第一章 1.4 两条直线的平行与垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．４　两条直线的平行与垂直 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 ２．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 ３．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学 习,提升直观想象、逻辑推理和数 学运算的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　 过 山 车 是 一 项 富 有 刺激性的娱乐项目．实际 上,过山车的运动包含了 许多数学和物理学原理． 过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠 着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备 安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些 钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受 到过山车中的平行和垂直吗? 两条直线的平 行与垂直用什么来刻画呢? [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 两条不重合的直线l１:y＝k１x＋b１ 和l２:y＝ k２x＋b２(其中b１≠b２) 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α１＝α２≠ π ２ α１＝α２＝ π ２ 对应 关系 l１∥l２⇔　　　　 l１∥l２⇔两直线斜 率都不存在 图示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果两条直线平行,那么这两条直 线的斜率一定相等吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　两条直线垂直 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 两条不重合的直线l１:y＝k１x＋b１ 和l２:y＝ k２x＋b２ 对应 关系 l１ 与l２ 的 斜 率都 存 在,分 别为k１,k２,则 l１⊥l２ ⇔k１ 􀅰 k２＝－１ l１ 与l２ 中的一条斜 率　　　　,另一条 斜率为零,则l１ 与l２ 的 位 置 关 系 是 l１ ⊥l２． 图示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．如果两条直线垂直,则它们的斜率 的积一定等于－１吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)若两条直线的斜率相等,则这两条直线 平行． (　　) (２)若l１∥l２,则k１＝k２． (　　) (３)若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率存在,则这两条直线 垂直． (　　) (４)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重 合,则这两条直线平行． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．经过两点A(２,３),B(－１,x)的直线l１ 与直线 l２y＝－x＋１平行,则实数x的值为 (　　) A．０　　　B．－６　　　C．６　　　D．３ ３．过点(１,０)且与直线x－２y－２＝０垂直的直 线方程是 (　　) A．x－２y－１＝０ B．x－２y＋１＝０ C．２x＋y－２＝０ D．x＋２y－１＝０ ４．已知直线l１ 经过点(４,５)且与直线l２:mx－ my＋１＝０(m≠０)平行,则直线l１ 的一般式 方程为　　　　　　　　　　　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　两条直线平行与垂直的判定 [例１]　判断下列各对直线平行还是垂直,并 说明理由． (１)l１:３x＋５y－６＝０,l２:６x＋１０y＋３＝０; (２)l１:３x－６y＋１４＝０,l２:２x＋y－２＝０; (３)l１:x＝２,l２:x＝４; (４)l１:y＝－３,l２:x＝１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 斜 率 存 在 的 直 线 求 出 斜 率,利用l１∥l２⇔k１＝k２ 或k１k２＝－１进 行判断,若两直线斜率都不存在或其中 一条直线斜率为０,另一条直线斜率 不 存在,可通过观察并结合图形得出结论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知直线方程判断两直线平行或垂直的 方法: (１)若两直线l１ 与l２ 的斜率均存在,当k１ 􀅰k２＝－１时,l１⊥l２;当k１＝k２,且它们 在y轴上的截距不相等时,l１∥l２; (２)若两直线斜率均不存在,且在x轴的截 距不相等,则它们平行; (３)若有一条直线斜率为０,另一条直线斜 率不存在,则它们垂直． 􀳀[变式训练] １．已知A(０,－１),B(－２a,０),C(１,１),D(２, ４),若直线AB 与直线CD 垂直,则a的值 为　　　　． ２．直线l１:２x＋３y－２＝０,l２:２x＋３y＋２＝０ 的位置关系是 (　　) A．垂直　　　　　B．平行 C．相交 D．重合 　　　利用平行、垂直关系求直线方程 [例２]　已知点A(２,２)和直线l:３x＋４y－２０ ＝０． 求:(１)过点A 和直线l平行的直线方程; (２)过点A 和直线l垂直的直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 法一:由直线l:３x＋４y－２０ ＝０．求其斜率,再求与其平行和垂直的直 线的斜率,由点斜式求方程;法二:设直线 系３x＋４y＋m＝０和４x－３y＋m＝０．利用 待定系数法求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　直线与圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 过点A(x０,y０)且与直线Ax＋By＋C＝０ 平行 或 垂 直 的 直 线 方 程 的 求 法 有 两 种 方法: (１)先求斜率(斜率存在时),再用点斜式求 直线方程． (２)与Ax＋By＋C＝０平行或垂直的直线 方程设为 Ax＋By＋m＝０(m≠C)或 Bx－Ay＋m＝０,再利用所求直线过点 A(x０,y０)求出m,便可得到直线方程． 􀳀[变式训练] ３．直线l过点(－１,２)且与直线２x－３y＋４＝０垂 直,则直线l的方程是 (　　) A．２x－３y＋５＝０ B．２x－３y＋８＝０ C．３x＋２y－１＝０ D．３x＋２y＋７＝０ ４．过点(－１,０)且与直线x－２y－２＝０平行的 直线方程是 (　　) A．x－２y－１＝０ B．x－２y＋１＝０ C．２x＋y－２＝０ D．x＋２y－１＝０ 　　　由两直线的位置关系求参数 [例３]　(１)已知直线l１:２x＋(m＋１)y＋４＝０ 与直线l２:mx＋３y－２＝０平行,求m 的值; (２)当a为何值时,直线l１:(a＋２)x＋(１－ a)y－１＝０与直线l２:(a－１)x＋(２a＋３)y ＋２＝０互相垂直? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一般式方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l１∶A１x＋B１y＋C１＝０(A２１＋B２１≠０) l２∶A２x＋B２y＋C２＝０(A２２＋B２２≠０) l１ 与l２ 垂直 的充要条件 A１A２＋B１B２＝０ l１ 与l２ 平行 的充分条件 A１ A２ ＝ B１ B２ ≠ C１ C２ (A２B２C２ ≠０) 或 A１B２－A２B１＝０, B１C２－B２C１≠０,{ 􀳀[变式训练] ５．(１)当m 为何值时,直线l１:x＋my＋６＝０; l２:(m－２)x＋３y＋２m＝０,互相平行?． (２)当a为何值时,直线l１:ax＋２y＋６＝０ 与直线l２:x＋(a－１)y＋a２－１＝０．互相 垂直? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　两直线平行与垂直的综合应用 [例４]　已知A(－４,３),B(２,５),C(６,３),D (－３,０)四点,若顺次连接A,B,C,D 四点, 试判定图形ABCD 的形状． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)利用直线的斜率判定平面图形的形状 一般要运用数形结合的方法,先由图形 作出猜测,然后利用直线的斜率关系进 行判定． (２)由几何图形的形状求参数(一般是点的 坐标)时,要根据图形的特征确定斜率 之间的关系,既要考虑斜率是否存在, 又要考虑到图形可能出现的各种情形． (３)明确运算对象,探究运算思路,是对数 学运算的数学核心素养的考查． 􀳀[变式训练] ６．已知四边形ABCD的顶点B(６,－１),C(５,２), D(１,２)．若四边形ABCD为直角梯形,求A点 坐标．(A,B,C,D按逆时针方向排列) [当堂达标] １．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．若直线l１ 与l２ 倾斜角相等,则l１∥l２ B．若直线l１⊥l２,则k１k２＝－１ C．若直线的斜率不存在,则这条直线一定 垂直于x轴 D．若两条直线的斜率不相等,则两直线不 平行 ２．己知直线l１:x＋y＋２＝０与l２:x－y－１＝ ０,则这两条直线的位置关系是 (　　) A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能确定 ３．平行于直线４x＋３y－３＝０,且不过第一象 限的直线的方程是 (　　) A．３x＋４y＋７＝０ B．４x＋３y＋７＝０ C．４x＋３y－４２＝０ D．３x＋４y－４２＝０ ４．已知直线l１:(m＋２)x＋(m＋３)y－５＝０和 l２:６x＋(２m－１)y－５＝０,问实数m 为何值 时,分别有: (１)l１∥l２? (２)l１⊥l２? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第一章　直线与圆 ２．B　[设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y＝ ３x ＋a,∴k＝tanα＝ ３．∵０°≤α＜１８０°,∴α＝６０°．] ３．解析:由题意,直线l的点法式方程为３(x－１)＋５(y－２)＝０． 答案:３(x－１)＋５(y－２)＝０ ４．解:(１)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y ＝－ ２k－３x＋２ ,由题意得－ ２k－３＝－１ ,解得k＝５． (２)直线l的方程可化为 xk－３＋ y ２＝１ ,由题意得k－３＋２＝ ０,解得k＝１． １．４　两条直线的平行与垂直 课前预习学案 知识梳理 知识点一　k１＝k２ [思考] １．[提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜 率才相等． 知识点二　不存在 [思考] ２．[提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜 率之积是－１,若两条直线垂直时,还可能它们的斜率一个是 ０,另一个不存在． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．C　[直线l１ 的斜率k１＝ x－３ －１－２＝ ３－x ３ ,由题意可知３－x ３ ＝ －１,∴x＝６．] ３．C　[由于直线x－２y－２＝０的斜率为１２ , 故所求直线的斜率等于－２,故所求直线的方程为y－０＝－ ２(x－１),即２x＋y－２＝０．] ４．解析:∵直线l２:mx－my＋１＝０(m≠０), ∴直线l２:y＝x＋ １ m (m≠０) ∴kl２＝１,又∵直线l１ 经过点(４,５)且与直线l２:mx－my＋１ ＝０(m≠０)平行, ∴直线l１:y－５＝x－４,即x－y＋１＝０． 答案:x－y＋１＝０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)将两直线方程分别化为斜截式: l１:y＝－ ３ ５x＋ ６ ５ ,l２:y＝－ ３ ５x－ ３ １０． 则k１＝－ ３ ５ ,b１＝ ６ ５ ,k２＝－ ３ ５ ,b２＝－ ３ １０． ∵k１＝k２,b１≠b２,∴l１∥l２． (２)将两直线方程分别化为斜截式: l１:y＝ １ ２x＋ ７ ３ ,l２:y＝－２x＋２． 则k１＝ １ ２ ,k２＝－２．∵k１􀅰k２＝－１,∴l１⊥l２． (３)由方程知l１⊥x轴,l２⊥x 轴,且两直线在x 轴上的截距 不相等,则l１∥l２． (４)由方程知l１⊥y轴,l２⊥x轴,则l１⊥l２． [例２]　[解]　法一:(１)由l:３x＋４y－２０＝０,得kl＝－ ３ ４． 设过A 点且平行于l的直线为l１,则kl１＝kl＝－ ３ ４ , 所以l１ 的方程为y－２＝－ ３ ４ (x－２),即３x＋４y－１４＝０． (２)设过点A 与l垂直的直线为l２． 因为kl􀅰kl２＝－１,所以kl２ ＝ ４ ３ ,故直线l２ 的方程为y－２ ＝４３ (x－２),即４x－３y－２＝０． 法二:(１)设过点A 且平行于直线l的直线l１ 的方程为３x＋ ４y＋m＝０． 由点A(２,２)在直线l１ 上,得３×２＋４×２＋m＝０,解得 m＝ －１４,故直线l１ 的方程为３x＋４y－１４＝０． (２)设过点A 与l垂直的直线l２ 的方程为４x－３y＋m＝０． 因为l２ 经过点A(２,２),所以４×２－３×２＋m＝０,解得 m＝ －２,故l２ 的方程为４x－３y－２＝０． [例３]　[解]　(１)方法一　①当m＝０时,显然l１ 与l２ 不平行． ②当m≠０时,l１∥l２,需 ２ m＝ m＋１ ３ ≠ ４ －２． 解得m＝２或m＝ －３．∴m 的值为２或－３． 方法二　令２×３＝m(m＋１),解得m＝－３或m＝２． 当m＝－３时,l１:x－y＋２＝０,l２:３x－３y＋２＝０, 显然l１ 与l２ 不重合,∴l１∥l２． 同理当m＝２时,l１∶２x＋３y＋４＝０,l２∶２x＋３y－２＝０,l１ 与l２ 不重合,l１∥l２,∴m 的值为２或－３． (２)方法一　由题意,直线l１⊥l２, ①若１－a＝０,即a＝１时,直线l１:３x－１＝０与直线l２:５y＋ ２＝０显然垂直． ②若２a＋３＝０,即a＝－３２ 时,直线l１:x＋５y－２＝０与直线 l２:５x－４＝０不垂直． ③若１－a≠０,且２a＋３≠０,则直线l１,l２ 的斜率k１,k２ 都存 在,k１＝－ a＋２ １－a ,k２＝－ a－１ ２a＋３ ,当l１⊥l２ 时,k１􀅰k２＝－１, 即 －a＋２１－a( ) 􀅰 － a－１ ２a＋３( )＝－１,所以a＝－１． 综上可知,当a＝１或a＝－１时,直线l１⊥l２． 方法二　由直线l１⊥l２, 得(a＋２)(a－１)＋(１－a)(２a＋３)＝０,解得a＝±１． 将a＝±１代入方程,均满足题意．故当a＝１或a＝－１时, 直线l１⊥l２． [例４]　[解]　A,B,C,D 四点在坐标 平面内的位置如图: 由斜率公式可得 kAB＝ ５－３ ２－(－４)＝ １ ３ ,kCD ＝ ０－３ －３－６＝ １ ３ ,kAD ＝ ０－３ －３－(－４)＝－３ , kBC＝ ３－５ ６－２＝－ １ ２ , ∴kAB＝kCD,由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD． 由kAD ≠kBC,∴AD 与BC 不平行．又kAB 􀅰kAD ＝ １ ３× (－３) ＝－１,∴AB⊥AD． 故四边形ABCD 为直角梯形． 变式训练 １．解析:∵kCD ＝ ４－１ ２－１＝３ ,kAB ＝ －１ ２a ,AB⊥CD,∴kAB 􀅰kCD ＝ －１ ２a×３＝－１ ,解得a＝３２． 答案:３ ２ ２．B　[∵k１＝－ ２ ３ ,b１＝ ２ ３ ,k２＝－ ２ ３ ,b２＝－ ２ ３ ,∴k１＝k２ 且 b１≠b２,∴l１∥l２．] ３．C　[设直线l的方程为３x＋２y＋C＝０,将点(－１,２)代入得 －３＋４＋C＝０,∴C＝－１, ∴直线l的方程为３x＋２y－１＝０．] ４．B　[设直线方程为x－２y＋C＝０(C≠－２),将(－１,０)代入 上式,得C＝１,所求方程为x－２y＋１＝０．] ５．解:(１)∵直线l１:x＋my＋６＝０,直线l２:(m－２)x＋３y＋２m ＝０, ∴A１＝１,B１＝m,C１＝６,A２＝m－２,B２＝３, C２＝２m． 若l１∥l２,则有 A１B２－A２B１＝０, B１C２－B２C１≠０,{ 即 ３－m(m－２)＝０, ２m２－１８≠０,{ 即 m ２－２m－３＝０, m２≠９,{ 即 m＝３或m＝－１, m≠３且m≠－３,{ ∴m＝－１．故当m＝－１时,直线l１ 与l２ 平行． (２)由a×１＋２×(a－１)＝０,解得a＝ ２３．∴ 当l１⊥l２ 时,a 的值为２ ３． ６．解:①若∠A＝∠D＝９０°,如图(１), 由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD ＝０,故 A(１,－１)． ②若∠A＝∠B＝９０°,如图(２)． 设A(a,b),则kBC ＝－３,kAD ＝ b－２ a－１ , kAB＝ b＋１ a－６． 由AD∥BC,得kAD ＝kBC,即 b－２ a－１＝－３ ;① 由AB⊥BC,得kAB􀅰kBC＝－１,即 b＋１ a－６ 􀅰(－３)＝－１．② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１２􀅰 参考答案 由①②得 a＝１２５ , b＝－１１５ ,{ 故A １２５ ,－１１５( )． 综 上 所 述,A 点 坐 标 为 (１,－１) 或 １２ ５ ,－１１５( )． 当堂达标 １．CD　[对 A,两直线倾斜角相等,可能重合;对 B,若l１⊥l２, l１ 与l２ 中可能一条斜率不存在,另一条斜率为０;对 C,若直 线斜率不存在,直线一定垂直于x轴,正确;对 D,若两条直 线斜率不相等,则两条直线一定不平行,D正确．] ２．C　[因为直线l１:x＋y＋２＝０的斜率为:k１＝－１,直线l２:x －y－１＝０的斜率为k２＝１,所以k１􀅰k２＝－１,所以这两条 直线的位置关系是垂直．] ３．B　[平行于直线４x＋３y－３＝０的直线具有形式４x＋３y＋c ＝０,故排除 A、D．但选项 C中直线的截距为正,直线过第一 象限,不符合条件,故应选B．] ４．解:(１)∵直线l１:(m＋２)x＋(m＋３)y－５＝０, l２∶６x＋(２m－１)y－５＝０,l１ 与l２ 平行, ∴m＋２６ ＝ m＋３ ２m－１≠ －５ －５ ,解得m＝－５２． (２)∵直线l１:(m＋２)x＋(m＋３)y－５＝０, l２:６x＋(２m－１)y－５＝０, l１⊥l２,∴(m＋２)×６＋(m＋３)(２m－１)＝０,解得m＝－１或 m＝－９． １．５　两条直线的交点坐标 课前预习学案 知识梳理 知识点一　相交 [思考] 提示:不一定,若两直线有无数个公共点,则两直线重合,当 两直线有唯一公共点时,两直线才相交 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)√　(４)× ２．C　[由 x＝１,y＝２,{ 得交点坐标为(１,２)．] ３．C　[∵k１＝ ３ ２ ,k２＝－ m２＋１ ３ ,∴k１≠k２,∴两直线相交．] ４．解析:直 线 可 化 为 a(x－y＋１)＋２x－y－２＝０,由 x－y＋１＝０, ２x－y－２＝０,{ 得 x＝３, y＝４．{ 定点坐标为(３,４)． 答案:(３,４) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方程组 ２x－y－７＝０,３x＋２y－７＝０,{ 的解为 x＝３, y＝－１．{ 因此直线l１ 和l２ 相交,交点坐标为(３,－１)． (２)方程组 ２x－６y＋４＝０,４x－１２y＋８＝０,{ 有无数个解,这表明直线l１ 和 l２ 重合． (３)方程组 ４x＋２y＋４＝０,２x＋y－３＝０,{ 无解,这表明直线l１ 和l２ 没有 公共点,故l１∥l２． [例２]　[解]　(１)设所求直线方程为x＋２y－２＋λ(３x－２y ＋２)＝０． ∵点P(１,０)在直线上,∴１－２＋λ(３＋２)＝０． ∴λ＝１５．∴ 所求方程为x＋２y－２＋１５ (３x－２y＋２)＝０,即x＋ y－１＝０． (２)由(a－１)x－y＋２a－１＝０,得－x－y－１＋a(x＋２)＝０． 所以,已知直线恒过直线－x－y－１＝０与直线x＋２＝０的 交点． 解方程组 －x－y－１＝０,x＋２＝０,{ 得 x＝－２, y＝１．{ 所以方程 (a－１)x－y＋２a－１＝０ 表 示 的 直 线 恒 过 定 点(－２,１)． [例３]　[解]　方法一　解方程组 ２x＋y－４＝０,x－y＋２＝０,{ 得直线l１ 与直线l的交点A ２３ ,８ ３( )． 在直线l１ 上取一点B(２,０), 设点B 关于直线l的对称点为C(x,y), 则 x＋２ ２ － y ２＋２＝０ , y x－２＝－１ ,{ 解得 x＝－２,y＝４,{ 即C(－２,４)． 又直线l２ 过A ２ ３ ,８ ３( ) 和C(－２,４)两点, 故由两点式得直线l２ 的方程为y －４ ８ ３－４ ＝x＋２２ ３＋２ , 即x＋２y－６＝０． 方法二　设 M(x０,y０)是直线l１ 上任意一点,它关于直线l 的对 称 点 为 N (x,y),则 线 段 MN 的 中 点 坐 标 为 x＋x０ ２ ,y＋y０ ２( ) ,直线 MN 的斜率为 y－y０ x－x０ ． 由题意,得 x＋x０ ２ － y＋y０ ２ ＋２＝０ , y－y０ x－x０ ＝－１, ì î í ïï ï 解得 x０＝y－２, y０＝x＋２．{ 因为 M(x０,y０)在直线l１ 上, 所以２x０＋y０－４＝０,即２(y－２)＋(x＋２)－４＝０, 所以直线l２ 的方程为x＋２y－６＝０． 变式训练 １．解:(１)解方程组 ２x＋y＋３＝０x－２y－１＝０{ ,得 x＝－１, y＝－１,{ 所以直线l１ 与l２ 相交,交点坐标为(－１,－１)． (２)解方程组 x＋y＋２＝０,①２x＋２y＋３＝０,②{ ①×２－②,得１＝０,矛盾, 方程组无解．所以直线l１ 与l２ 无公共点,即l１∥l２． ２．解析:(１)B　[(方法１)解方程组 ２x＋３y＋８＝０x－y－１＝０{ 得交点为 (－１,－２)．又直线l经过原点,由两点式得其方程为 y－０－２－０ ＝ x－０－１－０ ,即２x－y＝０． (方法２)设直线l的方程为２x＋３y＋８＋λ(x－y－１)＝０,因其过 原点, 所以８＋(－λ)＝０,λ＝８,直线l的方程为２x－y＝０．] (２)法一:　当k＝１时,直线方程为x＝１． 当k＝０时,直线方程为x＋y＝０． 由 x＝１,x＋y＝０{ 得交点P(１,－１),将P(１,－１)代入原方程左 边得 k＋１－(k－１)×(－１)－２k＝k＋１＋k－１－２k＝０, 即点P 的坐标总适合直线方程． ∴无论k取何实数,点P(１,－１)总在直线(k＋１)x－(k－１) y－２k＝０上． 法二:将原方程化为k(x－y－２)＋x＋y＝０, 要使其对任意实数k恒成立, 则有 x－y－２＝０,x＋y＝０,{ ∴ x＝１, y＝－１．{ ∴不论k为何实数,原直线都过定点(１,－１)． ３．解:设所求直线l上一点P(x,y),则在直线l１ 上必存在一点 Q(x０,y０)与点P 关于直线l２ 对称． 由题设知PQ 与直线l２ 垂直,且线段PQ 的中点 M x＋x０２ ,y＋y０ ２( ) 在直线l２ 上． ∴ y０－y x０－x 􀅰３＝－１, ３× x＋x０ ２ － y＋y０ ２ ＋３＝０ , ì î í ïï ï 变形得 x０＝ ３y－４x－９ ５ , y０＝ ３x＋４y＋３ ５ ,{ 代入直线l１:x－y－２＝０, 得３y－４x－９ ５ － ３x＋４y＋３ ５ －２＝０ , 整理得７x＋y＋２２＝０． ∴所求直线方程为７x＋y＋２２＝０． 当堂达标 １．B　[(２k－１)x－(k＋３)y－(k－１１)＝０可化为k(２x－y－ １)－x－３y＋１１＝０,由 ２x－y－１＝０ , x＋３y－１１＝０{ 得 x＝２, y＝３,{ 即直线恒 过定点(２,３)．] ２．CD　[由 kx－y－k＋１＝０,ky－x－２k＝０,{ 得 x＝ kk－１ , y＝２k－１k－１ ,{ 把各个选项代入验证即可．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册