第一章 1.3 第3课时 直线方程的一般式&第4课时 直线方程的点法式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

第３课时　直线方程的一般式 第４课时　直线方程的点法式 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握直线方程的一般式,并会熟练应用 ２．会选择适当的方程形式求直线方程 ３．掌握一般式与其他形式的互化 通过直线方程的一般式的学习与应用,提升逻 辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 问题:由下列各条件,写出直线的方程,并画出 图形． (１)斜率是１,经过点A(１,８); (２)在x轴和y 轴上的截距分别是－７,７; (３)经过两点P１(－１,６),P２(２,９); (４)在y轴上的截距是７,倾斜角是４５°． 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　直线的一般式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:关于x,y的二元一次方程　　　　　 　(其中A,B 不全为０),表示的是一条直 线,称它为直线方程的一般式. ２．适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直 线都可用一般式表示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．当A＝０或B＝０或C＝０时,方程 Ax＋By＋C＝０分别表示什么样的直线? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．任何直线方程都能表示为一般式吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　直线方程的点法式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．直线的法向量:与直线的方向向量垂直的向 量称为直线的法向量． ２．定义:已知直线l经过点P(x０,y０),且它的 一个法向量为n＝(A,B)． 直线l的方程为A(x－x０)＋B(y－y０)＝０, 称这个方程为直线方程的点法式． [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)二元一次方程Ax＋By＋C＝０(A,B 不同 时为０)可表示平面内的任何一条直线． (　　) (２)当C＝０时,方程Ax＋By＋C＝０(A、B 不 同时为０)表示的直线过原点． (　　) (３)当B＝０,A≠０时,方程Ax＋By＋C＝０表 示的直线与y轴平行． (　　) (４)任何一条直线的一般式方程都能与其他四 种形式互化． (　　) ２．在直角坐标系中,直线x＋ ３y－３＝０的倾 斜角是 (　　) A．３０°　　B．６０°　　C．１５０°　　D．１２０° ３．如果A􀅰C＜０且B􀅰C＜０,那么直线Ax＋ By＋C＝０不经过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ４．已知直线l过点P(３,１),且与两点P１(－１,０), P２(３,２)的连线垂直,则直线l的方程为　　　 　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第一章　直线与圆 　　　直线的一般式方程 [例１]　根据下列条件分别写出直线的方程, 并化为一般式方程． (１)斜率是 ３,且经过点A(５,３); (２)斜率为４,在y轴上的截距为－２; (３)经过A(－１,５),B(２,－１)两点; (４)在x轴、y轴上的截距分别是－３,－１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先选择合适的形式将直线方 程写出来,再化为一般式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线的一般式方程的特征 求直线方程时,要求将方程化为一般式方 程,其形式一般作如下设定:x 的系数为 正;系数及常数项一般不出现分数;一般按 含x项、含y项、常数项的顺序排列． 􀳀[变式训练] １．根据下列各条件写出直线的方程,并化成一 般式． (１)斜率是－１２ ,经过点A(８,－２); (２)经过点B(４,２),且平行于x轴; (３)在x轴和y 轴上的截距分别是３２ ,－３; (４)经过两点P１(３,－２),P２(５,－４)． 　　　直线方程的点法式 [例２]　(１)写出下列直线经过的一个点和直 线的一个法向量及方向向量: ①(x＋１)－２(y－４)＝０; ②－(x－３)＋４(y＋２)＝０． (２)求过点P(－３,１)且与向量n＝(－１,３) 垂直的直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据直线l的点法式方程A(x －x０)＋B(y－y０)＝０,求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用直线的点法式方程求直线的方程关键的 问题是通过垂直关系求解直线的法向量,再 有直线上的一个点即可代入方程求解． 􀳀[变式训练] ２．已知△ABC的三个顶点分别为A(２,２),B (３,０),C(０,－１),求AB 边上的高所在直线 的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　与含参数的一般式方程有关的问题 [例３]　已知直线l:５ax－５y－a＋３＝０． (１)求证:不论a为何值,直线l总经过第一 象限; (２)为使直线不经过第二象限,求a的取值 范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)当直线恒过第一象限内的 一定点时,必然可得该直线总经过第一象 限;(２)直线不过第二象限即斜率大于０且 与y轴的截距不大于０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线恒过定点的求解策略 (１)将方程化为点斜式,求得定点的坐标; (２)将方程变形,把x,y看作参数的系数,因 为此式子对于任意的参数的值都成立,故 需系数为零,解方程组可得x,y的值,即 为直线过的定点． 􀳀[变式训练] ３．(１)若方程(m２＋５m＋６)x＋(m２＋３m)y＋１ ＝０ 表示一条直线,则实 数 m 满 足 　 　 　　． (２)已知方程(２m２＋m－３)x＋(m２－m)y＝４m －１表示直线．当m＝　　　　　　时,直线的 倾斜角为４５°;当m＝　　　　　　时,直线在 x轴上的截距为１． [当堂达标] １．若方程Ax＋By＋C＝０表示直线,则A,B 应满足的条件为 (　　 ) A．A≠０　　　　　　B．B≠０ C．A􀅰B≠０ D．A２＋B２≠０ ２．直线 ３x－y＋a＝０(a为常数)的倾斜角为 (　　) A．３０° B．６０° C．１５０° D．１２０° ３．过点P(１,２),法向量n＝(３,５)的直线l的 点法式方程为　　　　． ４．设直线l的方程为２x＋(k－３)y－２k＋６＝ ０(k≠３),根据下列条件分别确定k的值: (１)直线l的斜率为－１; (２)直线l在x 轴、y 轴上的截距之和等 于０． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 第一章　直线与圆 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为０时,直线的 方程为y＝４３x ,即４x－３y＝０． 综上,直线l的方程为x－y＋１＝０或４x－３y＝０． ３．C　[∵直线ax＋by＝ab(a＞０,b＞０)过点(１,１), ∴a＋b＝ab,即１a＋ １ b＝１ ,∴a＋b＝(a＋b) １a＋ １ b( )＝ ２＋ba ＋ a b ≥２＋２ b a 􀅰a b ＝４ , 当且仅当a＝b＝２时上式等号成立． ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为４．] 当堂达标 １．D　[由于直线过A(０,３),B(－２,０)两点,∴直线在x 轴,y 轴上的截距分别为－２,３,由截距式可知,方程为 x－２ ＋ y ３ ＝１．] ２．ABD　[由题意设所求直线的横截距为a,(１)当a＝０时,由题意 可设直线的方程为y＝kx,将(１,２)代入可得k＝２,∴直线的方 程为２x－y＝０; (２)当a≠０时,由截距式方程可得直线的方程为xa ＋ y a ＝１ (截距相等)或x a ＋ y －a＝１ (截距相反),将(１,２)代入可得a ＝３或a＝－１,∴直线的方程为x＋y＝３或x－y＋１＝０．] ３．解析:直线方程为x－１３－１＝ y－２ ４－２ ,即x－y＋１＝０． 答案:x－y＋１＝０ ４．解:设直线方程的截距式为 xa＋１＋ y a ＝１． 则 ６ a＋１＋ －２ a ＝１ , 解得a＝２或a＝１, 则直线方程是 x ２＋１＋ y ２＝１ 或 x １＋１＋ y １＝１ , 即２x＋３y－６＝０或x＋２y－２＝０． 第３课时　直线方程的一般式 第４课时　直线方程的点法式 课前预习学案 情境引入 提示:(１)y－８＝x－１;(２)x－７＋ y ７ ＝１ ;(３)y－６９－６＝ x＋１ ２＋１ ; (４)y＝x＋７．如果我们画出这４条直线的图象,你会惊奇地 发现:这４条直线是重合的．事实上,它们的方程都可以化简 为x－y＋７＝０．这样前几种直线方程就有了统一的形式,这 就是本节我们要学习的直线的一般式方程． 知识梳理 知识点一(１)Ax＋By＋C＝０ [思考] １．[提示]　(１)若A＝０,则y＝－CB ,表示与y轴垂直的一条 直线． (２)若B＝０,则x＝－CA ,表示与x轴垂直的一条直线． (３)若C＝０,则Ax＋By＝０,表示过原点的一条直线． ２．[提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于 x,y的二元一次方程表示． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[直线斜率k＝－ ３３ ,所以倾斜角为１５０°．] ３．C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝０在x轴上的截距－CA ＞ ０,在y轴上的截距－CB ＞０ ,故直线经过第一、二、四象限, 不经过第三象限．] ４．解析:∵P１P２ → ⊥l,∴P１P２ → ＝(３＋１,２－０)＝(４,２)为所求直 线l的一个法向量,即n＝(４,２), 又∵直线l过点(３,１),代入直线的点法式方程得４(x－３) ＋２(y－１)＝０． 故所求方程为２x＋y－７＝０ 答案:２x＋y－７＝０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线方程为y－３ ＝ ３(x－５),化为一般式方程为 ３x－y＋３－５ ３＝０． (２)由斜截式方程可知,所求直线方程为y＝４x－２, 化为一般式方程为４x－y－２＝０． (３)由两点式方程可知, 所求直线方程为 y－５ －１－５＝ x－(－１) ２－(－１) , 化为一般式方程为２x＋y－３＝０． (４)由截距式方程可得,所求直线方程为 x－３＋ y －１＝１ ,化为 一般式方程为x＋３y＋３＝０． [例２]　[解]　(１)①直线(x＋１)－２(y－４)＝０经过点(－１, ４),一个法向量是(１,－２),一个方向向量是(－２,－１);②直 线－(x－３)＋４(y＋２)＝０经过点(３,－２),一个法向量是 (－１,４),一个方向向量是(４,１)． (２)由直线方程的点法式,得－(x＋３)＋３(y－１)＝０． 故所求直线方程为x－３y＋６＝０． [例３]　[解]　(１)证明:法一:将直线l的方程整理为y－３５ ＝a x－１５( ) , ∴直线l的斜率为a,且过定点A １５ ,３ ５( ) , 而点A １５ ,３ ５( ) 在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第 一象限． 法二:直线l的方程可化为(５x－１)a－(５y－３)＝０． ∵上式对任意的a总成立, 必有 ５x－１＝０,５y－３＝０,{ 即 x＝１５ , y＝３５． { 即l过定点A １５ ,３ ５( )．以下同法一． (２)直线OA 的斜率为k＝ ３ ５－０ １ ５－０ ＝３． 如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率a ≥kOA＝３,∴a≥３． 变式训练 １．解:(１)由点斜式方程,得y－(－２)＝－ １２ (x－８),即x＋２y－４＝０． (２)由点斜式方程,得y－２＝０． (３)由截距式方程,得x３ ２ ＋ y－３＝１ ,即２x－y－３＝０． (４)由两点式方程,得 y－ (－２) －４－(－２)＝ x－３ ５－３ ,即x＋y－１＝０． ２．解:∵AB → ＝(３－２,０－２)＝(１,－２)为所求高的法向量,又 ∵高线过点C(０,－１) 代入点法式方程得１×(x－０)＋(－２)×(y－(－１))＝０ 整理得x－２y－２＝０,∴AB 边上的高所在直线的方程为x －２y－２＝０． ３．解析:(１)若方程不能表示直线,则 m２＋５m＋６＝０且 m２＋ ３m＝０． 解方程组 m ２＋５m＋６＝０, m２＋３m＝０,{ 得m＝－３,所以m≠－３时,方程表 示一条直线． (２)因为已知直线的倾斜角为４５°,所以此直线的斜率是１, 所以－２m ２＋m－３ m２－m ＝１,所以 m ２－m≠０, ２m２＋m－３＝－(m２－m),{ 解得 m≠０且m≠１,m＝－１或m＝１．{ 所以m＝－１． 因为已 知 直 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 １,令 y＝０ 得 x＝ ４m－１ ２m２＋m－３ ,所以 ４m－１ ２m２＋m－３ ＝１, 所以 ２m ２＋m－３≠０, ４m－１＝２m２＋m－３,{ 解得 m≠１且m≠－３２ , m＝－１２ 或m＝２．{ 所以m＝－１２或m＝２． 答案:(１)m≠－３　(２)－１　－１２ 或２ 当堂达标 １．D　[方程Ax＋By＋C＝０表示直线的条件为 A,B 不能同 时为０,即A２＋B２≠０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．B　[设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y＝ ３x ＋a,∴k＝tanα＝ ３．∵０°≤α＜１８０°,∴α＝６０°．] ３．解析:由题意,直线l的点法式方程为３(x－１)＋５(y－２)＝０． 答案:３(x－１)＋５(y－２)＝０ ４．解:(１)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y ＝－ ２k－３x＋２ ,由题意得－ ２k－３＝－１ ,解得k＝５． (２)直线l的方程可化为 xk－３＋ y ２＝１ ,由题意得k－３＋２＝ ０,解得k＝１． １．４　两条直线的平行与垂直 课前预习学案 知识梳理 知识点一　k１＝k２ [思考] １．[提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜 率才相等． 知识点二　不存在 [思考] ２．[提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜 率之积是－１,若两条直线垂直时,还可能它们的斜率一个是 ０,另一个不存在． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．C　[直线l１ 的斜率k１＝ x－３ －１－２＝ ３－x ３ ,由题意可知３－x ３ ＝ －１,∴x＝６．] ３．C　[由于直线x－２y－２＝０的斜率为１２ , 故所求直线的斜率等于－２,故所求直线的方程为y－０＝－ ２(x－１),即２x＋y－２＝０．] ４．解析:∵直线l２:mx－my＋１＝０(m≠０), ∴直线l２:y＝x＋ １ m (m≠０) ∴kl２＝１,又∵直线l１ 经过点(４,５)且与直线l２:mx－my＋１ ＝０(m≠０)平行, ∴直线l１:y－５＝x－４,即x－y＋１＝０． 答案:x－y＋１＝０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)将两直线方程分别化为斜截式: l１:y＝－ ３ ５x＋ ６ ５ ,l２:y＝－ ３ ５x－ ３ １０． 则k１＝－ ３ ５ ,b１＝ ６ ５ ,k２＝－ ３ ５ ,b２＝－ ３ １０． ∵k１＝k２,b１≠b２,∴l１∥l２． (２)将两直线方程分别化为斜截式: l１:y＝ １ ２x＋ ７ ３ ,l２:y＝－２x＋２． 则k１＝ １ ２ ,k２＝－２．∵k１􀅰k２＝－１,∴l１⊥l２． (３)由方程知l１⊥x轴,l２⊥x 轴,且两直线在x 轴上的截距 不相等,则l１∥l２． (４)由方程知l１⊥y轴,l２⊥x轴,则l１⊥l２． [例２]　[解]　法一:(１)由l:３x＋４y－２０＝０,得kl＝－ ３ ４． 设过A 点且平行于l的直线为l１,则kl１＝kl＝－ ３ ４ , 所以l１ 的方程为y－２＝－ ３ ４ (x－２),即３x＋４y－１４＝０． (２)设过点A 与l垂直的直线为l２． 因为kl􀅰kl２＝－１,所以kl２ ＝ ４ ３ ,故直线l２ 的方程为y－２ ＝４３ (x－２),即４x－３y－２＝０． 法二:(１)设过点A 且平行于直线l的直线l１ 的方程为３x＋ ４y＋m＝０． 由点A(２,２)在直线l１ 上,得３×２＋４×２＋m＝０,解得 m＝ －１４,故直线l１ 的方程为３x＋４y－１４＝０． (２)设过点A 与l垂直的直线l２ 的方程为４x－３y＋m＝０． 因为l２ 经过点A(２,２),所以４×２－３×２＋m＝０,解得 m＝ －２,故l２ 的方程为４x－３y－２＝０． [例３]　[解]　(１)方法一　①当m＝０时,显然l１ 与l２ 不平行． ②当m≠０时,l１∥l２,需 ２ m＝ m＋１ ３ ≠ ４ －２． 解得m＝２或m＝ －３．∴m 的值为２或－３． 方法二　令２×３＝m(m＋１),解得m＝－３或m＝２． 当m＝－３时,l１:x－y＋２＝０,l２:３x－３y＋２＝０, 显然l１ 与l２ 不重合,∴l１∥l２． 同理当m＝２时,l１∶２x＋３y＋４＝０,l２∶２x＋３y－２＝０,l１ 与l２ 不重合,l１∥l２,∴m 的值为２或－３． (２)方法一　由题意,直线l１⊥l２, ①若１－a＝０,即a＝１时,直线l１:３x－１＝０与直线l２:５y＋ ２＝０显然垂直． ②若２a＋３＝０,即a＝－３２ 时,直线l１:x＋５y－２＝０与直线 l２:５x－４＝０不垂直． ③若１－a≠０,且２a＋３≠０,则直线l１,l２ 的斜率k１,k２ 都存 在,k１＝－ a＋２ １－a ,k２＝－ a－１ ２a＋３ ,当l１⊥l２ 时,k１􀅰k２＝－１, 即 －a＋２１－a( ) 􀅰 － a－１ ２a＋３( )＝－１,所以a＝－１． 综上可知,当a＝１或a＝－１时,直线l１⊥l２． 方法二　由直线l１⊥l２, 得(a＋２)(a－１)＋(１－a)(２a＋３)＝０,解得a＝±１． 将a＝±１代入方程,均满足题意．故当a＝１或a＝－１时, 直线l１⊥l２． [例４]　[解]　A,B,C,D 四点在坐标 平面内的位置如图: 由斜率公式可得 kAB＝ ５－３ ２－(－４)＝ １ ３ ,kCD ＝ ０－３ －３－６＝ １ ３ ,kAD ＝ ０－３ －３－(－４)＝－３ , kBC＝ ３－５ ６－２＝－ １ ２ , ∴kAB＝kCD,由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD． 由kAD ≠kBC,∴AD 与BC 不平行．又kAB 􀅰kAD ＝ １ ３× (－３) ＝－１,∴AB⊥AD． 故四边形ABCD 为直角梯形． 变式训练 １．解析:∵kCD ＝ ４－１ ２－１＝３ ,kAB ＝ －１ ２a ,AB⊥CD,∴kAB 􀅰kCD ＝ －１ ２a×３＝－１ ,解得a＝３２． 答案:３ ２ ２．B　[∵k１＝－ ２ ３ ,b１＝ ２ ３ ,k２＝－ ２ ３ ,b２＝－ ２ ３ ,∴k１＝k２ 且 b１≠b２,∴l１∥l２．] ３．C　[设直线l的方程为３x＋２y＋C＝０,将点(－１,２)代入得 －３＋４＋C＝０,∴C＝－１, ∴直线l的方程为３x＋２y－１＝０．] ４．B　[设直线方程为x－２y＋C＝０(C≠－２),将(－１,０)代入 上式,得C＝１,所求方程为x－２y＋１＝０．] ５．解:(１)∵直线l１:x＋my＋６＝０,直线l２:(m－２)x＋３y＋２m ＝０, ∴A１＝１,B１＝m,C１＝６,A２＝m－２,B２＝３, C２＝２m． 若l１∥l２,则有 A１B２－A２B１＝０, B１C２－B２C１≠０,{ 即 ３－m(m－２)＝０, ２m２－１８≠０,{ 即 m ２－２m－３＝０, m２≠９,{ 即 m＝３或m＝－１, m≠３且m≠－３,{ ∴m＝－１．故当m＝－１时,直线l１ 与l２ 平行． (２)由a×１＋２×(a－１)＝０,解得a＝ ２３．∴ 当l１⊥l２ 时,a 的值为２ ３． ６．解:①若∠A＝∠D＝９０°,如图(１), 由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD ＝０,故 A(１,－１)． ②若∠A＝∠B＝９０°,如图(２)． 设A(a,b),则kBC ＝－３,kAD ＝ b－２ a－１ , kAB＝ b＋１ a－６． 由AD∥BC,得kAD ＝kBC,即 b－２ a－１＝－３ ;① 由AB⊥BC,得kAB􀅰kBC＝－１,即 b＋１ a－６ 􀅰(－３)＝－１．② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１２􀅰 参考答案