２＋y２－２x＋Ey＋１＝０表示圆, 则E≠０． (　　) (４)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次 方程． (　　) ２．圆x２＋y２－４x＋６y＝０的圆心坐标是 (　　) A．(２,３)　　　　　　B．(－２,３) C．(－２,－３) D．(２,－３) ３．若方程x２＋y２－４x＋２y＋５k＝０表示圆,则 k的取值范围是 (　　) A．(１,＋∞) B．(－∞,１) C．[１,＋∞) D．(－∞,１] ４．圆x２＋y２＋２x－４y＋m＝０的直径为３,则 m 的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　圆的一般方程的认识 [例１]　判断方程x２＋y２－４mx＋２my＋２０m－ ２０＝０能否表示圆．若能表示圆,求出圆心和 半径． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　可直接利用D２＋E２－４F＞ ０是否成立来判断,也可把左端配方,看右 端是否为大于零的常数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x２＋y２＋Dx ＋Ey＋F＝０的形式,但形如x２＋y２＋Dx ＋Ey＋F＝０的方程不一定表示圆．判断 它是否表示圆可以有以下两种方法: (１)计算 D２＋E２－４F,若其值为正,则表 示圆;若其值为０,则表示一个点;若其值 为负,则不表示任何图形． (２)将该方程配方为(x＋D２ )２＋(y＋E２ )２ ＝D ２＋E２－４F ４ ,根 据 圆 的 标 准 方 程 来 判断． 􀳀[变式训练] １．若方程x２＋y２＋２mx－２y＋m２＋５m＝０表 示圆,求: (１)实数m 的取值范围; (２)圆心坐标和半径． 　　　求圆的一般方程 [例２]　已知△ABC 的三个顶点为A(１,４), B(－２,３),C(４,－５),求△ABC 的外接圆 方程、圆心坐标和外接圆半径． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 确定圆的方程的主要方法是待定系数法, 即列出关于D,E,F 的方程组,求D、E、F 一般步骤为: (１)根据题意,设所求的圆的标准方程为 x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２＋E２＋４F ＞０); (２)根据已知条件,建立关于D,E,F 的方 程组; (３)解方程组,求出 D,E,F 的值,并把它 们代入所设的方程中去,就得到所求圆的 方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第一章　直线与圆 􀳀[变式训练] ２．已知圆C:x２＋y２＋Dx＋Ey＋３＝０,圆心在 直线x＋y－１＝０上,且圆心在第二象限,半 径长为 ２,求圆的一般方程． 　　　与圆有关的轨迹方程问题 [例３]　已知直角△ABC 的斜边为AB,且A (－１,０),B(３,０),求: (１)直角顶点C的轨迹方程; (２)直角边BC的中点M 的轨迹方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　　只需寻求动点与定点之间 的关系,然后化简方程即可,不过要注意动 点与定点间的约束条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建 系、设点、列式、化简、证明．建系时可根 据题目中的条件,建立适当的直角坐标 系,简化运算是解题的关键． (２)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨 迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几 何性质． (３)对于“双动点”问题,若已知一动点在某 条曲线上运动而求另一动点的轨迹方 程,则通常用代入法． 􀳀[变式训练] ３．已知△ABC的边AB 长为４,若BC 边上的 中线为定长３,求顶点C的轨迹方程． [当堂达标] １．方程２x２＋２y２－４x＋８y＋１０＝０表示的图 形是 (　　) A．一个点　　　　　　B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 ２．(多选)若点(１,－１)在圆x２＋y２－x＋y＋m ＝０外,则下列可能为m 值的有 (　　) A．１４　　　B． １ ３　　　C． １ ２　　　D．１ ３．已知一动点 M 到点A(－４,０)的距离是它 到点B(２,０)的距离的２倍,则动点 M 的轨 迹方程是　　　　　　　　　　　　　． ４．求圆心在直线y＝x 上,且经过点A(－１, １)、B(３,－１)的圆的一般方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册