第一章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

[例３]　[解]　显然,直线l与两坐标轴不垂直,否则不构成三 角形,设其斜率为k(k≠０),则直线l的方程为y－３＝k(x＋２), 令x＝０,得y＝２k＋３,令y＝０,得x＝－３k－２ , 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 １ ２ (２k＋３) －３k－２( ) ＝４, 即(２k＋３) ３k＋２( )＝±８． 若(２k＋３) ３k＋２( )＝８,则整理得４k ２＋４k＋９＝０,无解． 若(２k＋３) ３k＋２( )＝－８,则整理得４k ２＋２０k＋９＝０, 解之,得k＝－１２ 或k＝－９２． 所以直线l的方程为y－３＝－ １２ (x＋２)或y－３＝－ ９２ (x ＋２),即y＝－１２x＋２ 或y＝－９２x－６． 变式训练 １．解:(１)直线斜率为tan４５°＝１, ∴直线方程为y－４＝x＋１． (２)直线斜率为tan６０°＝ ３,∴所求直线的方程为y－０＝ ３(x－０)． (３)直线斜率为０,∴直线方程为y－１＝０×(x＋１)． ２．解:(１)易知k＝－１,b＝－２,故直线的斜截式方程为y＝－x －２． (２)由于直线的斜率k＝－４３ ,且过点A(６,－４),根据直线 的点斜式方程得直线方程为y＋４＝－ ４３ (x－６),化成斜截 式为y＝－４３x＋４． (３)直线方程２x＋y－１＝０可化为y＝－２x＋１,由直线的斜 截式方程知:直线的斜率k＝－２,在y轴上的截距b＝１,直 线与y轴交点的坐标为(０,１)． ３．解:由题意知,直线l的斜率k 存在且k＜０,则直线l的方程 为y－２＝k(x－３)(k＜０),且有A ３－２k ,０( ) ,B(０,２－３k), ∴S△ABO＝ １ ２ (２－３k)３－２k( )＝ １ ２ １２＋ (－９k)＋ ４(－k)[ ] ≥１２ １２＋２ (－９k)􀅰 ４ (－k)[ ]＝ １ ２× (１２＋１２)＝１２, 当且仅当－９k＝ ４－k 且k＜０,即k＝－２３ 时,等号成立． 即△ABO 的面积的最小值为１２．故所求直线l的方程为２x ＋３y－１２＝０． 当堂达标 １．C　[方程可化为y－(－２)＝－[x－(－１)],所以直线过点 (－１,－２),斜率为－１．选 C．] ２．B　[由题图可知直线的倾斜角为钝角,且直线在y 轴上的 截距为负值,故k＜０,b＜０．] ３．解析:∵直线的倾斜角是６０°,∴其斜率k＝tan６０°＝ ３, ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为３,∴直线在y轴 上的截距是３或－３, ∴所求直线的斜截式方程是y＝ ３x＋３或y＝ ３x－３． 答案:y＝ ３x＋３或y＝ ３x－３ ４．解:直线y＝ ３x＋ ３的斜率k＝ ３, 则其倾斜角α＝６０°,所以直线l的倾斜角为１２０°． 直线l的斜率为k′＝tan１２０°＝－ ３． 所以直线l的点斜式方程为y－４＝－ ３(x－３)． 第２课时　直线方程的两点式 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．[提示]　不能,因为１－１＝０,而０不能做分母．过点(２,３), (５,３)的直线也不能用两点式表示． ２．[提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个,一 是中间必须用“＋”号连接,二是等号右边为１． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)√ ２．D　[过点A,B的直线方程为y－２３－２＝ x－３ ４－３ ,即x－y－１＝０．] ３．C　[由截距式得,所求直线的方程为x２＋ y ３＝１． ] ４．解析:直线方程为y－９１－９＝ x－３ －１－３ ,化为截距式为 x －３２ ＋y３ ＝１,则在x轴上的截距为－３２． 答案:－３２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)直线BC过点B(０,－３),C(－２,１),由两点 式方程得y＋３ １＋３＝ x－０ －２－０ ,化简得２x＋y＋３＝０． (２)由 中 点 坐 标 公 式,得 BC 的 中 点 D 的 坐 标 为 (０－２２ , －３＋１ ２ ),即D(－１,－１)． 又直 线 AD 过 点 A (－４,０),由 两 点 式 方 程 得y＋１０＋１＝ x＋１ －４＋１ ,化简得x＋３y＋４＝０． [例２]　[解]　 法 一:设 直 线 在x 轴、y 轴 上 的 截 距 分 别 为 a,b． ①当a≠０,b≠０时,设l的方程为xa ＋ y b ＝１． ∵点(４,－３)在直线上,∴４a＋ －３ b ＝１ , 若a＝b,则a＝b＝１,直线l的方程为x＋y－１＝０． 若a＝－b,则a＝７,b＝－７,此时直线l的方程为x－y－７＝０． ②当a＝b＝０时,直线过原点,且过点(４,－３), ∴直线l的方程为３x＋４y＝０． 综上知,所求直线l的方程为x＋y－１＝０或x－y－７＝０或 ３x＋４y＝０． 法二:设直线l的方程为y＋３＝k(x－４), 令x＝０,得y＝－４k－３;令y＝０,得x＝４k＋３k ． ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－４k－３|＝ ４k＋３k ,解得k＝１或k＝－１或k＝－３４． ∴所求的直线方程为x－y－７＝０或x＋y－１＝０或３x＋４y＝０． [例３]　[解]　(１)设A(a,０),B(０,b)(a＞０,b＞０)． 设直线l的方程为xa ＋ y b ＝１ ,则１ a＋ １ b＝１ , 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b) １a＋ １ b( ) ＝２＋ a b ＋ b a ≥２＋２ ab 􀅰b a ＝４ ,当且仅当a＝b＝２时等号成立,此时 直线l的方程为x＋y－２＝０． (２)设直线l的斜率为k,则k＜０,直线l的方程为y－１＝ k(x－１),则A １－１k ,０( ) ,B(０,１－k), 所以|MA|２＋|MB|２＝ １－１＋１k( ) ２ ＋１２＋１２＋(１－１＋k)２＝ ２＋k２＋１ k２ ≥２＋２ k２􀅰１k２ ＝４, 当且仅当k２＝１ k２ ,即k＝－１时等号成立,此时直线l的方程 为y－１＝－(x－１),即x＋y－２＝０． 变式训练 １．解:(１)由两点式,得所求方程为y－３４－３＝ x－４ ５－４ ,即x－y－１＝０． (２)由于A,B 两点的纵坐标相等,故不能用两点式,所求的 直线方程为y＝１． (３)由于A,B 两点的横坐标相等,故不能用两点式,所求的 直线方程为x＝２． ２．解:(１)根据直线方程的截距式,得直线方程为 x－３＋ y ４＝１ , 化简得４x－３y＋１２＝０． (２)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为０时, 可设直线l的方程为xa ＋ y －a＝１． 又因为l过点A(３,４),所以３a＋ ４ －a＝１ ,解得a＝－１．所以 直线l的方程为 x－１＋ y １＝１ ,即x－y＋１＝０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 参考答案 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为０时,直线的 方程为y＝４３x ,即４x－３y＝０． 综上,直线l的方程为x－y＋１＝０或４x－３y＝０． ３．C　[∵直线ax＋by＝ab(a＞０,b＞０)过点(１,１), ∴a＋b＝ab,即１a＋ １ b＝１ ,∴a＋b＝(a＋b) １a＋ １ b( )＝ ２＋ba ＋ a b ≥２＋２ b a 􀅰a b ＝４ , 当且仅当a＝b＝２时上式等号成立． ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为４．] 当堂达标 １．D　[由于直线过A(０,３),B(－２,０)两点,∴直线在x 轴,y 轴上的截距分别为－２,３,由截距式可知,方程为 x－２ ＋ y ３ ＝１．] ２．ABD　[由题意设所求直线的横截距为a,(１)当a＝０时,由题意 可设直线的方程为y＝kx,将(１,２)代入可得k＝２,∴直线的方 程为２x－y＝０; (２)当a≠０时,由截距式方程可得直线的方程为xa ＋ y a ＝１ (截距相等)或x a ＋ y －a＝１ (截距相反),将(１,２)代入可得a ＝３或a＝－１,∴直线的方程为x＋y＝３或x－y＋１＝０．] ３．解析:直线方程为x－１３－１＝ y－２ ４－２ ,即x－y＋１＝０． 答案:x－y＋１＝０ ４．解:设直线方程的截距式为 xa＋１＋ y a ＝１． 则 ６ a＋１＋ －２ a ＝１ , 解得a＝２或a＝１, 则直线方程是 x ２＋１＋ y ２＝１ 或 x １＋１＋ y １＝１ , 即２x＋３y－６＝０或x＋２y－２＝０． 第３课时　直线方程的一般式 第４课时　直线方程的点法式 课前预习学案 情境引入 提示:(１)y－８＝x－１;(２)x－７＋ y ７ ＝１ ;(３)y－６９－６＝ x＋１ ２＋１ ; (４)y＝x＋７．如果我们画出这４条直线的图象,你会惊奇地 发现:这４条直线是重合的．事实上,它们的方程都可以化简 为x－y＋７＝０．这样前几种直线方程就有了统一的形式,这 就是本节我们要学习的直线的一般式方程． 知识梳理 知识点一(１)Ax＋By＋C＝０ [思考] １．[提示]　(１)若A＝０,则y＝－CB ,表示与y轴垂直的一条 直线． (２)若B＝０,则x＝－CA ,表示与x轴垂直的一条直线． (３)若C＝０,则Ax＋By＝０,表示过原点的一条直线． ２．[提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于 x,y的二元一次方程表示． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[直线斜率k＝－ ３３ ,所以倾斜角为１５０°．] ３．C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝０在x轴上的截距－CA ＞ ０,在y轴上的截距－CB ＞０ ,故直线经过第一、二、四象限, 不经过第三象限．] ４．解析:∵P１P２ → ⊥l,∴P１P２ → ＝(３＋１,２－０)＝(４,２)为所求直 线l的一个法向量,即n＝(４,２), 又∵直线l过点(３,１),代入直线的点法式方程得４(x－３) ＋２(y－１)＝０． 故所求方程为２x＋y－７＝０ 答案:２x＋y－７＝０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线方程为y－３ ＝ ３(x－５),化为一般式方程为 ３x－y＋３－５ ３＝０． (２)由斜截式方程可知,所求直线方程为y＝４x－２, 化为一般式方程为４x－y－２＝０． (３)由两点式方程可知, 所求直线方程为 y－５ －１－５＝ x－(－１) ２－(－１) , 化为一般式方程为２x＋y－３＝０． (４)由截距式方程可得,所求直线方程为 x－３＋ y －１＝１ ,化为 一般式方程为x＋３y＋３＝０． [例２]　[解]　(１)①直线(x＋１)－２(y－４)＝０经过点(－１, ４),一个法向量是(１,－２),一个方向向量是(－２,－１);②直 线－(x－３)＋４(y＋２)＝０经过点(３,－２),一个法向量是 (－１,４),一个方向向量是(４,１)． (２)由直线方程的点法式,得－(x＋３)＋３(y－１)＝０． 故所求直线方程为x－３y＋６＝０． [例３]　[解]　(１)证明:法一:将直线l的方程整理为y－３５ ＝a x－１５( ) , ∴直线l的斜率为a,且过定点A １５ ,３ ５( ) , 而点A １５ ,３ ５( ) 在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第 一象限． 法二:直线l的方程可化为(５x－１)a－(５y－３)＝０． ∵上式对任意的a总成立, 必有 ５x－１＝０,５y－３＝０,{ 即 x＝１５ , y＝３５． { 即l过定点A １５ ,３ ５( )．以下同法一． (２)直线OA 的斜率为k＝ ３ ５－０ １ ５－０ ＝３． 如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率a ≥kOA＝３,∴a≥３． 变式训练 １．解:(１)由点斜式方程,得y－(－２)＝－ １２ (x－８),即x＋２y－４＝０． (２)由点斜式方程,得y－２＝０． (３)由截距式方程,得x３ ２ ＋ y－３＝１ ,即２x－y－３＝０． (４)由两点式方程,得 y－ (－２) －４－(－２)＝ x－３ ５－３ ,即x＋y－１＝０． ２．解:∵AB → ＝(３－２,０－２)＝(１,－２)为所求高的法向量,又 ∵高线过点C(０,－１) 代入点法式方程得１×(x－０)＋(－２)×(y－(－１))＝０ 整理得x－２y－２＝０,∴AB 边上的高所在直线的方程为x －２y－２＝０． ３．解析:(１)若方程不能表示直线,则 m２＋５m＋６＝０且 m２＋ ３m＝０． 解方程组 m ２＋５m＋６＝０, m２＋３m＝０,{ 得m＝－３,所以m≠－３时,方程表 示一条直线． (２)因为已知直线的倾斜角为４５°,所以此直线的斜率是１, 所以－２m ２＋m－３ m２－m ＝１,所以 m ２－m≠０, ２m２＋m－３＝－(m２－m),{ 解得 m≠０且m≠１,m＝－１或m＝１．{ 所以m＝－１． 因为已 知 直 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 １,令 y＝０ 得 x＝ ４m－１ ２m２＋m－３ ,所以 ４m－１ ２m２＋m－３ ＝１, 所以 ２m ２＋m－３≠０, ４m－１＝２m２＋m－３,{ 解得 m≠１且m≠－３２ , m＝－１２ 或m＝２．{ 所以m＝－１２或m＝２． 答案:(１)m≠－３　(２)－１　－１２ 或２ 当堂达标 １．D　[方程Ax＋By＋C＝０表示直线的条件为 A,B 不能同 时为０,即A２＋B２≠０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．已知直线的方程是y＋２＝－x－１,则 (　　) A．直线经过点(－１,２),斜率为－１ B．直线经过点(２,－１),斜率为－１ C．直线经过点(－１,－２),斜率为－１ D．直线经过点(－２,－１),斜率为１ ２．直线y＝kx＋b在平面直角坐 标系中的位置如图所示,则k,b 满足 (　　) A．k＞０,b＞０　　B．k＜０,b＜０ C．k＜０,b＞０ D．k＞０,b＜０ ３．倾斜角为６０°,与y轴的交点到坐标原点的 距离为３的直线的斜截式方程是　　　　． ４．直线l经过点P(３,４),它的倾斜角是直线y ＝ ３x＋ ３的倾斜角的２倍,求直线l的点 斜式方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　直线方程的两点式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 ２．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 ３．会熟练应用两点式、截距式方程求直线的方程 １．通过直线两点式方程的推导,提升逻辑 推理的数学素养 ２．通过直线的两点式方程和截距式方程的 学习,培养直观想象和数学运算的数学 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　我们知道在直角坐标 系内确定一条直线的几何 要素:点和倾斜角(斜率), 即已知直线上的一点和直 线的斜率可以确定一条直线,或已知两点也可 以确定一条直线.这样,在直角坐标系中,给 定一个点P０(x０,y０)和斜率k,可得出直线方 程.若给 定 直 线 上 两 点 P１(x１,y１)P２(x２, y２),你能否得出直线的方程呢? [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P１(x１,y１), P２(x２,y２), 其中x１≠x２,y１≠y２ y－y１ y２－y１ ＝ x－x１ x２－x１ 斜率存在 且不为０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．过点(１,３)和(１,５)的直线能用两 点式表示吗? 为什么? 过点(２,３),(５,３) 的直线呢? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　直线的截距式方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x,y 轴 上 的截 距 分 别 为a,b且a≠ ０,b≠０ x a ＋ y b ＝１ 斜 率 存 在 且 不为 ０,不 过 原点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．方程x２－ y ３＝１ 和x ２＋ y ３＝－１ 都是 直线的截距式方程吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)不经过原点的直线都可以用方程xa＋ y b＝ １表示． (　　) (２)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式 方程表示． (　　) (３)能用截距式方程表示的直线都能用两点式 表示． (　　) (４)直线y＝x在x 轴和y 轴上的截距均为０． (　　) ２．过点A(３,２),B(４,３)的直线方程是 (　　) A．x＋y＋１＝０ B．x＋y－１＝０ C．x－y＋１＝０ D．x－y－１＝０ ３．过P１(２,０),P２(０,３)两点的直线方程是 (　　) A．x３＋ y ２＝０ B． x ２－ y ３＝０ C．x２＋ y ３＝１ D． x ２－ y ３＝１ ４．过两点(－１,１)和(３,９)的直线在x轴上的 截距为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　直线的两点式方程 [例１]　已知三角形的三个顶点A(－４,０),B(０, －３),C(－２,１),求: (１)BC边所在的直线方程; (２)BC边上中线所在的直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　已知直线上两个点的坐标, 可以利用两点式写出直线的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时,要特 别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不 能用两点式．已知直线上的两点坐标,也 可先求出斜率,再利用点斜式写出直线 方程． 􀳀[变式训练] １．求经过下列两点的直线方程: (１)A(５,４),B(４,３); (２)A(２,１),B(３,１); (３)A(２,１),B(２,－１)． 　　　直线的截距式方程 [例２]　求过点(４,－３)且在两坐标轴上截距 的绝对值相等的直线l的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　直线与圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 截距式方程应用的注意事项 (１)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则 可考虑选用截距式直线方程,用待定系 数法确定其系数即可． (２)选用截距式直线方程时,必须首先考虑 直线能否过原点以及能否与两坐标轴 垂直． (３)要注意截距式直线方程的逆向应用． 􀳀[变式训练] ２．(１)求在x,y轴上的截距分别是－３,４的直 线方程; (２)求过点A(３,４),且在两坐标轴上的截距 互为相反数的直线l的方程． 　　　直线方程的综合应用 [例３]　已知直线l过点M(１,１),且与x轴、 y轴的正半轴分别相交于A,B 两点,O 为 坐标原点．求: (１)当|OA|＋|OB|取得最小值时,直线l的 方程; (２)当|MA|２＋|MB|２ 取得最小值时,直线 l的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)设出直线的截距式方程xa ＋yb＝１ ,利用a,b表示出|OB|＋|OA|,用基 本不等式求解．(２)设出直线l的方程y－１＝ k(x－１),求出截距,表示出|MB|２＋|MA|２, 用基本不等式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线方程综合问题的两大类型及解法 (１)与函数相结合的问题:解决这类问题, 一般是利用直线方程中x,y 的关系, 将问题转化为关于x(或y)的函数,借 助函数的性质解决． (２)与方程、不等式相结合的问题:一般是利 用方程、不等式的有关知识(如方程解的 个数、根的存在问题,不等式的性质、基本 不等式等)来解决． 􀳀[变式训练] ３．若直线ax＋by＝ab(a＞０,b＞０)过点(１, １),则该直线在x 轴、y轴上的截距之和的 最小值为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．８ [当堂达标] １．过A(０,３),B(－２,０)两点的直线的截距式 方程为 (　　) A．x３＋ y －２＝１ B． x ３ ＋ y ２ ＝１ C．x２＋ y ３＝１ D． x －２＋ y ３＝１ ２．(多选)已知直线l过点(１,２),且在横坐标 与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方 程可能是下列 (　　) A．２x－y＝０　　　　　B．x＋y＝３ C．x－２y＝０ D．x－y＋１＝０ ３．求经过 A(１,２),B(３,４)两点的直线方程 　　　　 　． ４．求过点P(６,－２),且在x轴上的截距比在 y 轴上的截距大１的直线方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册