第一章 1.5 两条直线的交点坐标-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．５　两条直线的交点坐标 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 ２．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 通过两直线交点坐标的学习,提升数学 运算、直观想象的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在平面几何中,我们对直线做了定性研 究,引入平面直角坐标系后,我们用二元一次 方程表示直线,直线的方程就是相应直线上每 一点的坐标所满足的一个关系式,这样我们可 以通过方程把握直线上的点,进而用代数方法 对直线进行定量研究,本节课我们学习的主要 问题是两条直线的交点坐标 [知识梳理] [知识点一]　两直线的交点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知两条不重合的直线l１:A１x＋B１y＋C１ ＝０;l２:A２x＋B２y＋C２＝０． (１)两条直线l１,l２交点的坐标就是两个方程 的公共解,可通过求方程组 A１x＋B１y＋C１＝０, A２x＋B２y＋C２＝０,{ 得到两条直线l１,l２交 点的坐标． (２)若两直线方程组成的方程组 A１x＋B１y＋C１＝０, A２x＋B２y＋C２＝０,{ 有唯一解 x＝x０, y＝y０,{ 则两条直线　　,交点坐标为(x０,y０)． [知识点二]　两直线的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 方程组 A１x＋B１y＋C１＝０, A２x＋B２y＋C２＝０{ 的解 一组 无数组 无解 直线l１ 与l２ 的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l１ 与l２ 的位置关系 相交 重合 平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两直线有公共点,两直线一定相交吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)若两直线相交,则交点坐标一定是两直 线方程所组成的二元一次方程组的解． (　　 ) (２)若两直线的斜率都存在且不等,则两直 线相交． (　　 ) (３)两直线的斜率一个存在,另一个不存在 时,两直线也相交 (　　) (４)若两直线的方程组成的方程组有解,则 两直线相交． (　　 ) ２．直线x＝１和直线y＝２的交点坐标是 (　　) A．(２,２)　　　　　B．(１,１) C．(１,２) D．(２,１) ３．直线３x－２y＋m＝０和(m２＋１)x＋３y－３m ＝０的位置关系是 (　　) A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 ４．不论a为何实数,直线l:(a＋２)x－(a＋１) y＝２－a 恒过一定点,则此定点的坐标为 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　两直线的交点问题 [例１]　分别判断下列直线是否相交,若相 交,求出它们的交点． (１)l１:２x－y＝７和l２:３x＋２y－７＝０; (２)l１:２x－６y＋４＝０和l２:４x－１２y＋８ ＝０; (３)l１:４x＋２y＋４＝０和l２:y＝－２x＋３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两条直线相交的判定方法 方法一:联立直线方程解方程组,若有一 解,则两直线相交． 方法二:两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三:两直线的斜率一个存在,另一个不 存在． 􀳀[变式训练] １．判断下列各对直线的位置关系．若相交,求 出交点坐标: (１)l１:２x＋y＋３＝０,l２:x－２y－１＝０; (２)l１:x＋y＋２＝０,l２:２x＋２y＋３＝０． 　　　经过两条直线交点的直线方程 [例２]　(１)求经过点P(１,０)和两直线l１:x＋２y －２＝０,l２:３x－２y＋２＝０交点的直线方程; (２)无论实数a取何值,方程(a－１)x－y＋２a －１＝０表示的直线恒过定点,试求该定点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)设所求直线方程为x＋ ２y－２＋λ(３x－２y＋２)＝０,再将x＝１,y＝ ０代入求出λ,即得所求直线方程． (２)将直线方程改写为－x－y－１＋a(x＋ ２)＝０． 解 方 程 组 －x－y－１＝０, x＋２＝０,{ 得 直 线 所 过 定点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l１:A１x＋B１y＋C１＝０,l２:A２x ＋B２y＋C２＝０ 交点的直线方程可写为 A１x＋B１y＋C１＋λ(A２x＋B２y＋C２)＝０ (它不能表示直线l２)．反之,当直线的方程 写为A１x＋B１y＋C１＋λ(A２x＋B２y＋C２) ＝０时,直线一定过直线l１:A１x＋B１y＋C１ ＝０与直线l２:A２x＋B２y＋C２＝０的交点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　直线与圆 􀳀[变式训练] ２．(１)已知直线l经过原点,且经过另两条直 线２x＋３y＋８＝０,x－y－１＝０的交点,则 直线l的方程为 (　　) A．２x＋y＝０　　　　B．２x－y＝０ C．x＋２y＝０ D．x－２y＝０ (２)求证:无论k取何值时,直线(k＋１)x－ (k－１)y－２k＝０必过定点,并求出该定点 坐标． 　　　与直线有关的对称问题 [例３]　求直线l１:２x＋y－４＝０关于直线l: x－y＋２＝０对称的直线l２ 的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　思路一,直线l２ 过直线l１ 与 直线l的交点,再在直线l１ 上取一点,求出 该点关于直线l的对称点从而得解;思路 二,设 M(x０,y０)是直线l１ 上任意一点,它 关于直线l的对称点为N(x,y),利用直线 l垂直平分线段MN 求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决对称问题的方法 (１)中心对称 ①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足 x′＝２a－x, y′＝２b－y．{ ②直线关于点的对称可转化为点关于 点的对称问题来解决． (２)轴对称 ①点Q(a,b)关于直线Ax＋By＋C＝０ (B≠０)的对称点为Q′(m,n), 则有 n－b m－a 􀅰 －AB æ è ç ö ø ÷＝－１, A􀅰a＋m２ ＋B 􀅰b＋n ２ ＋C＝０． ì î í ï ï ï ï ②直线关于直线的对称可转化为点关 于直线的对称问题来解决． 􀳀[变式训练] ３．试求直线l１:x－y－２＝０关于直线l２:３x－ y＋３＝０对称的直线l的方程． [当堂达标] １．直线(２k－１)x－(k＋３)y－(k－１１)＝０(k ∈R)所经过的定点是 (　　) A．(５,２) B．(２,３) C．－１２ ,３ æ è ç ö ø ÷ D．(５,９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．(多选)当０＜k＜１２ 时,直线l１:kx－y－k＋ １＝０与直线l２:ky－x－２k＝０的交点可 能是 (　　) A．(２,３) B．(１,２) C．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D．－１３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３．经过直线l１:x－３y＋４＝０和l２:２x＋y＋５ ＝０的交点,且经过原点的直线方程为 (　　) A．１９x－９y＝０ B．９x＋１９y＝０ C．１９x－３y＝０ D．３x＋１９y＝０ ４．直线l１:x＋by＝１与直线l２:x－y＝a的交点 坐标为(０,２),则a＝　　　　,b＝　　　　． ５．已知入射光线经过点 M(－３,４),被直线l: x－y＋３＝０反射,反射光线经过点 N(２, ６),求反射光线所在直线的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．６　平面直角坐标系中的距离公式 第１课时　两点间的距离公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．探索并理解平面上两点间的距离公式 ２．能够灵活应用平面上两点间的距离公式 通过两点间的距离公式的应用,增强数学抽象、 逻辑推理、数学运算的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在 一 条 笔 直 的 公 路 同 侧 有 两 个 大 型 小 区, 现在计 划 在 公 路 上 某 处 建 一 个 公 交 站 点 C,以 方便居 住 在 两 个 小 区 住 户的出行．如何选址能使站点到两个小区的 距离之和最小? [知识梳理] [知识点一]　两点间的距离公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,若两点A,B 的坐标分别为A(x１, y１),B(x２,y２),则有两点A,B 间的距离公 式,|AB|＝　　　　　　． [知识点二]　两点间距离的特殊情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)原点 O(０,０)与任一点 P(x,y)的距离 |OP|＝ x２＋y２． (２)当P１P２∥x轴(y１＝y２)时,|P１P２|＝|x２－x１|． (３)当P１P２∥y轴(x１＝x２)时,|P１P２|＝|y２－y１|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　两点P１(x１,y１),P２(x２,y２)间的距 离公式是否可以写成|P１P２|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２的形式? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴 上的点． (　　) (２)当AB∥y轴(x１＝x２)时,|AB|＝|y２－y１|． (　　) (３)点P１(０,a),点P２(b,０)之间的距离为a－b． (　　) (４)原点O(０,０)与任一点A(x,y)的距离|OA|＝ x２＋y２ ． (　　) ２．已知A(３,７),B(２,５),则A,B两点间的距离为 (　　) A．５　　　B．５　　　C．３　　　D．２９ ３．已知过点 M(－２,a),N(a,４)的直线的斜率 为－１２ ,则|MN|等于　　　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　直线与圆 由①②得 a＝１２５ , b＝－１１５ ,{ 故A １２５ ,－１１５( )． 综 上 所 述,A 点 坐 标 为 (１,－１) 或 １２ ５ ,－１１５( )． 当堂达标 １．CD　[对 A,两直线倾斜角相等,可能重合;对 B,若l１⊥l２, l１ 与l２ 中可能一条斜率不存在,另一条斜率为０;对 C,若直 线斜率不存在,直线一定垂直于x轴,正确;对 D,若两条直 线斜率不相等,则两条直线一定不平行,D正确．] ２．C　[因为直线l１:x＋y＋２＝０的斜率为:k１＝－１,直线l２:x －y－１＝０的斜率为k２＝１,所以k１􀅰k２＝－１,所以这两条 直线的位置关系是垂直．] ３．B　[平行于直线４x＋３y－３＝０的直线具有形式４x＋３y＋c ＝０,故排除 A、D．但选项 C中直线的截距为正,直线过第一 象限,不符合条件,故应选B．] ４．解:(１)∵直线l１:(m＋２)x＋(m＋３)y－５＝０, l２∶６x＋(２m－１)y－５＝０,l１ 与l２ 平行, ∴m＋２６ ＝ m＋３ ２m－１≠ －５ －５ ,解得m＝－５２． (２)∵直线l１:(m＋２)x＋(m＋３)y－５＝０, l２:６x＋(２m－１)y－５＝０, l１⊥l２,∴(m＋２)×６＋(m＋３)(２m－１)＝０,解得m＝－１或 m＝－９． １．５　两条直线的交点坐标 课前预习学案 知识梳理 知识点一　相交 [思考] 提示:不一定,若两直线有无数个公共点,则两直线重合,当 两直线有唯一公共点时,两直线才相交 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)√　(４)× ２．C　[由 x＝１,y＝２,{ 得交点坐标为(１,２)．] ３．C　[∵k１＝ ３ ２ ,k２＝－ m２＋１ ３ ,∴k１≠k２,∴两直线相交．] ４．解析:直 线 可 化 为 a(x－y＋１)＋２x－y－２＝０,由 x－y＋１＝０, ２x－y－２＝０,{ 得 x＝３, y＝４．{ 定点坐标为(３,４)． 答案:(３,４) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方程组 ２x－y－７＝０,３x＋２y－７＝０,{ 的解为 x＝３, y＝－１．{ 因此直线l１ 和l２ 相交,交点坐标为(３,－１)． (２)方程组 ２x－６y＋４＝０,４x－１２y＋８＝０,{ 有无数个解,这表明直线l１ 和 l２ 重合． (３)方程组 ４x＋２y＋４＝０,２x＋y－３＝０,{ 无解,这表明直线l１ 和l２ 没有 公共点,故l１∥l２． [例２]　[解]　(１)设所求直线方程为x＋２y－２＋λ(３x－２y ＋２)＝０． ∵点P(１,０)在直线上,∴１－２＋λ(３＋２)＝０． ∴λ＝１５．∴ 所求方程为x＋２y－２＋１５ (３x－２y＋２)＝０,即x＋ y－１＝０． (２)由(a－１)x－y＋２a－１＝０,得－x－y－１＋a(x＋２)＝０． 所以,已知直线恒过直线－x－y－１＝０与直线x＋２＝０的 交点． 解方程组 －x－y－１＝０,x＋２＝０,{ 得 x＝－２, y＝１．{ 所以方程 (a－１)x－y＋２a－１＝０ 表 示 的 直 线 恒 过 定 点(－２,１)． [例３]　[解]　方法一　解方程组 ２x＋y－４＝０,x－y＋２＝０,{ 得直线l１ 与直线l的交点A ２３ ,８ ３( )． 在直线l１ 上取一点B(２,０), 设点B 关于直线l的对称点为C(x,y), 则 x＋２ ２ － y ２＋２＝０ , y x－２＝－１ ,{ 解得 x＝－２,y＝４,{ 即C(－２,４)． 又直线l２ 过A ２ ３ ,８ ３( ) 和C(－２,４)两点, 故由两点式得直线l２ 的方程为y －４ ８ ３－４ ＝x＋２２ ３＋２ , 即x＋２y－６＝０． 方法二　设 M(x０,y０)是直线l１ 上任意一点,它关于直线l 的对 称 点 为 N (x,y),则 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为 x＋x０ ２ ,y＋y０ ２( ) ,直线 MN 的斜率为 y－y０ x－x０ ． 由题意,得 x＋x０ ２ － y＋y０ ２ ＋２＝０ , y－y０ x－x０ ＝－１, ì î í ïï ï 解得 x０＝y－２, y０＝x＋２．{ 因为 M(x０,y０)在直线l１ 上, 所以２x０＋y０－４＝０,即２(y－２)＋(x＋２)－４＝０, 所以直线l２ 的方程为x＋２y－６＝０． 变式训练 １．解:(１)解方程组 ２x＋y＋３＝０x－２y－１＝０{ ,得 x＝－１, y＝－１,{ 所以直线l１ 与l２ 相交,交点坐标为(－１,－１)． (２)解方程组 x＋y＋２＝０,①２x＋２y＋３＝０,②{ ①×２－②,得１＝０,矛盾, 方程组无解．所以直线l１ 与l２ 无公共点,即l１∥l２． ２．解析:(１)B　[(方法１)解方程组 ２x＋３y＋８＝０x－y－１＝０{ 得交点为 (－１,－２)．又直线l经过原点,由两点式得其方程为 y－０－２－０ ＝ x－０－１－０ ,即２x－y＝０． (方法２)设直线l的方程为２x＋３y＋８＋λ(x－y－１)＝０,因其过 原点, 所以８＋(－λ)＝０,λ＝８,直线l的方程为２x－y＝０．] (２)法一:　当k＝１时,直线方程为x＝１． 当k＝０时,直线方程为x＋y＝０． 由 x＝１,x＋y＝０{ 得交点P(１,－１),将P(１,－１)代入原方程左 边得 k＋１－(k－１)×(－１)－２k＝k＋１＋k－１－２k＝０, 即点P 的坐标总适合直线方程． ∴无论k取何实数,点P(１,－１)总在直线(k＋１)x－(k－１) y－２k＝０上． 法二:将原方程化为k(x－y－２)＋x＋y＝０, 要使其对任意实数k恒成立, 则有 x－y－２＝０,x＋y＝０,{ ∴ x＝１, y＝－１．{ ∴不论k为何实数,原直线都过定点(１,－１)． ３．解:设所求直线l上一点P(x,y),则在直线l１ 上必存在一点 Q(x０,y０)与点P 关于直线l２ 对称． 由题设知PQ 与直线l２ 垂直,且线段PQ 的中点 M x＋x０２ ,y＋y０ ２( ) 在直线l２ 上． ∴ y０－y x０－x 􀅰３＝－１, ３× x＋x０ ２ － y＋y０ ２ ＋３＝０ , ì î í ïï ï 变形得 x０＝ ３y－４x－９ ５ , y０＝ ３x＋４y＋３ ５ ,{ 代入直线l１:x－y－２＝０, 得３y－４x－９ ５ － ３x＋４y＋３ ５ －２＝０ , 整理得７x＋y＋２２＝０． ∴所求直线方程为７x＋y＋２２＝０． 当堂达标 １．B　[(２k－１)x－(k＋３)y－(k－１１)＝０可化为k(２x－y－ １)－x－３y＋１１＝０,由 ２x－y－１＝０ , x＋３y－１１＝０{ 得 x＝２, y＝３,{ 即直线恒 过定点(２,３)．] ２．CD　[由 kx－y－k＋１＝０,ky－x－２k＝０,{ 得 x＝ kk－１ , y＝２k－１k－１ ,{ 把各个选项代入验证即可．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ３．D　[联立直线l１,l２ 的方程 x－３y＋４＝０, ２x＋y＋５＝０,{ 解 得 x＝－１９７ , y＝３７ ,{ 即 直 线l１ 与l２ 的 交 点 为 －１９７ ,３ ７( ) ,故所求的直线方程为y＝－ ３ １９x ,即３x＋１９y＝０．] ４．解析:将点(０,２)代入直线x＋by＝１,解得b＝ １２ ,在将点 (０．２)代入直线x－y＝a,解得a＝－２, 答案:－２;１２ ５．解:设点 M(－３,４)关 于 直 线l:x－y＋３＝０的 对 称 点 为 M′(a,b),则反射光线所在直线过点 M′, 所以 b－４ a－(－３)＝－１ , －３＋a ２ － b＋４ ２ ＋３＝０ ,{ 解得a＝１,b＝０．又反射光线经 过点 N(２,６), 所以所求直线的方程为y－０ ６－０＝ x－１ ２－１ ,即６x－y－６＝０． １．６　平面直角坐标系中的距离公式 第１课时　两点间的距离公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一　 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ [思考] [提 示 ]　 可 以,原 因 是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中P１,P２ 两点的位 置没有先后之分． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)√ ２．B　 [由 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 可 知 |AB|＝ (３－２)２＋(７－５)２＝ ５．] ３．解析:∵过点 M(－２,a),N(a,４)的直线斜率为k＝４－aa＋２＝ －１２ ,解得a＝１０, ∴|MN|＝ (a＋２)２＋(４－a)２＝ (１０＋２)２＋(４－１０)２＝６ ５． 答案:６ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)设点 M(x,０)(x＞０),由题意可知, x２＋０２＝ ５２＋(－３)２,解得x＝ ３４．∴点 M 的坐标为 ( ３４,０)． (２)直线２x＋my＋２＝０与x轴的交点为(－１,０),与y轴的 交 点 为 ０,－２m( ) ,所 以 两 交 点 之 间 的 距 离 为 (－１－０)２＋ ０＋２m( ) ２ ＝ １＋ ４m２ (m≠０)． [答案]　(１)D　(２)１＋ ４m２ (m≠０) [例２]　[解]　法一:∵|AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, |AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, 又|BC|＝ (１－３)２＋(７＋３)２＝２ ２６, ∴|AB|２＋|AC|２＝|BC|２, 且|AB|＝|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二:∵kAC＝ ７－１ １－(－３)＝ ３ ２ , kAB＝ －３－１ ３－(－３)＝－ ２ ３ , 则kAC􀅰kAB＝－１,∴AC⊥AB． 又|AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, |AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, ∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形． [例３]　 [解]　 (１)设 A(２,０)关 于 直 线l 的 对 称 点 为 A′(m,n),则 n－０ m－２＝－２ , m＋２ ２ －２× n＋０ ２ ＋８＝０ ,{ 解得 m＝－２,n＝８,{ 故A′(－２,８)． P 为直线l上的一点,则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥ |A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|＋|PB|取得最 小值,为|A′B|,点 P 即 是 直 线A′B 与 直 线l 的 交 点, 由 x＝－２,x－２y＋８＝０,{ 得 x＝－２, y＝３,{ 故所求的点P 的坐标为(－２,３),最小值为|A′ B|＝|８－(－４)|＝１２． (２)A,B 两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB| －|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|－|PA|| 取得最大值,为|AB|,点P 即是直线AB 与直线l的交点,又 直 线 AB 的 方 程 为 y ＝x －２,解 y＝x－２ , x－２y＋８＝０,{ 得 x＝１２, y＝１０,{ 故所求的点P 的坐标为(１２,１０),最大值为|AB|＝ (－２－２)２＋(－４－０)２＝４ ２． 变式训练 １．解:设所求点P(x,０),于是由|PA|＝|PB|得 (x＋１)２＋(０－２)２＝ (x－２)２＋(０－ ７)２, 即x２＋２x＋５＝x２－４x＋１１,解得x＝１． 所以,所求P 点坐标为(１,０), |PA|＝ (１＋１)２＋(０－２)２＝２ ２． ２．解:因为|AD|＝ (５－３)２＋(４－０)２＝２ ５． 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得|AB|＝ |AD|２＋|BD|２＝ ２０＋４＝２ ６． 所以等腰△ABC的腰长为２ ６． ３．解 析:∵ f (x)＝ x２＋４x＋２０ ＋ x２＋２x＋１０ ＝ (x＋２)２＋(０－４)２＋ (x＋１)２＋(０－３)２, ∴f(x)的几何意义为点 M(x,０)到两定点A(－２,４)与B (－１,３)的距离之和．设点A(－２,４)关于x 轴的对称点为 A′,则A′为(－２,－４)． 要求f(x)的最小值,可转化为|MA|＋|MB|的最小值,利 用对 称 思 想 可 知 |MA| ＋ |MB| ≥ |A′B | ＝ (－１＋２)２＋(３＋４)２＝５ ２,即f(x)＝ x２＋４x＋２０＋ x２＋２x＋１０的最小值为５ ２． 答案:５ ２ 当堂达标 １．B　[|AB|＝ (－２－１)２＋(２＋２)２＝ ２５＝５．] ２．C　[BC边的中点D ３２ ,６( ) ,由两点之间的距离公式可得 |AD|＝ ３２－４( ) ２ ＋(６－１)２＝５ ５２ ． ] ３．C　[由|AB|＝ (a＋２)２＋(３＋１)２＝５,可知(a＋２)２＝９． ∴a＝１或－５．] ４．解析:由两点间的距离公式,得|AC|＝ [３－(－１)]２＋(４－０)２＝４ ２, |CB|＝ (３－５)２＋(４－６)２＝２ ２,故|AC||CB|＝ ４ ２ ２ ２ ＝２． 答案:２ ５．解:直 线 AB 的 斜 率k＝ ２－５－１－２＝１ ,AB 中 点 坐 标 为 １ ２ ,７ ２( ) ,点斜式得所求直线方程为y－ ７ ２ ＝x－ １ ２ ,即x －y＋３＝０． 第２课时　点到直线的距离公式 第３课时　两条平行直线间的距离公式 课前预习学案 情境引入 提示:铺设一条从饭馆到公路的垂直道路,道路的长度最短． 知识梳理 知识点一１．垂足　２． |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ [思考] １．[提示]　要求直线的方程应化为一般式． 知识点二１．公垂线段　２．点到直线　３． |C２－C１| A２＋B２ 　 [思考] ２．[提示]　两条平行直线的方程都是一般式,且x,y对应的 系数应分别相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 参考答案